FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE ESTUDIO DE CASO. Arias Choque Edson Zandro Ingeniería de Sistemas. Investigación Operativa II

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1 FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE ESTUDIO DE CASO Título Autor/es TEORIA DE COLAS Nombres y Apellidos Código de estudiantes Arias Choque Edson Zandro Fecha 30/04/2017 Carrera Ingeniería de Sistemas Asignatura Investigación Operativa II Grupo A Docente Ing. Edwin Windsor Jara Arias Periodo Académico I/2017 Subsede Cochabamba Copyright (2017) por (Arias Choque Edson Zandro). Todos los derechos reservados.

2 Tabla de Contenido Teoría de colas MM Introducción Elementos existentes en un modelo de colas Fuente de entrada o población potencial Cliente Capacidad de colas Mecanismo de servicio La cola Sistema de la cola Fórmulas utilizadas para resolver colas Sistema una cola varios servidores Ejemplos Bibliografía Página 1 de 13

3 Teoría de colas MM1 1 Introducción En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc. 2 Elementos existentes en un modelo de colas 2.1 Fuente de entrada o población potencial Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. 2.2 Cliente Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos. Página 2 de 13

4 2.3 Capacidad de colas Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. 2.4 Mecanismo de servicio Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. 2.5 La cola Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. 2.6 Sistema de la cola Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma). Página 3 de 13

5 Una cola M/M/1 es un sistema al que los clientes llegan según una distribución de Poisson, la atención se presta según una negativa exponencial y tienen un único servidor. Por tanto: La tasa de llegada es a (t)= λe- λ t La tasa de salida es a (t)=µe.µ t Significa que la llegada de los clientes al sistema de forma probabilística, el servicio es de forma probabilística y es un solo servidor. 3 Fórmulas utilizadas para resolver colas Página 4 de 13

6 Donde λ = velocidad de llegadas (clientes/tiempo) µ = velocidad de atencion al servidor (clientes/tiempo) Nota: si la velocidad a la cual los clientes llegan es MAYOR a la velocidad a la cual atender el servidor, el sistema es INESTABLE. Página 5 de 13

7 4 Sistema una cola varios servidores Suposiciones La línea de espera tiene 2 ó más canales (servidores) El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad poisson Tiempo de servicio de cada sigue una distribución de probabilidad exponencial La disciplina del servicio es (fifo) primero en entrar primero en atender La tasa promedio de servicio µ, es la misma para todos los canales Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio. Características de operación λ= tasa promedio de llegadas al sistema µ= tasa promedio de servicio para cada canal k = número de canales kµ= tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiple Factor de utilización: 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema 2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila) Página 6 de 13

8 3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total) 4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera 5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema 6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio 7) Probabilidad de que hayan unidades en el sistema. Página 7 de 13

9 La anterior fórmula para n <= k La anterior para n >= k 5 Ejemplos EJERCICIO 1 En un servicio de Fotocopiado llegan 5 clientes cada hora y el operador de la fotocopiadora puede atenderlos a una tasa de 6 clientes cada hora. DETERMINE: a) Cantidad de clientes en el Sistema b) Tiempo total que esperan los clientes en el Sistema c) Cantidad de personas formadas en la fila. DETERMINAR LANDA Y MIU. λ = 5 clientes hora µ = 6 clientes hora Página 8 de 13

10 El problema si se puede resolver ya que la velocidad del sistema es MAYOR a la llegada de los clientes. SOLUCION a) Cantidad de clientes en el sistema Ls = λ µ λ Ls = Ls = 5 clientes b) Tiempo total que esperan los clientes en el sistema. Ws = 1 µ λ Ws = Ws = 1 hora c) Cantidad de personas formadas en la fila Lq = Lq = λ 2 µ (µ λ) (6 5) Lq = 25 6 Lq = 4.16 clientes EJERCICIO 2 Considere una línea de espera con dos canales con llegadas POISSON y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal. a) cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? Página 9 de 13

11 b) cuál es la cantidad de unidades promedio en espera? c) cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio? DATOS K=2 Tasa llegadas = 14 unid/hora Tasa servicio = 10 unids/hora a) b) c) EJERCICIO 3 a) Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la Datos preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar: l = 1 / 6 = perros/min m = 1 / 3 = 0.34 perros/min La probabilidad de que Sam este de ocioso. Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado. El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados. Página 10 de 13

12 El numero promedio de perros que esperan a ser. b) Considere una línea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal a) Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b) Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema? c) Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio? d) Cuál es el tiempo promedio que una unidad está en el sistema? e) Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio? EJERCICIO 4 En el departamento de emergencia de un hospital los pacientes llegan con una distribución de probabilidad Poisson a una media de 3 clientes por hora. El médico que está en dicho departamento los atiende con una frecuencia de servicio exponencial a una tasa media de 4 clientes por hora. Contrataría o no a un segundo médico? Determine: a. Razón de utilización del sistema. b. Probabilidad de que no se encuentren pacientes en el sistema. c. Probabilidad de que existan 3 pacientes en el sistema. d. Tiempo total del cliente en el sistema. e. Tiempo total de espera por en la cola. f. EI número de pacientes en el sistema en un momento dado. g. EI número de pacientes en el sistema esperando por servicio. h. Probabilidad de que el cliente se espere más de 1 hora en el sistema. Página 11 de 13

13 6 Bibliografía TOMA DE DECISIONES A TRAVÉS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Naim Caba Villalobos, Oswaldo Chamorro Altahona, Tomás José Fontalvo Herrera INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Novena edición. Hamdy A. Taha University of Arkansas, Fayetteville México. PEARSON EDUCACIÓN. Página 12 de 13