ANALISIS DE FRECUENCIA

Transcripción

1 ANALISIS DE FRECUENCIA

2 HIDROLOGÍA Determinística: enfoque en el cual los parámetros se calculan en base a relaciones físicas para procesos dinámicos del ciclo hidrológico. Estocástico: Enfoque en el cual los parámetros dinámicos son cálculados basados en el supuesto de que su variación en el tiempo es aleatoria.

3 ALEATORIO Y ESTOCASTICO? Aleatorio significa los valores que puede tomar no pueder ser predichos de manera exacta, lo más que se puede decir es que se comporta de acuerdo a una cierta distribución probabílistica. Estocastico: Su valor es aleatorio a través del tiempo.

4 Análisis de frecuencia Frecuencia: El número de veces que se presenta una variable aleatoria El Análisis de frecuencia esta basado en el concepto de variables aleatorias.

5 ANÁLISIS DE FRECUENCIA APLICACIONES Antes del inicio de cada ciclo agrícola se empiezan a tomar decisiones de que se va a sembrar y cuanto se va sembrar. Se calculan demandas de todos los cultivos. Pero Alcanzará el agua de las presas? Eso depende de los volumenes de agua que entren a presa a través del río. Esos volúmenes se pronostican o estiman con el enfoque de análisis de frecuencia

6 ANÁLISIS DE FRECUENCIA APLICACIONES Los gastos (volumen por unidad de tiempo) transportados por un río para determinado periodo de retorno con fines de diseñar un bordo contra inundaciones o diseñar un vertedor ó una presa, pueden ser pronosticados con el enfoque de análisis de frecuencia (siempre y cuando se tengan datos de aforos diarios máximos ).

7 Variables Aleatorias Variable aleatoria: es un parámetro (p. Ej. Escurrimientos) que no puede ser pronosticado con exactitud; es decir la ocurrencia de una variable aleatoria es un proceso aleatorio o incierto. Ejemplos de variables aleatorias:escurrimientos, precipitación, concentración de contaminantes y sales, niveles del río, evaporación, sedimentos, etc., CONTINUAS: los posible valores que toma la variable aleatoria (p. Ej. Los escurrimientos) pueden tomar cualquier valor dentro de la escala de los números reales. DISCRETAS: Los posibles valores de la variable aleatoria son muy limitados. P. Ejem. Cuando se tira una moneda sale aguila o sello. Note que los valores que puede tomar no son cualquier valor de la escala de los números reales. Otro ejemplo: al aventar un dado solo pueden salir valores del 1 al 6. Note no toma valores de 1.2 o 3.5. Otro ejemplo el número de avenidas que se espera excedan una cierta magnitud durante un periodo de años.

8 Probabilidad de Excedencia (P): probabilidad de que un evento de una magnitud dada sera igualada o excedida dentro de un intervalo de tiempo específico (usualmente en un año; En distritos de riego trabajan entre el 50% y 90% Probab. De Excedencia). Intervalo de recurrencia o Periodo de retorno (T): tiempo intervalo promedio (usualmente en años) entre ocurrencias sucesivas de un evento igual a o excediendo una cantidad específica. T P = = 1 P 1 T

9 6, , , , , , FIG. 9. ESCURRIMIENTOS ANUALES A LA PRESA PLUTARCO ELIAS C. (El Novillo) V o l u m e n e s e n M m AÑO

10 LOS SUPUESTO PRINCIPALES DEL ANÁLISIS DE FRECUENCIA Los datos a ser analizados describen eventos aleatorios independientes entre sí Los procesos involucrados son estacionarios a través del tiempo Los parámetros poblacionales pueden ser estimados a partir de una muestra (Discutir población y muestra)

11 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD El comportamiento de una variable aleatoria puede ser descrita por su función de probabilidad. Para cada posible ocurrencia de un experimento se le asigna un valor numérico de acuerdo a una función probabilística. Si la variable aleatoria es discreta se le llama función masa de probabilidad y si la variable es continua se le llama función de distribución probabilística.

12 Función de Probabilidad El comportamiento de una variable aleatoria puede ser descrita por su función de probabilidad. Se les debe buscar parecido a los histogramas de frecuencias relativas con una galería de funciones. En este caso es una función de distribución probabilística.

13 ESCURRIMIENTOS MENSUALES DEL RIO LA ANTIGUA, VERACRUZ (EXCEL) ESCURRIMIENTO SOBRE EL RIO LA ANTIGUA, ESTACION HIDROMETRICA EL CARRRIZAL, VER. (Mm3) Distrito de riego 035 La antigua, Ver. AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL MEDIA VARIANZA(S^2) DESV. ESTAND COEF. VAR

14 PRESENTACIÓN DE DATOS Histograma # de Intervalos de clase [k= 5*log10 n] n = # de datos históricos # de observaciones (frecuencia absoluta) Ancho de intervalo de clase Frecuencias relativas (probabilidades) Frecuencias relativas acumuladas: la probabilidad de que un valor tenga de ser menor o igual que la magnitud en ese punto.

15 PRESENTACION DE DATOS-ENERO Q R I O L A A N T I G U A, C A R R R I Z A L, V E R. ( M m 3 ) D i s t r it o d e r i e g o L a a n t i g u a, V e r. A Ñ O E N E A Ñ O E N E A Ñ O E N E N Ú M E R O D E D A T O S H I T O R I C O S M E D I A 8 N Ú M E R O D E I N T E R V A L O S D E C L A S E V A R I A N Z A D A T O M E N O R H I S T O R I C O D E S V I A C I O N E S T A N D A R D A T O M A Y O R H I S T O R I C O C O E F I C I E N T E D E A S I M E T R I A 7 I N T E R V A L O N o. D E I N T E R V A L O P U N T O F R E C U E N C I A F R E C U E N C I A F R E C. A C U M U L A D A F R E C. A C U M U L A D A I N T E R V A L O ( D E C L A S E ] M E D I O A B S O L U T A R E L A T I V A R E L A T I V A A B S O L U T A Q E N E (fi) Q ( M m 3 )

16 PRESENTACION DE DATOS-OCTUBRE Q R I O L A A N T I G U A, C A R R R I Z A L, V E R. ( M m 3 ) D i s t r i t o d e r i e g o L a a n t i g u a, V e r. A Ñ O O C T A Ñ O O C T A Ñ O O C T N Ú M E R O D E D A T O S H I T O R I C O S M E D I A 8 N Ú M E R O D E I N T E R V A L O S D E C L A S E V A R I A N Z A D A T O M E N O R H I S T O R I C O D E S V I A C I O N E S T A N D A R D A T O M A Y O R H I S T O R I C O C O E F I C I E N T E D E A S I M E T R I A 5 1 I N T E R V A L O F R E C. F R E C. N o. D E I N T E R V A L O P U N T O F R E C U E N C I A F R E C U E N C I A A C U M U L A D A A C U M U L A D A I N T E R V A L O ( D E C L A S E ] M E D I O A B S O L U T A R E L A T I V A R E L A T I V A A B S O L U T A Q O C T (fi) Q ( M m 3 )

17 Distribución Normal Por ejemplo, los Por ejemplo, los volúmenes de Enero se parecen más a una distribución Normal.

18 Distribución Log-Normal Por ejemplo, los volúmenes de Octubre se parecen más a una distribución Log- Normal.

19 Distribución Acumulada de Probabilidades

20 DISTRIBUCIONES MÁS COMUNES EN HIDROLOGÍA DISCRETAS CONTINUAS Binomial Normal Log-normal Log Pearson Tipo III (Pearson=Gama) Gumbel (Valor extremo tipo I)

21 Como hacer la estimación de los volumenes? Método Gráfico (normal y log-normal) Método teórico (con cálculos)

22 Distribuciones continuas función de densidad Para una variable aleatoria continua, el area bajo la función de densidad f(x) representa probabilidad y el área bajo la función es igual a 1: P ( x 1 x x ) = f ( x ) dx 2 f ( x) dx= 1.0 x 2 x 1

23 Función de densidad acumulada F( x P e 1 = 1 F P + F e ) = P( x x1 ) = f = 1 0 F( x) 1.0 x 1 ( x) dx

24 METODOS DE CÁLCULO DE CUANTILES MÉTODOS GRÁFICOS METODO DE MOMENTOS METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD

25 MÉTODO DE MOMENTOS Momentos de una distribución: las funciones probabilísticas tienen sus momentos y estos a su vez tienen relación con sus parámetros. Los momentos permiten caracterizar la forma de la función. Por lo tanto si se le encuentran los momentos se puede encontrar a la función y a su forma.

26 Momentos alrededor del Orígen Para una distribución discreta y una distribución continua el n-ésimo momento alrededor del orígen puede ser definido como: µ N µ N i = N i = x P( x ) = f ( x) dx x N i discreta continua

27 Primer momento alrededor del orígen El primer momento alrededor del orígen es la media o promedio o el valor esperado denotado por la esperanza. El primer momento es un parámetro de localización porque indica que parte alrededor del eje x se localiza la mayor parte de la distribución: E( x) = µ = i= x i P( x i ) discreta E( x) = µ = x f ( x) dx continua

28 METODO DE LOS MOMENTOS DISTRIBUCION NORMAL Sacar media y desviación estandard (XMEDIA, Sx) Proponer valor de Prob. Excedencia (Pe) Calcular F = 1-Pe En Tablas buscar la Z que corresponda a F EXCEL = DISTR.NORM.ESTAND.INV(Valor de F) X(Pe)= XMEDIA+Sx * Z

29 1) Sacar log base 10 a los volumenes 2) Obtener la media y desviación estándar para los logaritmos de los datos históricos para cada mes (Y, Sy) 3) Proponer valor Pe 4) F=1-Pe y por lo tanto la Z de tablas o con Excel 5) Aplicar la siguiente fórmula de abajo 6) Sacar antilogaritmo a las Y y = y + T Z T s y

30 METODO DE MOMENTOS-ENERO CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y PERIODO S DE RETORNO EMPÍRICOS CÁLCULO DE Q CON DISTRIBUCIÓN : NORMAL Y LOGNORMAL, R ÍO L A AN TIG U A, C AR R IZ AL, V E R. M É X IC O E N E R O A Ñ O Q M A X (LOG B ASE 10) M m NORM AL LOG-NORM AL (T) (P e) (F ) Z Q (M m 3 ) Z Q (M m 3 ) n = 35 Xm = S = D e= C s= DATOS NORM ALES CON LOG ARITM OS

31 METODO DE MOMENTOS-OCTUBRE CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y PERIODOS DE RETORNO EMPÍRICOS CÁLCULO DE Q CON DISTRIBUCIÓN: NORMAL, LOGNORMAL RÍO LA ANTIGUA, CARRIZAL, VER. MÉXICO OCTUBRE AÑO QMAX (LOG BASE 10) Mm NORMAL LOG-NORMAL (T) (Pe) (F) (K=z) Q (Mm 3 ) (K=z) Q (Mm 3 ) n= 34 Xm= S= De= Cs= DATOS NORMALES CON LOGARITMOS