GUIA DE EJERCICIOS TEORIA DE COLAS

Transcripción

1 GUIA DE EJERCICIOS TEORIA DE COLAS 1. La conocida empresa de servicio de taxis Viaje Seguro envía sus vehículos a su taller de inspección básica con cierta regularidad. Esta inspección consiste en la revisión de la unidad por un técnico especializado quien verifica las condiciones básicas de funcionamiento y de limpieza del vehículo. El administrador está analizando este servicio y quiere que se brinde de manera óptima, sobre todo en los momentos de mayor demanda; es decir, el momento crítico cuando llega la mayor cantidad de vehículos. Por ello ha observado que llegan en promedio 10 autos por hora, siguiendo una distribución de Poisson; mientras que el único mecánico requiere de 5 minutos para revisar cada auto. a. Calcule el porcentaje de utilización del sistema. b. Cantidad el promedio de vehículos haciendo cola. c. Cantidad promedio de vehículos en el taller (en el sistema) d. El tiempo promedio de de vehículos esperando en cola. e. El tiempo promedio de vehículos en el sistema. f. Cuál es la probabilidad de que un vehículo que llega, sea inspeccionado inmediatamente? g. Calcule la probabilidad que un vehículo que llega tenga que esperar para ser atendido. h. Calcule la probabilidad que hayan cinco vehículos en el taller. i. Cuál es la probabilidad que haya menos de cuatro vehículos esperando por la atención? j. Si una de las metas del servicio es que un vehículo que llega no deba esperar más de 5 minutos en promedio para que sea atendido, se cumple la meta? k. Si la meta no se cumple, cuánto debería ser la tasa promedio de atención para que se cumpla la meta y cuánto el tiempo promedio de servicio por vehículo? l. Con el propósito de asegurar la calidad del servicio a los clientes, se ha calculado que acudirán más vehículos a una nueva tasa de 15 vehículos por hora, en lugar de la actual de 10 vehículos por hora, por esta razón el gerente de operaciones está considerando contratar a otro especialista. En este nuevo escenario cuántos vehículos estarían esperando por el servicio? 2. Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que digitalizar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. a. Indique cuántas horas del día se encuentra la secretaria digitalizando documentos. b. Calcule el tiempo promedio de espera antes de que la secretaria digitalice un documento. c. Calcule el número promedio de cartas que estarán en la línea de espera: d. Calcule la probabilidad de que a la secretaria tenga más de cinco cartas pendientes para digitalizar.

2 3. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar: a. La probabilidad de que Sam esté ocioso. b. El número total de perros que están siendo vacunados y los que esperan para ser vacunados c. Cuál es la probabilidad de tener más de 5 perros esperando para recibir su vacuna. 4. Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de éstas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. a. Calcule la probabilidad de que el operador esté ocupado: b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador c. El número de llamadas que esperan ser contestadas 5. Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. a. Calcule el número promedio de gente en línea. b. El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos c. La proporción de tiempo que el vendedor estará ocupado 6. Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. Calcule lo siguiente: a. La tasa de utilización de este sistema. b. El tiempo promedio de descompostura para cada máquina que está descompuesta c. Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento. d. La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema. 7. El Barry s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, Barry s estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Este ejemplo se tiene una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y tiempos exponenciales de servicio. Calcule lo siguiente: a. El número promedio de automóviles en la línea b. El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado c. El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio d. La tasa de utilización del lavado de automóviles e. La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema

3 8. Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora. a. Encontrar el número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto b. Qué porcentaje del tiempo estará ocupado el cajero? c. Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema? d. Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla? e. Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola? 9. Kamal s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catalogo en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el empleado está ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador esté libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado le pagan a 5 soles la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 20 soles por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden. a. Cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes? b. Cuál es el número promedio de llamadores que esperan para colocar la orden? c. La empresa está considerando añadir un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda pude pagar a esa persona 5 soles la hora. Debe de contratar otro empleado? 10. Germanio López es el director técnico del grupo de baile folklórico Así se Baila en Perú y además es el responsable de la selección de los nuevos integrantes que continuamente se presentan al casting. Los postulantes tienen que pasar previamente una entrevista en el estudio. Al llegar ellos son atendidos por los dos asistentes de Germanio quienes toman sus datos personales indicando sus preferencias musicales y posteriormente realizan la prueba de selección ante Celedonio. Considere que los bailarines llegan de forma aleatoria siguiendo una distribución de Poisson y que la tasa de servicio de los asistentes está distribuida exponencialmente. Durante el momento más crítico de asistencia de los postulantes, llegan 5 bailarines por hora y los asistentes requieren en promedio 20 minutos para preparar el ambiente y colocar la música para la prueba de baile para cada postulante. a. Indique cuántos minutos permanecerá el postulante en el estudio. b. Cuál es la probabilidad de tener más de 3 postulantes esperando a ser atendidos? c. Cada asistente recibe 120 soles por semana (adicionalmente reciben 3 soles diarios por concepto de movilidad y 9 soles diarios por refrigerio). El horario laboral del estudio es de lunes a sábado. Germanio ha considerado el costo de 250 soles semanales, por la espera de los postulantes, ya que podrían cansarse de esperar y buscar otra academia de baile. Evalúe si le recomendaría a Germanio contratar otro asistente adicional.

4 11. Car Wash Peru es una empresa especializada en el lavado automático de autos que ofrece el servicio de lunes a domingo y cuenta con locales en diferentes distritos de Lima. De acuerdo con las observaciones realizadas por Janice, la administradora de uno de los locales con mayor afluencia de clientes, durante el momento más crítico, llegan 9 autos por hora, siguiendo una distribución de Poisson. La máquina de lavado puede atender en promedio 12 autos por hora, de acuerdo con una distribución exponencial. a. Halle las principales características operativas del sistema (L,, W, W q, P w y ρ) b. Indique cuál es la probabilidad que llegue un cliente y sea el tercero en la fila de espera. c. Indique cuál es la probabilidad de que en el local hayan menos de tres clientes esperando por el servicio de lavado. d. Si se desea que la utilización promedio del sistema sea del 70%, cuál debería ser el tiempo promedio de lavado por auto. 12. En la tienda por departamentos Faga Salabella se ha observado que en la época navideña la sección de empaque de regalos sufre una excepcional demanda. Se ha considerado implementar una única fila para las envolturas simples (las que utilizan los empaques o bolsas ya pre elaborados) por lo que el trabajador sólo tendría que esperar a que el cliente escoja el empaque, colocar el objeto dentro, sellar la bolsa y colocarle el moño. Es operación se calcula que tomará 2 minutos por cliente, con una distribución exponencial. De acuerdo con los datos históricos se ha observado que llegan en promedio 24 clientes por hora solicitando el servicio de envoltura, de acuerdo con una distribución de Poisson. a. Indique cuál es el número promedio de clientes esperando por el servicio de envoltura. b. cuánto tiempo de espera en la sala de empaques deberá considerar el cliente? c. qué porcentaje de tiempo ocioso tendrá la persona encargada de las envolturas? d. cuál es la probabilidad que un cliente espere por el servicio de envoltura más de 8 minutos? e. cuál es la probabilidad que en media hora llegue más de un cliente? f. cuál es la probabilidad que el tiempo que transcurra entre dos llegadas consecutivas de clientes sea mayor a 20 minutos? 13. La empresa HD Perú se especializa en la venta de cortinas, persiana y rollers, pero adicionalmente brinda el servicio de asesoría en decoración a sus clientes. Para ello cuenta con una oficina para recibir a los clientes, quienes llegan a razón de 5 clientes cada 4 horas, siguiendo una distribución de Poisson y son atendidos por especialistas en decoración. Actualmente se están evaluado dos alternativas para la atención de los clientes: Utilizar un asesor a quien le toma un tiempo promedio de 30 minutos por cliente, con una distribución exponencial. Contratar dos asesores, cada uno de los cuales consideraría un tiempo promedio de 45 minutos por cliente. Se ha asignado un pago de 30 soles la hora por asesor, y el tiempo de espera de los clientes se valora en 120 soles la hora por esperar antes del servicio. Indique al gerente de operaciones de HD cuál es la mejor alternativa.

5 14. Un salón de belleza especializado en los servicios de laciado de cabello ampliará la oferta que brinda durante los fines de semana e incluirá el servicio de reacondicionamiento natural. Cuando una clienta solicite este nuevo servicio será atendida en estricto orden de llegada, por cualquiera de los dos especialistas. Las clientes llegan de forma aleatoria al salón siguiendo una distribución de Poisson y la tasa de servicio de los especialistas está distribuido exponencialmente. Durante el momento de mayor demanda llegan aproximadamente 3 clienta por hora y cada asistente demora en promedio 30 minutos en atender a un cliente. a. cuál es la probabilidad de que hayan más de tres personas esperando a ser atendidas? b. El administrador del salón quiere saber si le conviene seguir con el modelo actual o trabajar con tres especialistas. A cada especialista se le paga 60 soles diarios y se ha considerado un valor de 25 soles por día, el costo correspondiente a los clientes que se cansan de esperar y se van a buscar otro salón. cuál es la mejor opción? 15. La Municipalidad de San Borja está ofreciendo un servicio de corte de cabello gratuito para los escolares. Se está considerando instalar una carpa con cinco sillas de corte de cabello, en donde cada estilista podrá recortar el cabello de un escolar en aproximadamente 10 minutos, de acuerdo con una distribución exponencial. Se considera que los escolares llegarán de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 20 por hora. a. cuánto tiempo en promedio espera cada escolar en ser atendido? b. cuántos escolares estarán en promedio en la carpa? c. Los escolares que solicitarán el servicio, van a utilizar parte del tiempo que deberían dedicar a cumplir con sus tareas, por ello el municipio ha decidido invertir un promedio de 200 soles diarios en el pago de profesores que brindarán charlas a los estudiantes, mientras esperan a ser atendidos. Además se pagará 60 soles por día a cada peluquero (estilista). El responsable de la campaña está analizando tres alternativas: Mantener el sistema propuesto de cinco estilistas. Trabajar con cuatro estilistas (Para este sistema se sabe que P 0 = ) Trabajar con tres estilistas que puedan atender 8 escolares cada hora cada uno, pero les debería pagar 80 soles por día. (Para este sistema se sabe que L=6.0112) Analice la situación y recomiende la mejor alternativa (desde el punto de vista económico)

6 Medidas de rendimiento Símbolo s=1 s > 1 Utilización promedio del sistema Cantidad promedio de clientes en cola Cantidad promedio de clientes en el sistema Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar Tiempo promedio en cola Tiempo promedio de permanencia en el sistema sistema esté vacío Probabilidad que haya n clientes en el sistema. tiempo entre llegadas ocurra entre a y b unidades de tiempo. tiempo de servicio dure entre a y b unidades de tiempo. número de llegadas X sea igual a n en t unidades de tiempo. tiempo de espera en la cola exceda cierta cantidad de tiempo t. tiempo de espera en el sistema exceda cierta cantidad de tiempo t. ρ L P w W q W P 0 2 ( ) W LINEAS DE ESPERA MEDIDAS DE RENDIMIENTO, MODELO M/M/s s s ( / ) P ( s 1)!( s ) W 0 1 s s ( ) ( ) P0 s! s Lq ( ) 1 L 1 P n ρ n P 0 P (a t b) P (a t b) Prob (X=n) P (W q t) P (W t) e e ( 1 ) t ( 1 ) t W q b a 1 b a ; t 0 ; t 0 e e t t L W 1 q 1 s1 i s ( / ) ( / ) s ( ) i0 i! s! s dt e dt e e! ( / ) n! n ( / ) ns s! s b b ( t) n! n e e n P 0 P a a 0 2 n s n>s