Demostraremos estos resultados por medio de la Función generatriz de momentos y algunos de los resultados ya obtenidos en la Práctica 4.

Transcripción

1 ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 8: UESTREO EJERCICIO Dmosrarmos sos rsulados or mdio d la Fució grariz d momos y alguos d los rsulados ya obidos la Prácica 4. Sa, ocs, + + +, al qu Broulli (. Eocs: ( (iddcia ( ( ( ( igual disribució [ ( ] [( + ], qu s la f.g.m. d ua biomial co arámros y. Por lo ao: Bi (, La disribució d s la qu, simlm, oma los mismos valors qu, ro divididos r, us. E s caso s dic qu: o ambié qu Bi (, i disribució xaca cuasi-biomial. o i disribució biomial, a sar qu las robabilidads s calcula mdia la cuaía biomial, orqu su rcorrido o s {0,,, } sio {0, /, /,, /}. Dmosrarmos sa roidad u caso más gral l qu gamos m variabls alaorias iddis, co i Bi ( i,. Eocs, sido m mos qu: ( (iddcia ( (... m ( [( + ] [ ] ( +... [( + ] (... [( ] m , qu s la f.g.m. d ua biomial co arámros ( m y. Por lo ao, ara l caso aricular..., Bi (.m,. Como l caso arior, s dic qu: m m Bi (.m, 3 Sa, variabls alaorias i Go (. Eocs: ( (iddcia ( (... (... ( ( [ ( ] Tambié s dic qu:, qu s la f.g.m. d ua Biomial Ngaiva (,. Bi Ng (, ( 4 Sa Probarmos aquí, ambié, u caso más gral dod cada i Poisso (λ i. La fució grariz d momos d s: ( (iddcia ( ( λ+λ λ ( (... ( Si λ λ... λ λ, ocs Poisso ( λ, Cuasi-Poisso ( λ. λ ( λ (..., qu s la f.g.m d ua Poisso ( λ + λ λ λ ( Poisso ( λ y s dic qu:

2 5 Suogamos qu mos variabls alaorias iddis, co i Ex (λ θ y sa uvam Por lo ao: ( (iddcia ( (... (... θ θ θ, la cual θ s la f.g.m d ua Gamma (, θ. Por Ejrcicio 3 d la Prácica 4, sabíamos qu: a ( (a y ocs: ( (/ / θ ( /, qu s la f.g.m. d ua Gamma (, θ/. θ Co lo qu: Gamma (, θ/ 6 Esa ar s similar a la arior, dado qu Ex (θ Gamma (, θ. Plamos u caso ambié más gral dod cada i Gamma (a i, θ (isisamos uvam qu la oació ara l sgudo arámro s arbiraria, or lo qu quda a lcció dl lcor, simr qu λ θ. Por lo ao: ( (iddcia ( θ a + a a (... ( θ a θ, la cual s la f.g.m d ua Gamma (a + a a, θ. Para l caso a a... a a, Gamma ( a, θ. Co idéico razoamio qu 5 rsula, ara s úlimo caso, qu: a... θ a Gamma ( a, θ/ 7 Cosidramos, gralizado, l caso qu i N (μ i,. Eocs: ( (iddcia ( ( μ +μ μ + ( (... ( i μ+ μ+... μ+, qu s la f.g.m. d ua N (μ + μ μ, Si μ μ... μ μ y..., ocs N ( μ,. Fialm, la disribució d forma qu arriba. s N (μ,, la cual s dduc calculado la f.g.m. d igual 8 La rsusa a sa ar, s l llamado Torma dl Lími Cral qu dic qu dadas,,..., variabls alaorias iddis idéicam disribuidas (su disribució ud sr cualquira y doamos so como qu s disribuy igual a, co E ( μ < + y V ( < +, ocs: μ d N (0, Esa sis idica qu, l romdio d variabls alaorias, sadarizado, id disribució a ua ormal sádar y so sucd, valga la rdudacia, cualquira sa su

3 3 disribució (s hcho s lo sorrd!!!. Dicho d oro modo, a mdida qu crc, las robabilidads dl romdio sadarizado d ua AS c/r d cualquir variabl alaoria, s aroxima a las d ua ormal sadarizada. Es rsulado ambié s ud scribir d la sigui forma: Eocs, s fácil obsrvar qu: d N (μ, d N ( μ, EJERCICIO (úlil oció slccioado d los xáms d marzo y simbr y d la sguda rvisió dl 00 E las dos rimras ars d s jrcicio s suo, qu ambos casos, omamos ua.a.s. co rosició. La vrdadra s la a. Como V (, la disrsió d dd d y d : cuao mayor sa la disrsió d -V ( -, mayor s la d amaño d la musra, mor s la disrsió d. y cuao mayor sa l Sa i i, ara i,,...,. Eocs, ambié las i, so iddis idéicam disribuidas co: E ( i E ( i E ( i 0 V ( i V ( i V ( i ( Si alicamos ahora l Torma dl Lími Cral a la sucsió { i} i,,..., d N ( 0, Eso idica qu la disribució d ( N ( 0, y or lo ao c s la vrdadra. ( :, a mdida qu crc, s aroxima a la d ua 3 Como la ar arior, alicado l Torma dl Lími Cral ahora a la sucsió : { i} i,,..., i i d V ( N (μ, N ( E (, Tomado 50, la disribució d 50 s aroximadam igual a la d ua N ( E (, Eocs, la rsusa corrca s la c. 4 Por l jrcicio arior, ar 5, vimos qu si cada i Ex (θ, ocs: Gamma (, θ/ Por lo ao, ara 0, 0 Gamma (0, θ/0 y s corrca la oció b. V ( 50

4 4 EJERCICIO 3 T ( (id. a ( b ( (a (b (a b μ (a b + b μ + +. μ a + a μ b + y b, la cual corrsod a la f.g.m. d ua N (a μ + b μ, a + Eocs: T + 3 N ( 6, 696 y or llo P(T > 8 P( φ (0, ,4806. T EJERCICIO 4 Pso d cada araja d la caja: i N(95, 5. Pso dl coido o d ua caja: i 4 4 i. Pso srado dl coido o d ua caja: E( i 95 x gramos. Amliud dl irvalo: 0% d gramos. i Irvalo ormalizado: ( , (6.37, EJERCICIO 5 Si Gamma (α /, λ / Gamma (α /, θ, ocs or Ejrcicio 4 d la Prácica, su f.g.m. s: / ( Por lo ao: ( / ( ( ( / ( Eocs: admás: 8 3 ( ( / + ( E( (0 E( (0 4 + ( + V( ( ( Es dcir qu ua Gamma (α /, θ, s llama chi-cuadrado co grados d librad (oació: χ (, i como sraza sus grados d librad y como variaza l dobl d ésa. Alguas robabilidads d sa disribució, ara difrs valors d, sá abuladas al fial d la GUÍA.

5 5 EJERCICIO 6 Para hallar la disribució d la variabl vamos a dducir su f.g.m. ( E ( E( + / x dx π π + + x x dx / x dx π + x ( dx π Para s úlima igualdad s obsrvó qu dsidad d ua N ( 0, π + / x igrada odo R y or lo ao val. s la fució d Cocluimos ocs qu: ( / Qu corrsod a la f.g.m. d ua Gamma (α /, θ, o lo qu s lo mismo ua χ (. Por lo mcioado l jrcicio arior, E ( y V (. Rsulado irsa: l cuadrado d ua variabl ormal sadarizada i ua disribució coocida: chi-cuadrado co u grado d librad. EJERCICIO 7 (CONTROL 00 a Si N (, 9, ocs N (0,. Como 9 Z N (0,, or l jrcicio arior χ (. 9 ( 9 Z, co Por lo ao: P ( 3,84 ( m fijo la abla chi-cuadrado 0,95 b P ( 3,84 P ( Z 3,84 P ( 3, 84 Z 3, 84 P (,96 Z,96 P ( Z,96 Φ (,96 x 0,05 0,95. EJERCICIO 8 (EAEN OCTUBRE DE 997 E( V( + E ( [ ( μ ] 3 E Como γ 0 dado qu μ 0, E( ( 3 x V( E [ ( ] E ( E( 4 [E( ]

6 6 3 a Como i N(0, 9, ara i 6, ocs 3 i N(0,, 6 i 3 i 3 χ ( y dado qu las variabls so iddis U χ (6. i J 3,4 b P(J 3,4 P( P(U,6 0,95. (Obsérvs qu J 9.U. 9 9 c P(J > c 0, P( 9 J > 9 c 0, P(U > 9 c 0, P(U 9 c 0,9 c 0,65 c 95,85 9 d Como U χ (6 o lo qu s lo mismo ua Gamma ( α 3, θ, ocs: E(U α θ 6, y V(U α θ. EJERCICIO 9 a E( 750 y 0 s lo qu afirma la romoció. S adquir l lo si 3 > 745. E virud dl amaño d la musra ( > 30, s ud afirmar qu TCL 0 3 N(750,. E coscucia: 3 P( 3 > Φ Φ(-,39 Φ(,39 0,977. b N(750, 0. S raa d calcular P(S > 30. S sab qu: 3. S 3x30 P > P χ. S ( χ > 4,8 P( 4,8 0,5 0, χ. Eocs: EJERCICIO 0 (EAEN DICIEBRE DE 994 Como N(μ, y N(μ + 5,, ocs or l Ejrcicio 6: μ y μ 5 μ μ 5 iddis su suma + μ χ (. y μ 5 N(0,. Por lo ao, χ (, y dado qu las variabls so Culmiamos l razoamio obsrvado qu 00 μ μ 5 +. P( 640 P( ( llamamos J a ua χ 640 ( P( J 00 x,3 P(J,77 0,75.

7 7 EJERCICIO (CANAVOS 7. Sa ssor dl marial lásico mdido cm., co N (μ, 0,0. Sabmos, admás. S or Torma 8.0 d la GUÍA qu χ 5 S ( o sa qu χ (4. 0,0 Eocs: P(S 0,05 5 S P ( 0,0 5 x 0,05 0,0 5 S P ( 0,0 56,5 0,000 El rsulado qu obuvimos s qu dicho sucso i robabilidad rácicam cro si la variaza oblacioal s 0,0. Por llo, s ud dducir qu s muy dudosa la afirmació hcha or l fabrica. Para qu l sucso d qu la variaza musral fura más vrosímil, s 5 x 0,05 csario qu l coci sa más quño y or lo ao la variaza oblacioal más grad. EJERCICIO Prviam a cosar las rguas hallmos la disribució dl sadísico J. Para llo, obsrvmos, rimr lugar, qu cada i χ ( sgú l Ejrcicio 6. Por ora ar, como las i so iddis, ambié los so las i y ocs rcordado qu las disribucios chi-cuadrado so u caso aricular d la gamma, y ido cua, uvam, l Ejrcicio, dod su dsarrollo s dmosró qu la suma d gammas iddis co iguals arámros da ua gamma, cocluimos qu J χ (0. P ( J > 8,3 P ( J 8,3 0,05 P ( J 9,34 0,50 P ( 3,5 J 6 0,90 0,05 0,875. (i Rcordmos qu S i. S ud dmosrar, co u razoamio más S comlicado qu ara J, qu χ ( χ (9 (sa dmosració s l Torma 8.0 mcioado l jrcicio arior y la érdida u grado d librad s db a qu s ddi d las i. Eocs: P(S >,4 P(S,4 P( 0 S,4 x 0 0,5 EJERCICIO 3 (Exam ar/003 Es jrcicio s rsulv co l mismo argumo dl Torma d la Parició d Cochra. Si 3, ocs s + 3. S cuml: (. Como y 3 so ( 3 + variabls iddis, la fució grariz d la suma s l roduco d las grarics margials. Admás, la fució grariz d ua disribució chi-cuadrado s d la forma (. ( dod so los grados d librad d la disribució. Eocs:

8 8 ( ( ( ( (... (. (. ( 3 3 r k r k r k. Rsula qu 3 i ua fució grariz d la forma chi-cuadrado co arámro (k-r. Por ao, la variabl 3 i disribució chi-cuadrado co (k-r grados d librad. EJERCICIO 4 (EAEN DICIEBRE 994 Como N (, μ y N (, μ, ocs μ y μ N (0,. Por l Ejrcicio 6, s cuml qu μ y μ s disribuy ambas χ (. Admás, como so iddis, y co los mismos argumos d los Ejrcicios 0 y, dducimos qu μ + μ χ (. Si W s iddi d, W ambié s iddi d μ + μ, y or ao, la variabl ' + μ μ W T i disribució co grados d librad (or sr l coci d ua ormal sobr la raíz cuadrada d ua chi-cuadrado sobr sus grados d librad, ambas iddis. Obsérvs qu T T, or lo qu cocluimos qu cocluimos qu: ' + μ μ W T T Por lo ao: P (T <,065 P ( T < x,065 P (T <,9 0,95 EJERCICIO 5 Rcordmos l orig d la disribució T d Sud. Suogamos qu,,... s ua AS c/r co i N (μ,. Eocs: N (μ, /, y or lo ao: / μ N (0,. Si mbargo, dsd l uo d visa rácico, si dscoocmos l valor d, sa disribució o os rmi formular ifrcias rsco a μ. Eocs surg la disribució T: T(ν ν / Z dod Z N (0, y χ (ν y so iddis

9 9 (ν so los llamados grados d librad d T Cosruyamos ahora u sadísico T, co las hiósis adichas y suoido μ coocida y dscoocida: μ Por la obsrvació d arriba sa Z N (0,. / Tambié vimos qu S χ ( y or lo ao odmos dfiir S χ ( Fialm os quda: T Z μ / S / ( μ - S Eocs l cálculo s fácil: P ( >, P( <, 0,05. EJERCICIO 6 Par A (CANAVOS 7.5 Sa i la caidad d icoia mg. l i-ésimo cigarrillo. Sabmos qu i N (μ, y qu si omamos ua musra d amaño 6, s cura qu l romdio s x 0,75, y la variaza musral s s 0,75. Para hallar P( 6 0,75, alicarmos ua disribució coocida qu llamamos T d Sud, cuya abla s cura la GUÍA: Obmos: P( 6 0,75 P ( 5 (6 0,6 0,75 ( S μ 5 (0,75 0,6 P ( 5 3,3 0, ,75 Es dcir, qu la robabilidad d qu s dé l sucso, dada la afirmació dl fabrica, s muy quña, or lo cual la hiósis d arida (μ 0,6, s oco críbl. Para qu l rsulado musral fus más robabl sría csario admiir qu la vrdadra mdia oblacioal μ s más grad. Noa: P ( 5 3,3 0,00333 s ha obido uilizado las fucios sadísicas d ua lailla lcróica (FUNCIONES, FUNCIONES ESTADÍSTICAS, DISTRIBUCIÓN T iroducido l argumo (3,3, los grados d librad (5 y l úmro d colas d la disribució cuya robabilidad s quir calcular (, s caso. E la abla d la GUÍA solo sá abulados alguos valors dl argumo. E s caso la mjor aroximació s P( 5,95 0,005, y lo qu odmos afirmar uilizado la abla d la GUÍA s qu P ( 5 3,3 < 0,005. Par B Cuado s grad ( > 30, la disribució T s ud aroximar or la disribució ormal sádar. E coscucia:

10 0 35 ( 36 0,6 35 (0,75 0,6 P( 6 0,75 P ( P ( 35 5,07 Φ(5,07 0 0,75 0,75 S raa d u sucso rácicam imosibl. Ora vz, s cocluy qu la hiósis d arida (μ 0,6 s oco críbl. EJERCICIO 7 (EAEN Como U, V y Z so variabls alaorias N(0,, ocs U, V y Z N(0, y or l U V Z Ejrcicio 6 s cuml qu, y χ (. Admás, como las variabls so iddis, su suma sigu ua disribució chi-cuadrado co 3 grados d librad: L U V Z + + χ (3. Si llamamos L caidad d liros d Rai Rai qu oma l aricia A ua hora y L caidad d liros d Rai Rai qu oma l aricia B ua hora, la robabilidad qu os solicia l jrcicio s: dod ao P(L > 3 L (como L y L so osiivas P( L > 9 L P( L como L L χ (3, y so iddis. Por llo: F disribució abulada la GUÍA. Eocs: P(L > 3 L P(F > 9 0,0504 L > 9 L L / 3 / 3 F(3, 3, Noa: P(F 3.3 > 9 0,0504 s ha obido uilizado las fucios sadísicas d ua lailla lcróica (FUNCIONES, FUNCIONES ESTADÍSTICAS, DISTRIBUCIÓN F iroducido l argumo (3,3 y los grados d librad dl umrador y dl domiador (3 y 3. E la abla F d la GUÍA solo sá abulados alguos valors dl argumo y d los grados d librad (los argumos corrsod a valors qu acumula 0,95 o 0,99 d robabilidad. E s caso la mjor aroximació s P(F 3.3 9,8 0,95 P(F 3.3 > 9,8 0,05, y lo qu odmos afirmar uilizado la abla d la GUÍA s qu P(F 3.3 > 9 > 0,05. EJERCICIO 8 Rcordmos rimro la disribució F d Fishr: dadas dos variabls alaorias U y V, iddis, co disribucios d robabilidad χ (m y χ ( rscivam, ocs la variabl alaoria coci: U/ m F(m, V / i disribució F co m y grados d librad. Como N ( μ, 9 y N ( μ, 6 or la dfiició arior: 0 S, ocs χ (9 y 9 8 S χ (7. Por lo ao, 6

11 Por lo ao: F(9, 7 0 S 9 8 S 6 / 9 / S 40 W S P(W >,9 P( W >,9 P(F(9, 7 > 3,68 0, Admás, como rsula obvio obsrvar qu la variabl alaoria F F(, m. Eocs: 40 W 8 Por llo: 40 P ( > 5,6864 P ( W W W, co F(7, 9 F F 8 > 5,6864 P ( > 5,6864 P ( F(7, 9 > 3,9 0,05 F F 40 EJERCICIO 9 F ( P( P(,..., (id. P(... P( (igual disrib. [ P( ] F (. Eocs: a si < 0 F ( 0 F ( 0 b si 0 <, F ( F ( c si. F ( F ( lim F ( lim 0 0, si < 0 + lim F ( + + lim 0, si 0 < + lim F ( lim, si + + Obsrvació: F ( s la fució d disribució d la variabl alaoria qu s cosam igual a ; o dicho d oro modo s la variabl alaoria Z, al qu P(Z. S dic qu covrg disribució a la variabl Z, cuado. EJERCICIO 0 F ( P( P( > P( >,..., > (id. P( >... P( > (idé. disrib. [ P( > ] [ P( ] [ F ( ]. Eocs: a si 0 F ( 0 F ( 0 b si > 0, F ( θ F ( θ lim F ( lim 0 0, si 0 + lim F ( + + θ + lim, si > 0 Obsrvació: E s caso ós qu F ( o s ua disribució, ya qu o s coiua or la drcha 0. Para qu sa ua disribució, s csario modificar la fució F (

12 d mara qu F ( 0 si < 0 y F ( θ si 0. Ahora, la variabl alaoria W cuya fució d disribució rsula d hacr lim F (, s ua variabl cosa, cocrada + l uo w. S dic qu covrg disribució a la variabl W, cuado. EJERCICIO Para rsolvr s jrcicio hay qu hacr u suuso adicioal qu o sá scrio, ro qu s odría dducir cohrcia co las hiósis y s qu s uiform discra. Por lo ao: P( i, ara i Eocs: a F ( P( 0, si < k k b F ( P( k k k + i, si < y 0 < k < i c F ( P(, si Por lo ao: lim F ( lim 0 0, si < + lim F ( + + lim + k, si 0 <. Eso s db a qu, dado l Rc (, xis k, al qu k F ( < < ε k k k + ara suficim grad us < y or k ao: 0 <. Eocs: lim F (, si + Noa: La obsrvació fial s jrcicio s qu dicha disribució corrsod a la d ua uiform coiua l irvalo [0, ]. S dic qu covrg disribució a ua uiform C[0, ], cuado. EJERCICIO Rcordmos rviam la sigui dfiició: (la v.a. id robabilidad a lim P ( ε + Rcordmos qu or la llamada Ly Débil d los Grads Númros: Si,..., v.a. iid co E( i μ y V( i (fiias i μ i Si Bi(,, ocs co i Br(, E( i y V( i (. Obsrvado qu ˆ, si alicamos la Ly Débil d los Grads Númros obmos qu: μ.

13 3 Eucimos l sigui Torma: Si y, ocs dadas dos fucios, g: R R, coiua y h: R R, coiua ambas variabls, s ud dmosrar qu: g( g( h(, h(, Para usro caso, si omamos g(x x ( x qu cuml las codicios dl Torma ocs: g ( ( ˆ ( ˆ ( 3 Si alicamos l Torma dl Lími Cral al cojuo,,.., : i Broulli( obmos qu: ˆ d N(0, ( ( d El Torma d Slusky sablc qu si 0 y, ocs d T. Si alicamos l Torma uciado, omado g (x ( ˆ ( ˆ ya qu g s ral y admás coiua (0,. x x( x ( dducimos qu: Sa ( y o lo qu s lo mismo: (. Hay qu robar qu 0, ( ( 0 Ahora bi: ( ( ( ( ( ( como ambos facors covrg robabilidad a 0: 0 y ( ( 0

14 4 ocs su roduco ambié id robabilidad a cro, co lo qu quda robado qu 0, y or l Torma d Slusky, d N (0, ( EJERCICIO 3 Plamos, ara llo l Torma d Khichi (Novals ág. 3, similar a la Ly Débil d los Grads Númros, ro qu o rquir dl sgudo momo ara las variabls: Si,..., v.a. iid co disribució igual a la d y E( < + Probarmos, ahora qu S i E( i. Para llo, aliqumos l orma arior a las variabls,,..., las cuals so ambié iddis idéicam disribuidas us las origials lo so, y su sraza E ( < + or hiósis: i E( i Rcordado qu S i ( i, alicamos, rimr lugar, l orma i i uciado l jrcicio arior ar, omado g (x x y la sucsió, co lo qu obmos: ( ( i E ( Fialm, mlamos l Torma 8. dl Novals (ág. 309: S i i ( i i i Co ora ar dl mismo orma, ligido las sucsios y E( E ( Var ( S y, como S, (sa s ua sucsió d variabls cosas ara cada, mos qu: s S.