MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

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1 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Autors: Ratas Kzys (rzys@uoc.du), Ágl A. Jua (ajuap@uoc.du). ESQUEMA DE CONTENIDOS Hpótss sobr l térmo d prturbacó Hpótss sobr varabls xplcatvas Hpótss sobr los parámtros dl modlo Estmacó MV Hpótss dl MRL Mddas bodad dl ajust Modlo d Rgrsó Lal Múltpl (MRLM) Estmacó MCO Itroduccó a la Ifrca l modlo lal Cotrasts d sgfcacó Prdccó Caso práctco co Mtab Caso práctco co Mtab Caso práctco co Mtab INTRODUCCIÓN Todo studo coométrco s ctra dos plars báscos: la toría y los hchos. La toría prmt drvar u modlo (l modlo coómco) qu sttza la cógta rlvat sobr l fómo (la varabl dóga) objto dl aálss y dl cual drva l modlo coométrco qu prmt mdrlo y cotrastarlo mpírcamt. Los hchos s cocrta ua sr d datos qu domarmos formacó mustral. La mustra, a su vz, cosst ua lsta ordada d valors umércos d las varabls objto d studo. E ua mustra d cort trasvrsal, dvrsos agts coómcos d ua aturalza smlar proporcoa formacó solctada u msmo stat d tmpo. Altratvamt, l vstgador coómco trabaja ocasos co datos d srs tmporals, las qu s dspo d formacó acrca d Proycto -Math Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

2 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl udad coómca, como pud sr u país, ua mprsa, a lo largo d tmpo; stas mustras pud tr frcuca dara, msual, aual, sgú frcuca d obsrvacó d los datos. Ua vz qu s spcfca l modlo y s dspo d la formacó stadístca covtmt tratada, s llga a la tapa sgut dl trabajo coométrco: la tapa d stmacó. Los rsultados d sta tapa d stmacó prmt mdr y cotrastar las rlacos sugrdas por la toría coómca. E st math-bloc postularmos ua sr d hpótss báscas d u modlo d rgrsó múltpl (MRLM) y cosdrmos los prcpals métodos d stmacó bajo dchas hpótss. Vrmos qu los stmadors obtdos mdat l método d mímos cuadrados ordaros (MCO) so ssgados, fcts y cosstts. Admás, utlzarmos la frca basada los cotrasts d hpótss para aprcar stadístcamt ua crta vdca mpírca. Falmt, coocrmos la mportaca dl MRLM la prdccó y proóstco d u crto fómo comprddo por la varabl dóga. OBJETIVOS Coocr la structura dl MRLM. Famlarzars co las hpótss báscas dl MRLM y tdr su mportaca. Coocr los métodos d stmacó dl MRLM, l método d mímos cuadrados ordaros (MCO) y l d máxma vrosmltud (MV). Itroducrs l uso d Mtab para stmar l MRLM mdat l MCO. Sabr cuatfcar trprtar bodad dl ajust dl modlo. Evaluar la cotrbucó d cada varabl xóga xplcar l comportamto d la varabl dóga; cotrastar la sgfcacó dvdual d u parámtro y la global dl modlo. E bas d la stmacó d MRLM, ralzar prdccos putuals y por trvalo d la varabl dóga. CONOCIMIENTOS PREVIOS Apart d star cado l uso dl paqut stadístco Mtab, rsulta muy covt habr lído co profuddad los sguts math-blocs rlacoados co Estadístca: Itrvalos d cofaza y cotrast d hpótss para y poblacos Aálss d rgrsó y corrlacó lal Corrlacó y rgrsó lal múltpl Proycto -Math Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

3 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl CONCEPTOS FUNDAMENTALES Hpótss dl modlo d rgrsó lal múltpl (MRLM) Mdat u modlo d rgrsó lal múltpl (MRLM) tratamos d xplcar l comportamto d ua dtrmada varabl qu domarmos varabl a xplcar, varabl dóga o varabl dpdt, (y rprstarmos co la ltra ) fucó d u cojuto d varabls xplcatvas,,, mdat ua rlacó d dpdca lal (supodo ): β β β U sdo U l térmo d prturbacó o rror Para dtrmar l modlo atror, s csaro hallar (stmar) l valor d los cofcts β, β,, β. La laldad parámtros posblta la trprtacó corrcta d los parámtros dl modlo. Los parámtros md la tsdad mda d los fctos d las varabls xplcatvas sobr la varabl a xplcar y s obt al tomar las drvadas parcals d la varabl a xplcar rspcto a cada ua d as varabls xplcatvas: β ; j j,,. j Nustro objtvo s asgar valors umércos a los parámtros β, β,, β. Es dcr, tratarmos d stmar l modlo d mara qu, los valors ajustados d la varabl dóga rsult ta próxmos a los valors ralmt obsrvados como sa posbl. A f d podr dtrmar las propdads d los stmadors obtdos al aplcar dsttos métodos d stmacó y ralzar dfrts cotrasts, hmos d spcfcar u cojuto d hpótss sobr l MRLM qu hmos formulado. Exst trs grupos d hpótss sguts: las hpótss sobr l térmo d prturbacó, las hpótss sobr las varabls xplcatvas, y las hpótss sobr los parámtros dl modlo. Hpótss sobr l térmo d prturbacó: Para ua mustra d obsrvacos (cada obsrvacó stará formada por ua tupla co los valors d, 3,, y l valor d asocado), tdrmos l sgut sstma d cuacos lals: β β β β β β o, forma matrcal: B U, dod: β β β u u u,, β β B, U β u u u Proycto -Math 3 Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

4 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl E stas codcos, las hpótss dl MRLM s rsum la sfrcdad dl térmo d prturbacó,..: a) El valor sprado d la prturbacó s cro: [ ] E,, b) Homoscdastcdad: todos los térmos d prturbacó t la msma varaza (varaza costat): [ u ] Var[ u ] j u Var j Por tato, todos los térmos d la dagoal prcpal d la matrz d varazas y covarazas srá guals: Var [ U ] c) No Autocorrlacó: los rrors so dpdts uos d otros,..: la matrz d varazas y covarazas s ua matrz dagoal (fura d la dagoal prcpal todo so cros): Var [ U ] Obsrvar qu, bajo las hpótss d homoscdastcdad y o autocorrlacó, la matrz d varazas y covarazas tdrá la forma sgut: Var [ U ] I (I s la matrz dtdad d ord ) d) El rror o prturbacó sgu ua dstrbucó ormal,..: U N (, ) I Hpótss sobr las varabls xplcatvas: a) Las varabls xplcatvas so fjas o dtrmstas. b) La varabls xplcatvas stá o corrlacoadas co la prturbacó alatora. Proycto -Math 4 Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

5 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl c) Las varabls xplcatvas o prsta rlacó lal xacta tr s. d) Admás, supodrmos qu las varabls xplcatvas so mddas s rror. ) E l modlo o s xcluy las varabls rlvats y qu tampoco o s cluy las varabls rrlvats, a la hora d xplcar l comportamto d la varabl dóga. Hpótss sobr los parámtros dl modlo: a) La úca hpótss qu harmos acrca d los parámtros dl modlo s la hpótss d prmaca structural, lo cual qur dcr qu los parámtros poblacoals, β j, s mat costats a lo largo d toda la mustra. Estmacó dl MRLM Estmar l modlo quval asgar valors umércos a los parámtros dscoocdos β, β,, β, a partr d la formacó mustral dspobl d las varabls obsrvabls dl modlo. Úcamt cosdrarmos dos métodos d stmacó: El método d mímos cuadrados ordaros (MCO) El método d máxma vrosmltud (MV) Estmacó por mímos cuadrados ordaros: Sa u modlo forma matrcal B U. Supogamos qu l modlo ha sdo stmado, obtédos Ŷ, vctor d valors d la varabl dpdt mplcado por l modlo. La dfrca tr los valors obsrvados y los valors stmados, B, la domarmos vctor d rsduos. Ahora b, ustro problma cosst mmzar la suma d los cuadrados d rsduos, co rspcto dl vctor d parámtros stmados, B. D st problma d optmzacó s dduc la sgut xprsó d mímos cuadrados ordaros dl MRLM [7]: B ( ) Var B cuya varaza v dada por: [ ] ( ) Admás, l stmador MCO d la varaza dl térmo d prturbacó s: u dod s l úmro d obsrvacos y s l úmro d lmtos dl vctor B. Bajo la hpótss d prturbacos sfércas, l stmador MCO dl vctor B cumpl ua sr d propdads qu l covrt u ssgado (l valor sprado dl stmador cocd co l valor ral dl parámtro), fct (d varaza míma), y cosstt [4]. Proycto -Math 5 Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

6 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl Admás, bajo la hpótss d sfrcdad, l stmador MCO d la varaza dl térmo d rror,, s també ssgado. u Estmacó por máxma vrosmltud: El método d stmacó por MCO cosst asgar valors umércos a los parámtros dscoocdos d mara qu la suma cuadrátca d rrors sa míma y sólo rqur qu la matrz sa vrtbl. A cotuacó vrmos u método d stmacó altratvo, l método d máxma vrosmltud. El método d máxma vrosmltud (MV), cambo, propo como u stmador l valor qu maxmza la probabldad d obtr la mustra ya dspobl. El método MV s basa, práctcamt, la dstrbucó qu sgu l térmo d rror. A tals fctos, s sul supor qu las prturbacos alatoras s dstrbuy co ua dstrbucó Normal qu, admás d cumplr las propdads d ua mustra grad, s ua aproxmacó cómoda y fácl d tratar. El modlo qu utlzarmos s B U, y supodrmos qu l térmo alatoro sgu la dstrbucó Normal co la sgut fucó d dsdad: f u π ( u ) xp,,, N. Maxmzar la probabldad d obtr la mustra ya dspobl quval maxmzar la fucó d dsdad cojuta dl vctor alatoro, u. Para llo, hmos d supor homoscdastcdad y ausca d autocorrlacó. Por tato, la xprsó d la fucó d dsdad cojuta s la sgut: f ( U ) f ( u ) u xp ( π ) Como U sgu ua dstrbucó Normal Multvarat d ord, la varabl, al sr ua combacó lal d las prturbacos alatoras, també s dstrburá co ua dstrbucó Normal Multvarat. Así pus, para qu la fucó d dsdad cojuta sa ua fucó d vrosmltud, l vctor alatoro U ha d xprsars fucó dl vctor, s dcr: L ( ; β, ) ( π ) xp ( β ) ( β ) S trata, por tato, d maxmzar la fucó d vrosmltud. Como la xprsó atror rsulta complcada, aplcarmos ua trasformacó moótoa; cocrto, ua fucó logarítmca: l L ( ) ( ) ( ) ( β ) ( β ) ; β, l π l Drvado la fucó d vrosmltud co rspcto d B y, gualado las drvadas a cro, obtmos los rsultados: Proycto -Math 6 Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD)

7 Modlo d Rgrsó Lal Múltpl Proycto -Math 7 Facado por la Scrtaría d Estado d Educacó y Uvrsdads (MECD) ( ) B MV cuya varaza s la sgut: [ ] ( ) B Var MV. Admás, l stmador MCO d la varaza dl térmo d prturbacó s: MV, dod s l úmro d obsrvacos y s l úmro d lmtos dl vctor B. Obsrvamos qu l stmador d MV d B cocd co l MCO, co lo qu tdrá las msmas propdads: srá lal, ssgado, óptmo y cosstt. Es fácl vr qu l stmador d MV d, cambo, rsulta dfrt dl MCO y o s ssgado auqu sí s astótcamt ssgado. Mddas dl bodad dl ajust Las stmacos por MCO y MV qu hmos ralzado todavía o os prmt valuar la caldad d ajust dl modlo. Para llo, d aquí a dlat rmos vdo las mddas d bodad d ajust. Comzarmos por la suma d los cuadrados d rrors, SCE, qu pud xprsars d varas formas:. B Dspjado la suma d cuadrados d la varabl dóga, quda:, o b,. Rstado a ambos lados la catdad, obtmos:, o b, ( ) ( ). La part zqurda rprsta suma d cuadrados totals (SCT) y o s so la suma d cuadrados d las dsvacos rspcto a su mda artmétca. Por otra part, s l modlo t térmo dpdt, a la catdad ( ) s l doma suma d cuadrados d la rgrsó (SCR). E rsum, la varabldad total d la varabl dóga (SCT) pud dscompors dos parts: la part qu podmos xplcar mdat l modlo spcfcado (SCR) y la part qu o podmos xplcar, la suma d cuadrados d los rrors (SCE).