= f ( intensidad de lluvia, área de aportación)

Transcripción

1 Redes de saneamiento (III): Estadística hidrológica 1

2 Cuánta agua entra a través de este imbornal en la alcantarilla? = f ( intensidad de lluvia, área de aportación) 2

3 Mapas de isoyetas Mapa de isoyetas de profundidad total de lluvia (pulgadas) caída desde el 24 al 25 de mayo de 1981 en Austin, exas, durante una tormenta. La precipitación máxima de 11 pulg. (280 mm!!) se registró en un período de 3h. iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum Hietograma Prof. max (pulg.) 0.76 Int. máx. (pulg./h)

4 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum Pluviograma (hietograma de lluvia acumulada o curva de masa de lluvia) Prof. max (pulg.) 0.76 Int. máx. (pulg./h) 9.12 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min

5 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min

6 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min 60 min. 120 min Prof. max (pulg.) Int. máx. (pulg./h)

7 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min 60 min. 120 min Máximas profundidades de lluvia o intensidades de precipitación que se registra en un intervalo de tiempo t de referencia (5, 30, 60 ó 120 min) Prof. max (pulg.) Int. máx. (pulg./h)

8 Ideal, Miércoles Una vez cada 100 años!! Objetivos del tema Qué es, cómo describimos y cómo caracterizamos la lluvia si fijamos la posición espacial? Profundidades, intervalos de referencia, y probabilidad de ocurrencia Estimación de la probabilidad p de un evento de lluvia (identificado por su profundidad en un intervalo definido de referencia). Curvas intensidad-duración (para p definida) Curvas intensidad-duración-frecuencia: métodos de construcción (Nadal y DGC) Aplicar curvas ID e IDF a casos de estudio. 8

9 Referencias [1] Hidrología Aplicada. Chow y otros Ed. McGraw-Hill. [2] Cálculo de caudales en las redes de saneamiento. Catalá, F Ed. Paraninfo. Colección Seinor no. 5. [3] Restauración hidrológico-forestal de cuencas y control de la erosión. RAGSA Ed. Mundiprensa. [4] Hydrology and floodplain analysis. Bedient, P. & W. Huber Adison Wesley Ed. [5] Manual de saneamiento URALIA. Hernández, A. & Hernández, A Ed. hompson. [6] Saneamiento y alcantarillado. Vertidos residuales. Hernández, A ª edición. CICCP. Colección Seinor no. 7. [7] Ingeniería de aguas residuales. Redes de alcantarillado y bombeo. Metcalf & Eddy Ed. McGraw-Hill. Objetivos del tema Qué es, cómo describimos y cómo caracterizamos la lluvia si fijamos la posición espacial? Profundidades, intervalos de referencia, y probabilidad de ocurrencia Estimación de la probabilidad p de un evento de lluvia (identificado por su profundidad en un intervalo definido de referencia). Curvas intensidad-duración (para p definida) Curvas intensidad-duración-frecuencia: métodos de construcción (Nadal y DGC) Aplicar curvas ID e IDF a casos de estudio. 9

10 Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada evento o resultado x una probabilidad p, según el número de veces en que ese resultado se repite en la serie de experimentos Contamos el número de experimentos que hay que hacer para que un evento se repita (intervalo de recurrencia) su valor medio es el tiempo de retorno p = 1/ E p ( τ ) = τ = 1 τ p (1 p) p + 2 p(1 p) + 3p(1 p) p [1 + 2(1 p) + 3(1 p) 1 p = 1 /? Material complementario! = 1 2 [ 1 (1 p) ] p τ 1 = p(1 p) + 4(1 p) Supone independencia entre observaciones o eventos = +...] = (1 + x) n = 1+ nx + [ n( n 1) / 2!] x n = 2; x = (1 p) 2 + [ n( n 1)( n 2) / 3!] x

11 Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada resultado x una probabilidad p Determinar los intervalos de recurrencia, y su valor promedio, el tiempo de retorno Y si además supiéramos la forma de su función de distribución de probabilidad (p. ej. normal)? 2 sólo tendríamos 1que calcular 1 o xestimar µ su media y varianza, y futilizar ( x) = la función exp para generar probabilidades σ 2π 2 σ para cualquier evento que propusiéramos Algunas preguntas sobre dados que nos resultarán útiles Define un evento extremo de suerte que salga un 5 o más en un lanzamiento, y sea X la variable aleatoria resultado del lanzamiento de dados. Cuál es la probabilidad que salga un 5 ó un 6, i.e. P (X 5)? Cuál es la probabilidad que NO salga 5 ó 6, i.e. P (X 4)? Cuál es la probabilidad que en N = 10 lanzamientos me salga un 5 ó 6 en todos? Cuál es la probabilidad que en N = 10 lanzamientos, al menos una vez le salga un 5 ó un 6 a mi adversario? Riesgo 11

12 Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada resultado x una probabilidad p Determinar los intervalos de recurrencia, y su valor promedio, el tiempo de retorno Y si además supiéramos la forma de su función de distribución de probabilidad (p. ej. normal)? sólo tendríamos que calcular o estimar su media y varianza, y utilizar la función para generar probabilidades para cualquier evento que propusiéramos Intervalo de referencia o duración 12

13 Serie anual máxima (o serie de experimentos independientes) X = Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada resultado x una probabilidad p Determinar los intervalos de recurrencia, y su valor promedio, el tiempo de retorno Y si además supiéramos la forma de su función de distribución de probabilidad (p. ej. normal)? sólo tendríamos que calcular o estimar su media y varianza, y utilizar la función para generar probabilidades para cualquier evento que propusiéramos 13

14 Eventos extremos (X x ) x = 30 mm Intervalo de recurrencia τ X = 30 = τ = 1.3 años Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada resultado x una probabilidad p Determinar los intervalos de recurrencia, y su valor promedio, el tiempo de retorno Y si además supiéramos la forma de su función de distribución de probabilidad (p. ej. normal)? sólo tendríamos que calcular o estimar su media y varianza, y utilizar la función para generar probabilidades para cualquier evento que propusiéramos 14

15 Asignación de probabilidades a eventos extremos de lluvia La serie de n registros de precipitaciones máximas anuales (con un intervalo de referencia t) se ordenan de mayor a menor. A cada valor se le asigna su rango, m, (orden que ocupa en la serie ordenada) A cada valor de precipitación en la serie se le asigna una probabilidad de excedencia P( X > x), según la ecuación de Weibull 1 = P( X x m ) = n + 1 Ejemplo 1 Año I (mm/día) Media Desv. Est Dada una serie anual máxima de 18 años (en este caso de Odollo, León) encuentra la probabilidad y tiempo de retorno de los eventos cuya magnitud aparecen en la tabla. Ejemplo EXCEL (página web) 15

16 Cómo describimos un proceso aleatorio? Series de experimentos independientes Asignar a cada resultado x una probabilidad p Determinar los intervalos de recurrencia, y su valor promedio, el tiempo de retorno Y si además supiéramos la forma de su función de distribución de probabilidad (p. ej. normal)? sólo tendríamos que calcular o estimar su media y varianza, y utilizar la función para generar probabilidades para cualquier evento que propusiéramos 16

17 Distribución de valores extremos Hay tres formas asintóticas, conocidas como de ipo I, ipo II y ipo III. Las intensidades máximas de lluvia se ajustan a las de ipo I (EVI), ó distribución de Gumbel, F ( x) = P( X 6sx α = π u = x α 1 = P( X x x u x) = exp exp α ) = 1 P( X s x = desv. estándar x = media muestral < x ) = 1 F( x ) Cuál es la magnitud del evento con un determinado tiempo de retorno? 1 = P( X x ) = 1 P( X < x ) = 1 F( x ) Método de la variable reducida (para funciones de distribución invertibles, p.ej. Gumbel) Factores de frecuencia (para funciones de distribución no necesariamente invertibles) 17

18 1. Método de la variable reducida Función de distribución de Gumbel F ( x) = P( X x u y = Variable reducida α x u x) = exp exp α 1 F( x ) = exp[ exp( y)] y = ln ln F( x) 1 1 = P( X x ) = 1 P( X < x ) = 1 F ( x ) F ( x ) = FJR1 y = ln ln x = y + u α 1 FJR2 Año Pmax(10min) Ejemplo 2 Utiliza la serie de lluvia máxima de 10 minutos en pulg. en Chicago, Illinois , y desarrolla un modelo para el análisis de frecuencia de tormentas de lluvia utilizando la distribución EVI (Gumbel). Calcula los valores máximos de lluvias de 10 min. con periodos de retorno = 5, 10 y 50 años. s x = x =

19 Diapositiva 35 FJR1 FJR2 he +u in the last formula was with a negative sign before Make sure you warn the students. Francisco; 19/11/2010 el signo de y, aparecía mal Francisco; 26/01/2011

20 2. Método de los factores de frecuencia La magnitud de un evento extremo x puede representarse como x = µ + kσ ó x x + k s Media Factor de frecuencia (abulados en función Desv. estándar de, para distintas distribuciones) k Para la distribución de valor extremo ipo I 6 = ln ln π 1 19

21 Año Pmax(10min) Ejemplo 3 Utiliza la serie de lluvia máxima de 10 minutos en pulg. en Chicago, Illinois , y calcula los valores máximos de lluvias de 10 min. con periodo de retorno = 5 años. UILIZA factores de frecuencia, y supón una distribución de valores extremos de ipo I. s x = x =

22 Gráficas de probabilidad Cómo podríamos comprobar que una serie de datos hidrológicos siguen una determinada distribución de probabilidad (por ejemplo, la distribución de Gumbel)? x = µ + kσ k = Relación lineal (x, k ) ln ln π 1 1. A partir de series anuales máximas puedo definir pares de valores de (, x ) con la ec. Weibull (k, x ),. 2. Si es cierto que los valores siguen una distribución de Gumbel, la recta en escala normal x = f(k ) sería una línea Ejemplo 4 Año I (mm/día) Media Desv. Est Dada una serie anual máxima de 18 años (en este caso de Odollo, León), comprueba que los datos siguen una distribución de Gumbel. Ejemplo EXCEL (página web) 21

23 Objetivos del tema Qué es, cómo describimos y cómo caracterizamos la lluvia si fijamos la posición espacial? Profundidades, intervalos de referencia, y probabilidad de ocurrencia Estimación de la probabilidad p de un evento de lluvia (identificado por su profundidad) en un intervalo definido de referencia. Curvas intensidad-duración (para p definida) Curvas intensidad-duración-frecuencia: métodos de construcción (Nadal y DGC) Aplicar curvas ID e IDF a casos de estudio. 22

24 Curvas Intensidad - Duración Partimos de varias series máximas anuales cada una de ellas con alturas de lluvia (mm) referidas a distintos períodos de referencia ( t) Curvas de probabilidad de la intensidad, fijando los intervalos de referencia Curvas de intensidad en función de la duración t, fijando los tiempos de retorno o valores de probabilidad Curvas Intensidad - Duración Partimos de varias series máximas anuales cada una de ellas con alturas de lluvia (mm) referidas a distintos períodos de referencia ( t) Curvas de probabilidad de la intensidad, fijando los intervalos de referencia Curvas de intensidad en función de la duración t, fijando los tiempos de retorno o valores de probabilidad Curvas I.D. 23

25 Ejemplo 4 Una estación pluviométrica ha recogido registros de profundidad de lluvia en intervalos de 5-min durante 32 años. Las profundidades máximas de lluvia en intervalos t de 5, 10, 15, 20, 25 y 30 min han sido calculadas y ordenadas. Las valores máximos de profundidad (mm) para cada valor de t aparecen en la tabla siguiente. Calcula la curva ID para 20 años de período de retorno. t (min) Rango Lluvias con intensidades máximas en España ( = 10 años) [2, 5] t = tiempo en horas 24

26 [2] = 10 años [2] = 10 años 25

27 Ejemplo 5 Calcular la intensidad máxima en 20 min. para Almería con períodos de retorno de 10, 5 y 50 años. i M t =

28 Objetivos del tema Qué es, cómo describimos y cómo caracterizamos la lluvia si fijamos la posición espacial? Profundidades, intervalos de referencia, y probabilidad de ocurrencia Estimación de la probabilidad p de un evento de lluvia (identificado por su profundidad) en un intervalo definido de referencia. Curvas intensidad-duración (para p definida) Curvas intensidad-duración-frecuencia: métodos de construcción (Nadal y DGC) Aplicar curvas IDF a casos de estudio. Método de la DGC* i M im ( t; ) (1440 min; ) im (60 min; ) = im (1440 min; ) ( t ) 0.1 Intensidad media máxima (mm/h) durante 24 h y un período de retorno. Intensidad media máxima (mm/h) para una duración t y un período de retorno. Parámetro que representa la relación de la intensidad horaria con la diaria del mismo período de retorno es independiente de, y variable en el espacio (ver mapa 1) t = duración (min) del intervalo al que se refiere la intensidad. * émez J.R. (1987). Cálculo hidrometeorológico de caudales máximos en pequeñas cuencas naturales. Dirección General de Carreteras. MOPU. 27

29 Mapa de isolíneas I M (60min;-) /I M (1440min;-) [3] Método de la DGC i M im ( t; ) (1440 min; ) im (60 min; ) = im (1440 min; ) ( t ) 0.1 Intensidad media máxima (mm/h) para una duración t y un período de retorno INCÓGNIA = f [ t, I M (1440 min;) ] Análisis de datos locales de precipitación en 24 h (existe suficiente cobertura) Mapas de isolíneas de máxima precipitación en 24 h y distintos tiempos de retorno, que proporcionan las agencias estatales (DGC, Min. Agricultura, ) 28

30 Método de Nadal i M ( t; ) = 9.25 i M (60 min; ) t 0.55 i Intensidad media máxima (mm/h) durante 1 h y un período de retorno. Intensidad media máxima (mm/h) para una duración t y un período de retorno. t = duración (min) del intervalo al que se refiere la intensidad. 1 ( 60 min; ) = ( t 1440 min; M i 0 M = ) Mapas de isolíneas de máxima precipitación en 24 h y distintos tiempos de retorno, que proporcionan las agencias estatales (DGC, Min. Agricultura, ) Análisis de datos locales de precipitación en 24 h (existe suficiente cobertura) 29

31 Ejemplo 6 El período de vida útil de un proyecto de saneamiento es de 50 años. El tiempo de retorno de la lluvia de cálculo X la estimamos suponiendo que ésta tiene un 10% de probabilidad que no ocurra durante la vida útil del proyecto. Estudias una serie de estaciones pluviométricas de la zona y seleccionas el pluviómetro de Odollo, por localizarse en la cuenca objeto de estudio. Suponiendo que los valores extremos siguen una distribución de Gumbel, calcula cuál es la precipitación media máxima en 24h para el tiempo de retorno del proyecto. Construye una curva Intensidad-Duración para el proyecto, utilizando el método de la DGC y el método de Nadal. Año I (mm/día) Media Desv. Est