FACULTAD DE ECONOMÍA, U.V. PRIMER EXAMEN DE ECONOMETRÍA 1 Profesor: Carlos Pitta Arcos. Grupos 401 y 402

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1 FACULTAD DE ECONOMÍA, U.V. PIME EAMEN DE ECONOMETÍA Profsor: Carlos Ptta Arcos. Grupos 40 y 40 Paorama Gral: El am costa d 5 problmas, co ua podracó fal d 00 putos (pts). Para facltarl l cálculo dl valor margal dl tmpo, l am t ua duracó d 00 mutos, s dcr, ua hora cuarta mutos. EL EAMEN DEE ENTEGASE JUSTO CUANDO FINALICE EL TIEMPO. SI LO ENTEGA ENTE 0 MINUTOS DESPUÉS, SEÁ PENALIZADO CON 5 PUNTOS. Nad pud trgar l am más d 0 mutos dspués d la hora d palzacó. La cudadosamt cada ua d las prgutas. El am pud cotr trampas, sobr todo la sccó d Falso/Vrdadro, l stdo d qu u comtaro pud cotr ua afrmacó vrdadra (falsa) y s mbargo la rspusta qu s pd pud sr falsa (vrdadra). Sa fct l uso dl tmpo. Ua bua stratga s ddcar uos mutos para dtrmar qué sab y qué o sab, vdtmt rspoddo a lo qu sab más prmro (co l mor cosumo d tmpo posbl) y dstar l tmpo fal a lo qu ustd o rcurda ta claramt. Sa Claro y Ordado, l ayudará a gaar putos. Smpr comc u uvo problma ua uva hoja. PONGA SU NOME EN TODAS LAS HOJAS QUE UTILICE. El Profsor NO ESPONDE PEGUNTAS ESPECÍFICAS, sólo térmos grals, voz alta frt al grupo y sobr la rdaccó dl problma (admás rcurd qu al prgutar prd tmpo) Espro buas otas, así qu Muchísma Surt ================================================================= Problma (0 pts): Modlo Smpl. A ustd l cata la coomtría y para profudzar sus ya avazados coocmtos, s covrt asstt d vstgacó d u profsor muy famoso por sus trabajos mpírcos. Ést, coct d sus habldads stadístcas, l carga ralzar ua rgrsó qu ustd plca l Tpo d Cambo al () a través dl comportamto d la absorcó (ésta s l cosumo más la vrsó más l gasto d gobro). Ustd lo hac, s mbargo, dbdo a qu l Cogrso o pasó la lgslacó prsdcal para promovr la vrsó l Sctor Eléctrco, lo plla u apagó y prd toda la formacó, cpto la sgut salda d E-Vws: Varabl Dpdt: Tpo d Cambo al Método: Mímos Cuadrados Ordaros Fcha: /Mayo/0 Hora: 5:38 Mustra: Obsrvacos Icludas: 3 Varabl Cofct Error Std. Estadístco T Prob. C ASOCIÓN Cuadrado Mda Var. Dpdt Cuadrado Ajustado Error Estádar 0.90 Error Estádar Estadístco F Suma Error Cuadrado Prob(Estadístco F) Afortuadamt, ustd s u tórco probado coomtría. (0 pts) Complt la salda d Evws atror, 4 pts por cada spaco llado. Trabaj co 4 dcmals, por lo mos, y a lo más co 7.

2 Problma (30 pts): Epítom d Ifrca Estadístca. spoda s las sguts afrmacos so Falsas, Vrdadras o Icrtas. Eplqu porqu s falsa o o. 3 Pts por cada rspusta corrctamt plcada. S o plca y acrta, sólo l cotará puto.. E l Modlo Smpl, s s pudra lgr tr dos mustras d valors para la varabl, ua co dsvacos d la mda Σ =0 y otra co Σ =00, dbríamos lgr la sguda porqu la prcsó al stmar por MICO srá mayor.. La combacó lal d dos varabls alatoras qu s dstrbuy χ, també s dstrburá χ. 3. Las prubas d hpótss sobr la pdt d la rgrsó stá basados la dstrbucó t d studt co (-) grados d lbrtad, por lo tato s rqur qu l stmado s dstrbuya ormal. 4. Tato para como para stmados, utlzamos la dstrbucó t d studt co (-) grados d lbrtad, pro sto s dbdo a qu stamos utlzado [Σ /(-)*Σ ] como stmador d la varaza. Por lo tato, al aumtar la probabldad d comtr rror tpo I, també aumto la probabldad d comtr rror tpo II. 5. Al usar MICO, s garatza por las Codcos d Prmr Ord qu Σ =0. S mbargo, sto o smpr s así. 6. La dsgualdad d Cauchy-Schwarz garatza qu [E() ] E( )E( ). Como = [E(y) ] / E( )E(y ), s garatza qu 0. Por lo tato, u <0 s mposbl. 7. Para probar ua hpótss s csaro coocr la dstrbucó d probabldad dl stmador dl parámtro sobr l qu s dsa ralzar la pruba. 8. S los rrors ua rgrsó smpl o s dstrbuy forma ormal, MICO dja d sr l Mjor Estmador Lal Issgado, pro sgu sdo Issgado. 9. S tgo u Valor d Jarqu ra gual a, y admás u valor d t d studt gual a 4, tocs co crtza pudo rchazar H 0 : =0 y o rchazar H : El supusto d ormaldad d los rrors, admás d prmtr hacr frca stadístca, s muy útl porqu rafrma l Torma d Gauss-Markov. Por lo tato, dado st supusto, los stmadors d MICO so MELI. Problma 3 (0 pts): E l modlo: a) Prub: H o : α =0 H : α 0 S Jarqu-ra = π (7 pts) 0 Co =30 y =0.9, b) La msma hpótss, co los msmos datos, l msmo modlo, pro cosdrado ahora qu l valor d Jaqu-ra ascdó a 7π (3 pts) E ambos casos lja u α = 0.05 y cosdr qu π = curd admás, qu l úmro 7 s u úmro prmo.

3 Problma 4 (30 pts): La sgut Matrz Smétrca proporcoa formacó sobr las sumas d las varabls dcadas: , 5,4 97,3 Para u vl d sgfcaca dl 5%, ralc las sguts prubas d hpótss. Asgúrs d platar adcuadamt la hpótss ula y la altratva, d scrbr l crtro para l rchazo o l o rchazo d la hpótss altratva, d dfr claramt l valor crítco (grados d lbrtad y sgfcaca) d la Fucó d Probabldad rqurda, y falmt d aotar la coclusó d la pruba, (S chaza ó o s chazar H 0 ). Utlc l foqu d la pruba d sgfcaca todos los casos.. H 0 : =0 Utlzado t d Studt (4 pts). H 0 : = Utlzado t d Studt (4 pts) 3. H 0 : σ =9 Utlzado χ (4 pts) 4. H 0 : =0 Utlzado t d Studt (4 pts) 5. H 0 : =0 Utlzado F d Fshr (4 pts) S l dc qu la vrdadra dsvacó stádar s gual a π, Qué mpacto t sta uva formacó sobr las prubas atrors? ( pts) Cambará la mara d probar las hpótss y? E caso afrmatvo ralc d uvo las hpótss y (6 pts) Cambará la mara d probar la hpótss 3? Porqué sí o porqué o? ( pts) PISTA GENEAL: curd qu la cuacó fudamtal d la varaza total EN DESVÍOS s: y, así qu tal vz qura, auqu sto o l cut putos, calcular prvamt los parámtros y, así como l para facltar sus cálculos postrors. Problma 5 (0 pts): Eplqu tutvamt y dmustr matmátcamt porqué cuado la hpótss a probar s: H 0 : =0 H : 0 Es quvalt usar u tst t o u tst F. Comtar la tucó s mportat, pro o s lmt a comtar, l gruso d los putos s gaa mdat la dmostracó matmátca. (0 pts)

4 SECCIÓN DE ESPUESTAS # Lo mportat aquí ra coocr y domar las fórmulas fudamtals d rgrsó smpl qu hmos aprddo hasta l momto. Para los valors d t sabmos qu: ~ t Lo qu bajo la hpótss ula quda: t Por lo tato, ( /0.4589) = , s la cuacó fudamtal qu os prmt calcular cualqur valor d t, d la dsvacó stádar o dl cofct, s uo d llos faltara. Así msmo, l sgudo valor qu falta s l d =( *-5.396) = El rsum d todos los valors faltats s prsta a cotuacó: Varabl Dpdt: Tpo d Cambo al Método: Mímos Cuadrados Ordaros Fcha: /Mayo/0 Hora: 5:38 Mustra: Obsrvacos Icludas: 3 Varabl Cofct Error Std. Estadístco T Prob. C ASOCION Cuadrado Mda Var. Dpd Cuadrado Ajustado Error Est. Var. Dpd Error Estádar Estadístco F Suma rror cuadrado Prob(Estadístco F) Para hallar, había qu cotrar ats la Suma d Errors al Cuadrado, a partr d la fórmula dl rror stádar: (0.756) *(3 ) y calcularlo como SCE/SCT = y dod hmos y aprovchado l dato dl rror stádar d la varabl dpdt para calcular la varaza y total, s dcr, ( y) (0.90) (3 ) y Falmt, ua vz obtdo l podmos calcular l stadístco F mdat la Fórmula: ( ) F ~ F, #. Vrdadro. Dbdo a qu la suma d dsvacos al cuadrado d la varabl s cutra l domador d la varaza, tr más grad sa, más baja srá la dsvacó stádar dl stmador.

5 . Vrdadro. vsamos clas u torma qu dmustra qu la suma d J- Cuadrado s dstrbuy també J-Cuadrado. 3. Vrdadro. La dmostracó qu hcmos clas s basaba la dstrbucó ormal d los s; s sto o s cumpl, l rsto d la dmostracó tampoco. 4. Falso. Auqu la prmra part dl ucado s vrdadra, so o t ada qu vr co la sguda part dl ucado, qu s vdtmt falso, porqu al aumtar la probabldad d comtr rror Tpo I (bajar los valors crítcos d t) raldad dsmuy la probabldad d comtr rror Tpo II. curd l gráfco suprpusto d dos dstrbucos d probabldad, ua bajo H 0 y la otra bajo H. 5. Vrdadro. Como ustd rvsó l capítulo 6 dl Gujarat, varas ocasos, partcularmt l modlo s costat, o s garatza qu la suma d los rrors sa cro. 6. Falso. D uvo, para l modlo s costat, l dcador tradcoal d s adcuado, por lo qu varos autors propo cluso uvas formas d. Dado qu la fórmula tradcoal d o s aplca a st modlo, tampoco s aplca la dmostracó basada Cauchy-Schwarz. 7. Vrdadro. Las dmostracos hchas clas stá basadas l supusto d qu los parámtros dstrbuy ormal, por lo tato mplamos l stadístco t d Studt dspués d mplar ustro stmador ssgado d varaza. No smpr dbrmos hacr sta gca, pro por lo mos dbmos coocr cómo dstrbuy, auqu o sa ormal smpr podrmos stmar la dstrbucó fal usado l cálculo, pro o podrmos hacrlo s o tmos ua bas d dod partr. 8. Falso. Cuado dmostramos l torma d Gauss-Markov uca cstamos hacr algú supusto sobr la dstrbucó d los rrors. Por lo tato, s éstos o so ormals los stmadors MICO so au MELI, pro dja d sr MEI porqu ya o alcaza la cota d Cramr-ao. 9. Falso. U valor d t ta alto s muy buo, porqu d plao podmos rchazar la hpótss ula d o sgfcaca stadístca dl parámtro, A ECEPCIÓN d qu los rrors o dstrbuya ormal, como por jmplo cuado tmos u valor d J ta alto. E st caso, o podmos hacr gua frca stadístca. 0. Falso. Como vmos, adcoado l supusto d ormaldad d los rsduos s garatza qu los stmadors MICO alcac la cota d Cramr-ao, lo qu los covrt uos stmadors suprcosstts. Por lo tato, dja d sr MELI y s trasforma MEI, los Mjors Estmadors Issgados. # 3 a) Dado qu J= π, o corrmos rsgos d qu los rrors o s dstrbuya ormal y podmos procdr como habtualmt. Podmos ocupar probar la ( ) hpótss mdat u tst F mdat la fórmula F ~ F, la qu, al fal d los cálculos, obtmos u F=5. uscado Tabla para, 8 grados d lbrtad, tmos u F tórco d 50. Como F calculado > F tabla, chazo Ho. b) Como J= 7π, o podmos hacr frca, o podmos probar gua hpótss. Qu l úmro 7 sa prmo o o s formacó rrlvat.

6 # 4 El prmr paso sría hallar las mdas, st caso Mda()=45 y Mda()=7, para dspués calcular más fáclmt los parámtros stmados: Dspués s útl calcular la suma d rrors al cuadrado, mdat la fórmula: Dspués, para l cálculo d las hpótss, hay qu rcordar qué: y por tato qu st caso s gual a Para probar H 0 co t, tdríamos qu t = (.8/7.64) = 0.97, lo qu s u valor d t muy bajo, por lo tato t calculado <t tabla por lo tato, NO ECHAZO H 0, s dcr, l parámtro o s stadístcamt sgfcatvo.. Para la sguda hpótss, tmos qu calcular la dsvacó stádar d, qu s: qué st caso s gual a , por lo qu l valor dl stadístco t sría: t = (0.86-)/ = E st caso, sí val la pa chcar la tabla, qu para u alfa d 5% y 0 grados d lbrtad da u valor dl stadístco t d.8. Por lo tato, y dado qu lo qu cuta s l valor absoluto, podmos coclur qu t calculado > t tabla, por lo tato ECHAZO H 0, y l s stadístcamt dfrt d. 3. Para la trcra hpótss, rcordmos qu dbmos utlzar la dstrbucó J- Cuadrado. Aquí su valor crítco s: , qu hay qu cotrastar co los dos valors crítcos dl J-Cuadrado, qu st caso so, χ = y χ = Dado qu l valor crítco qu hmos calculado,.8, ca dtro d st trvalo, NO ECHAZAMOS H 0, y la varaza sí s gual a 9 térmos stadístcos. 4. La cuarta hpótss s muy fácl y s rduc a cotrar l valor crítco d t, st caso, t = 0.86/ = Dado qu s muy alto, podmos coclur qu t calculado > t tabla, por lo tato ECHAZO H 0, y l s stadístcamt dfrt d La últma hpótss os pd usar l stadístco F. E st caso, s más fácl mdat su forma térmos dl, pro dsd lugo, para llo dbmos prmro

7 calcularlo. E st caso, y, co llo, podmos utlzar la fórmula dl F ) ( F, valor qu, comparado co l F crítco d 4 s supror, por lo tato F calculado > F tabla, por lo tato, ECHAZO H0, y l modlo su cojuto s stadístcamt sgfcatvo. La uva formacó dsd lugo qu camba la mara d probar las hpótss y, pus ahora ya o hay csdad d mplar la dstrbucó t d studt y podmos probar las hpótss co la dstrbucó ormal. El asuto s ta aburrdo, y ustd ta furt sus cursos prvos d frca stadístca, qu o s prsta la pruba formal. E cuato a la últma prguta, vdtmt s ustd cooc la formacó vrdadra sobr la varaza o csta adars hacdo prgutas spcultatvas. Es dcr, squra t qu hacr pruba d hpótss algua, d la msma forma qu ustd o hac la hpótss H 0 : 4 = 4 vrsus H : 4 4; l 4 s 4, y o pud dfrr d sí msmo. # 4 La bas d sta dmostracó s l torma stadístco qu dc qu t k = F,k, y tdr qu ua t d studt s l fodo ua ormal dvdda por la raíz cuadrada d ua J- Cuadrado, así: ) ( ) ( t t Pro, asumdo crta H 0, =0, por lo tato, la cuacó atror quda como:, F t k k Qu s justamt la msma fórmula a la qu habíamos llgado clas cuado dmostramos, mdat l uso d la otra dfcó d F por mdo d J- Cuadrados, qu 0 =0 també podía probars mdat ua pruba F d Fshr.