Notas de Clase de: Investigación de Operaciones

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1 Notas de Clase de: Investigación de Operaciones Víctor Leiva Departamento de Estadística Universidad de Valparaíso, Chile

2 Índice general 1. Programa de la Asignatura Datos generales Objetivos Contenidos Bibliografía Introducción Génesis de la investigación de operaciones Concepto y definición de IO Modelado en IO Los objetivos de la IO en esta asignatura Optimización Lineal Introducción El modelo de programación lineal Método de optimización lineal Método gráfico para PL Análisis de casos excepcionales en PL Formulaciones equivalentes de modelos de PL Método símplex Planteamiento matricial del algoritmo Adaptación a otras formas del modelo de PL El método de la gran M El problema dual de PL Problemas propuestos Procesos Estocásticos Introducción Características de los procesos estocásticos Clasificación de los procesos estocásticos Proceso de Markov (PM) Matriz de transición Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov (CK)

3 Propiedades de los procesos Markovianos Distribuciones límites Procesos de conteo Proceso de Poisson Proceso de Poisson derivado Proceso de Poisson compuesto El papel de la distribución exponencial Procesos de nacimiento y muerte Proceso de nacimiento puro Procesos de muerte pura Proceso de nacimiento y muerte Proceso de Wiener Problemas propuestos Teoría de Colas Introducción Características básicas de un sistema de espera Sistema elemental de colas Modelos de colas basados en procesos de NM Modelo M/M/ Modelo M/M/c (múltiples servidores) Modelos de Colas con impaciencia Modelos Markovianos avanzados Modelos Erlang Modelos de servicios Erlang Problemas propuestos Teoría de Inventarios Introducción Razones del porqué almacenar bienes Restricciones de un inventario Características generales de un inventario Consideraciones para obtener buenas respuestas en un inventario Notación en teoría de inventarios Tipos de reaprovisionamiento Modelos de inventarios con demanda determinística Modelo tamaño económico del lote sin considerar escasez Modelo tamaño económico del lote considerando escasez Modelos de inventarios con demanda aleatoria Modelo de demanda aleatoria con revisión periódica Modelo de demanda aleatoria y punto de reorden El problema estocástico Problemas propuestos

4 Capítulo 1 Programa de la Asignatura 1.1. Datos generales Nombre del curso: investigación de operaciones Clave: IES 323 Horas semanales: 4.5 horas Duración: semestral Requisitos: IES 313 Carrera: ingeniería en estadística 1.2. Objetivos Introducir al alumno en la metodología y aplicaciones de tópicos importantes de la investigación de operaciones, caracterizados generalmente por la formulación de modelos especiales, tales como: fenómenos de espera, inventario y programación lineal Contenidos 1. Introducción a la investigación de operaciones. 1.1 Orígenes. 1.2 Teorías de sistemas 1.3 Modelamiento en investigación de operaciones. 2. Programación lineal 2.1 Introducción. 2.2 Modelo primal Método gráfico Método símplex. 2.2 Modelo dual 3. Noción de procesos estocásticos. 3.1 Introducción. 3.2 Procesos de Markov Definición y propiedades Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. 3

5 3.2.3 Distribuciones límite. 3.3 Proceso de Poisson. 3.4 Proceso de nacimiento y muerte. 4. Fenómenos de espera. 4.1 Introducción. 4.2 Modelos de cola exponencial en un canal: M/M/1 y M/M/1/k 4.3 Modelos de cola Markovianos Filas con canales paralelos: M/M/c y M/M/c/k Filas en servicio ilimitado: M/M/ Filas con fuente de entrada finita Filas con servicio dependiente del estado del sistema Filas con impaciencia. 4.4 Modelos Markovianos complejos Entradas en grupo: M X /M/ Servicio en grupo: M/M Y / Modelos Erlang: M/E k /1 y E k /M/ Modelos de cola no Poissonianos Modelo M/G/1. Fórmula de Pollaczek-Khintchine. 5. Teoría de inventarios 5.1 Introducción. 5.2 Modelos determinísticos. 5.3 Modelos estocásticos Modelo período-inventario Modelo nivel de reorden Modelo (q, r) Modelo de revisión periódica Bibliografía 1. Gould, F.J., Eppen, G.D., Schmidt, C.P. (1992) Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Prentice-Hall, México 2. Gross, D., Harris, C. (1998) Fundamentals of Queueing Theory. Wiley, New York. 3. Hillier, F.S., Lieberman, G. (1997) Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill, México. 4. Ross, S. (1980) Introduction to Probability Models. Academic Press, San Diego. 4

6 Capítulo 2 Introducción 2.1. Génesis de la investigación de operaciones El origen de la investigación de operaciones (IO) se atribuye a los servicios prestados a principios de la II Guerra Mundial ( ). Otra versión indica que su origen se remonta al advenimiento de la revolución industrial en Inglaterra ( ). En la actualidad, la IO es aplicada en diversas áreas, entre las que se destacan: Ingeniería. Administración y negocios. Producción y servicios. Calidad total y reingeniería. Entre otras Concepto y definición de IO La IO está íntimamente relacionada al concepto de sistemas. Definición (Sistema). Es un conjunto de componentes que al interactuar en forma ordenada y lógica permiten alcanzar un objetivo final o un conjunto de objetivos. Una definición simplista de una estructura sistémica se representa en la siguiente estructura: ENTRADA (input) PROCESO (process) SALIDA (Output) Las corrientes que se relacionan al concepto de sistema son dos: (i) Teoría general de sistemas: la que persigue la integración de todas las ramas de la ciencia. (ii) Ingeniería de sistemas: la que corresponde al aspecto empírico de los sistemas y que nace junto a la IO. La ingeniería de sistemas es empleada para administrar científicamente un sistema y más recientemente ha sido utilizada en análisis de sistemas. 5

7 Definición (IO). Esta disciplina comprende un conjunto de procedimientos científicos (determinísticos y estocásticos) que persiguen determinar el mejor curso de acción que conduzca a una decisión óptima. Así, la IO propone modelos cuyo objetivo es optimizar un proceso, esto es, minimizar o maximizar, bajo la restricción de recursos limitados. Es decir, la IO conduce a decisiones óptimas que se originan a partir de los fenómenos reales que se estudian en diversas áreas, tales como las que se mencionaron Modelado en IO La IO conduce a un proceso de optimización. Bajo este contexto, las etapas más importantes de un estudio característico de IO se pueden resumir de la siguiente manera: (1) Definición del problema. (2) Formulación de un modelo matemático (determinístico) o estadístico (estocástico) que describa el problema o sistema bajo estudio. (3) Obtención de una solución a partir del modelo formulado. (4) Comprobación del modelo y diagnóstico de la solución obtenida. (5) Establecimiento de controles sobre la solución. (6) Implementación de la solución en la práctica. La Figura 2.3 muestra un esquema que indica las etapas (1)-(6) y su interrelación. figura 1 6

8 2.4. Los objetivos de la IO en esta asignatura Programación matemática Optimizar recursos. Fenómenos de espera Optimizar tiempo. Teoría de inventarios Optimizar espacio. Además, en cada uno de estos tópicos se pretende optimizar costos o utilidades. 7