TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA SEÑAL

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1 EMA INRODUCCIÓN A LA EORÍA DE LA SEÑAL Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s

2 Sismas d rasmisió d Daos.ELEMENOS BÁSICOS DE UN SISEMA DE COMUNICACIÓN U sisma d comuicació básico sá compuso por: - fu - caal d comuicacios - dsio. FUENE DESINO CANAL DE COMUNICACIONES S domia FUENE a u o disposiivo qu gra iformació. La caracrísica s qu mi sñals. No i por qué habr sido crado, pud grars la auralza. Exis muchas fus d iformació qu o so aalógicas i digials, por jmplo, la voz. Normalm, xis disposiivos qu raduc las sñals al formao qu l mdio s capaz d rasmiir. Esos quipos so los rasducors, s cura a la rada y salida dl sisma físico ormalm. Esos disposiivos adapa la sñal al mdio físico, o simplm covir la sñal dl fu a oro ipo d sñal. i fucios muy variadas, ambié pud sr comuadors, amplificadors Los rasducors d rada adcua la sñal qu gra l fu al mdio co l qu rabajamos. D la misma forma, l dsio pud rcibir ua sñal qu s csario raducir para qu l rcpor la ida. FUENE RANSDUCOR DE ENRADA CANAL DE COMUNICACIONES RANSDUCOR DE SALIDA DESINO EMISOR RECEPOR Por ao, u sisma d comuicacios básico globa: - Emisor fu rasducor d rada. - Caal d comuicacios Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

3 Sismas d rasmisió d Daos - Rcpor rasducor d salida dsio. El caal d comuicacios o sólo s l mdio físico, s algo más, globa l hardwar (mdio físico) y l sofwar (qu maja l mdio físico). El caal rprsa l camio lógico por dod va a ir la iformació. Exis muchos caals dro d u mdio físico, y por cada caal, podmos sablcr coxios. El mdio físico va a sar aprovchado fució dl úmro d caals qu sopor. E odo sisma d comuicacios xis disorsios, ruidos o auacios, ao alaorios como priódicos qu irfir la comuicació. Esas disorsios s db a qu rabajamos co mdio físicos, qu o so idals y i ciro marg d rror. Dpdido d la calidad dl mdio físico co l qu rabajmos drmos u sisma más o mos imu a s ipo d disorsios. Por jmplo, la fibra ópica s mucho más imu a las disorsios qu oros mdios físicos... IPOS DE SEÑALES EN COMUNICACIONES Exis muchos ipos d sñals: - Priódicas: s rpi l impo. - Alaorias. - Drmiisas: s produc simpr ( l mdio). Las sñals, básicam, s divid : - sñals aalógicas. - sñals digials.... Sñals aalógicas Las sñals aalógicas so sñals d variació la l impo. No cambia abrupam d u sado a oro d rgía, sio qu varía lam. Si omamos u irvalo d impo l valor d la sñal aalógica, sá compusa por ifiios valors, s dcir, ua sñal aalógica u irvalo d impo oma ifiios valors d ampliud. La rprsació gráfica d s ipo d sñal, vi dada por las fucios so o coso, como musra la figura : Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

4 Sismas d rasmisió d Daos x() A cos( θ ) x() A s( θ) Figura. Sñal cosoidal π NOA: cos () máxima ampliud. cos θ s θ s (9) máxima ampliud. s θ cos π θ Las sñals aalógicas, por sr d variació la s uiliza para comuicacios a larga disacia, oros públicos, por jmplo: rd lfóica. Vi dfiidas por los parámros: ampliud, fas y frcucia. - A Ampliud: Volaj o isidad d la corri. - Frcucia agular: S mid rad sg, ambié s llamada pulsació agular. Es la vlocidad d roació a la qu s muv la sñal. Frcucia cíclica: f π Ciclo: Rprsa las vcs qu la sñal aalógica s rpi l impo. Ejmplo: Sa la sñal d la figura. ciclo sg Figura. Sñal aalógica d 3 Hrz. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

5 Sismas d rasmisió d Daos Por ao, sa sñal s muv a rs ciclos por sgudo, s muv a 3 Hz. ciclo Hrcio Hz. sgudo Por jmplo, la frcucia d la voz va dsd 3Hz a 4Hz. La rlació r la frcucia agular y la frcucia cíclica vi dada por la sigui fórmula: πf Priodo d la Sñal: s l impo qu arda la sñal rcorrr u ciclo: f La disacia rcorrida s impo s domia Logiud d Oda, s rprsa por λ. Normalm s oma como la disacia r picos. S mid mros. Co la logiud d oda λ ( disacia qu rcorr) y l priodo d la sñal ( impo qu arda) podmos avriguar la vlocidad d propagació d la sñal, mdida mros por sgudo: λ v λ f λ π Frcucias muy grads implica logiuds d oda pquñas y, por ao, logiuds d oda grad implica frcucias bajas. ψ () Fas isaáa d la sñal. θ Fas iicial,.... Sñals digials So sñals d variació brusca. Cambia d u sado a oro d rgía u irvalo d bi. Irvalo d Bi: impo qu maja misor y rcpor para colocar uo o más bi d iformació l mdio. Vi dfiido por l misor y l rcpor. Las sñals digials so mos ssibls al ruido qu las sñals aalógicas, pro s aúa más rápidam. Cuao mor sa l irvalo d bi, más iformació s pud viar. Por ao, mayor acho d bada drmos y, coscucia, mayor vlocidad. El idal comuicacios s cosguir disposiivos qu cambi d sados d rgía muy rápidam impos muy pquños. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.5

6 Sismas d rasmisió d Daos Ua subdivisió d sñals digials s pud obr adido a la duració mporal, a la polaridad y a su úmro d sados o ivls d ampliud qu posa: i. E fució dl úmro d sados: Sñal digial biaria: Sólo pud omar dos valors d rgía (cro y uo). Sñal digial m-aria o muliivl: oma más d dos sados o ivls d rgía. Para cuaificar los sados d rgía d ua sñal biaria s csia u úico bi, miras qu para las m-arias s csia más d uo. Exis ua rlació r l úmro d ivls o sados y los bis csarios para codificar dichos ivls. Esa rlació vi dada por la fórmula: m o, lo qu s igual log m, dod m s l úmro d sados qu hay qu cuaificar y l úmro d bis. Ejmplo: Para cuaificar cuaro sados d rgía os basaría co bis, s dcir,. Para cuaificar sis sados d rgía os basaría co 3 bis, s dcir, 3. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.6

7 Sismas d rasmisió d Daos Hay sñals qu cambia u irvalo d bi múlipls vcs. Ésas sñals s llama muliivl, y prmi ua cadcia l caal muy suprior a las sñals biarias. Las sñals muliivl s uiliza para comuicacios d ala vlocidad. Para comuicacios básicas s uiliza sñals biarias, qu prmi codificar lmalm la iformació a viar. ii. E fució d la polaridad (ivl d rgía): Sñals uipolars: So sñals digials qu sólo pud omar valors d ampliud posiivos. NOA: l bi cro o i por qué corrspodrs co l cro ampliud. Sñals bipolars: pud omar valors d ampliud posiivos y gaivos. 5-5 iii. E fució d la duració mporal: Sñal NRZ (No Rur Zro): Es la sñal digial qu agoa complam l irvalo d bi. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.7

8 Sismas d rasmisió d Daos Sñal RZ (Rur Zro): So sñals digials qu o agoa l irvalo d bi y rora a cro, s dcir, id a cro as d acabar l irvalo. E comuicacios, s mjor rabajar: Bipolars a uipolars: Las sñals bipolars, i u ivl d coiua mor qu las uipolars, por lo qu csia mos rgía para rasmiirs, s compora mjor al aravsar los disposiivos físicos, como por jmplo, u rasformador, y i mor pérdida qu las uipolars. Es más scillo co sas sñals dcar los cambios y l sado dl mdio si dar lugar a rrors. RZ fr a NRZ: Básicam porqu l impo qu quda libr dl irvalo d bi, pud aprovchars para viar oros ipos d sñals muliplxado las sñals l mismo irvalo d impo, por lo qu s aprovcha mjor l mdio y s vía mayor caidad d iformació por sg. Sñals muliivl fr a biarias: Mayor caidad d iformació por uidad d impo. Vamos a vr u jmplo, la Figura d las sñals digials dfiidas ariorm: Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.8

9 Sismas d rasmisió d Daos EJEMPLO: vamos a viar la scucia digial co sñals digials difrs. x( Digial Biaria Digial Biaria RZ τ Muliivl. τ Muliivl. τ duració dl irvalo d bi. τ acho dl impulso. Figura 3. ipos disios d sñalizació digial. Ora vaja d las sñals digials bipolars s qu si la lía sá a cro, sabmos qu sá rposo, miras qu las uipolars o s sab a qu os rfrimos porqu l cro o i por qué corrspodrs co l cro ampliud. S llama acho d bada (B o W) d ua sñal al rago d frcucias l qu s muv la sñal. Exis acho d bada d la sñal y dl mdio. El acho d bada i rlació co la duració d los impulsos digials. Cuao mor sa la duració d los pulsos (τ) más caidad d iformació podrmos viar por uidad d impo(sg.). B Hrcios. τ Cuado hablamos d sñals aalógicas s l rago d frcucias l qu s muv la sñal, su oació ormalm s W o B como hmos comado ariorm. Si s muv r y 5, l acho d bada srá: W5MHz. Acho d bada Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.9

10 Sismas d rasmisió d Daos Cuado hablamos d sñals digials o s mid Hz, sio cadcia d bis por sgudo, s dcir, la caidad d bis por sgudo qu s vía por l caal d comuicacios...3. Parámros d ua sñal digial Vlocidad d Iformació, v i : Rprsa l úmro d bis qu s vía co ua sñal digial biaria (u irvalo d bi u bi). Vi dfiida por: v i, s mid bis sg Vlocidad d rasmisió o modulació, v : Es la ivrsa d la duració d los impulsos y vi dad por v, mdida baudios. τ Baudio: Es l úmro d sñals qu s vía al mdio por uidad d impo Sólo para sñals digials biarias (dos sados, bi csario), s igual a bis. La rlació r ambas vlocidads, v i y v vi dada por v i v sg, dod s l úmro d bis csarios para codificar los sados d rgía posibls d sa sñal digial. Ejmplo: si mos ua sñal muliivl co cuaro sados d rgía y v 96 Baudios, podmos calcular v i 96 bis sg Sismas aalógicos ípicos: Acho d Bada S/N lfoía baja calidad KHz. lfoía comrcial -4Hz. Radiodifusió 5-5KHz. 45 lvisió 5-7MHz. 5 Vidolfoía MHz. 45 Vidocofrcia MHz- GHz. 6 Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

11 Sismas d rasmisió d Daos Sismas digials: v i P lgrafía 5-96Baudios -4 Ordadors rmials PCM 6-8 (Rds) -9 Dod: S/N Sñal / Ruido. Coci r la pocia d la sñal y l ruido ihr. P Probabilidad d rror. Mid la caidad d bis rróos qu i la sñal. Por jmplo P -4, d bis viados uo s rróo. Gráfica dl spcro d frcucia. Logiud d oda Km Km m m m cm cm mm.mm Frcucia 3KHz 3KHz 3MHz 3MHz 3MHz 3GHz 3GHz 3GHz 3GHz Dsigació LF F L F M F H F VH HF U HF S HF E HF SE Bada Radar Aplicacios Audio Radio AM Radio FM Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

12 Sismas d rasmisió d Daos V Microodas Radar Ifrarrojo Dciblio: Uidad qu compara magiuds. Normalm compara pocia d la sñal r pocia d ruido. ambié mid disorsió y auació. db log S N Ejmplo: S4dB S 4dB log, por lo qu S 4. N N La pocia d la sñal s 4 vcs mayor qu l ruido. Cuado l coci id a igualars, sólo s scucha ruido y la sñal s pird. La mayoría d los ruidos afca pricipalm a la ampliud y, mor mdida, a la frcucia y a la fas d la sñal...4. La ly d Shao Dfi la capacidad máxima d acpació d iformació qu pud r u caal d comuicacios, s dcir, la capacidad bis/sg qu pud soporar u caal d comuicacios. Dod: S W log N C Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

13 Sismas d rasmisió d Daos W Acho d Bada. S N pocia d la sñal (waios) pocia dl ruido (waios)..5. oría spcral d la sñal E comuicacios, os irsa, pricipalm coocr la sñal l domiio d la frcucia, o sólo l domiio mporal. Rprsació mporal: Es la rprsació d ua sñal l domiio dl impo. Sría l caso d las sñals rprsadas hasa s momo. Rprsació Espcral: S corrspod co la rprsació d ua sñal l domiio d la frcucia, ya sa cíclica o agular. Sa la sñal: x() A cos( θ) Vamos a rabajar co dos ipos d rprsacios spcrals básicas: Rprsació dl spcro ampliud Cosis rprsar u diagrama d dos js la ampliud d la sñal fució d la frcucia. Ampliud A Espcro ampliud f Rprsació dl spcro fas Es la rprsació d la fas d la sñal fució d la frcucia. Fas Espcro fas θ f Los spcros, so rayas cradas a ua frcucia y co u drmiado valor d ampliud o d fas. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

14 Sismas d rasmisió d Daos Exis más d ua rprsació válida dl spcro ampliud o fas d ua sñal, por jmplo, para usra sñal arior mos qu: A A x() A cos( θ ) cos (- - θ) cos ( θ), ya qu como sabmos cos( α ± β) cosα cosβ m sα sβ s ( α ± β) sα cosβ ± sα cosβ El spcro ampliud arior s podría rprsar ambié d la sigui mara, para frcucias posiivas y gaivas. Ampliud A - f Físicam, o xis igua sñal qu s muva co frcucias gaivas, pro mamáicam sí, por lo qu s pud rprsar d sa mara. El spcro ampliud s simpr par frcucias (lo qu aparc a la drcha, aparc rfljado como u spjo a la izquirda). La ampliud d la sñal simpr s rprsa como l módulo, por lo qu simpr so valors posiivos. Eso s dbido al cocpo, d qu las ampliuds rprsa ralidad u valor d rgía o pocia d la sñal y por ao o s posibl r la vida ral rgías i pocias gaivas. S rprsa x() o X(f). El spcro fas arior s podría rprsar ambié d la sigui mara: Fas θ - -θ f Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

15 Sismas d rasmisió d Daos El spcro fas s simpr impar frcucia (lo qu aparc a la drcha, aparcrá a la izquirda pro l cuadra ivrso). Noa: Para l spcro ampliud, s vid qu la rprsació d la sñal o dpd d si la sñal s d ipo soidal o cosoidal, o sido así para l spcro fas dbido al dsfas d π qu xis r l so y l coso. Ejmplo: Dada la sñal x() 8 4s( π π ) 5cos( π 5) cos( 6 π ), 3 7 rprsar l spcro ampliud y l spcro fas. El spcro ampliud para frcucias posiivas vi dado por la figura 4: Ampliud Hz. 5Hz. 6 Hz. π f Figura 4. Rprsació dl spcro ampliud El spcro para frcucias posiivas y gaivas vi dado por la figura 5: Ampliud 8 6 Hz. π 5/ 5Hz. Hz. Hz. 5/ 5Hz. f 6 Hz. π Figura 5. Rprsació dl spcro para frcucias y -. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.5

16 Sismas d rasmisió d Daos Para l cálculo corrco dl spcro fas dbmos pasar los sos a cosos y los valors gaivos a posiivos mdia las fórmulas: ( α - π ) s( α) cos y cos ( α - π) -cos( α) La sñal os quda: x() 8 4cos( π - π ) 5cos( π 5 - π) cos( 6 π ) spcos srá: y sus Fas 6 7 π/7 Hz. -π/6 5Hz. 6 Hz. π f -π Fas π π/6 π/7-6 Hz. π -π/7-5hz. -Hz. Hz. -π/6 5Hz. 6 Hz. π f -π.. DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER El dsarrollo sri d Fourir s ua xcl hrramia mamáica para l sudio d sñals priódicas. Cualquir sñal priódica s pud dscompor, mdia l Dsarrollo Sri d Fourir u sumaorio d sos y cosos, muliplicados por uas cosas, los coficis dl dsarrollo qu rprsa valors d ampliud d la sñal a drmiadas frcucias. S dfi l dsarrollo d ua sñal x() como: a x() ( a cos b s ) dod los coficis dl dsarrollo so a y b : Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.6

17 Sismas d rasmisió d Daos a x() cos d b x() s d S pud igrar l priodo qu m covga, los límis d la sñal o i por qué sar r y. Cada érmio dsd uo a ifiio rprsa las ampliuds d cada uo d los armóicos (compos d rgía d la sñal) sa sñal a drmiadas frcucias. El dsarrollo sri d Fourir os prmi xplicar l cocpo físico d ua sñal. El sumaorio rprsa los múlipls rocios d rgía qu compo ua sñal, s dcir, las sñals i múlipls compos d frcucia, domiados armóicos, qu vibra a ua frcucia múlipl d la fudamal. π La mayor caidad d rgía la apora l armóico fudamal. D forma qu para muy pquño los valors d ampliud so aprciabls, la pocia máxima d ua sñal s cocra los primros armóicos dl dsarrollo. Para valors grads d los valors d ampliud so dsprciabls y la pocia qu apora sos armóicos s dsprciabl. Podmos coraros l dsarrollo sri d Fourir como: dod: x() a ( a cos b s ) x() d a s l érmio d coiua d la sñal y a y coficis dl armóico ésimo. b los a x() cos d b x() s d Los spcros ampliud y fas s rprsa como: Ampliud a b - b Fas arccg a f f Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.7

18 Sismas d rasmisió d Daos Ejmplo: Sa la sñal dada: x() 8 4s ( π π ) 5cos( π 5) cos( 6 π ) 7 s( 6 - π ) 3 dod 6 rad, la ampliud srá a b, s dcir, 7 sg Dsarrollo Sri d Fourir compljo El dsarrollo Sri d Fourir s pud por forma complja o xpocial. La fórmula complja dl dsarrollo sri, a la qu llgarmos posriorm, s la sigui: x() - C dod C s u úmro compljo co su módulo y su fas corrspodi: j C jθ C C a jb, por ao, l módulo d C s la ampliud: b C a b a. * C a jb Cojugado d C. Susiuimos a y b los valors d C : C qudádoos: a jb - - x() cos d x() - x() s d ( cos js ) d - x() - j d. - j C x() d C x() d - * - j Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.8

19 Sismas d rasmisió d Daos Sabido qu: j - j- - π π (- ) Obmos: C * - x() - j - d. * Es dcir, C (-) C, l cojugado s u cambio d sigo d la xpocial. Fórmula D Eulr: La xpocial complja sá rlacioada co l so y l coso a ravés d sa fórmula: Imagiaria ± θ j cos θ ± js θ jπ j j π j Ral j3π j Dod j cos y -j s j -j j Obmos las xpocials dcrci y crci d la sigui mara: j s j j -j j muliplicamos l so por (j) cos j -j j -j - j js j hacmos la rsa j Como - j s -j cos js y -j j -j j muliplicamos l so por ( j). Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.9

20 Vicor Moisés Hrádz Cham Sismas d rasmisió d Daos j -j j -j j j j s j cos Hacmos la suma Admás como ambié s j cos j A parir d so, vamos a vr como s obi l dsarrollo forma complja paso a paso: ( ) s b cos a a x() -j j -j j j b a a (susiuyo so y coso) ( ) -j j - j j j b a a simplificado ( ) ( ) [ ] - j j - j j jb a a (muliplico b por j) ( ) ( ) [ ] - j j jb a jb a a (saco facor comú) [ ] * - j j C C a (susiuyo por los valors corrspodis) [ ] - - j j C C a (por dfiició d cojugado) j C (cambio los límis icluyo l érmio cro) Por ao: - j C x() dod l módulo d C s la ampliud. La vaja dl dsarrollo forma complja s su mor cos cuao a cálculo mamáico comparádola co la forma covcioal dl dsarrollo.

21 Sismas d rasmisió d Daos... Dsarrollo Sri d Fourir forma ral Parimos d la fórmula dl dsarrollo forma complja: x() C - j jθ j [ C ] - (susiuyo C por dfiició) [ ( ) j θ C ] - (saco facor comú) a C cambio los límis) j( θ ) -j( θ ) (saco l érmio cro y a rso por l coso) a b cos ( θ ) (susiuyo l módulo d C y l S pud aplicar cualquira d las rs fórmulas para l cálculo mamáico. Para sñals priódicas forma d sos y cosos s sul uilizar la primra, para sñals digials la sguda, puso qu s más fácil calcular C qu a y b. Noa: Como s bi sabido si ua fució s par, l érmio b s aula, miras qu si la fució s impar s aula l érmio a. Ua fució s par si s cumpl qu x() x(-) impar si x() -x(-). Vamos a vr u pquño jmplo para asar los cocpos óricos. Ejmplo: Dada ua sñal d priodo al qu x() x( ), vamos a calcular l spcro ampliud co l dsarrollo forma complja. x() A -/ / - τ τ/ Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

22 Sismas d rasmisió d Daos Vamos a calcular C paso a paso. E los irvalos (-/, -τ/) y (/, τ/), la sñal val cro, por lo qu cambiamos los límis d igració. E l irvalo (-τ/, τ/), qu so los uvos límis d igració, la fució x()a, por lo qu ambié lo susiuimos. C - x() - j d τ -τ x() - j d τ -τ A - j d - j A - j τ -τ (Igramos) A j τ y dividimos por dos) j A s τ -j τ (susiuimos los valors y muliplicamos (susiuimos por l so) s A τ s τ Aτ τ (muliplicamos y dividimos por τ/) π s τ τ π τ A (susiuimos por π τ s A τ (simplificamos) π τ s f π τ τ f π τ A (susiuimos f por ) Aτ sic( f τ) (omamos x f τ) π ) Rprsmos l cofici C : Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.

23 Sismas d rasmisió d Daos C Aτ π τ 4π τ 6 π τ π s la frcucia s Cuado x id a cro, l lími d, por lo qu l valor d ampliud máxima s Aτ. Cuado π s π τ qu la fució s cor co l j d abscisas. π π( ) τ τ. Los valors d qu hac qu l so s aul, hac ; La disacia r cada par d rayas d la sñal s l armóico fudamal. Cualquir sñal priódica: i spcro ampliud discro. Cada raya spcral sá sparada d la adyac ua disacia π armóico fudamal., l E l primr cor co l j d abscisas s cocra la máxima caidad d rgía d la sñal. Esa s ua bua lcció para lgir l acho d bada d la sñal. B K. τ El acho d bada s ivrsam proporcioal a τ. Si dismiuimos la duració dl pulso l primr cor co l j s raslada a frcucias más alas. Admás si, l priodo dismiuy ocs: Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

24 Sismas d rasmisió d Daos Si <<< auma la disacia r rayas, l primr cor co l j s dsplaza a la drcha, s dcir, s producirá a frcucias mayors. S vía más pulsos por sgudo, y por ao, más volum d iformació por uidad d impo. Eso implica ambié u aumo d la frcucia d la sñal. Si >>> dismiuy la disacia r rayas, l primr cor co l j s produc a frcucias más bajas. S vía mos pulsos por sgudo, y por ao mos iformació. Dismiuy la frcucia. Si l spcro dja d sr discro, al dr las rayas a juars. La sñal dja d sr priódica y s muv co ua sola frcucia. Dsaparc l cocpo d armóico y l sumaorio dl dsarrollo s covir la igral d Rima. Mamáicam: j j x() C x() C π X( ) j d π dsaparc l cocpo d armóico. π d. C X(). La fució coiua d la frcucia s dfi como: rasformada dirca d Fourir: X( ) - x() - j d y su ivrsa como: rasformada ivrsa d Fourir: x() π - X( ) j d ao ua como la ora os va a srvir para pasar d u domio mporal a oro (d la frcucia) y a la ivrsa. Si go ua sñal x(), y quiro obr su Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

25 Sismas d rasmisió d Daos spcro frcucia uilizo la rasformada dirca d Fourir. Dl domiio d la frcucia al domiio mporal s pasa uilizado la rasformada ivrsa d Fourir. Es par d rasformadas vi rprsadas como: x() X() F[x()] X() x() F - [X()] El sudio d las sñals priódicas, qu o xis la auralza, os prmi, a ravés d la rasformada sudiar l comporamio l domiio d la frcucia d sñals o priódicas, qu sí so más comus coraros la ralidad...3. Fucios spcials. El impulso uiario Es u impulso idal: S produc l lími A y τ d la fució pulso. Su rprsació mamáica vi dada por la fució Dla d Dirac δ(), la cual rprsa dicho impulso uiario. τ A τ A, s dcir, l ára bas * alura, id a uo. La fució dla d Dirac s u impulso d isidad uiaria crado u isa d impo o d frcucia o cualquir domiio rasformado. δ() τ A Figura 6. Fució impulso uiario τ E comuicacios, sa fució s uiliza como fució pruba d circuios físicos. Si xcio u circuio físico co δ(), l circuio rspod co ua fució h(), la rspusa a s impulso. D sa forma, coocido h(), coocrmos cómo rspod l circuio a cualquir sñal x(), d rada. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.5

26 Sismas d rasmisió d Daos δ() CIRCUIO FÍSICO y()..4. Difrcia pulso impulso - Pulso s ral. A τ - Impulso o s ral, s u lími. A τ Ejmplo: Rprsació d u pulso crado l orig. Sa la sñal x() dada: x () A τ τ l rso U pulso vi dfiido por la sigui rprsació o A Π, dod: τ A Ampliud dl pulso. Π Símbolo qu rprsa l pulso. o Isa l qu s produc. τ Duració dl pulso, s dcir, acho d pulso. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.6

27 Sismas d rasmisió d Daos Propidads d δ(). La fució impulso uiario sólo dfi sus propidads dro d ua igral. So las siguis: - δ ( - ) d - δ ( - ) d δ ( - ) f() d f( ) - - j - j δ( - ) d - δ ( - ) δ( - ) d δ( - ) - δ() d δ( - ) - - d δ() d δ() j d A δ ( - ) A δ( ) A δ ( f ) - f f f Noa: E ralidad o s habla d ampliud d la fució dla d Dirac, sio d isidad. Si go ua fució coiua pudo porla como sumaorio [ δ ( - )], d rayas cradas isas d impo disios, pudo dscomporla u sumaorio d fucios dla d Dirac. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.7

28 Sismas d rasmisió d Daos..5. Sñals d Ergía y sñals d Pocia E comuicacios xis dos ipos d sñals d rgía: - Sñals d pocia: Cuado rabajamos co sñals priódicas l cocpo d rgía fiia o xis. La rgía d ua sñal priódica, óricam, s alcazaría l ifiio. A sas sñals s ls llama sñals d pocia y su cálculo vi dado por la pocia mdia d la sñal: P m x() d Si calculamos la pocia mdia d cada armóico y la comparamos co la pocia mdia d la sñal, podmos obsrvar l porcaj d rgía qu apora s armóico al oal d la sñal. Noa: D la oría d circuios sabmos qu la pocia qu s disipa u rsisor R vi dada por P v () R. Por covio RΩ. - Sñals d rgía: Las sñals d rgía i ua duració fiia, so sñals o priódicas y su rgía s pud cuaificar u irvalo d impo fiio. Las sñals d rgía so sñals co u comporamio fiio, u irvalo d impo i u valor sigificaivo y dspués s aula. Normalm so xpocials dcrcis dl ipo vi dado por: A - τ. El valor d rgía E - x() d..6. Propidads d la rasformada d Fourir La rasformació d Fourir i ua sri d propidads qu so pculiars y la dfi ambos domiios. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.8

29 Sismas d rasmisió d Daos UNÍVOCA: No xis dos sñals difrs l impo qu ga la misma rasformada l domiio d la frcucia. Los pars d rasformadas so úicos. x() X() y() Y() z() Z() LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD: La rasformada d ua suma d varias fucios l domiio dl impo muliplicadas por cosas, s igual a la suma d las rasformadas d sas fucios muliplicadas por las cosas corrspodis. K x() K y() K 3 z() K X(f) K Y(f) K 3 Z(f) Homogidad: Si go l domiio mporal ua sñal muliplicada por uas cosas, l domiio d la frcucia ambié sará muliplicada por sas cosas, s dcir, las cosas qu xis u domiio s mai al pasar la sñal a oro domiio. Lialidad: Si go l domiio mporal sumas o rsas d sñals, al pasar al domiio d la frcucia obgo sumas o rsas d sus rasformadas. DERIVABILIDAD x() X( ) dx() j X( ) d Es dcir, si go ua sñal x() y obgo su rasformada, drivado sa sñal x() co rspco al impo lo qu soy hacido s aumar las compos d ala frcucia d la sñal, s dcir, la sñal s raslada a frcucias más alas. S pud aplicar co las drivadas sguda, rcra Dmosració: Sa x() la F - [X()] x() π - X( ) j d Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.9

30 Sismas d rasmisió d Daos d x() d π - j [ ] d X( ) d d π - j X( ) j d Dod j X( ) s ua fució d frcucia F() qu s la drivada d la sñal origial. Esa propidad implica qu para ampliar las compos d la sñal l domiio d la frcucia, sólo la go qu drivar l domiio mporal y l d la frcucia la obgo ampliada. EOREMA DEL DESPLAZAMIENO EN EL IEMPO x() X( ) -j x( - ) X( ) Es dcir, si dsplazamos l pulso l domiio mporal ua magiud -j, l domiio d la frcucia s produc u dsfas dpdi d s dsplazamio l domiio mporal. Dmosració: Sa - j X( ) x() d la rasformada dirca d Fourir, si dsplazamos : j X( ) x( - ) d (Por susiució u - u d du obgo) j(u ) - ju - j x(u) du x(u) du - j - ju - j x(u) du - X( ) Noa: para la dmosració dsplazo, o susiuyo por ( - ). -j (l érmio o dpd d la igral) x(- ) X( ) -j A Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

31 Sismas d rasmisió d Daos EOREMA DEL DESPLAZAMIENO EN FRECUENCIA. x() X( ) j x() X( - ) Es dcir, si dsplazamos l pulso l domiio d la frcucia, l domiio mporal s produc u dsfas Dmosració: j. Sa - j X( ) x() d la rasformada dirca d Fourir, si dsplazamos - : j j - j [ x() ] x() d - j( - ) F x() - - d - - j( - ) X( - ) x() d x() j X(- ) EOREMA DE DUALIDAD La propidad d dualidad os dic qu si coocmos pars d rasformadas y algua d llas os aparc l domiio corario o s csario l cálculo d la igral d Fourir. Vamos co u jmplo gráfico. Sa los pars d rasformadas: x() X( ) Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

32 Sismas d rasmisió d Daos F [ X() ] π x( ) Para frcucias cíclicas, sabmos qu x() X(f) πf, os quda: x() F[ X() ] x(-f) s τ X( ) A τ τ A τ X() F[X()] Dmosració: Sa π - j x() X( ) d la rasformada ivrsa d Fourir: - j x( ) X() d (Cambio d variabl π por ) por F [ X() ] - X() - j d (rasformada dirca d Fourir por dfiició) - j π x( ) X() d (Pasamos al oro lado d la igualdad) π Si obsrvamos las dos úlimas cuacios, podmos comprobar qu so iguals pro co sigo corario. Cambiamos l sigo la úlima cuació, os quda: Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.3

33 Sismas d rasmisió d Daos F [ X() ] π x(-) Noa: l sigo sólo va a r sido para fucios impars, ya qu para las pars sabmos qu x() x(-) Para sñals ao priódicas como o priódicas s cumpl qu: X() X(-), porqu las rasformadas so compljos y sabmos qu C C-. PROPIEDADES DE LOS ESPECROS. Como ya vimos ariorm, l spcro ampliud s simpr par frcucia y l spcro fas s simpr impar frcucia..3. SISEMAS LINEALES Para sudiar l comporamio d las sñals al aravsar los sismas físicos la rasformada d Fourir s ua hrramia muy válida. A ravés d lla podmos coocr ambié l comporamio frcucia d dichos sismas, s dcir cómo rspod frcucia los circuios físicos qu fabricamos. Sisma Físico: So compos hardwar qu rspod al paso d las sñals co ua drmiada salida a ua drmiada rada. Por jmplo, u circuio RC. x() SISEMA FÍSICO y() Sgú su comporamio, xis dos ipos d sismas físicos: - Sismas Lials. - Sismas No Lials. Los sismas lials, cumpl uas propidads qu los caracriza sí mismo y qu s dfi a coiuació: Homogidad y Lialidad. a x() a y() Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.33

34 Sismas d rasmisió d Daos Ivariaza l impo: S dic qu u sisma físico s ivaria l impo si: x(-τ) y(-τ) Es dcir, si la sñal ra al sisma físico co u dsfas mporal τ, la salida dl sisma sará rardada la misma magiud. Si o s cumplira algua d sas propidads l sisma sría o lial. U sisma lial quda complam dfiido por la fució H(j), domiada FUNCIÓN DE RANSFERENCIA O FUNCIÓN DE RESPUESA EN FRECUENCIA, dod j s l argumo compljo qu idica qu dicha fució s ua fució complja d la frcucia. La fució H(j) s ua fució coiua d la frcucia qu dfi complam l comporamio frcucia dl sisma lial cuado lo aravisa drmiadas sñals. odo sisma lial vi dfiido: x() y() H(j) Si coocmos dos parámros dl sisma lial, podmos drmiar l rcro, s dcir: - si os da x() y H(j) podmos coocr la salida y(). - si os da y() y H(j) podmos coocr la rada x(). - si os da y() y x() podmos coocr la fució rspusa frcucia H(j). H(j) s, por dfiició, la rasformada d Fourir d la fució h(), fució rspusa al impulso uiario. La fució impulso uiario s ua fució pruba d sismas físicos. x() X(j) y() Y(j) Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.34

35 Sismas d rasmisió d Daos h() H(j) δ() h() Si mos u sisma lial qu rspod a la salida co la fució h(), sigifica qu la sñal d rada s la fució impulso uiario δ(). x() x( τ) δ( τ) δ() os prmi hacr discra cualquir sñal coiua, porqu os prmi dscomporla impulsos. Si coocmos como rspod u sisma a la fució impulso uiario δ(), podmos sabr como rspod s mismo sisma a cualquir sñal d rada x(). Es dcir, coozco δ() y coscucia la fució rspusa a u impulso uiario h(), calculado F[h()]H(j), qu s la fució d rspusa frcucia dl sisma lial. Por ao, coocido la rada x() y H(j), pudo drmiar la salida y(). x() H(j) y() Vamos a vr como rspod u sisma lial a ua sñal d rada x(): F F [ X ( j) ] x( ) j X ( j) d π [ Y ( j) ] y( ) j Y ( j) d π Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.35

36 Sismas d rasmisió d Daos Cada uo d los ifiios valors qu oma la sñal d rada x() vi afcado la misma proporció por H(j). Por ao: j y( ) X ( j) H ( j) d π Y ( j) X ( j) H ( j) Produco. Para obr la salida sólo dríamos qu obr la rasformada ivrsa d Fourir d Y(j). Dl mismo modo: X ( j) Y ( j) H ( j) H ( j) Y ( j) X ( j) Ejmplo: Supogamos u circuio RC como l d la figura: v i () R v () Su fució d rspusa frcucia vi dada por: C H ( j) j Y su magiud por: H ( j) ( ) Su rprsació spcral s pud vr la figura 7:,77 Figura 7. Rpusa frcucia d u circuio RC. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.36

37 Sismas d rasmisió d Daos Co bu cririo dbríamos scogr l rago d frcucias l qu la sñal i ampliuds aprciabls. Vamos a omar,como acho d bada, dod H(jw) oma l valor,77. El acho d bada dl sisma físico i qu sr simpr mayor qu l d la sñal, si o, a la salida obdrmos la sñal rcorada sus parámros. Normalm, los rcpors i u acho d bada suprior al d la sñal qu s vía. Por jmplo, la lvisió i mayor acho d bada qu la sñal qu rcibimos. Eso s pud obsrvar l jmplo d la figura 8.,77 acho d bada dl sisma. acho d bada d la sñal. Figura 8. Comparaiva d achos d bada..3.. Modlo d Sismas Lials Como ralidad la fució impulso uiario o xis la auralza, vamos a vr u jmplo d cómo s pud aproximar u pulso ral a la fució δ(). Vamos ralidad a modlar u sisma. Siguido co l jmplo dl circuio RC. Sa u pulso d achura A y duració τ. Vamos al laboraorio y xciamos l sisma RC co s pulso y obsrvamos su salida. Rducimos l pulso a la miad y sguimos vido como rspod l circuio RC ( Vr figura 9). Como s pud obsrvar llgado u puo por más qu s rduzca l pulso la forma d la sñal o cambia. E s puo l pulso d duració τ y ampliud V s pud aproximar al produco Vτ δ(). S dic qu l sisma s ha sabilizado. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.37

38 Sismas d rasmisió d Daos v i () E l lími V Vτδ() τ V τ Por lo ao, para usro circuio: v i () v () V V τ τ V V τ τ V V τ τ V V τ τ Figura 9. Modlado d u circuio RC al impulso uiario. Si xcio s sisma lial obgo como rspusa h V RC RC ( ). Por lo qu pudo obr la fució d rspusa frcucia H(j), puso qu s la rasformada dirca d Fourir d h(). v i () v () Lugo si: Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.38

39 Sismas d rasmisió d Daos v ( ) Vτ δ ( ) i Vτ RC v ( ) RC Simplificado Vτ a la rada y a la salida, os quda a la rada la fució impulso uiario δ() y a la salida la fució rspusa a u impulso uiario h(). δ() h() RC RC Los sismas físicos i cosas d sabilizació qu prmi coocr cuado l comporamio o la rspusa dl sisma o cambia y prmac sabl. NOA: Sólo a parir dl momo l qu l sisma s hac sabl y, supoido qu τ << c. d sabilizació dl sisma físico, s pulso d ára Vτ s pud modlar como ua fució δ() co isidad Vτ, s dcir, Vτ δ()..3.. orma d Covolució Vimos qu co la fució δ(), podíamos dscompor cualquir sñal x() ua suma ifiia d impulsos crados isas d impo disios y co isidads dpdis d la ampliud d la sñal x() cada isa.. x() x(τ) τ Cuao más srcho sa, más os aproximamos. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.39

40 Sismas d rasmisió d Daos Por lo ao usra sñal s podrá por como: dod: x ( ) x( τ ) τ δ ( τ ) x (τ) τ s la isidad dl impulso hacido la misma suposició d as. δ ( τ) s l isa l qu s produc l impulso. El sumaorio rprsa la sñal x() compla. Si τ, l icrmo s rasforma difrcial, l sumaorio pasa a sr la igral d Rima, y os quda: x ( ) x( τ ) δ ( τ ) dτ Sabmos qu si la fució impulso uiario δ() s la sñal d rada d u sisma lial, a la salida mos la fució rspusa a u impulso uiario h(). δ() h() Co so pudo drmiar para cualquir sñal d rada x(), cual s la sñal d salida y(). x() y() Eso qu samos uciado s l orma d Covolució. La igral qu rprsa la covolució vi dada por: y ( ) x( τ ) h( τ ) dτ Igral d Covolució S dic qu y() s igual a x() covolucioado co h(). La igral d covolució s simérica y por ao: y ( ) x( ) h( ) x( τ ) h( τ ) dτ Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

41 Sismas d rasmisió d Daos y() x() h() Porqu s simérica. y() h() x() Por lo qu: y ( ) h( τ ) x( τ ) dτ Vamos a vr oro jmplo d rspusa d u sisma lial a la fució xpocial complja: Para la xpocial complja mos qu: x() j A y()? Aplicado covolució: y ( ) h( ) x( ) x( ) h( ) x ( τ ) h( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ (Si j j( - τ ) x() A x( - τ ) A ) j jτ h( τ ) dτ (Sacamos l érmio qu o dpd d τ) j jτ h( τ ) dτ Es dcir la fució y() d salida s igual a la xpocial complja muliplicada por la fució d rspusa frcucia H(j). y( ) j jτ h( τ ) dτ Si paricularizamos para ua drmiada sñal d frcucia mos: j j y x() A () A H(j ) Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

42 Sismas d rasmisió d Daos Sabmos qu la fució rspusa frcucia, por sr u úmro compljo, s pud por fució d su módulo y su fas d la sigui forma: H ( j ) H ( j ) jθ Por lo qu la salida a s sisma lial s pud por como: y ) A H ( j ) ( j jθ s dcir: y ( ) A H ( j ) j( θ ) La coclusió impora qu sacamos s qu u sisma lial, la sñal qu lo aravisa, sa dl ipo qu sa, sufr modificacios ampliud y fas, pro o frcucia. Esa variació vi dada por la fució rspusa frcucia: H ( j) H ( j) jθ dod: - ( j ) j - θ H s la ampliud. s la fas. La frcucia d la sñal d rada s idéica a la d la sñal d salida. Gralizado para cualquir sñal: x θ () A cos( ) () Bcos( ) H(j ) y θ El dsfas qu iroduc l sisma s θ y vi dado por θ θ θ. - Si o hubis dsfas a la rada θ θ, s dcir l dsfas qu s produc a la salida lo produciría l propio sisma. Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.4

43 Sismas d rasmisió d Daos - Si por l corario o hubis dsfas a la salida sigificaría qu l dsfas qu s iroduc a la rada s d sigo corario al qu produc l sisma, s dcir: θ θ E cuao a la ampliud: B H j ) A H ( j ) ( B A Eso s dmusra si iroducimos a la rada d u sisma lial ua sñal x () A cos. cos x() j j j j (susiuydo x()) A A j j. Sabmos: x() A j y() A H(j ) j( θ ) Por lo qu: A x() j y() A H(j ) j( θ ) A x() j y() A H(j ) j( θ ) Si lo sumamos obmos la sñal d salida: y () A H(j ) θ ) A H(j ) j( j( θ ) j( θ ) j( θ ) A H ( j) A H ( j ) cos( θ). Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.43

44 Sismas d rasmisió d Daos Fució δ() como fució pruba d Sismas Lials Como ya sabmos si coocmos la fució rspusa frcucia a u impulso uiario, h(), podmos coocr por covolució, la salida a cualquir sñal d rada x(). Vamos a vr por qué la fució δ() s la mjor fució pruba d sismas físicos. La rprsació l domiio d la frcucia d u pulso crado l orig ra, como vimos ariorm, la sigui: x() s τ X( ) A τ τ A τ E la rprsació spcral l primr cor co l j d abscisas K τ vamos rducido l domiio mporal τ, l domiio d la frcucia l primr cor co l j d abscisas s irá producido a frcucias mayors. Gráficam:. Si x() X() τ Cuado hablamos d A y τ, l domiio d la frcucia l primr cor co l j d abscisas s producirá l ifiio!!. Por lo ao podmos dcir Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.44

45 Sismas d rasmisió d Daos qu la rasformada d Fourir d δ() s ua raya d valor uiario dsd - hasa. δ() X() τ δ() A Eso s dmusra iuiivam. Si uilizamos δ() para xciar u circuio físico, la rspusa frcucia dl sisma, s ralidad, ua rspusa a odas las frcucias posibls d rada. Es acho d bada srá quival a odas las frcucias posibls. Es, por ao, como si s probas l sisma para odas las frcucias qu xis, por lo qu la fució impulso uiario s muy válida como fució pruba orma d Parsval El orma d Parsval os dic qu la rgía o cambia al pasar dl domiio mporal al domiio d la frcucia, y vicvrsa. Es dcir, o xis pérdida d rgía al pasar d u domiio a oro. X ( f ) x( ) X ( f ) X ( f ) X * ( f ) X ( f ) DENSIDAD ESPECRAL, s dcir, rgía oal d la sñal. P m x() d E - x() d - X(f) df Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.45

46 Sismas d rasmisió d Daos.4. ANEXO.4.. abla d igrals x. x dx C dx. L(x) x C x x 3. dx C x a 4. a dx C L(a) 5. [ s x] dx cos x C 6. [ cos x] dx s x C 7. [ g x] dx L cos x C 8. [ co g x] dx L s x C dx 9. co g x s x x C dx. g x cos x C dx. arcs x C x dx x. arcs C a x a dx 3. L x x ± a C x ± a dx 4. arcg x C x dx x 5. arcg C a x a a Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.46

47 Sismas d rasmisió d Daos dx a x 6. arcg C a x a a x dx x a 7. arcg C x a a x a.4.. abla d drivadas. y f (x) g(x) y ' f ' (x) g' (x). y K f (x) y' K f ' (x) 3. y f (x) g(x) y ' f ' (x) g(x) f (x)g'(x) 4. f (x) y g(x) f ' (x) g(x) f (x) g' (x) y' g (x) 5. y [ f (x)] y' [ f (x)] f ' 6. y Lf (x) f ' y ' f f ' (x) 7. y L af (x) y' log a f (x) (x) 8. a f g(x) 9. f (x) f (x) y y' a f '(x) L a g (x) f '(x) y y' f (x) g' (x) L f (x) g(x) f (x) Pasos: 9.. g(x) L y L f (x) 9.. L y g(x) L f (x) 9.3. y' y g' (x) L f (x) g(x) f ' (x) f (x) f '(x) 9.4. y ' y g' (x) L f g(x) f (x). s f (x) y y' f '(x) cos f (x). y cos f (x) y' f '(x) s f (x). g f (x) y y' f ' (x) [ g f (x)] Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.47

48 Sismas d rasmisió d Daos. 3. y arcg f (x) f '(x) y' f (x) 4. y arcs f (x) y' f ' (x) f (x) 5. y arccos f (x) y' f (x) f (x) 6. y [ f οg(x) ] y ' f ' ( g(x) ) g' (x) Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.48

49 Sismas d rasmisió d Daos Razos rigooméricas. FÓRMULA FUNDAMENAL DE LA RIGONOMERÍA s α cos α co g α cos c α s s α cos α s α α s α g α sc α s cos α cos α cos α α cos α. RELACIONES ENRE CUADRANES s α s(8º α) s α cos(9º α) cos α cos(8º α) cos α s(9º α) s α s(8º α) s α cos(7º α) cos α cos(8º α) cos α s(7º α) 3. RELACIONES s( a ± b) s a cos b ± cos a s b cos( a ± b) cos a cos b µ s a s b 4. ANGULO DOBLE s α s α cos α cos α cos g α g α g α α s α 5. ANGULO MIAD α s ± cos α α cos ± cos α α g ± cos α cos α 6. SUMA Y DIFERENCIA Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.49

50 Sismas d rasmisió d Daos A B A B s A s B s cos A B A B s A s B cos s A B A B cos A cos B cos cos A B A B cos A cos B s s 7. ORAS: cos α cos α cos α cos α s α cos α s( α) s α cos( α) cos α.4.4. Oras oas d irés ( < ( ) ± Vicor Moisés Hrádz Cham hdzcham@ux.s.5