Variables aleatorias discretas

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1 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 Variabls alatorias discrtas istribució Biomial: Muchos rimtos alatorios satisfac las siguits codicios: l rimto cosist d rubas, sido fio. Las rubas so idéticas y cada ruba hay sólo dos rsultados osibls, qu domiarmos Éito y Fracaso F. Ua ruba d st tio s domia sayo d Broulli. Las rubas so iddits, s dcir qu l rsultado d ua ruba o ifluy sobr l d las otras. La robabilidad d Éito P s mati costat todas las rubas. fiició: U rimto qu satisfac stos cuatro rqurimitos s domia rimto Biomial. mlos: S arroa ua moda vcs y s llama Éito al sucso sal cara. S arroa u dado quilibrado vcs y s llama Éito al sucso s obti u as. 3 S arroa vcs u dardo a u blaco circular d radio R, l cuál coti l ctro u círculo d radio R/4 y s domia Éito al sucso l dardo imacta l círculo ctral. 4 S tra 4 bolillas co rosició d ua ura qu coti bolillas blacas y 3 gras y s domia Éito al sucso las 4 bolillas so blacas. s l qu sigu u rimto Biomial? S tra bolillas si rosició d ua ura qu coti bolillas blacas y 3 gras y s domia Éito al sucso la bolilla traída s blaca. O, o lo s ya qu si domiamos B i al sucso la i-ésima bolilla traída s blaca, 4 P B B P B 7 y, or lo tato o s vrifica la trcra codició. ralidad tamoco s vrifica la sguda ya qu las rubas o so idéticas la comosició d la ura varía. Obsrvmos qu, si mbargo la cuarta codició s satisfac. Variabl alatoria biomial: Cosidrmos u rimto biomial qu cosist d rticios y l cual P. omiarmos v.a. biomial a la variabl otació: ~ Bi,. : úmro d éitos las rticios. 8 37

2 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 38 Calculmos su fució d robabilidad utual. Para llo, obsrvmos rimr lugar qu R {,,,...,}. Sa R, ua scucia osibl co éitos y - fracasos s: 33 F F y su robabilidad, dada la iddcia d las rticios, s. Pro, hay scucias osibls cotido éitos, tocs } {,,..., P Vrifiqumos qu. fcto,. Hmos usado la fórmula dl Biomio d wto: b a b a. Fució d distribució: Si ~ Bi,, [ ] > < F si si si dod [] dota la art tra d. mlo: Suogamos qu s arroa u dado quilibrado vcs y s llama Éito al sucso s obti u as. La v.a. : úmro d ass los tiros ti distribució Biomial d arámtros y /6, o sa ~ Bi,/6, tocs F F P P

3 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 39 sraza y variaza d ua variabl alatoria biomial: Sa ~ Bi,, y V m: l caso, s ua v.a. Broulli y ya hmos dmostrado qu st caso, y V -. Sa ahora >, -. Rcordmos qu. V

4 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 ralidad, ara qu la dmostració atrior sa válida db sr, ro s imdiato vrificar qu, si, y or lo tato la rsió hallada s válida ara todo. Fialmt, V l siguit gráfico s mustra la fució d robabilidad utual corrsodit a la distribució Biomial ara distitos valors d y. Pud obsrvars cómo la distribució s simtriza a mdida qu tid a.. Cómo sría los gráficos ara valors d >.? Bi,. Bi,. Bi, Bi, Bi, Bi, Bi, Bi, Bi,

5 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 l siguit gráfico s mustra la fució d robabilidad utual corrsodit a la distribució Biomial ara distitos valors d y. Bi,. Bi,. Bi, Bi, Bi,. Bi, Bi, Bi,.9 Bi,

6 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 Variabl alatoria Gométrica: Suogamos qu s rit forma iddit u sayo d Broulli co robabilidad d Éito P costat todas las rubas. S dfi la v.a. otació: ~ G. : úmro d rticios hasta obtr l rimr Éito. Al studiar gral las v.a. discrtas, hmos robado qu la fució d robabilidad utual d stá dada or. y su fució d distribució acumulada or F dod [ ] dota la art tra d. [ ] si si < sraza y variaza d ua variabl alatoria gométrica: Sa ~ G, y V m: Lo hmos dmostrado al studiar gral la sraza y la variaza d ua v.a. discrta. Proosició Proidad d Falta d Mmoria: Sa ~ G y sa y m úmros aturals cualsquira, P > m > P > m m: rcicio. Sugrcia: mostrar qu si ~ G, P >. mlo: Sa : úmro d tiros hasta obtr l rimr as ua sucsió d tiros d u dado quilibrado, tocs ~ G /6. 4

7 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 P P 6 P > 6.4 / / 6 V / 6 l siguit gráfico s mustra la fució d robabilidad utual corrsodit a la distribució Gométrica ara distitos valors d. G. G. G G. 3 G.3 3 G G.4 3 G.4 3 G

8 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 Variabl alatoria Biomial gativa: Suogamos qu s rit forma iddit u sayo d Broulli co robabilidad d Éito P costat todas las rubas. S dfi la v.a. : úmro d rticios hasta obtr l r-ésimo Éito r. otació: ~ B r,. sta v.a. s ua gralizació d la v.a. Gométrica, la cual corrsod al caso r. Obsrvmos qu R {r, r, r,...} y hallmos su fució d robabilidad utual. Sa u úmro atural, r. Para qu sa csarias rticios ara obtr l rimr Éito, l r-ésimo Éito db ocurrir la rtició y las - rticios rvias db habr actamt r - Éitos. Como las rticios so iddits r r la robabilidad d ua cofiguració d s tio s, ro hay varias cofiguracios d sta forma. Cuátas? Tatas como formas d lgir tr las - rimras rticios, aqullas dod ocurrirá los r- Éitos, o sa. r Por lo tato la fució d robabilidad utual srá: r r P { r, r, r,...} r Fució d distribució: Si ~ B r,, F [ ] r r r r si < r si r dod [] dota la art tra d. mlo: S tra co rosició bolillas d ua ura qu coti 3 bolillas blacas y 7 roas. S dfi : úmro d traccios hasta obtr la cuarta bolilla roa. ~ B 4,7/ P

9 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 P Proosició: Sa ~ B r,, r r V m: Lo dmostrarmos más adlat usado qu ua v.a. Biomial gativa ud rsars como suma d v.a. Gométricas iddits. Obsrvació: sta v.a. sul tambié dfiirs como l úmro d Fracasos ats d obtr l r-ésimo Éito. Si la dotamos, tocs su rago srá R * {,,,...} {} y su fució d robabilidad utual: r r * st caso, * r * r y V Variabl alatoria Hirgométrica: Suogamos qu La oblació a sr mustrada cosist d lmtos o idividuos oblació fiita Cada lmto o idividuo ud sr clasificado como Éito o Fracaso y hay Éitos la oblació. S tra d la oblació ua mustra d lmtos o idividuos, d forma tal qu cualquir subcouto d tamaño ti la misma robabilidad d sr lgido. Sa : úmro d éitos la mustra d tamaño. S dic qu ti distribució Hirgométrica d arámtros, y y s dota ~ H,, mlo: ua ura qu coti 3 bolillas blacas y 7 gras s tra 4 bolillas si rosició y s dfi : úmro d bolillas blacas traídas. 4

10 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 46 Cómo calcularíamos la robabilidad d qu s traiga bolillas blacas? Como todos los coutos d 4 bolillas ti la misma robabilidad d sr traídos, la robabilidad d uo cualquira d llos srá 4. Por otro lado hay 7 3 coutos qu coti bolillas blacas y gras y, or lo tato la robabilidad dida srá: P Proosició: Si ~ H,,,, mi, ma m: l úmro d subcoutos distitos d tamaño qu s ud trar d ua oblació d tamaño s. sos coutos, hay qu coti Éitos y - Fracasos y s obti la fució d robabilidad. l rago d valors osibls d rsulta d obsrvar qu s db satisfacr trs codicios: - - las dos rimras s obti:, mi, la rimra y la trcra s obti:, ma,. Proosició: Si ~ H,,, V m: rcicio ocioal.

11 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 47 Obsrvacios: l factor qu aarc la rsió d la variaza s domia factor d corrcció or oblació fiita. Si s quño rlació a, la hirgométrica ud sr aroimada or la distribució Biomial d arámtros y /. Obsrvmos qu, st caso l factor d corrcció fiita s aroimadamt. Límit d la fució d robabilidad utual d ua v.a. Biomial: Proosició: Sa ~ Bi, y suogamos qu y, d mara qu fio, tocs: {}. o m: Obsrvmos qu:... tocs,, como quríamos dmostrar.

12 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 sta roosició sugir qu la fució d robabilidad utual odría sr aroimada or la fució d robabilidad límit, ro cuádo s cosidra qu s grad y s quño ara qu la aroimació sa bua? Alguos autors sugir,. y. la siguit tabla s rsta a modo d mlo, alguos valors actos d la robabilidad y su aroimació ara l caso ~ Bi, /36 Prob. acta Biomial Aroimació Como s obsrva, la aroimació s bastat bua, aú cuado o s cuml la codició.. Variabl alatoria Poisso: Ua v.a. cuya fució d robabilidad utual s la obtida la roosició atrior, s dic qu ti distribució d Poisso d arámtro >, y s ota ~ P. s dcir, ~ P si su fució d robabilidad utual stá dada or: o Vrifiqumos qu s, fcto, ua fució d robabilidad utual: {} s obvio qu. Por otra art, ya qu s l dsarrollo sri d. 48

13 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 49 mlo: Sa : úmro d msas rchazados or sgudo or u srvidor, y suogamos qu ~ P. a Calcular la robabilidad d qu s rchac actamt msas u sgudo..84 P b Calcular la robabilidad d qu s rchac a lo sumo msas u sgudo.. P Proosició: Si ~ P, tocs y V m:. Por otra art,. tocs. V

14 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 l siguit gráfico s mustra la fució d robabilidad utual corrsodit a la distribució d Poisso ara distitos valors d. él ud obsrvars cómo la distribució s simtriza alrddor d a mdida qu st arámtro crc. lambda. istribucio Poisso lambda lambda lambda lambda 3 lambda lambda lambda lambda Procso d Poisso: Ua alicació imortat d la distribució d Poisso surg rlació co la ocurrcia d vtos a lo largo dl timo, or uidad d ára, or uidad d volum, tc. lo qu sigu os rfrirmos, si érdida d gralidad a ocurrcias d u vto a lo largo dl timo, qu odrmos squmatizar la forma:

15 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 A artir dl istat y hasta l momto t ocurriro vtos. Imagimos qu dividimos l itrvalo, t u úmro muy grad d quños subitrvalos, d mara qu s satisfac las siguits codicios: La robabilidad d qu ocurra u vto u subitrvalo quño s aroimadamt roorcioal a la logitud dl subitrvalo. La robabilidad d qu ocurra más d u vto u subitrvalo s dsrciabl co rscto a la robabilidad d qu ocurra uo. La ocurrcia d u vto u subitrvalo s iddit d lo qu ocurr otro subitrvalo disuto. articular, si todos los itrvalos so d igual logitud t /, la v.a. t : úmro d vtos qu ocurr l itrvalo, t s casi biomial, sido Éito la ocurrcia d u vto cada uo d los subitrvalos y PÉitorobabilidad d qu ocurra u vto. Si l úmro d subitrvalos s suficitmt grad y or lo tato l suficitmt quño, or l rsultado límit qu hmos robado, la variabl t ti distribució d Poisso. mlos: Msas d corro lctróico qu llga a ua casilla d corros. misió d artículas or ua sustacia radioactiva. 3 Accidts qu ocurr u cruc d ruta. 4 úmro d rrors ua ágia d u libro. úmro d larvas d cirto iscto u trro. rcicio: Para cada uo d stos mlos, discutir qu situacios s vrifica las trs codicios uciadas. fiició: Suogamos qu s obsrva la ocurrcia d u vto a lo largo dl timo y qu ist ua catidad ositiva θ >, tal qu La robabilidad d qu ocurra actamt u vto u itrvalo quño d logitud Δt s aroimadamt igual a θ Δt, s dcir: Pocurra u vto Δt θ Δt oδt g h sido oh ua fució gh tal qu lim. h h

16 Probabilidads y stadística Comutació Facultad d Cicias actas y aturals. Uivrsidad d Buos Airs Aa M. Biaco y la J. Martíz 4 La robabilidad d qu ocurra más d u vto u itrvalo quño d logitud Δt s dsrciabl cuado s la comara co la robabilidad d qu ocurra u vto, s dcir: Pocurra más d u vto Δt oδt 3 l úmro d vtos qu ocurr u itrvalo s iddit dl úmro d vtos qu ocurr otro itrvalo disuto. tocs, l úmro d ocurrcias dl vto u riodo d logitud t ti distribució d Poisso d arámtro θ t, s dcir qu la v.a. t : úmro d ocurrcias dl vto l itrvalo d logitud t satisfac t ~ Pθ t Obsrvacios: Cómo s itrrta la catidad θ? Pud itrrtars como la tasa mdia a la cual ocurr los vtos la uidad d timo. S la sul llamar tasa mdia d ocurrcia o itsidad dl Procso d Poisso. Cuál s la difrcia tr u Procso d Poisso y ua v.a. co distribució Poisso? La dfiició atrior, qu ralidad s u torma, da las codicios bao las cuáls cirtos rimtos alatorios qu roduc como rsultados vtos l timo o logitud, ára, volum, tc ud sr modlados mdiat la distribució d Poisso. Cosidrmos los mlos a. Sólo bao cirtas codicios, satisfac las roidads d u Procso d Poisso. mlo: Suogamos qu l úmro d msas d corro lctróico qu llga a ua casilla d corros sigu u rocso d Poisso d itsidad θ msas / miuto. a Cuál s la robabilidad d qu o s rciba igú msa tr las hs y las :3 hs? Sa 3 : úmro d msas u riodo d 3 miutos, 3 ~ P 3 P6. tocs, P 3-6. b Cuál s l úmro srado d msas mdia hora? Sa 3 : úmro d msas u riodo d 3 miutos 3 ~ P 3 P6 3 6 c Cuál s la robabilidad d qu o s rciba igú msa tr las 3:3 hs y las 3:33 hs? La rsusta s la misma dl ítm a orqu la distribució dd sólo d la logitud dl itrvalo y o d su ubicació.