CONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN CONJUNTA EN EL MBRL

Transcripción

1 Cotrasts d sgfcacó cojuta APNTE DE CLAE ECONOMETRÍA I. DI ECONOMETRÍA E INFORMÁTICA CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJNTA EN EL MBRL Prof. Rafal d Arc Rafal.darc@uam.s I. Cotrast d sgfcacó cojuta dl modlo a partr d ua F d dcor II. Cotrast d rstrccó d parámtros a partr dl tst d Wald mplmtacó E-Vws. III. Cotrasts d sgfcacó cojuta a partr dl cofct d dtrmacó lal R IV. Rlacó tr l cotrast cojuto d parámtros F dcor la R I. CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJNTA DEL MODELO A PARTIR DE NA F DE NEDECOR El objtvo qu s prtd st tpo d cotrast dl modlo, s podr dar ua mdda umérca rprstatva d la capacdad global d todas las varabls xplcatvas para sgur la volucó d la varabl dóga. Para llo, como s habtual toda cotrastacó stadístca, cubrrmos las sguts tapas:. Crar ua rato capaz d sumstraros formacó sobr todos los parámtros dl modlo co u solo úmro.. Dtrmar la fucó d dstrbucó d sta rato. 3. Cotrastar l cumplmto o rchazo d ua hpótss ula a partr d la utlzacó d la fucó d dstrbucó tórca coocda d la rato. coocmos la fucó d dstrbucó d las prturbacos alatoras d u modlo coométrco, dsd la costruccó d ua rato qu las cotga, d u modo u otro, podrá dducrs scllamt la dstrbucó d sta rato a partr dl coocmto d las opracos matmátcas a las qu somtmos a stas varabls alatoras. E l caso dl MBRL hmos platado como hpótss d partda la dstrbucó ormal Gaussaa d las prturbacos alatoras; por lo qu lo úco qu habrá qu comprobar s qué dstrbucó sgu las ormals somtdas a las

2 Cotrasts d sgfcacó cojuta varats matmátcas qu platamos ua rato tutvamt comprsbl como l dl valor mdo stadarzado d todos los parámtros dl modlo. E ustro caso, t trés coocr ua rato qu glob la formacó cotda por todos los parámtros d u modlo. Para llo, partdo d la otacó como vctor x qu hmos dado a los parámtros dl modlo scrto su forma matrcal, podríamos prstar ua mdda dl parámtro mdo stadarzado scrtos al cuadrado para qu o s comps sgos postvos gatvos como sgu: dod o hmos calculado otra cosa qu la suma cuadrada d los parámtros stadarzados a cada uo s l ha rstado su mda s l ha dvddo por su dsvacó típca la suma d u vctor columa traspusto por l msmo o s más qu la suma d las compots al cuadrado. Coocr cuál s la fucó d dstrbucó dl valor mdo d todos los parámtros qu trv u modlo cosdrados d forma cojuta, como ocurr sta rato, s fáclmt dducbl a partr d la costaca d qu los parámtros stmados s dstrbu como ua ormal ; N. Volvdo a la rato scrta más arrba, para podr ralzar l cálculo u modlo cocrto habrá qu dar u valor stmado a la varaza d la prturbacó alatora. Ralzado ua sr d susttucos matmátcas qu l dsarrollo s comta scrtas tr llavs, obtdríamos la fucó d dsdad d la rato ats scrto: F N N, 0, 0, χ χ Por lo qu la rato, qu hmos scrto como l coct tr dos χ, s dstrbu como u F,- cuado s cumpl la hpótss d qu las prturbacos alatoras s dstrbu como ua ormal.

3 Cotrasts d sgfcacó cojuta 3 Coocda la rato qu os globa cojutamt la formacó d todos los parámtros dl modlo su fucó d dstrbucó, podríamos ahora platar u modlo rstrgdo o ua hpótss ula la qu puséramos a pruba l cumplmto d lo qu acabamos d dmostrar. Es dcr, podríamos comprobar s l cálculo d sta rato sgu comportádos como ua F d dcor cuado mpomos algua caractrístca a los parámtros dl modlo. A partr d las tablas d sta dstrbucó, podmos sabr tr qu valors s stúa ua varabl alatora d las caractrístcas d la rato qu hmos costrudo co u 95% d probabldad. l cálculo d sta rato u caso cocrto, aplcado las caractrístcas a los parámtros qu quramos s dcr; cotrastado ua hpótss ula, dja d star comprddo tr los valors los qu lo staría ua F, -, podrmos dcr qu, co u 95% d probabldads, la codcó qu hmos mpusto a los parámtros s falsa. Podmos platar, por jmplo, ua hpótss ula la qu sostgamos qu l valor ral d todos los parámtros s gual a cro, lo qu os srvría para dcr qu gua d las varabls cludas como xplcatvas l modlo s ralmt válda para xplcar la dóga. La hpótss a aplcar a la rato formulada sría tocs H , qu s lo msmo qu dcr todo l vctor d parámtros d las bta rals s gual a cros, co lo qu la rato atror s podría scrbr como: PR [ 0 ][ ][ 0] [ ] ε < < F ε 0 ; E prcpo sta rato dbra sgur comprddo tr los valors tabulados para la F s la rstrccó mpusta s crta; s dcr, s acptamos la hpótss ula. E l caso l qu la mposcó d sta hpótss os dtrmara u valor fura d la F tabulada, staríamos dcdo qu dcha hpótss o s compatbl co lo qu coocmos a cca crta dl modlo a para su dmostracó o habíamos hcho gua hpótss adcoal, lugo dbríamos rchazarla. Esto sría lo msmo qu admtr la hpótss altratva lógca: por lo mos algua d las varabls xplcatvas lgdas sí srv para xplcar l comportamto d la dóga co u 95% d probabldads. Evdtmt, la hpótss d uldad d todos los parámtros dl modlo s dmasado psmsta cuato la spcfcacó dl modlo s haa ralzado co u mímo cudado. Evdtmt, la hpótss altratva srá mu fácl d lograr qu por lo mos algua d los parámtros sa sgfcatvamt dstto d cro. Admás, l térmo dpdt prst l modlo rcogría ua alta carga d xplcacó d la dóga s l rsto d las varabls spcfcadas o fura sgfcatvas, por lo qu, por lo mos ést, sí sría sgfcatvo Cuado o xst formacó dstta para xplcar ua varabl, s fácl dmostrar qu l mjor valor d stmacó d la msma qu s pud dar sría l d su mda, valor qu rcogría l térmo dpdt

4 Cotrasts d sgfcacó cojuta 4 st por d los casos. Dcho sto, l cotrast d sta rato dfíclmt s cumplría co la hpótss majada, a qu l parámtro d la costat sría sgfcatvo. E dftva, st cotrast s práctcamt útl s, al ralzarlo, s plata u hpótss ula qu cotga l térmo dpdt dl modlo. Para podr ralzar sta msma rato sobr u modlo s térmo dpdt, s csaro scrbr dcho modlo lo qu s cooc como dsvacos a la mda qu o s s o ua combacó lal d las cuacos atrors, dl sgut modo: x x x x 3 x3 x3... x x u dado qu la varabl x s u vctor qu sólo clu uos para dar lugar a s térmo dpdt, su mda també srá uo la rsta platada la cuacó supror hará qu l parámtro sté multplcado por cro sta rscrtura quvalt dl modlo cal. El cálculo d la rato atror sría ahora s clur s térmo costat gual a: [ ] F, dod todas las varabls mpladas staría dsvacos a la mda hcho qu matdrmos d ahora adlat, a psar d qu sgamos llamado a las varabls. E sta rato s podría prstar ua hpótss ula a cotrastar más razoabl, qu sría la uldad d todos los parámtros mos l dl térmo dpdt H , sdo d aplcacó todo lo dcho atrormt. La xprsó d la rato majada hasta l momto s pud scrbr d forma rápda d otro modo por ua smpl, auqu algo tdosa, susttucó d los valors stmados d los parámtros por su fórmula d cálculo MCO [ ], d dod obtdríamos la sgut xprsó : dl modlo o costat l caso d qu l rsto d las varabls o srvra absoluto para dfr l comportamto d la dóga. Nóts uvamt qu las fórmulas tr llavs ta sólo so rcordatoros d las opracos aplcadas para obtr los rsultados prstados la dmostracó.

5 Cotrasts d sgfcacó cojuta 5 M I M La rato así prstada s covrt ahora ua proporcó dl rror cuadrátco d la dóga qu quro xplcar; s dcr, ua mdda, crto modo, d la bodad o maldad dl modlo comparacó co la msma rato calculada para u posbl modlo altratvo. Evdtmt, u modlo co guals grados d lbrtad srá tato mjor qu otro altratvo la mdda la qu sta rato d xplcacó cojuta d todas las varabls sa maor lo qu supo, por costruccó, ua mor mportaca d los rrors rspcto a la dóga. F, Evdtmt l cotrast platado t crtas lmtacos, pro la structura d ua F d dcor os srvrá para platar otros cotrasts mos amplos más útls para dtrmar crtas propdads tórcas los parámtros d u modlo, a qu s abr la purta al platamto d hpótss rstrctvas sobr los parámtros qu, l caso vsto, ra dmasado smpls comprobacó d s todos los parámtros dl modlo so gual a cro. II. CONTRATE DE RETRICCIÓN DE PARÁMETRO A PARTIR DEL TET DE WALD El objtvo d st tpo d cotrasts s vrfcar alguos supustos, hchos a pror dsd l campo d vsta tórco, sobr l comportamto d los parámtros stmados. Por jmplo, pud tr trés comprobar s ustros rsultados mpírcos u modlo d produccó cofrma qu dcha produccó prsta ua lastcdad utara o, dcho d otro modo, qu la suma d los parámtros qu afcta al captal al trabajo so guals a uo: α α L K Q Matmátcamt, los cotrasts d rstrccó d parámtros part d la dfrca la suma d rrors al cuadrado tr dos modlos altratvos:

6 Cotrasts d sgfcacó cojuta 6 - modlo s rstrccos, o modlo orgal más amplo a stmar. - modlo rstrgdo, l s mpo u crto valor a algúalguos parámtros p.., qu sa gual a cro o a algua opracó tr llos p.., qu su suma sa gual a uo. Evdtmt, s las rstrccos qu s mpo so crtas, l modlo stmado tdo stas cuta tdrá u rror mor qu l modlo l qu o s t cuta. Por supusto, para comprobar s la dfrca tr dos valors dl rror s sgfcatvamt dstta d cro, coocr la forma la qu s dstrbu ua rato d comparacó tr ambos rrors os prmtrá cotjar s dcha rstrccó s vrosíml o o. Wald propo otra rato mu smlar al vsto hasta ahora para la dtrmacó d la vracdad o o d ua sr d rstrccos mpustas a los parámtros dl modlo orgal. La hpótss ula a cotrastar sría H 0 R r 0, dod R s ua matrz d q x qu rcog las caractrístcas qu xgmos a los parámtros dl modlo p.., qu la suma d todos llos sa gual a uo 3. gudo los msmo pasos qu ats, propo la sgut rato d la suma cuadrada d los parámtros stadarzados sujtos a la rstrccó mpusta: [ ] R r R r W Lo qu s dstrburía como ua χ co q grados d lbrtad sdo q l úmro d rstrccos xgdas al modlo. 3 E s jmplo, podríamos scrbr matrcalmt la rstrccó dl sgut modo: [... ] [ 0] R r. [... ] co ua rstrccó q:qu los parámtros sum uo.

7 Cotrasts d sgfcacó cojuta 7 Dmostrado qu, s s mat la hpótss d qu las prturbacos alatoras s dstrbu como ua ormal l caso dl MBRL, tocs 4 : W q q r r Fq, dod r s la suma d los rsduos al cuadrado d la rgrsó rstrgda aqulla qu corpora las rstrccos sobr los parámtros. r E prcpo, s stá cotrastado la dfrca tr los rsduos d ua rgrsó a la qu s l ha mpusto rstrccos, frt a la orgal. las rstrccos so asumbls l modlo, db habr ua dfrca mu pquña tr los rrors al cuadrado stmados uo u otro caso, por lo qu l valor d la F calculada dbrá sgur sdo pquño star comprddo tr los valors tabulados para ua cofaza dl 95% los grados d lbrtad spcfcados. Nóts qu sta últma xprsó s mu smlar a la obtda falmt como cotrast cojuto d parámtros F-dcor tlzacó dl tst d Wald E-vws a vz obtdo l rsultado d ua rgrsó -vws, sgú los procdmtos habtuals, l programa ofrc la posbldad d ralzar cotrasts dl tpo dl d Wald dtro d las opcos ua vz ralzada ua rgrsó: Vw - Coffct Tst Wald Coffct Rstrctos. Como jmplo d aplcacó, ttarmos stmar las lastcdads dl cosumo prvado gasto acoal d los hogars o GTOHOGNAC at los prcos d dcho cosumo LOGPRECI_CON la rta dspobl d los hogars dstada al cosumo LOGRENTA, para lo cual ralzamos la rgrsó d dchas varabls logartmos, obtédos así co los parámtros las lastcdads. 4 Como a s dmostró M, dod N 0; I, por lo qu M χ

8 Cotrasts d sgfcacó cojuta 8 Dpdt Varabl: LOGGTOHOGNAC Mthod: Last quars ampl: 980: 00: Icludd obsrvatos: 86 Varabl Coffct td. Error t-tatstc Prob. C LOGPRECI_CON LOGRENTA R-squard Ma dpdt var Adjustd R-squard D. dpdt var E. of rgrsso Aa fo crtro um squard rsd chwarz crtro Log llhood F-statstc Durb-Watso stat ProbF-statstc Estmada la lastcdad prco rta dl cosumo, s plata s la suma d ambas s gual a uo, hcho qu db cumplrs para qu s matga l prcpo d qu toda la rta dstada al cosumo fctvamt s gasta st f. La rstrccó sría tocs qu los parámtros d las varabls xplcatvas todos mos la costat ha d sumar uo. E l modlo qu hmos stmado, sgú lo rprsta -vws, la rstrccó qu dbmos cotrastar sría Dod: CC3 LOGGTOHOGNAC CC* LOGPRECI_CONC3* LOGRENTA Para obtr los rsultados dl tst d Wald, sgurmos los pasos ats ctados Vw - Coffct Tst Wald Coffct Rstrctos. qu s cutra la vtaa d la salda d rgrsó; abrédos tocs l cuadro d dálogo qu s obsrva la fgura d más abajo.

9 Cotrasts d sgfcacó cojuta 9 E st cuadro habrá qu clur la rstrccó paramétrca a cotrastar; ustro caso: CC3 pulsar OK; obtédos la sgut salda: Wald Tst: Equato: ttld Null Hpothss: CC3 F-statstc Probablt Ch-squar Probablt Podmos afrmar sta rstrccó dl modlo CC3 como crta co u 30% d probabldad a ssu cotraro, sólo podríamos rchazarla co u 70% d probabldads qu, como o llga al 95%, o s sufct.

10 Cotrasts d sgfcacó cojuta 0 III. CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJNTA A PARTIR DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN LINEAL R La R rprsta la proporcó d la varaza d la varabl dóga ral qu v xplcada por la varaza d la varabl stmada. Es dcr: R abdo qu l Modlo Básco d Rgrsó Lal s cumpl qu la varaza d la dóga cocd co la suma d la varaza d la stmada más la varaza dl rror 5 :, la xprsó d la R s sul xprsar dl sgut modo: R Exprsó d la qu s pud xtrar las sguts coclusos: 5 Partdo d las varabls dsvacos a la mda a cada ua d llas s ls habría sustraído prvamt su corrspodt mda: I M I M M 0 ` E dftva, llgamos a qu, dod, s dvdmos ambos lados d la gualdad por l úmro d datos dspjamos, obtmos:, a qu las varabls staba dsvacos a la mda, lugo las rsultats tdría mda cro 5.

11 Cotrasts d sgfcacó cojuta - E l mjor d los casos posbls, la varaza d la dóga cocdría co la varaza d la stmada, caso qu l valor d la varaza dl rror sría gual a cro la R tomaría l valor gual a uo. - A mdda qu la varaza d la stmada sa más dfrt d la varaza d la dóga ral, rá aumtado l valor d la varaza dl rror, sdo l puto máxmo qu ésta puda tomar 0, dod la R valdría cro. - E dftva, la sguda xprsó d la R s pud trprtar como l porctaj d la varaza ral rcogda por la stmada a qu, d ést, s dduc l porctaj qu supo l rror. E cualqur caso, st porctaj d la varaza xplcada d la dóga stará claramt codcoado por l úmro d xplcatvas mpladas l modlo. Atédoos al prcpo d parqudad stadístca, parc adcuado qu para comparar tr dos modlos co dstto úmro d varabls s tga cuta st hcho, palzado aquél qu cuta co u maor úmro d xplcatvos. Por sta razó s mpla habtualmt la R ajustada, calculada dvddo cada valor stmado por sus grados d lbrtad la fórmula atror: R R A partr d sta xprsó, s fácl dtrmar qu l valor d la R cuadrado smpr srá supror al d la R cuadrado ajustada. IV. RELACIÓN ENTRE EL CONTRATE CONJNTO DE PARÁMETRO F NEDECOR LA R Partdo d la púltma xprsó aalzada para l cotrast F-dcor: F, s tmos cuta, como dcíamos ats, qu la varaza o s ssbl a los cambos d org, s dvdmos umrador domador por l úmro d obsrvacos la xprsó atror: F,

12 Cotrasts d sgfcacó cojuta dvdmos ahora domador umrador por la varaza d la dóga:, F A partr d la xprsó d R : R R La F s podría scrbr como:, R R F podo así rlacó ambos cotrasts d sgfcacó cojuta.