APLICACIONES DE LA CHI-CUADRADO: TABLAS DE CONTINGENCIA. HOMOGENEIDAD. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA

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1 Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emrsarals Dartamto d Ecoomía Alcada Profsor: Satago d la Fut Frádz APLICACIONES DE LA CHI-CUADRADO: TABLAS DE CONTINGENCIA. HOMOGENEIDAD. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA

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3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LA CHI CUADRADO Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emrsarals Dartamto d Ecoomía Alcada Profsor: Satago d la Fut Frádz Al aalzar ua oblacó u caráctr cualtatvo o cuattatvo l studo rsulta muy tdoso or l gra úmro d lmtos dl qu costa la oblacó. Gralmt, s xama ua mustra tomada d la oblacó, lo qu llva a tr ua sr d datos, y vr hasta qué uto la mustra s ud cosdrar rtct a ua dstrbucó tórca coocda. Smr xstrá dsvacos tr la dstrbucó mírca u obsrvada y la dstrbucó tórca. S lata la custó d sabr s stas dsvacos so dbdas al azar o al habr tomado ua dstrbucó tórca adcuada. CONTRASTE DE BONDAD DEL AJUSTE El objtvo dl cotrast d bodad dl ajust s sabr s ua mustra rocd d ua oblacó tórca co dtrmada dstrbucó d robabldad. Sa ua oblacó, dod s aalza u caráctr X co (x, x,, x ) modaldads k xcluyts, dotado or s l úmro d lmtos qu rsta la modaldad x (frcuca obsrvada d x ), k Por otra art, sa. la frcuca srada o tórca d cada modaldad x S orga la TABLA DE CONTINGENCIA: X x x x xk Frcuca obsrvada k Frcuca srada ( ) ( ) ( ) ( ) k La dstrbucó tórca rrsta a S lata la hótss ula H : la dstrbucó mírca u obsrvada Para u vl d sgfcacó (o rsgo) : S acta H : ( ) k stadístco obsrvado stadístco tórco,(k ) S rchaza H : ( ) k stadístco obsrvado stadístco tórco,(k )

4 El stadístco ( ) k k (útl l cálculo) OBSERVACIONES DE LA APLICACIÓN a) El tst d la s ud alcar stuacos dod s dsa dcdr s ua sr d datos (obsrvacos) s ajusta o o a ua fucó tórca rvamt dtrmada (Bomal, Posso, Normal, tc.) b) Es csaro qu las frcucas sradas d las dsttas modaldads o sa fror a cco. S algua modaldad t ua frcuca srada mor qu cco s agrua dos o más modaldads cotguas ua sola hasta cosgur qu la frcuca srada sa mayor qu cco. c) Los grados d lbrtad d la dd dl úmro d arámtros qu s csta hallar ara obtr las frcucas sradas. E st stdo, s s rqur hallar arámtros, los grados d lbrtad so (k ) s las modaldads so ddts y (k ) cuado las modaldads so xcluyts. TABLAS CONTIGENCIA: CONTRASTE DE DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA Cuado s dsa comarar dos caractrs (X, Y) ua msma oblacó qu admt las modaldads: X(x, x,, x,, x ) Y(y, y,, y,, y ), s toma ua mustra k j m d tamaño, rrstado or l úmro d lmtos d la oblacó qu rsta la modaldad x d X y d Y. j X Y y y yj ym m j x j m x j m x m x k k k kj km k k j j m No xst dfrca tr las S lata la hótss ula H : dstrbucos mírcas d X Y

5 Bajo la hótss ula, cada frcuca obsrvada (,,k ; j,, m) d la tabla d cotgca (k x m) hay ua frcuca srada ( ) qu s obt mdat la xrsó: x j., dod x j Agruado frcucas obsrvadas y sradas la tabla d cotgca (k x m) : X Y y y yj ym m j x ( ) ( ) j ( ) j m ( ) m x ( ) ( ) j ( ) j m ( ) m x ( ) ( ) ( ) m ( ) m x k k ( ) k k j k ( ) k kj ( ) kj km ( ) km j m k Las codcos csaras ara alcar l tst d la Ch-cuadrado xg qu al mos l 8% d los valors srados d las cldas sa mayors qu 5. Cuado sto o ocurr hay qu agruar modaldads cotguas ua sola hasta lograr qu la uva frcuca sa mayor qu cco. E ua tabla d cotgca d x srá csaro qu todas las cldas vrfqu sta codcó, s b la ráctca sul rmtrs qu ua d llas tga frcucas sradas lgramt or dbajo d 5. El stadístco d cotrast obsrvado: aroxmadamt ua Ch-cuadrado co ( ) k m qu sgu (k). (m) j (k ) x (m ) grados d lbrtad. 3

6 Para u vl d sgfcacó s ud cotrastar la dfrca sgfcatva tr las dos dstrbucos mírcas o la ddca d las dstrbucos mírcas. CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD S acta S rchaza H s : o H s : o stadístco obsrvado ( ) k m j k m j stadístco tórco,(k).(m) stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco,(k).(m) CONTRASTE DE INDEPENDENCIA Hótss ula H : Las dstrbucos mírcas X Y so ddts S acta S rchaza H s : o H s : o stadístco obsrvado ( ) k m j k m j stadístco tórco,(k).(m) stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco,(k).(m) TABLAS CONTIGENCIA x y x 3 Para las tablas d cotgca x y x3 s obt fórmulas scllas d la utlzado úcamt las frcucas obsrvadas X Y y y x x (.. )... S acta H : S rchaza, H :, 4

7 X Y y y y 3 x 3 x S acta H : S rchaza, H :, Cofct d CONTINGENCIA Es ua mdda dl grado d rlacó o ddca tr dos caractrs la tabla d cotgca, s df: C C Mayor valor d C dca u grado d ddca mayor tr X Y FACTOR d corrccó d YATES Advértas qu como la mustra 4 s hac acosjabl l uso d la Ch-cuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó,5,5 Para ua tabla d cotgca d x la corrccó d Yats:.. la corrccó o s válda cuado..... E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. 5

8 Tst G d la razó d vrosmltud El tst d cotrast d ddcas or la razó d vrosmltuds (tst G) s ua ruba d hótss d la Ch-cuadrado qu rsta mjors rsultados qu l d Parso. S dstrbuy astótcamt co ua varabl alatora co (k ).(m ) grados d lbrtad. S df l stadístco G l k m j S acta la hótss ula H s G l k m,(k ).(m ) j Tst d McNmar El tst d McNmar s utlza ara dcdr s s ud actar o o qu dtrmado tratamto duc u cambo la rsusta d los lmtos somtdos al msmo, y s alcabl a los dsños dl to ats-dsués los qu cada lmto actúa como su roo cotrol. Cosst obsrvacos d ua varabl alatora bdmsoal (X, Y) La scala d mdcó ara X Y s omal co dos catgorías, tals como ostvo o gatvo, hmbra o macho, rsca o ausca, qu s ud domar y. X Y Total a b a b c d c d Total a c b d Los casos qu mustra cambos tr la rmra y sguda rsusta aarc las cldllas b y c. U dvduo s clasfcado la cldlla b s camba d a, la cldlla a cuado la rsusta s ats y dsués, la cldlla d cuado la rsusta s ats y dsués. Hótss ula H : El tratamto o duc cambos sgfcatvos las rsustas E l tst d McNmar ara la sgfcacó d cambos solamt trsa coocr las cldas b y c qu rsta cambos. Pusto qu b+c s l úmro d dvduos qu cambaro, bajo l suusto d la hótss ula, s sra qu (b + c) / casos camb ua drccó y (b + c) / casos camb otra drccó. 6

9 Estadístco d cotrast s b+c<: b s acta McNmar H s b McNmar /, Estadístco d cotrast s b+c : McNmar (b c) b c s acta H s (b c) b c McNmar /, La aroxmacó mustral a la dstrbucó Ch-cuadrado s más rcsa s s ralza la corrccó d cotudad d Yats (ya qu s utlza ua dstrbucó cotua ara aroxmar ua dstrbucó dscrta). El stadístco corrgdo: McNmar bc b c s acta H s bc b c McNmar /, Cofcts dstrbucos dcotómcas Los cofcts más utlzados varabls dcotómcas so los d corrlacó h y Q d Yul. Estos cofcts t alguas rodads comus d trés: a) Está ormalzados, las magtuds o dd dl tamaño d la tabla. b) So muy ssbls a la dstrbucó mírca obsrvada, traducdo coctracos d casos alguas cldas magtuds. c) T u rcorrdo tórco tr [-, ] dcado stuacos d asocacó rfcta y d ddca stadístca. Los cofcts y Q d Yul s dfrca la ssbldad rcoal: a) El cofct alcaza su máxmo valor sólo cuado ua d las dos dagoals s ha vacado. b) El cofct Q s muy ssbl a la xstca d ua clda qu térmos rlatvos s stá vacado. Su valor máxmo s alcaza cuado ua clda o hay gú caso, sto s lo qu s cooc como ssbldad rcoal. X Y y y Total x a b (a +b) x c d (c + d) Total (a + c) (b + d) () 7

10 Cofct Ph: adbc (a b)(c d)(a c)(b d) Cofct Q d Yul: adbc Q ad bc Q Tst xacto d FISHER S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca srada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado alcar l tst d la, auqu sí l tst xacto d Fshr. El tst xacto d Fshr rmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado quña y o cuml las codcos csaras ara qu la alcacó dl tst d la Ch-cuadrado sa dóa. X Y y y Total x a b (a +b) x c d (c + d) Total (a + c) (b + d) () Las codcos csaras ara alcar l tst d la Ch-cuadrado xg qu al mos l 8% d los valors srados d las cldas sa mayors qu 5. D st modo, ua tabla d cotgca d x srá csaro qu todas las cldas vrfqu sta codcó, s b la ráctca sul rmtrs qu ua d llas tga frcucas sradas lgramt or dbajo d 5. El tst xacto d Fshr s basa valuar la robabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s ud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d stas robabldads s obt bajo la hótss d ddca d las dos varabls qu s stá aalzado. La robabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados v dada or: (a b)! (c d)! (a c)! (b d)!! a! b! c! d! La fórmula gral d la robabldad dscrta dbrá calculars ara todas las tablas d cotgca qu uda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. 8

11 El valor d la asocado al tst xacto d Fshr ud calculars sumado las robabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la robabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. El latamto s blatral, s dcr, cuado la hótss altratva asum la ddca tr las varabls dcotómcas, ro s scfcar d atmao qué stdo s roduc dchas dfrcas, l valor d la obtdo s multlca or. INTERPRETACIÓN DE DATOS S ha ralzado u studo sobr la stuacó laboral d las mujrs y su stado cvl, los datos obtdos furo: Trabajo Estado cvl rmurado Casada Soltra S No Total Total Los rsultados obtdos l aálss d la tabla d cotgca furo: Estadístcos Valor -valor Ch-cuadrado Parso 5,63436,75 Ch-cuadrado d Yats 4,54897,357 Tst G 5,789645,89 Ch-cuadrado NcNmar,94,978 Corrlacó Ph -,685643,78 Q d Yul -,8345 Co u vl d sgfcacó =,5, s d: a) S cutra asocada la stuacó laboral d la mujr a su stado cvl? b) Gralmt, las mujrs qu ralza u trabajo rmurado co soltras? Solucó: a) Para aalzar la ddca o o d la stuacó laboral d la mujr co su stado cvl (asocacó tr varabls catgórcas ua tabla d x) s utlza l tst d la χ d Parso, co o s corrccó d Yats, l tst G d razó d vrosmltuds. El tst d McNmar mo s ud utlzar st caso or o tratars d mustras aradas (ats-dsués). Establcdo las hótss: 9

12 H : La stuacó laboral d la mujr s ddt d su stado cvl. H: La stuacó laboral d la mujr dd d su stado cvl. Los trs stadístcos rmros, basados la χ, rsta u -valor <,5, co lo qu s rchaza la hótss ula H, cocluydo qu la stuacó laboral d la mujr stá asocada a su stado cvl. b) Partdo d qu la stuacó laboral d la mujr s cutra asocada a su stado cvl, falta or dtrmar la drccó d dcha asocacó, ara lo qu s rcurr al cofct d corrlacó Ph y la Q d Yul. Ambos stadístcos so gatvos, co u -valor <, 5, uddo afrmar qu la corrlacó tr la stuacó laboral y l stado cvl d las mujrs s vrsa y sgfcatva al 5%. S ud coclur qu la stuacó laboral d la mujr (sí sta trabajado) sta asocada a las soltras, co u vl d sgfcacó dl 5%.

13 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE.- Para comrobar s los oraros cotraba dfcultads co ua rsa maual d mrmr, s hzo ua ruba a cuatro oraros aotado l úmro d atascos sufrdos al troducr l msmo úmro d hojas, dado lugar a la sgut tabla: Oraro A B C D Total Obstruccos Co u vl d sgfcacó dl 5%, xst dfrca tr los oraros? Solucó: Establcdo la hótss ula H : 'o xst dfrca tr los oraros' La robabldad d qu s atascas ua hoja sría / 4 ara todos los oraros. D st modo, l úmro d atascos srados ara cada uo d llos sría ( ).,,4 Tmos, la tabla d cotgca x 4: Oraro A B C D Total Obstruccos 6 () 7 () 9 () 8 () 4 (4) S acta la hótss ula, a u vl d sgfcacó s k ( ) k k ; k k úmro trvalos stadístco tórco stadístco cotrast o b, la rgó d rchazo d la hótss ula: R co lo cual, k ( ) ;k Co l vl d sgfcacó (, 5 ), l stadístco tórco: 7, 85 sdo 3 9 7, 85, 5 ; 3 s vrfca la rgó d rchazo., 5 ; 3 E coscuca, s rchaza la hótss ula, cocluydo qu xst dfrca sgfcatva tr los oraros rscto al úmro d atascos la rsa d mrmr.

14 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA POISSON CON PARÁMETRO DESCONOCIDO..- E u laboratoro s obsrvó l úmro d artículas qu llga a ua dtrmada zoa rocdts d ua sustaca radactva u corto saco d tmo smr gual, obtédos los sguts rsultados: Númro artículas Númro ríodos d tmo 4 S ud ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó d Posso, co u vl d sgfcacó dl 5%? Solucó: S stablc la hótss ula H : 'La dstrbucó mírca s ajusta a la Posso' La hótss ula s acta, a u vl d sgfcacó s ( ) k k k ; k stadístco tórco stadístco cotrast dod k úmro trvalos úmro arámtros a stmar o b, la rgó d rchazo d la hótss ula: R k ( ) ;k La dstrbucó d Posso s caractrza orqu sólo dd dl arámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = 'úmro d artículas' y = 'úmro d ríodos d tmo' x x P(x k),3, ,69 3 6, ,6 5,6 = x 59 x, 49, coscuca,, P(x k) k! k, k,,5

15 Las robabldads co qu llga las artículas k,,, 5 s obt k,. susttuydo los valors d k P(x k), o b las tablas co, k! Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas sradas (. ) x Frcucas ( = 48,) ( = 77,8) 4 ( = 6,7) 3 ( = 4,7) 4 ( =,8) 5 ( = 3, 5) 6 = 49.,3 = 48, = 49.,364 = 77,8 = 49.,69 = 6,7 3 = 49.,867 = 4,7 = 49.,6 =,8 = 49.,6 = 3, dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, dod hay qu agruar las dos últmas columas or tr la últma columa frcucas sradas mors qu cco. Por tato, s t la tabla d cotgca x 5: x 3 4 y 5 Frcucas ( = 48,) ( = 77,8) 4 ( = 6,7) 3 ( = 4,7) 4 ( = 5,8) 5 Así, los grados d lbrtad so trs ( k 5 3) El stadístco d cotrast: 5 5 ( ) ,3 3 48, 77,8 6,7 4,7 5,8 El stadístco tórco: 7,85,5 ; 3 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mayor qu l stadístco tórco ( 7,85), rchazádos la hótss ula, s dcr, la dstrbucó NO s ud ajustar a ua dstrbucó d Posso a u vl d sgfcacó dl 5%. k ( ) S vrfca la rgó d rchazo: R 3,3 7,85 ;k 3

16 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA NORMAL CON PARÁMETROS DESCONOCIDOS. 3.- Para ua mustra alatora sml d 35 días, l úmro d urgcas tratadas daramt u hostal A quda rfljado la sgut tabla: Nº urgcas Total días Nº días Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, s la dstrbucó dl úmro d urgcas tratadas daramt l hostal A s ajusta a ua dstrbucó ormal. Solucó: Para ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó ormal N(, ) d arámtros dscoocdos, s csta stmar los dos arámtros rcurrdo a los stmadors máxmo-vrosímls: ( ˆx, ˆ ), dod la varabl alatora X = ' úmro d urgcas daras'. S stablc la hótss ula x H : 'La dstrbucó mírca s ajusta a la ormal' S acta la hótss ula, a u vl d sgfcacó s ( ) k k k ; k stadístco tórco stadístco cotrast dod k úmro trvalos úmro arámtros a stmar S obt la mda y la dsvacó tíca: Itrvalos x x. x. 5, , ,5 3656,5 5, , ,5 993,75 5, , ,5 6 = = 35 6 = = 6 = x = 575 x. = 86437,5 6 x = x = = 4, (x x) x. = = σ = = (x ) = 36,7 x σ =6,6 x 4

17 S rocd al ajust d ua dstrbucó ormal N(4,5 ; 6,6), hallado las robabldads d cada uo d los trvalos: Itrvalos =. ( ) ( ) / 5,498 7,43 6,6, ,74 59,99 5,,4 5,33 5,8 33,76,3 5 95,867,35 8,6,9 5 6,396 48,86 4,,54 5 3,366,8 7,9,6 = 35 6 ( ) / =4,57 = 4,5 x 4,5 5 4,5 P(<x<5)=P < < =P(,39 < z <,57) = 6,6 6,6 6,6 = P(,57 < z <,39) = P(z >,57) P(z >,39) =, 58, 84 =, ,5 x 4,5 4,5 P(5 < x <) = P < < = P(,57 < z <,74) = 6,6 6,6 6,6 = P(,74 < z <,57) = P(z >,74) P(z >,57) =,96, 58 =,74 4,5 x 4,5 5 4,5 P(<x<5)=P < < =P(,74 < z <,8) = 6,6 6,6 6,6 = P(,8 < z <,74) = P(z >,74) P(z >,8) =,468,96 =,33 5 4,5 x 4,5 4,5 P(5 < x < ) = P < < = P(,8 < z <,9) = 6,6 6,6 6,6 =P(z>,8) P(z >,9) =,468,84 =,867 4,5 x 4,5 5 4,5 P(<x<5)=P < < =P(,9<z<,73)= 6,6 6,6 6,6 =P(z>,9) P(z >,73) =,84,48 =, ,5 x 4,5 3 4,5 P(5<x<3)=P < < =P(,73<z<,56)= 6,6 6,6 6,6 = P(z >,73) P(z >,56) =,48,5 =,366 S calcula las frcucas sradas, multlcado las robabldads or l úmro total d datos. 5

18 S calcula l stadístco d cotrast, dod l úmro d grados d lbrtad s k (º trvalos) (º arámtros a stmar) 6 3, co lo cual, ( ) 4, Por otra art, l stadístco tórco 7,85,5 ; 3 Como 4,57 7,85, s acta la hótss ula a u vl d 3,5 ; 3 sgfcacó dl 5%. E coscuca, la varabl alatora úmro d urgcas l hostal A sgu ua dstrbucó N(4,5 ; 6,6). 6

19 CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD. 4.- Para coocr la oó d los cudadaos sobr la actuacó dl alcald d ua dtrmada cudad, s ralza ua custa a 44 rsoas, cuyos rsultados s rcog la sgut tabla: Dsacurdo D acurdo No cotsta Mujrs Varos Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, qu o xst dfrcas d oó tr hombrs y mujrs at la actuacó dl alcald. Solucó: S trata d u cotrast d homogdad l qu s dsa comrobar s las mustras rocd d oblacos dsttas. S t dos mustras clasfcadas trs vls, dod s dsa coocr s los hombrs y mujrs rocd d la msma oblacó, s dcr, s s comorta d mara smjat rscto a la oó d la actuacó dl alcald. La hótss ula: H :'No xst dfrca tr hombrs y mujrs rscto a la oó' Rgó d rchazo d la hótss ula: R rchazo (k ). (m ) ; (k ).(m ) S forma ua tabla d cotgca x 3: E cada frcuca obsrvada ( ),,k ; j, la tabla d cotgca s t ua frcuca tórca o srada, m x j qu s calcula mdat la xrsó:., dod so las robabldads d qu u lmto tomado d la mustra rst las modaldads x d X y j d Y. Mujrs Varos Dsacurdo D acurdo No cotsta 84 ( = 99, 5) 8 ( =, 5) 78 ( = 68,96) 6 ( = 7, 3) 37 ( = 3,53) 3 5 ( = 3, 46) j 4 6 = = 99, = = 68, = = 3,

20 5. = =, = = 7, = = 3, El stadístco d cotrast: 3 j ( ) (). (3), co lo qu, 3 ( ) (84 99,5) (78 68,96) (37 3,53) (8,5) (6 7,3) χ = = ,5 68,96 3,53,5 7,3 = j= sgu ua (5 3,46) + = 9, 76 3,46 co dos grados d lbrtad s s crta la hótss ula co 5, j ; caso cotraro sría csaro agruar flas o columas cotguas. El stadístco d cotrast: ( ) k m k m (k ). (m ) j j 3 = j= = = 9, 76 99,5 68,96 3,53,5 7,3 3, 46 El stadístco tórco 5,99,5 ; Como 9, 76 5, 99 s cuml la rgó d rchazo, cocluydo qu las,5 ; mustras o so homogéas, s dcr, o rocd d la msma oblacó, hombrs y mujrs o oa lo msmo. 8

21 CONTRASTE DE INDEPENDENCIA. 5.- Novctos ccuta scolars s clasfcaro d acurdo a sus hábtos almtcos y a su cofct tlctual: Cofct Itlctual < Total Nutrcó bua Nutrcó obr Total A u vl d sgfcacó dl %, hay rlacó tr las dos varabls tabuladas? Solucó: S trata d u cotrast d ddca tr l cofct tlctual y los hábtos almtcos. S stablc las hótss: H :'Las dos varabls studadas so ddts' H :'Exst ddca tr las dos varabls' El stadístco d cotrast: ( ) k m k m (k ).(m ) j j Sdo la rgó d rchazo d la hótss ula: R rchazo (k ). (m ) ; (k ).(m ) E la tabla d cotgca x 4 ara cada frcuca obsrvada ( ),,k ; j,, m s t ua frcuca tórca o srada qu s calcula mdat la xrsó: x j Nutrcó bua Nutrcó obr Cofct Itlctual < ( = 5, 46) 3 ( = 3, 53) 8 ( = 33,5) 7 ( =, 74) 77 ( = 73,8) 3 3 ( = 6, ) 3 9 ( = 9,47) 4 ( = 9, 5) j = = 5, = = 33, = = 73, = = 9,

22 8. 76 = = 3, = =, = = 6, = = 9, El stadístco d cotrast: χ = = = 9,75 3 5, 46 33,5 73,8 9, 47 3,53,74 6, 9,5 = j= ó b, 4 ( ) (45 5,46) (8 33,5) (77 73,8) (9 9,47) χ = 3 = , 46 33,5 73,8 9, 47 = j= (3 3,53) (7,74) (3 6,) ( 9,5) = 9,75 3,53,74 6, 9,5 sgu ua co trs grados d lbrtad s s crta la hótss ula co 5, j ; caso cotraro sría csaro agruar flas o columas cotguas. El stadístco tórco 6,5, ; 3 Como 9, 75 6,5 s cuml la rgó d rchazo, cocluydo qu s 3, ; 3 rchaza la ddca, habdo or tato ddca stadístca tr l cofct tlctual y la almtacó. 6.- Trs métodos d maqutado d tomats furo robados durat u ríodo d cuatro mss; s hzo u rcuto dl úmro d klos or qu llgaro stroados, obtédos los sguts datos: Mss A B C Total Total a) Obsrvado smlmt los datos, qué s ud frr sobr l xrmto? b) Co u vl d sgfcacó d,5, comrobar qu los trs métodos t la msma fcaca. Solucó:

23 a) Co la sml obsrvacó d los datos, l maqutado A arc sr l mjor, ya qu s l qu mos klos d tomats stroados tuvo. Ahora b, sta stuacó ud sr gañosa, ya qu hay qu tr cuta l úmro d klos qu s maqutaro. Para tomar ua dcsó sobr s hay dfrca tr los dfrts métodos d maqutado, s cotrasta la hótss ula H :'No xst dfrca tr los métodos d maqutado' b) La hótss ula H :'No xst dfrca tr los métodos d maqutado' S acta H s: k m (k ). (m ) ; (k ). (m ) j S forma la tabla d cotgca 3 x 4, dod x j Emaqutado Mss 3 A B C Total 6 ( 6, 35) 8 ( 7, 8) 8 ( 7, 3) 3 ( 9, ) (, 9) 8 (, 39) 3 (, 6) 3 ( 3, ) 3 4 (, 8) 33 6 (6) 3 (3) 3 (3) (4 9, 5) (4 3, 5) (43 5, 97) (39) Total ,35 7,8 3 7,3 4 9, ,,9 3,39 4 3, ,65 3 3, 33,8 43 5, Estadístco d cotrast: El stadístco tórco o srado: 8,4 7,4 (3). (4) j,59,5 ; 6

24 Sdo, 4,59, l stadístco obsrvado s mor qu l 6,5 ; 6 stadístco tórco o srado, or tato, o s cuml la rgó d rchazo, cocluydo qu los trs métodos d maqutado t la msma fcca. 7.- Ua mrsa multacoal dsa coocr s xst dfrcas sgfcatvas tr sus trabajadors dsttos aíss l grado d satsfaccó l trabajo- Para llo s toma mustra alatoras smls d trabajadors, obtdo los sguts rsultados: Satsfaccó l trabajo Muy satsfcho Satsfcho Isatsfcho Muy satsfcho Esaña 3 3 Fraca Itala Pud admtrs co u vl d sgfcacó dl 5% qu la satsfaccó l trabajo s smlar los trs aíss? Solucó: La hótss ula H :'Las roorcos d los trabajadors co los dsttos grados d S acta H : satsfaccó so guals los trs aíss' ( ) k m k m (k ). (m ) ; (k ). (m ) j j Rgó d rchazo d la hótss ula: R rchazo (k ). (m ) ; (k ). (m ) S forma la tabla d cotgca 3 x 4 dod cada frcuca obsrvada ( ) x j,,k ; j,,m t ua frcuca tórca o srada

25 Esaña Fraca Itala Satsfaccó l trabajo Muy satsfcho Satsfcho Isatsfcho Muy satsfcho 3 3 ( 4,86) ( 85, 7) ( 57, 4) ( 4, 9) 3 ( 33, 8) 35 ( 83, 33) 3 4 ( 38, 95) 3 ( 333, 33) ( 34, 86) 3 5 ( 3) ( 5, 38) 4 5 ( 33, 33) 34 Total 9 (9) () 5 (5) Total Estadístco obsrvado: ( ) (3 ). (4 ) j j ,86 85,7 57,4 4,9 33,8 38,95 34,86 5, ,55 83,33 333, ,33 Estadístco tórco:, 59,5 ; (3 ).(4 ),5 ; 6 Como 49, 55, 59 s rchaza la hótss ula d homogdad d 6,5 ; 6 las trs mustras. Es dcr, la satsfaccó l trabajo d los mlados d los trs aíss s sgfcatvamt dstta. 8.- Las comañías d sguros d automóvls sul alzar sus rmas a los coductors más jóvs, co l crtro qu éstos so más rosos a tr u mayor úmro d accdts. E bas a la tabla adjuta, co u vl d sgfcacó dl 5%, cotrastar s l úmro d accdts s ddt d la dad dl coductor. Edad dl coductor Númro d accdts al año o mos más d Solucó: Hótss ula H :'El úmro d accdts sufrdos or los coductors o dd d la dad dl coductor' 3

26 S acta H : k m k m ( ) (k ). (m ) ; (k ). (m ) j j Rgó d rchazo d la hótss ula: R rchazo (k ). (m ) ; (k ). (m ) S forma la tabla d cotgca 3 x 5 dod cada frcuca obsrvada ( ),,k ; j,,m t ua frcuca tórca o srada caso d ddca x j Edad dl coductor 5 o mos 6 35 más d 36 Númro d accdts or año ,75, ,87 6,5 6, , 3 4, , , ,5 4 6,6 34 7, , , ,69 m j 5 (5) 95 (95) 55 (55) k j ,75 6,5 3 4,37 4 6,5 5 39, , , , , , , , 33 5,9 34 7, 35 4, Estadístco obsrvado: ( ) (3 ). (5 ) 8 j j ,75 6,5 4,37 6,5 39,37,37 6,6 5, 44 6,6 4, ,5 34,87 7, 5,9 7, 4,69 Estadístco tórco: 5, 57,5 ; (3 ). (5 ),5;8 4

27 Como 43,5 5,57 s rchaza la hótss ula d ddca 8,5 ; 8 tr la dad dl coductor y l úmro d accdts. E coscuca, la dad fluy sgfcatvamt l úmro d accdts al año. 9.- E dos cudads, A y B, s obsrvó l color dl lo y d los ojos d sus habtats, cotrádos las sguts tablas: Ojos Plo Rubo Cudad A Cudad B No Rubo Ojos Plo Rubo No Rubo Azul 47 3 Azul 54 3 No azul 3 93 No azul 4 8 a) Hallar los cofcts d cotgca d las dos cudads. b) E cuál d las dos cudads odmos afrmar qu hay mayor ddca tr l color dl lo y d los ojos? Solucó: a) S calcula los valors d la corrsodts a las dos obsrvacos, sdo x j la frcuca srada Ojos Azul No azul Plo Cudad A Rubo No Rubo Total 47 ( 8, 4) 3 ( 49, 85) 3 ( 4,85) 93 ( 74,4) 7 (7) 4 (4) Total ,4 4, ,85 74, Estadístco d cotrast: χ = χ = - = = 33,7 (-). (-) 8,4 4,85 49,85 74,4 = j= El cofct d cotgca: 33,7 C = =,386 A 33, E la oblacó B, la tabla d cotgca x : 5

28 Ojos Azul No azul Plo Cudad B Rubo No Rubo Total 54 ( = 39, 5) 4 ( = 56, 85) 3 ( = 44,85) 8 ( = 65, 5) 84 (84) () Total ,5 44, ,85 65,5 6 6 Estadístco d cotrast: ,8 (). () 39,5 44,85 56,85 65,5 j 7,8 El cofct d cotgca: C,8 B 7,8 6 b) Como l cofct d cotgca md l grado d rlacó o ddca tr las varabls, afrmamos qu la oblacó A hay mayor ddca tr l color d los ojos y dl lo.. E ua mustra alatora d rsoas s aalza alguos hábtos d la vda, habdo rcogdo datos d las sguts varabls: X = Estado gral d salud: muy buo (3), buo (), rgular (), malo () X = Sxo: mujr (), hombr () X = Nvl dl jrcco daro: tso (), modrado (), guo () 3 Ralzadas las tablas d cotgca corrsodts, s calcularo los sguts stadístcos ara cotrastar la asocacó: a) (X, X ) 8 b) (X, X ) 4,5 3 (X, X ) 6, 3 Co la formacó facltada, a u vl d sgfcacó dl 5%, laborar u dagóstco ara cada ua d las arjas d varabls. Solucó: Calculado los -valor( ) d cada stadístco s obt: a) H : X X so ddts 6

29 E (X, X ) 8 l úmro d grados d lbrtad s x (4 ) ( ) 3 P( 8). Itrolado la tabla d la Ch-cuadrado:,3,5,5, 5, 5 7,85 9,348 7,85 8 9,348, 5 8 9,348 (, 5) x (7,85 9,348) (, 5, 5) x (8 9,348), 469 Sdo,469,5 s rchaza la hótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud stá asocado al sxo. b) H : X X so ddts 3 E (X, X ) 4,5 l úmro d grados d lbrtad s x 3 ( ) (3 ) P( 4,5). Itrolado la tabla d la Ch-cuadrado:,,9,,9,, 4,65, 4,5 4,65, 4,5 4,65 (,) x (, 4,65) (,9,) x (4,5 4,65),9 Sdo,9, 5 s acta la hótss ula, cocluydo qu l sxo s ddt dl vl dl jrcco daro. c) H : X X so ddts 3 E (X, X ) 6, l úmro d grados d lbrtad s (4 ) x(3 ) 6 3 P( 6,). Itrolado la tabla d la Ch-cuadrado:,6,9,,9,,4,645,4 6,,645, 6,,645 (,) x (,4,645) (,9,) x (6,,645),53 Sdo,53, 5 s acta la hótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud s ddt dl vl dl jrcco daro. 7

30 . Para curar crta frmdad s sab qu xst cuatro tratamtos dfrts. Alcados or sarado a u gruo dstto d frmos, s ha obsrvado los sguts rsultados: Efrmo Tratamtos Curados No curados Total A B C D S ud cosdrar qu la fcaca d los cuatro tratamtos s la msma co u vl d cofaza dl 95 or? Solucó : S trata d u cotrast d homogdad d cuatro mustras, co 83, 56, 87 y 84 rsoas, d las cuals hay, rsctvamt, 6, 46, 7 y 54 rsoas curadas. S stablc la hótss ula H : Los cuatro tratamtos (mustrals) so d la msma fcaca Lo qu llva a afrmar qu la roorcó d rsoas curadas cada mustra s 3 / 3,74 y las o curadas q,74,58, dod x Efrmo Tratamtos Curados No curados A 6 3 B 46 C 7 7 D ( = 6,58) 56 ( = 4,55) 87 ( 3 = 64,55) 84 ( 4 = 6,3) 4 ( ) (6 6,58) (46 4,55) (7 64,55) (54 6,3), ( ),55 x 8, 9 4 xq,74x,58 8

31 Sdo 8, 9 7,85 3,5;3 s rchaza la hótss ula, s dcr, los tratamtos a fctos d curar a los acts, a u vl, 5, t dfrt fcaca. Solucó : S stablc la hótss ula H : Los cuatro tratamtos (mustrals) so d la msma fcaca Es ua tabla d cotgca 4x, co ua frcuca tórca O. x O j Efrmo Tratamtos A B C D Curados No curados O 6 (6,58) 46 (4,55) 7 (64,55) 54 (6,3) 3 (,4) (4,45) 7 (,45) 3 (,68) O j x3 56x3 87x3 84 x3 6,58 4, ,55 4 6, x8 56x8 87x8 84 x8,4 4,45 3,45 4, (O ) (6 6,58) (3, 4) (46 4,55) (4). () 6,58, 4 4,55 j ( 4, 45) (7 64,55) (7, 45) (54 6,3) (3,68) 8, 9 4, 45 64,55, 45 6,3,68 La xrsó atror s odía habr ralzado d forma más sclla co la gualdad: 4 4 (O ) O (4). () 6,58, 4 4, j j , 9 64,55, 45 6,3,68 9

32 Como 8, 9 7,85 3,5;3 s rchaza la hótss ula, s dcr, los tratamtos a fctos d curar a los acts, a u vl, 5, t dfrt fcaca.. E l gráfco s rsta la valuacó dl stado gral d salud d ua mustra d rsoas adultas mayors, sgú sa su so ormal o sobrso. Co los datos dl gráfco, co u vl d sgfcacó dl 5%, aalzar la xstca d ua rlacó sgfcatva tr l so y l stado gral d salud l adulto mayor. Solucó: a) S trata d dos varabls dcotómcas, co datos d frcuca, udédos alcar ua ruba d cotrast d asocacó co la Ch-cuadrado. La hótss ula H : El stado d salud y l so so ddts Llvado la formacó a ua tabla d cotgca d x Estado d Salud Buo Malo Normal (9, 4) 4 (6, 59) Pso Sobrso 8 (,59) (7, 4) Total () 4 (4) Total La frcuca obsrvada 4 s mor qu lo acosjabl cada clda ( 5 ), lo qu odría hacr sar ua stabldad dl cálculo. 3

33 Como la frcuca srada 6,59, todas las cldas cuml co l mímo acosjabl d 5 su valor srado. E la ráctca s acta hasta u % d las cldas qu o cuml co l rqusto d qu la frcuca srada sa 5 S calcula los valors d la frcuca srada corrsodts a las dos obsrvacos, sdo la x ,4,59 6, j ,4 8 Estadístco d cotrast: 8 4 χ = χ = -= =3,7 (-). (-) 9,4,59 6,59 7,4 = j= Estadístco tórco: 3,84,5, Como χ = 3,84 s acta la hótss ula, cocluydo qu l stado 3,7,5, gral d salud dl adulto mayor o stá asocado a su so. Advértas qu como la mustra 4 s hac acosjabl l uso d la Chcuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó,5,5 Para ua tabla d cotgca d x la corrccó d Yats:.. la corrccó o s válda cuado..... E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. E st caso, 34 x 8x4 x4 x6x8 34,3 Como χ =,3 3,84 s acta la hótss ula.,5, La valdz dl cotrast també s ud hacr co l -valor ( ): 3

34 P,3,7,,9,,9,, 58,76,58,3,76,,3, 76 (,) x (, 58,76) (,9,) x (,3,76),7 Al sr,7, 5 s rchaza la hótss ula, afrmado qu l stado gral d salud dl adulto mayor s ddt d su so. 3. U xrmto ara vstgar l fcto d vacuacó d amals d laboratoro rflja la sgut tabla: Vacua Amal laboratoro Efrmo No Efrmo Vacuado 9 4 No Vacuado 8 8 Co u vl d sgfcacó d,5, Es covt vacuar?. Solucó: Hótss ula H : Es ddt la vacua d los amals frmos Vacua Amal laboratoro Efrmo No Efrmo Total Vacuado No Vacuado Total E ua tabla d cotgca d rcurrdo a las frcucas obsrvadas. x s ud calcular la d ua forma sclla Estadístco obsrvado: , El úmro d grados d lbrtad s ( ) x( ) Estadístco tórco: 3,84,5, 3

35 Sdo 5,557 3,84 s rchaza la hótss ula, s dcr, la vacua,5, afcta a la frmdad, co u vl d sgfcacó, 5 4. Para aalzar la rrcusó qu t los dbats tlvsvos la tcó d voto, u quo d vstgacó rcogó datos tr 4 dvduos ats y dsués dl dbat, rsultado la sgut tabla: Ats dl dbat (caddatos) Dsués dl dbat (caddatos) A B Total A 46 (a) 5 (b) 96 (a +b) B 85 (c) 59 (d) 44 (c + d) Total 3 (a + c) 9 (b + d) 4 () S dsa sabr s l dbat tlvsvo cambó la tcó d voto, co u vl d sgfcacó dl 5%. Solucó: S trata d ua mustra arada ua stuacó ats-dsués, co lo qu s dóo u cotrast stadístco Ch-cuadrado d McNmar. Sa la hótss ula H : La tcó d voto s la msma ats y dsués dl dbat Estadístco mustral: (85 5) 9,74 McNmar 85 5 Estadístco tórco: 5,4 /,,5, Como 9,74 5,4 s rchaza la hótss ula, cocluydo qu la McNmar,5, tcó d voto cambó sgfcatvamt dsués dl dbat, co u vl d sgfcacó dl 5%. 33

36 5. S dsa aalzar s los studats d uvrsdads rvadas rfrtmt so d los stratos coómcos altos dl aís. Para llo, s ha tomado la sgut mustra: Uvrsdads Gruos sococoómcos Alto Mdo alto Mdo bajo Bajo Estado Prvadas 38 9 a) Para valdar l aálss co u vl d cofaza dl 95%, ralzar u cotrast or la razó d vrosmltud (tst G). b) Estudar l grado d ddca tr l to d uvrsdad y l strato sococoómco. Solucó: a) El tst d cotrast d ddcas or la razó d vrosmltuds (tst G) s ua ruba d hótss d la Ch-cuadrado qu rsta mjors rsultados qu l d Parso. S dstrbuy astótcamt como ua varabl alatora co (k ).(m ) grados d lbrtad. S df l stadístco k m G l j S acta la hótss ula H s G l k m,(k ).(m ) j Hótss ula H : El to d uvrsdad s ddt dl gruo sococóomco E u rco, la tabla rsta u 5% d cldas qu o vrfca qu las frcucas sa mayors qu 5, tdo qu agruar modaldads cotguas ua sola hasta lograr qu la uva frcuca sa mayor qu cco. Uvrsdads Gruos sococoómcos Alto Mdo alto Mdo bajo - Bajo Estado Prvadas S calcula los valors srados d cada clda, dod x j 34

37 Uvrsdads Estado Prvadas Gruos sococoómcos Alto Mdo alto Mdo bajo - Bajo 3 (9,6) 38 (3,74) 7 (3,59) 9 (, 4) 7 (4,5) 4 (6,85) Total 37 (37) Total (6) ,6 3,59 4, ,74,4 6, La frcuca srada 3 = 4,5<5, valor mímo rcomdado ara la ruba. E u caso ráctco s admt hasta u % d las cldas qu o vrfca st rqusto, como ocurr st caso. E cada clda s calcula l valor d x l Uvrsdads Gruos sococoómcos Alto Mdo alto Mdo bajo - Bajo Total Estado 5, 3,8 3,66,35 Prvadas 6,84 3,4,5,55 Total,73,66,5 3,9 3 9,6 3 x l 5, 38 3,74 38 x l 6,84 7 3,59 7 x l 3,8 9, 4 9 x l 3,4 7 4,5 7x l 3,66 4 6,85 4x l,5 El stadístco obsrvado 3 G l x3,9 7,8 j El úmro d grados d lbrtad s ( ).(3 ) El stadístco tórco 5,99,5, Como G 7,8 5,99, s rchaza la hótss ula d ddca,,5, cocluydo qu l to d uvrsdad stá asocado al gruo sococoómco. La valdz dl cotrast també s ud hacr co l -valor ( ): 35

38 P 7,8,7,,5,, 5, 7,378 7,84 7,378 7,8 7,84, 7,8 7,84 (, ) x (7,378 7,84) (, 5, ) x (7,8 7,84), 6 Al sr, 6, 5 s acta la hótss ula, afrmado qu l to d uvrsdad dd dl strato sococoómco. b) El grado d cotgca md l grado d rlacó o ddca: C G 7,8 C,75 G 7,898, hay ua ddca dl 7,5%. 6. La tabla adjuta rflja u aálss d la obsdad 4 sujtos. Co u vl d sgfcacó d,5, s dsa aalzar s xst dfrcas la rvalca d obsdad tr hombrs y mujrs o s, or l cotraro, l orctaj d obsos o varía tr sxos. Sxo Sí Obsdad No Total Mujrs (a) 4 (b) 5 (a +b) Hombrs 7 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () Solucó: El tst xacto d Fshr rmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado quña y o cuml las codcos csaras ara qu la alcacó dl tst d la Ch-cuadrado sa dóa. Las codcos csaras ara alcar l tst d la Ch-cuadrado xg qu al mos l 8% d los valors srados d las cldas sa mayors qu 5. D st modo, ua tabla d cotgca d x srá csaro qu todas las cldas vrfqu sta codcó, s b la ráctca sul rmtrs qu ua d llas tga frcucas sradas lgramt or dbajo d 5. S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca srada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado alcar l tst d la, auqu sí l tst xacto d Fshr. 36

39 El tst xacto d Fshr s basa valuar la robabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s ud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d stas robabldads s obt bajo la hótss d ddca d las dos varabls qu s stá aalzado. La robabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados v dada or: (a b)! (c d)! (a c)! (b d)!! a! b! c! d! La fórmula gral d la robabldad dscrta dbrá calculars ara todas las tablas d cotgca qu uda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. El valor d la asocado al tst xacto d Fshr ud calculars sumado las robabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la robabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. Cuado l latamto s blatral, s dcr, cuado la hótss altratva asum la ddca tr las varabls dcotómcas, ro s scfcar d atmao qué stdo s roduc dchas dfrcas, l valor d la s multlca or. E st caso, latado la hótss ula H : El sxo y sr obso so ddts Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 4 (b) 5 (a +b) Hombrs 7 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () (ab)!(cd)!(ac)!(bd)! 5!9!8!6!, 599! a! b! c! d! 4!! 4! 7!! Las sguts tablas mustra todas las osbls combacos d frcucas qu s ud obtr co los msmos totals d flas y columas: Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 4 (a) (b) 5 (a +b) Hombrs 4 (c) 5 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 (),98 (ab)!(cd)!(ac)!(bd)! 5!9!8!6!,98! a! b! c! d! 4! 4!! 4! 5! 37

40 Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 3 (b) 5 (a +b) Hombrs 6 (c) 3 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 (),797 Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 3 (a) (b) 5 (a +b) Hombrs 5 (c) 4 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 (), 496 (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6!,496! a! b! c! d! 4! 3!! 5! 4! Sxo Sí Obsdad No Total Mujrs (a) 5 (b) 5 (a +b) Hombrs 8 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 (),3 Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 5 (a) (b) 5 (a +b) Hombrs 3 (c) 6 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 (),8 Sumado las robabldads d las tablas qu so mors o guals a la robabldad d la tabla obsrvada (,599 ) s t:, 599, 3, 8, 99 Sdo valor,99,5 s acta la hótss ula, cocluydo qu l sxo y l hcho d sr obso so ddts, s dcr, o xst asocacó tr las varabls studo, co u vl d sgfcacó, 5 Otro método d calcular l -valor cosst sumar las robabldads asocadas a aqullas tablas qu sa más favorabls a la hótss altratva d los datos obsrvados. La tabla xtrma d los datos obsrvados s la qu o s obsrva gua mujr obsa,,3, 599, 3, 69 38

41 El SPSS ara l cómuto dl tst d Fshr, calcula l -valor corrsodt a la altratva blatral ( x, 99,88) y l -valor asocado a u latamto ulatral (, 99). 39

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