Transformada de Laplace

Transcripción

1 Traformada d Laplac Traformada d Laplac Dada ua fució d variabl cotiua f, u traformada bilatral d Laplac dfi como: t [ f ] f dt L dod ua variabl complja, σ iω Para qu ta itgral covrja, dcir, para qu ita la traformada d f, cario qu γ t f < para algú valor ral d γ Si σ, iω la traformada bilatral d Laplac covirt la coocida traformada d Fourir D mara imilar, dfi la traformada uilatral d Laplac como t L [ f ] f dt F El ímbolo idica qu l itrvalo d itgració iclu cualquir impulo o fució igular coctrada t Eta última forma d la traformada d Laplac rulta útil para aalizar itma caual, to, itma para lo cual la ñal d alida cualquir itat dpd ólo d lo valor d la ñal d trada l itat prt lo atrior, pro o d lo futuro Toda ñal caual ti u itat d iicio, d modo qu la fució qu la rprta ula para cualquir itat prvio Para vitar ambigüdad idicarmo gral a la ñal d trada como f u, dod u la fució caló uitario o fució d Haviid E lo qu igu, hablarmo d la traformada d Laplac a ca para rfriro a la forma uilatral, como abuo d otació, idicarmo co lugar d al límit ifrior d itgració Para qu ita la fució F dfiida, to, para qu la itgral covrja, rá cario impor algua rtriccio l domiio d la fució F E otra palabra, rá cario tablcr para qué cojuto d valor compljo d it F Et puto comprdrá co maor claridad cuado aalicmo l comportamito lo límit Vrmo a cotiuació algua propidad d la traformada d Laplac otarmo u imilitud co aqulla d la traformada d Fourir UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

2 Traformada d Laplac Propidad d la traformada uilatral d Laplac Comportamito lo límit: Aalizamo lo límit d F dfiida para para Si F cotiua l orig, toc, lim F F f dt t t E l otro trmo, lim F lim f dt f lim dt Para valuar l último límit, tgamo prt qu ua variabl complja por lo tato, pra iφ mdiat u módulo u argumto la forma coφ i φ Tdr co a ifiito igifica movro ua dircció arbitraria obr l plao compljo hacia puto ifiitamt aljado dl orig Eto quival a dcir qu qui tid a ifiito, para t cualquir θ arbitrario E la fució pocial, l pot t tcoφ i φ La pocial pud dcompor do factor la forma t t coφ i t φ El gudo factor u compljo d módulo, idpditmt dl valor qu tom lo parámtro qu itrvi, d modo qu u compot ral imagiaria mati acotada cuado El primr factor, cambio, ral pud hacr ifiito i l pot hac poitivo Dado qu tato como t o catidad poitiva rcordar qu tamo aalizado la traformada uilatral, dod t>, cario qu tambié a coθ> para qu la pocial covrja cuado Pro to ig qu π / < φ < π / Dado qu ϕ l argumto d, ta codició quival a igir qu la part ral d a poitiva Tmo aí qu t t lim lim i R > por lo tato, lim F i R > Lialidad: Si L f ] F L f ] F, toc, para cualquir par d úmro compljo a [ [ t t b particular, ral, L [ af bf ] [ af bf ] dt a f dt t b f dt af bf Lugo, L af bf ] af bf al [ f ] bl [ f ] [ UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

3 Traformada d Laplac Cambio d cala: Si L [ f ] F, toc, para cualquir cotat ral a >, t L [ f a] f a dt / a / a f d f d F a a a a dod mpló l cambio d variabl at Lugo, L [ f a] F a a Dplazamito l timpo: Si digamo co F a la traformada d f u, toc, la traformada d t t f t u t L[ f t u t ] f t t dt f d t t t f d F, dod fctuó l rmplazo t t Lugo t L[ ] t f t t u t t L[ f u ] F Dplazamito aálogo al corrimito frcucia d la traformada d Fourir: at at t a t L[ f ] f dt f dt La guda itgral ti la mima forma qu pro co -a l lugar d Por lo tato, covrg i R > a, a F a Lugo, at L [ f ] F a Traformada d la drivada l timpo: t t t L[ f ' ] f ' dt f f dt f F, dod ha itgrado por part ha uado la codició d qu f d ord pocial para jutificar la t aulació dl térmio f t Por lo tato, i coocmo la traformada F d f, podmo obtr la d u drivada mdiat L [ f ' ] F f Aalicmo l comportamito lo límit Por u lado, UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

4 Traformada d Laplac t lim L[ f ' ] lim f ' dt f ' dt f lim f f t Pro admá lim L [ f ' ] lim F f Igualado amba prio, obtmo lim F lim t t Por otra part, lim L[ f ' ] f ' lim dt i R >, como aalizó má arriba Pro admá, lim L [ f ' ] lim F f Igualado amba prio, rulta f lim F f i R > Traformada d la guda drivada: t t t L[ f '' ] f '' dt f ' f ' dt rultado obtido para la primra drivada, llgamo a f ' L [ f ' ] Uado l L [ f '' ] F f f ' Traformada d la drivada -éima: Mdiat u procdimito por rcurrcia, obti L [ f ] F f L f f f Traformada d la itgral: t S quir calcular la traformada d f d térmio d la traformada d f Para to, t dfi g f d, qu dpd dl límit uprior d itgració, t La itgral da l ára dbajo d la curva rprtativa d la fució f, tomada tr u valor t variabl El valor dl ára dpd d la poició dl límit uprior d itgració La fució g aí dfiida ua primitiva d f, d acurdo co l torma fudamtal dl cálculo itgral, cumpl qu g ' f Si digamo co G a la traformada d g, mplamo la rlació a probada tr la traformada d ua fució d t la d u drivada, tmo UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

5 Traformada d Laplac F L [ f ] L [ g' ] G g Pro g f d, por lo tato, F G, dcir t L[ f d] L [ f ] t Traformada d t f : Si la prió F f dt, qu dfi a la df t traformada d f, drivamo co rpcto a, obtmo t f dt Eta d itgral rprta a la traformada d t f Lugo, df L[ t f ] d Eta rlació idica qu, i coocmo la traformada d ua fució f, para calcular la d t f o bata co drivar a la atrior co rpcto a la variabl complja Eto rulta gral má impl qu traformar t f a partir d la dfiició d la traformada Má aú, mucho cao, al aplicar la dfiició obti ua fució cua itgració rulta mu complicada o impoibl Tal l cao d la fucio t t t Como vrmo, L[ t ] Al aplicar la dfiició para traformar t t, obtmo L [tt] tt t dt Eta itgració db rolvr l campo compljo o tá al alcac d d t curo Si mbargo, L [ t t ] pud obtr a partir d d Traformada d t f : A partir dl rultado atrior, podmo obtr ta traformada, dcompoido ta d d d prió como t t f L[ t f ]L[ t tf ] L[ tf ] L[f] d d d d d F L[f] Lugo, d d d F L[ t f d Traformada d t f : UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

6 Traformada d Laplac Rpitido vc l procdimito atrior, vmo qu cada vz qu icrmta ua uidad la potcia d t, l igo d la traformada ivirt icrmta ua uidad l ord d drivació Por lo tato, L[ t d f ] L[f] d d F d Traformada d f / t : Dfiimo g f / t qurmo valuar L [ g ] G Uado u rultado atrior, dg F L[f] L[ t g ], d dod dg F d dcir, la traformada d G d f / t ua primitiva d F, qu la traformada d f Para cotrar a primitiva, tgamo cuta l comportamito l límit, to lim G Ahora itgrmo ambo mimbro d ombr d la variabl d itgració Lugo, dg F d tr, cambiado por w l dg w lim G w G G F w dw w f L[ ] F w dw t Cálculo d la traformada d Laplac d algua fucio lmtal, t < f u, t > t Q σ iω Q L t [ u ] dt lim lim Q Q σ Q iωq lim La guda pocial ti módulo, d modo qu mati Q acotada cuado Q La primra, covrg a ólo i σ > Lugo, L[ u ] i R > f δ Si ittamo fctuar la traformada d ta fució mdiat la dfiició, cotramo t L[ δ ] δ dt, pro ta itgral o pud rolvr Rcordar qu itgral imilar qu ivolucra a la fució impulo uitario δ abarca l itrvalo d itgració -, E cambio, rcurrimo a otro procdimito, dfiido la fució / λ, t λ δ λ t qu cumpl qu δ λ t dt qu lim δ λ δ, otro valor λ UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

7 Traformada d Laplac λ t λ λ t t Calculamo ahora L[ δλ ] δλ dt dt Etoc, λ λ λ λ λ L [ δ ] L[ lim δ λ ] lim L[δ ] λ λ λ t lim lim λ λ, dod hmo λ aplicado la rgla d L Hopital para calcular l límit dl cocit idtrmiado dl tipo /, drivado l umrador l domiador co rpcto a λ E rum, L [ δ ] h t u Coocido la traformada d u la rlació qu vicula la traformada d ua fució d f co la d tf, L[ t f ] L [f], tmo d d L[ t u ] d h t u Dl mimo modo, L [ d d t u ] L[ t t u ] L[ t u ] d d d! L[ t u ] d gralizado,! L[ t u ] h at u Coocido la traformada d u la rlació qu vicula la traformada F d ua fució f co la d at f, L [ at f ] F a, tmo L[ at u ], válido para R > R a a f co at u co a cotat ral iat iat Dado qu co at, calculamo la traformada d amba pocial uado l rultado atrior L iat [ u ] L[ u ], ia ia válido para R > Lugo, L [co at u ] iat L[ iat u ] ia ia R > a UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 76

8 Traformada d Laplac f at u co a cotat ral iat iat Dado qu at, i iat L [ at u ] L[ iat a u ] i i ia ia, válido para R > a f coh at u co a cotat ral at at Dado qu l coo hiprbólico coh at, u traformada pud calcular a partir d la d la pocial L[ at u ], válido para R > a L[ at u ], válido para R > a a a Lugo, at L [coh at u ] L[ at u ] a a, válido para R > a a f h at u co a cotat ral at at La fució o hiprbólico h at u traformada at L [h at u ] L[ at a u ] a a a, válido para R > a Otro jmplo t Ejmplo : f co t u Para traformar ta fució podmo uar la dfiició o bi hacr uo d la traformada dl coo d la propidad d corrimito qu rulta d la multiplicació por la fució pocial L[co t u ], rmplazado a la prió atrior para la traformada dl coo L[ t co t u ], dod, la prió para l corrimito at aociado a la pocial ha rmplazado a por Ejmplo : f t t Calculamo primro L[ t ] El producto por t coduc a drivar do vc d rpcto d la traformada: L [ t t] La primra drivada d UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 77

9 Traformada d Laplac 6 6 la guda, Lugo, L[ t t] Traformada ivra o atitraformada d Laplac Cuado tudiamo la traformada d Fourir aprdimo a cotrar l pctro d frcucia Fω corrpodit a ua dada fució dl timpo f, rolvido para to ua itgral l timpo Tambié aprdimo a rolvr l problma ivro, dcir, dado l pctro d frcucia, dtrmiar la fució d t aociada Eto la traformada ivra o atitraformada d Fourir, qu rquir ua itgració l domiio d la frcucia ω El tudio d la traformada d Laplac, mucho apcto, imilar a aquél La úica difrcia importat aparc l paaj d la frcucia, o mjor dicho d la variabl imagiaria iω a la variabl complja Si mbargo, l procdimito d atitraformar itroduc l cao d Laplac ua dificultad ialvabl a ta altura, a qu ig rolvr itgral la variabl La itgració l campo compljo u tma d la matmática qu dmada u tudio miucioo capa al alcac d t curo Por otra part, para la maor part d la aplicacio d la traformada ivra d Laplac qu puda itraro, bata co dipor d ua tabla uficitmt complta d traformada dircta d fucio lmtal qu habrá qu lr d drcha a izquirda tr u bu majo d la propidad Aplicarmo la traformada ivra a fucio d, F, obtdrmo u corrpodit fucio d t, f Para idicar la traformada ivra mplarmo l ímbolo L - No darmo igua toría gral Sólo rolvrmo alguo jmplo, co la tabla d traformada dircta a la vita Ejmplo : L - [ ] La fució F dada ti ua forma imilar a la d la traformada d la fució o Para hacr vidt parcido, la rcribimo la forma F Lugo, L - [ ] L - [ ] L - [ ] u f Ejmplo : L - [ ] No dipomo utra tabla d igua fució d qu tga ua dpdcia fucioal imilar Podmo, cambio, rcribir l domiador la forma dcompor F fraccio impl: UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 78

10 Traformada d Laplac / A B A / B A B / A F Para qu l umrador a igual a /, cario qu A B qu / A /, d dod A B- Etoc, F L - [ ] L - [ ] L - [ ] L- [ ] / t t / u u u El mimo problma pud rolvr partido d / F / uado la propidad t qu agura qu L[ f d] L [ f ] F El mplo d lo ubídic ti por objto vitar cofuio co la fucio dl jmplo Eta idtidad tambié pud t cribir como f d L - F Para aplicar ta ida al cao qu o ocupa, domimo F Su atitraformada L - [ F ] L - / / / t t u f Lugo, L - [ F ] L - / u d / t / t / t / d Para obtr la atitraformada d / / / F /, ólo o rta icluir la cotat multiplicativa / la última t / t / prió:, qu coicid co l rultado obtido por l otro / procdimito Ejmplo : L - [ ] E primr lugar, ittamo factorar l domiador Si u raíc o ral, podrmo hacr ua dcompoició fraccio impl, como l jmplo atrior Pro, hacido, vmo qu u raíc o complja Etoc, rcribimo l poliomio d gudo grado compltado l cuadrado: El térmio idica qu ha u corrimito A mo dl corrimito, l domiador ti u térmio cuadrático al qu l rta otro idpdit, como ocurr la traformada d la fucio o coo hiprbólico El corrimito db aparcr tambié l umrador, d modo qu UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 79

11 Traformada d Laplac F Eta prió pud atitraformar mdiat la fucio d la tabla Tmo aí, L - [ ] L - [ ] L - [ ] t [coh h ] u UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

12 Ecuacio Difrcial Ecuacio difrcial El tudio d la cuacio difrcial origia la ivtigació d la l d la aturalza, cua formulació matmática, gral, ivolucra drivada d fucio dcoocida La dtrmiació d la rlacio tr la magitud itrviit rquir d la rolució d cuacio qu domia difrcial E térmio gral, i l problma coti la variabl idpdit,, z, la fucio u, v, w, dpd d dicha variabl, ua cuació difrcial o u itma d cuacio difrcial tablc ua rlació fucioal o u cojuto d rlacio fucioal tr la variabl idpdit,, z,, la variabl dpdit u, v, w, algua d la drivada d u, v, w, rpcto d,, z, Si l problma coti ua ola variabl idpdit ua variabl dpdit, la cuació dic difrcial ordiaria Si ha varia variabl idpdit, la drivada qu itrvi o drivada parcial la cuació dic difrcial drivada parcial Ua cuació difrcial ordiaria d ord ua prió d la forma d d d f,,,,, d d d dcir, la drivada d má alto ord la qu da la domiació a la cuació difrcial Ua olució o itgral d la cuació difrcial ua fució tal qu cuado lla u drivada rmplaza la cuació difrcial, obti ua idtidad Motrmo alguo jmplo: d cuació difrcial d ordiaria o lial d primr ord olució gral forma implícita K ' ' ' cuació difrcial ordiaria d gudo ord olució gral forma plícita K K z z z cuació difrcial d primr ord drivada parcial olució gral forma plícita z K K K /, d dz z d d d z d itma d cuacio difrcial ordiaria d primr ord olució gral forma plícita K co K i z K K co K K i UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

13 Ecuacio Difrcial E lo divro jmplo qu mutra aparc cotat K, K, K S pud comprobar cada cao qu la prio prtada como olucio vrifica la cuació difrcial corrpodit to ocurr forma idpdit dl valor qu adopt dicha cotat Vmo qu la olució d ua cuació difrcial o ua fució particular io ua familia d fucio Ecuacio difrcial d primr ord Ya tamo familiarizado co ua cuació difrcial particularmt impl como ' f qu rolvmo por itgració d la fució f : f d F C dod F ua primitiva d f, dcir, ua fució tal qu F ' f Como toda la fucio d la forma F C vrifica qu F C' f, vmo qu o obtmo ua olució úica io ua familia d olucio co u parámtro idtrmiado Si impomo la codició adicioal d qu la olució tom l valor cuado la variabl idpdit toma l valor, toc l valor d la cotat C quda dtrmiado C F la olució paa a r úica: F F La coa ul r batat má complicada cuado trata d cuacio difrcial má gral, aú la d primr ord, i bi algua caractrítica mati Ua cuació difrcial d primr ord ti la forma gral ' f, o bi ' f, Rolvrla igifica hallar la familia d fucio qu atifac la cuació ua rgió dada dl plao llamada domiio d la cuació A dicha familia d olucio tambié la diga como olució gral Si bi ta domiació mu habitual l ámbito d la cuacio difrcial, alguo cao pud iducir a cofuio a qu para cirta cuacio rulta impoibl hallar ua prió úica qu rprt a toda la olucio dtro dl domiio d la cuació Db tr prt qu, cuado rolvamo ua cuació d la forma ' f,, o hablarmo d hallar "la" olució Al cribir ' f,, tamo dicido qu, dado u puto, prtcit al domiio plao d la cuació, coocmo, mdiat la cuació, l valor d la pdit d la curva qu rprta a la olució dicho puto E otra palabra, cuato coocmo la curva itgral qu paa por u puto dado, coocmo la dircció d la curva dicho puto Aí como l cao impl, ua cuació d primr ord gral, ' f,, ti ifiita curva itgral qu forma ua familia d fucio co u parámtro idtrmiado Si ahora qurmo lccioar d toda lla a aqulla qu paa por u puto, dado, tarmo ligido a ua fució particular d a familia Eta fució domia olució particular La igcia d paar por l puto, dl domiio d la UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

14 Ecuacio Difrcial cuació diga como codició iicial dl problma Dicho d otro modo, la fijació d la codició iicial quival a dtrmiar l parámtro qu aparcía como idtrmiado la prió d la familia d olucio Lo dicho hata aquí parcría idicar qu para toda cuació d la forma ' f, impr pud cotrar ua familia d olucio qu ua ola fució d a familia paa por l puto, dado Si mbargo, to o impr aí Para qu vrifiqu lo atrior, la fució f, db cumplir cirto rquiito qu tá putualizado l torma d itcia uicidad Si u dado domiio D dl plao la fució f, cotiua, toc it olució d ' f, D Si, admá, f / cotiua D, toc por cada puto, d D paa ua ólo ua curva itgral d la cuació ' f, Vamo lo iguit jmplo cómo dtrmiar la rgió d itcia d uicidad Sa la cuació ' La fució a la qu rfir l torma t cao f, qu it cotiua todo l plao Eto igifica qu la cuació admit olució todo l plao ral o, otra palabra, qu por todo puto d R paa algua curva olució d ta cuació Aú o abmo i paa má d ua curva por cada puto i tampoco abmo cómo cotrar u o u prio Potrgumo to último por ahora aalicmo la cutió d la uicidad mdiat l gudo ítm dl torma Para to calculamo f / Eta fució tambié cotiua todo R, por lo tato, la cuació admit olució úica todo R Tommo ahora t otro jmplo: ' dod f, Eta fució o cotiua para - u valor o ral ólo cuado, dcir, cuado o cuado No prtc al domiio D d la cuació lo puto dl plao ituado dtro d la bada horizotal -<< i lo ituado la rcta vrtical - El domiio d itcia d olució tá toc formado por cuatro rgio dl plao Eit olució cada ua d lla pro a fucio o trapo la frotra d la rgio pu, i lo hicira, dbría r válida tambié lo puto prohibido E cuato a f, cotiua para > o < El domiio aí dfiido imilar al dcrito má arriba alvo por lo puto ituado obr la rcta - Sobr to puto la olució it pro o úica Vmo t jmplo qu l domiio d itcia o impr coicid co l d uicidad d la olució Coidrmo como jmplo la cuació d primr ord ', comprobmo qu la familia d fucio qu la cumpl d la forma, dod K ua K UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

15 Ecuacio Difrcial K cotat ral Para to, calculamo ' rmplazamo la cuació: / K K K ' Hmo vrificado / / / / K K K K qu obti ua idtidad, idpdit dl valor d la cotat K Si ahora pdimo hallar ua olució qu tom l valor ½ cuado, toc db r K E tal cao, la olució la fució particular d la familia: U problma batat má compljo qu ét l d hallar la prió d la familia d olucio Vrmo cómo procdr cirto cao particular Técica para rolvr cuacio difrcial d primr ord Ecuacio variabl parabl La cuacio d primr ord má impl o aqulla qu pud llvar a la forma R d S d El primr mimbro l difrcial d ua fució d olamt l gudo, l d ua fució d olamt Eto prmit itgrar cada mimbro forma parada cada variabl co lo qu la cuació quda rulta Vamo mdiat jmplo cómo jcuta la paració d variabl Ejmplo : d d d Dado qu d ' d d, tmo t cao qu d d, dcir d d d Ya parada la variabl, itgramo l primr mimbro rpcto d, l gudo rpcto d d d d l l K l K d l l K l K dod la cotat d itgració cribiro la forma d logaritmo d la cotat arbitraria K K, por razo qu comprdrá imdiatamt Al igualar, limiamo lo logaritmo: K K Eta ua igualdad tr catidad poitiva, pro la prio tr la barra d módulo pud r poitiva, gativa o ula Vmo qu UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

16 Ecuacio Difrcial podmo mplar ua ola cotat d itgració dar ua forma má impl d la familia d olucio: K Hmo obtido forma implícita ua rlació qu liga a co, la qu itrvi ua ola cotat arbitraria K Para vrificar qu ta prió olució d la cuació difrcial, drivamo cada mimbro: [ K K ] ', d dod K ' Para limiar la cotat K, d la prió para la familia d olucio obtmo ' K Al rmplazar la atrior da qu coicid co la cuació d partida Ejmplo : ' d d La cuació quival a, d dod d d, co lo qu hmo parado la variabl Dcompomo la fució dl primr mimbro fraccio impl: A B / / Rolvido obti A/ B/ Itgrado ambo mimbro, d d d rulta l l l K, dod ha lgido por comodidad dar K a la cotat arbitraria la forma / l K Agrupado, obti l, K dcir, Éta ua rlació implícita qu pra a fució d, la qu itrvi u parámtro idtrmiado Drivado ambo mimbro limiado K, pud vrificar qu éta prió olució d la cuació difrcial platada Ecuacio difrcial acta Rcordmo cómo calcula l difrcial d ua fució u, d do variabl idpdit: u u du d d Si u, cla C, to, co drivada cotiua hata l gudo ord, cumpl qu u drivada guda cruzada o igual, to UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8

17 Ecuacio Difrcial u u qu tambié pra como u u Supogamo ahora qu tmo ua cuació gérica d primr ord ' f, Ua cuació d t tipo impr pud llvar a la forma M, d N, d Dada la imilitud co la prió dl difrcial total d ua fució d do variabl, o prgutamo i it ua cirta fució u, tal qu u u M, ; N, du Para qu dicha fució u ita, db cumplir la codició obr la drivada guda cruzada, qu para l cao pra como M, N, No cualquir cuació d primr ord, llvada a la forma MdNd, rá u difrcial acto pu, para to, la fucio M N o pud r cualquira Si lla cumpl qu M / N /, toc podrmo cotrar ua fució u,, llamada fució potcial, d la qu coocmo u drivada parcial rpcto a a, d la qu abmo, a travé d la cuació, qu cotat pu u difrcial ulo Rolvr la cuació, t cao, cotrar la fució u, cotat Vamo, mdiat jmplo, cómo l procdimito Ejmplo : ' Para mpzar, vmo qu impoibl parar la variabl Dcartada ta poibilidad, paamo a aalizar i trata d u difrcial acto Para to, cribimo la cuació la forma d d idtificamo M, ; N, Si trata d u difrcial acto, db ocurrir qu M / N / Evaluamo: M / ; N / Qu a igual idica qu it ua cirta fució u, tal qu u u M, ; N, ; u, cotat A partir d la primra, itgrado, obtmo u, / h UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 86

18 Ecuacio Difrcial Nót qu hmo itroducido ua cirta fució h como "cotat" d itgració Eto aí porqu hmo partido d la drivada parcial d u co rpcto a, d modo qu cualquir fució qu dpda ólo d actuará como ua cotat al fctuar a drivada parcial E otra palabra, i drivamo la fució u proputa co rpcto a, obtmo la fució M dada por la cuació, o importa cuál a la fució h, tato dpda ólo d Admá, la fució u db cumplir qu u drivada parcial rpcto a coicida co N Eto, drivamo la fució u, proputa la igualamo co N: u h' d dod rulta qu h ', dcir h cotat C Hata aquí abmo admá qu u, cotat C qu u prió u, / C Igualado amba ruido la do cotat ua, tmo / C d la qu podría t cao obtr forma plícita E cao cotrario, pud djar la prió forma implícita Ejmplo : d co co d d La rcribimo la forma d co co d idtificamo M, co co ; N, ; du Calculamo la drivada parcial M N co ; co vmo qu o igual Por lo tato poibl hallar ua fució potcial u, tal qu u M, co co D la primra, obtmo u, co h u ; N, u K ;, La fució u proputa db cumplir qu u h' N, d dod h', por lo tato, h co K Rmplazado la prió proputa para u, tmo UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 87

19 Ecuacio Difrcial u, co co K K Ruido la do cotat ua: co co K Factor itgrat Pud ocurrir qu ua cuació d la forma M, d N, d o atifaga la codicio para r ua cuació acta pro qu, multiplicádola por ua fució µ, apropiada, puda traformárla acta Si to ocurr, dirmo qu µ, l factor itgrat podrmo rolvr la cuació dada como ua cuació acta La cuació aí modificada ti la forma µ, M, d µ, N, d Para qu a ua cuació acta, db cumplir qu µ M µ N ' ' ' ', dcir, µ M µ M µ N µ N Agrupado térmio, ' ' ' ' µ M N µ N µ M Ecotrar ua fució d do variabl µ, pud r ua tara mu difícil l método o rultaría útil Pro, i it u factor itgrat qu dpda ólo d o ólo d, l problma tora má impl l procdimito rulta d gra auda Supogamo qu µ µ E tal cao, µ ' lugar d trata d la úica drivada poibl La cuació quda ' µ cribirmo µ ', a qu ' µ M ' N µ' N qu ua cuació variabl parabl d la qu obtmo µ La última prió o dic i it l factor itgrat qu tamo bucado E fcto, rcribiédola la forma ' ' µ' M N µ N vmo qu i it u factor itgrat dpdit ólo d, l primr mimbro rulta fució d olamt Por lo tato, tambié db r fució ólo d l gudo mimbro 88 UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

20 Ecuacio Difrcial La fucio M N tá dada por la cuació difrcial d partida, d modo qu rulta ' ' cillo vr i l cocit M N / N cumpl co a codició Si to ocurr, podmo agurar qu it ua fució µ µ itgrar para hallarla Nót qu ólo o itra cotrar ua fució qu cumpla la codició, d modo qu lgirmo la cotat d itgració qu o coduzca a la forma má impl d µ Ua vz hallada µ, podmo traformar la cuació difrcial porla la forma µ M, d µ N, d rolvrla como ua cuació difrcial acta, como dicutió la cció atrior Si, cambio, it ua fució µ µ, dpdit d olamt, rá µ lugar d µ cribirmo µ ' La igualdad quda t cao: ' µ M ' N µ' M o a, ' ' µ' M N µ M ' ' Vmo qu l factor itgrat qu bucamo it i - M N / M dpd ólo d Si to ocurr, a partir d µ' /µ, itgrado, cotramo µ µ Nót qu ambo cao, tato i l factor itgrat dpd ólo d como d, l ' ' cálculo comiza valuado M N Nót admá qu i la cuació u difrcial acto, ta difrcia d drivada parcial ula Coidrmo u cao práctico: Ejmplo : Sa d d d qu ragrupamo la forma d d Idtificamo M, N, Calculamo M ' N' Como la drivada cruzada o coicid, cocluimo qu o trata d u difrcial acto Bucamo toc u factor itgrat Vmo qu la prió ' ' - M N / M / / / fució d olamt Por lo tato podrmo cotrar u factor itgrat µ µ µ ' rolvido la cuació, qu cribimo la forma d variabl parada µ dµ d La olució gral d ta cuació l µ l K, qu podmo cribir µ UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 89

21 Ecuacio Difrcial K como µ, dod K u valor cotat maor qu cro Ecotramo aí ua familia d fucio µ µ qu atifac la codicio rqurida Como ólo o itra cotrar ua d lla, lgimo K pu o coduc a la prió má cilla para l factor itgrat: µ Ahora multiplicamo ambo mimbro d la cuació difrcial d d por t factor obtmo ua uva cuació difrcial d d Podmo comprobar qu éta acta pu [ ] Por lo tato, itirá ua fució u, tal qu du d d Eto igifica qu u cumpl qu u, du La última idica qu ucotatk Itgramo la primra rpcto d obtmo u, g Drivamo éta rpcto d igualamo co la prió qu a tíamo para ta drivada parcial, dada por factor qu multiplica a d la cuació difrcial acta: u g' Dducimo qu g' Por lo tato, itgrado, rulta g K Ruimo ahora toda la iformació qu tmo d la fució u: u, K K, qu pud cribir forma má impl como K la qu dfiió ua uva cotat K K K Subramo qu, por tratar d ua cuació difrcial d primr ord, la familia d olucio coti ua ola cotat idtrmiada La prió hallada la olució prada forma implícita E t cao podría cribir la olució como ua fució plícita d térmio d E otro jmplo to o poibl auqu tal circutacia o db coidrar u obtáculo La familia d olucio quda corrctamt prada a a como ua fució plícita como i lla implícita Ecuacio difrcial lial U tipo d cuacio difrcial d primr ord qu prta co frcucia o la d la forma ' P Q UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

22 Ecuacio Difrcial Vrmo qu la cuacio d t tipo, dpué d ua maipulació apropiada, pud rolvr mplado paració d variabl ua itgració E particular, i Q, la cuació d variabl parabl Uo d lo método habitual para rolvr la cuacio difrcial lial coit dcompor a la fució icógita como u producto d otra do fucio dcoocida: u v A primra vita, to parc habr icrmtado la compljidad dl problma al aumtar l úmro d fucio a dtrmiar Si mbargo, prciamt por to, podrmo impor cirta codicio a ua d lla, lo qu o coducirá fialmt a la olució Drivado, obtmo: ' u' v u v' Al rmplazar la cuació difrcial, rulta: u ' v u v' P u v Q agrupado: u ' v u v' P v Q Impomo a la fució v qu a tal qu v ' P v, co lo cual la cuació rduc a u ' v Q La primra ua cuació variabl parabl, d la qu obtmo v La guda o da u ' Q / v, qu itgramo para obtr u Por último, l producto d u por v o da la fució, olució dl problma Vamo alguo jmplo Ejmplo 6: d d d Para vr qu trata d ua cuació lial, dbmo cribirla la forma ' P Q Para to, agrupamo: d d d ; d d ; ; ' ; d ' qu ti la forma bucada, co P Q UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

23 Ecuacio Difrcial Ahora propomo u v, rmplazamo u drivada la cuació: u' v u v' u v, agrupamo térmio: u' v u v' v impomo obr v la codició v ' v, qu quival a dv d v, d la qu, parado dv d variabl,, obtmo v: l v l K dcir v K / Dfiido ua v uva cotat, cribimo, forma má impl v K / Dado qu tmo librtad para lgir la fució v, lgimo la cotat d itgració K Por lo tato v Rmplazado la cuació difrcial, tmo u' o a u', d dod u co C Por la tato, la olució uv C co d 6 Ejmplo 7: d Dividimo por para cribir la cuació la forma tádar d la cuació difrcial lial: d dod d P Q Propomo u v, rmplazamo u drivada la cuació agrupamo u ' v u v' v Elgimo v d modo qu v ' v Al parar la variabl dv d K, rulta l v l K, dcir v, dod K ua cotat v poitiva Elgimo por implicidad K obtmo v La cuació difrcial qudó rducida a u ' v dod u C Multiplicado éta por v, llgamo a Rmplazado v, obtmo u', d UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

24 Ecuacio Difrcial 6 C Ecuació d Brouilli S domia aí a la cuacio difrcial d la forma ' P Q dod algú úmro racioal tro o fraccioario ditito d d La rtricció provi d obrvar qu i, la cuació covirt lial, dl tipo qu dcribió l apartado atrior; i, la fucio P Q pud ruir u olo térmio, obti ua cuació variabl parabl Al dividir ambo mimbro d la cuació por ' P Q Dfiimo ua uva variabl obti z' ', tmo Podmo fácilmt rmplazar la cuació difrcial: z dpdit d Al drivarla rpcto a, z' P z Q Multiplicado por -, rulta z ' P z Q qu ua cuació dl tipo digado como lial, qu rolvmo mdiat la utitució z u v Ua vz hallada z, itgramo para cotrar Coidrmo l iguit cao: Ejmplo 8: ' co Eta ua cuació d Bouilli la qu / Al dividir por / obtmo / / co ' Efctuamo la utitució / / z cua drivada z' ' Al rmplazar ti UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

25 Ecuacio Difrcial co z' z qu quival a co z' z Para rolvr ta cuació lial, rcurrimo a la utitució z u v, d dod z ' u' v uv' Etoc, al rmplazar la cuació tmo: co u' v uv' uv ; u' v u v' v co Impomo la codició v ' v d la qu dprd, por u lado, qu ua olució para v co v, por otro, qu u ' v co Al rmplazar v, ti u' cua itgral gral u C Por lo tato, co z C fialmt, rcordado qu z /, obti co co [ C ] z C Como rcomdació gral, ugir impr vrificar la olució, to, por u lado, comprobar qu la olució cumpl co la codició iicial Por otro lado, i la olució corrcta, al rmplazar la fució u drivada la cuació origial, db llgar a ua idtidad Lo método d rolució d cuacio difrcial d primr ord puto hata aquí o ólo alguo d lo vario coocido S ha lgido aalizarlo pu bua part d lo problma qu prta ituacio d ídol práctica pud r rulto mdiat alguo d llo Por otra part, i bi o cubr todo l abaico d poibilidad, o mucha la cuacio d primr ord qu, mdiat algua maipulació algbraica prvia, pud rducir a alguo d to tipo Ecuacio difrcial d gudo ord E forma imilar a lo dicho para la cuacio d primr ord, la d gudo ord o, gral, prio d la forma '' f,, ' dod f algua rlació fucioal qu vicula a la variabl idpdit, a la variabl dpdit a u primra drivada Rolvr la cuació igifica cotrar ua UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

26 Ecuacio Difrcial prió tal qu al rmplazarla, juto co u drivada d primro gudo ord la cuació, obtga ua idtidad Para qu ua cuació d t tipo admita olució cario qu la rlació f cumpla cirto rquiito, qu tá tablcido l torma d itcia uicidad: Sa f,, ' ua fució cotiua dfiida para a < < a, b < < b, c < ' < c qu ti drivada parcial f / f / ' cotiua a rgió Etoc, i l puto,, ' prtc a la rgió, la cuació '' f,, ' ti ua olució úica qu paa por, co pdit ' Rolvr cuacio d gudo ord u problma batat má complicado qu l d rolvr la d primr ord ólo cirto cao pud obtr la olucio E gral, cuado pud cotrar la olucio, lla o familia d fucio la qu itrvi do parámtro idtrmiado La afirmació hcha l torma d qu al fijar,, ', la olució úica, quival a afirmar qu rquir do codicio iicial Eto, ua vz obtida la prió d la familia d olucio la qu figura do cotat idtrmiada, bucamo aqulla qu para paa por co pdit ' ' Al tablcr ta do codicio iicial la cotat quda dtrmiada Aplicació d la traformada dircta ivra d Laplac para rolvr cuacio difrcial lial co coficit cotat La traformada d Laplac o brida u método pcialmt útil para rolvr cirto tipo d cuacio difrcial, la domiada cuacio difrcial ordiaria lial a coficit cotat La cuacio dic ordiaria cuado la icógita fució d ua ola variabl idpdit; cao cotrario, ti cuacio drivada parcial La domiació d lial rfir al tipo d opracio qu afcta a la fució icógita; o aparc producto tr la fució u drivada, i potcia d lla Tommo l cao d ua cuació d t tipo d gudo ord cua forma gral a ' ' a ' a f dod a, a, a o cotat ral f ua fució coocida Si f, la cuació dic, admá, homogéa Supogamo coocido lo valor d la fució d u primra drivada : ' ' Eto valor cotitu lo qu cooc como codicio iicial dl problma Supogamo, admá, qu a Eta upoició o implica pérdida d gralidad a qu impr pud dividir ambo mimbro d la cuació por a Apliqumo la traformada d Laplac a ambo mimbro d la cuació Si digamo co L []Y, la traformada d la drivada primra guda o: UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 9

27 Ecuacio Difrcial L[ '] Y L[ ''] Y ' Quda a la vita qu la traformada d la fució icógita la d u drivada primra guda rulta prada térmio d ua ola uva fució icógita Y Rmplazado la cuació difrcial, tmo Y ' a[ Y ] ay F dod hmo itroducido la traformada dl térmio ihomogéo f : L [ f ] F Rordado lo térmio, Y a a F ' a d la qu pud dpjar Y: Y F ' a a a Eta fució dpdit d la traformada d la fució icógita Por lo tato, para cotrar habrá qu atitraformar Y Como pao prvio, habrá qu dar a Y la forma adcuada, qu prmita lugo fctuar la atitraformació, para lo cual rá cario aalizar qué tipo d raíc ti l domiador Si o ral, dcompodrmo la prió fraccio impl obtdrmo térmio qu podrá atitraformar mdiat la tabla d traformada d la fucio lmtal E cao cotrario, dcir, i la raíc dl poliomio d gudo grado o complja, compltarmo l cuadrado l domiador tomará la forma α β El biomio α, al atitraformar, dbrá itrprtar como u corrimito Nót qu t procdimito ig itroducir dd l pricipio la codicio iicial dl problma Vamo alguo jmplo: Ejmplo 9: Coidrmo la cuació homogéa '' ', co la codicio iicial, ' Al traformar la fució u drivada primra guda, al rmplazar lo valor iicial, tmo: L [ ] Y ; L[ '] Y ; L[ ''] Y UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 96

28 Ecuacio Difrcial Cuado aplicamo la traformada a ambo mimbro d la cuació, rulta ua igualdad la qu la úica icógita Y : Y Y Y d dod Y La raíc dl domiador o -, d modo qu Dcompomo Y fraccio impl Y A B A B La igualdad A B vrifica para A/ B/ Lugo, Y / / Al atitraformar, obti L - [ Y ] L - t t [ ] u S pud vrificar fácilmt qu ta fució olució d la cuació admá cumpl la codicio iicial Para to, valuamo la drivada hata l gudo ord rmplazamo la cuació: ' u ; ' ' u '' ' Vmo qu la olució hallada vrifica la cuació difrcial Comprobmo qu tambié cumpl la codicio iicial: ; ' Ejmplo : Mdiat l mimo procdimito, rolvamo ahora la cuació o homogéa '' ' 8 u, co la codicio iicial, ' Dividimo ambo mimbro d la cuació por, rmplazamo lo valor iicial la traformada d la drivada primra guda, traformamo la cuació: L [ ] Y ; L [ '] Y ; L [ ''] Y ; L[ u ] Y 6Y 9Y UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 97

29 Ecuacio Difrcial UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di Y Para dcompor la prió fraccio impl dbmo tr cuta qu raíz dobl dl domiador: C B A C B A Y Lo coficit db cumplir la codició / C B A, d dod A/8, B/, C-/8 Aí, /8 / /8 Y L - ] [ Y L - ] 8 8 [ Lo térmio primro trcro atitraforma fácilmt da lugar a la pocial E cambio, l gudo térmio o ti la dpdcia fucioal d igua d la traformada d la fucio lmtal Si mbargo, obrvmo qu d d Por lo tato, dado qu L ] [ u, toc d d L [ ] u La raíz dobl dl domiador d Y da lugar al térmio d la forma Tmo, por último, qu ] 8 8 [ u Vrificació: ] 8 8 [ ] 8 8 [ ' u u ] [ ] [ ' ' u u ] [ 8 ' ' ' u u S compruba aí qu la olució cumpl la cuació difrcial Admá, cumpl la codicio iicial: ; '

30 Ecuacio Difrcial t Ejmplo : Rolvr ' ' ' u co la codicio iicial, ' Et cao, i bi imilar al atrior, ti co él ua difrcia igificativa, como vrmo L [ ] Y ; L[ '] Y ; L[ ' '] Y ; L[ t u ] Y Y Y Y E l coficit d Y, raíz dobl, pu, pro t valor coicid co l coficit d t la pocial Eto hac qu a raíz tripl d Y, lo qu rfljará la olució d la cuació Y Eta prió a tá parada fraccio impl El gudo térmio la traformada d t u Para atitraformar lo otro, podmo hacr do aálii difrt Por u lado, d, d modo qu L[ t t u ] L - t [ ] t u, d d t, d modo qu L[ t u ] L - t [ ] t u d Fialmt, L - [ Y ] t t t u Otro procdimito altrativo para atitraformar lo térmio primro trcro, coit partir d L[ t ]!/ coidrar qu dicho térmio tá afctado d u corrimito qu, como abmo, dbido al producto por ua pocial Aí, d L[ t ], obtmo L[ t t t ] d L[ t ], obtmo L[ t ] Naturalmt, llgamo a la mima fució d t qu obtuvimo por l otro procdimito t t Vrificamo: ' [ t t t ] u t u, t t ' ' [t t ] u t t u ' ' ' [ t t ; ' t t t t t ] u u UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 99

31 Ecuacio Difrcial UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di Ejmplo : Rolvr ' ' ' t u t co la codicio iicial, ' L ] [ Y ; L '] [ Y ; L ] ' ' [ Y ; L 9 ] [ t u t 9 Y Y Y 9 Y 9 Y Lo biomio 9 ti raíc complja Dcompomo l primr térmio fraccio impl la forma D C B A D C B A Rolvmo la prió 9 D C B A para dtrmiar la cotat A, B, C D Para to, citamo cuatro cuacio la qu la aparzca como icógita Ua mara d cotruirla aigar cuatro valor a, como hicimo otro jmplo Otra mara agrupar lo térmio d la última cuació para formar u poliomio d trcr grado igualar lo térmio d igual grado a ambo lado d la cuació Rulta aí u itma d cuatro cuacio co cuatro icógita: 9 9 D B C B A D B A C A qu rolvmo triagulado la matriz ampliada dl itma d dod rulta: D/8, C/, B-/, A-/ El primr térmio d Y quda la forma: 9 9 Rmplazado Y agrupado lo térmio co igual domiador,

32 Ecuacio Difrcial Y / / / E l domiador dl gudo térmio compltamo l cuadrado lo cribimo la forma El térmio idica u corrimito ; l umrador db cotr u corrimito imilar Por to, cribimo l gudo térmio la forma Y 9 / Para atitraformar, Y paramo lo térmio, / 9 / Y Y 9 9 El último térmio ti la forma fucioal d la traformada d t; l corrimito a travé dl térmio, idica qu la atitraformada d la forma t t u Dl mimo modo, l trcr térmio ti la forma fucioal d la traformada d co t t u Lo do primro térmio atitraforma d mara imdiata Fialmt, atitraformamo [ cot t t cot 9 t t ] u Vrificamo: 9 t t ' [ t cot t cot ] u t 9 t ' ' [ co t t co t t ] u t 9 t ' ' ' [ co t t co t t 9 t t t co t t co t t 9 t co t t co t t ] u t u ; ' UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

33 Ecuacio Difrcial a Aplicació d la traformada d Laplac a la rolució d circuito léctrico Ejmplo : U circuito R-C ri ti ua ritcia R Ω, u capacitor C 6 F tá alimtado por ua fut d tió cotiua E d V El circuito activa al crrar ua llav, prvio a lo cual, l capacitor tá dcargado Calcul la carga l capacitor la corrit l circuito a partir dl cirr d la llav Dbido a la prcia d la llav, la tió, la corrit la carga tá dada por fucio d la forma E u, I u q u, rpctivamt Al aplicar ua d la l d Kirchhoff, tmo la cuació RI q / C E Dividido por R tido cuta qu dq dt q RC E R dq I, obtmo la cuació difrcial q: dt qu co lo valor umérico d t jmplo : dq q, co la codició iicial q dt Eta cuació, por r d primr ord, rquir ólo ua codició iicial Podmo dq dq dq rolvrla parado variabl: q ; q ; dt dt dt q q t dq q itgrado, dt ; l q q t ; l t ; q q q q q t ; q t co q/ - t < ; q Vamo a rolvr ta mima cuació aplicado la traformada d Laplac, para motrar qu t método pud aplicar a cuacio lial d cualquir ord, impr qu u coficit a cotat Si dfiimo L [ q ] Q, L [ q ' ] Q q Q, la cuació covirt Q Q / Q A B A B Al rolvr, cotramo A - B- - Lugo, Al atitraformar, obtmo Q UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

34 Ecuacio Difrcial t t q u u u Vrificamo qu la olució hallada cumpl la cuació dl circuito la codició iicial: I q' t u t q t RI C 6 q t t E Vmo qu la carga dl capacitor crc dd cro forma pocial tid forma aitótica al valor d - Coul Simultáamt, la corrit t máima, I ma, dcrc forma pocial La cotat d timpo dl circuito /RC g -, qu aparc co igo gativo como coficit d t la pocial La ivra d t parámtro rprta l timpo cario para qu la corrit caiga a /679679% d u valor iicial Ejmplo : E l circuito L-C ri, co LH C F, l capacitor tá iicialmt dcargado E t cocta ua fut d tió cotiua EV Rulva l circuito para t> La cuació dl circuito di q L E co la codicio iicial q q ' I Dado qu dt C I dq / dt, toc di / dt d q / dt Dividido por L, d q E q dt LC L rmplazado lo valor d t jmplo, d q q u dt Al aplicar la traformada d Laplac co la codicio iicial dada: L [ q ] Q, L [ q ' ] Q q Q, L [ q '' ] Q q q' Q, tmo Q Q ; Q A B D A B D qu cumpl i A, B-, D Lugo, Q Al atitraformar, obtmo UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

35 Ecuacio Difrcial L - [ Q ] q co u Vrificamo qu cumpl la cuació dl circuito la codicio iicial: I q' t u di q'' cot u dt di q L [ cot co] u u E dt C q ; I q' Et circuito, qu alimtado por ua fut d tió cotat, ti ua rputa ocilatoria para la carga la corrit La frcucia caractrítica dl circuito LC Ejmplo : E l circuito L-C ri, co LH C F, l capacitor tá iicialmt dcargado E t cocta ua fut d tió altra E cot Rulva l circuito para t> El jmplo imilar al atrior La úica difrcia rid la tió d alimtació, qu t cao altra u frcucia coicid co la frcucia propia dl circuito Et circuito domia roat La cuació dl circuito : d q q cot u u traformada dt Q Q ; Q Para atitraformar ta prió, obrvmo qu L[ t u ], por lo d tato, L[ t t] } Lugo d L - [ Q ] q t t u Vrificamo qu cumpl la cuació dl circuito la codicio iicial: I q' [ t t cot] u di q'' [ cot cot t] u [cot t] u dt di q L [cot t t t] u cot u E dt C UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

36 Ecuacio Difrcial q ; I q' E u circuito roat, la carga la corrit ocila co la mima frcucia qu la tió d trada pro u amplitud crc idfiidamt forma proporcioal a t Ecuacio difrcial lial d gudo ord co coficit variabl S domia d t modo la cuacio d la forma " a ' b f dod a, b f o fucio cotiua, algú domiio, d la variabl idpdit No it u método gral para rolvr cuacio d ta forma E alguo cao particular poibl fctuar ua utitució adcuada qu coduc a ua cuació má cilla d alguo d lo tipo a coocido Tal l cao qu prta a cotiuació a Ecuacio d Eulr-Cauch S trata d cuacio d la forma " p' q f la qu p q o úmro ral E lla, itroducido ua uva variabl idpdit t dfiida como t l, dcir t Nót qu la olució rá válida ólo para > d d d Al aplicar la rgla d la cada: tido cuta qu d ' qu dt d dt d d t d, obti la rlació ' dt dt Al aplicarla uvamt, d d d d d d d d d d d ' " ' " ', dt dt dt d dt dt d d dt dt d d d d rulta la rlació " ' dt dt dt Cuado amba prio rmplaza la cuació difrcial, obti d dt p d dt q f qu ua cuació a coficit cotat UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di

37 Ecuacio Difrcial b Rolució mdiat ri d potcia Rtomado l cao d ua cuació gral d gudo ord co coficit variabl dl tipo podmo afirmar qu, bajo codicio apropiada d cotiuidad d la fucio a, b f poibl cotrar ua prió para la olució forma d ri d potcia Eto, i bi o omo capac gral d cotrar ua prió aalítica plícita o implícita para la fució olució, í rmo capac d dar u darrollo ri d Talor válido algú itrvalo, upoido qu la fucio a, b f tambié puda darrollar ri d Talor l mimo itrvalo El problma coit dtrmiar lo coficit d dicho darrollo d la fució Para to, propomo a a a a Su drivada primra guda crib como ' a a a a " a a a a Al utituir ta ri d potcia juto co la corrpodit a la fucio a, b f la cuació difrcial al igualar lo coficit d la potcia d igual grado, obti la ri bucada para Vamo cómo aplica Sa: Ejmplo 6: " ' Cuado rmplazamo la ri para, ' ", rulta a a a a a a a a E la guda uma aparc la potcia,,, Podmo rcribirla la forma a a E forma aáloga, la trcra uma hacmo UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 6

38 Ecuacio Difrcial a a La prió complta para la cuació difrcial quda ahora a a a a agrupado la primra última uma [ a a] a a Buqumo ahora l coficit d Ét tá prt ólo la primra uma a a, qu obti rmplazado Dado qu l gudo mimbro d la cuació difrcial idéticamt ulo, db r a a Si coidramo ahora l coficit d, vmo qu tá prt la primra trcra uma Hacido, obti a a a 6a Al igualar co l gudo mimbro, rulta a Para l coficit d para todo lo ucivo itrvi la tr uma Tomado igualado al gudo mimbro, a a a a a a d dod a a / a / Podmo gralizar ta última prió obtr ua l qu o prmita obtr todo lo coficit d la ri d potcia para [ a a] a a a [ ] a a a a a D aquí obti ua rlació qu cocta a lo ucivo coficit la forma a a para dcir, lo coficit par tá rlacioado tr í tambié lo tá lo coficit impar tr í Eta prió domia l d rcurrcia Como a, tambié rá ulo todo lo coficit impar cpto a, qu o itrvio la opracio qu UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 7

39 Ecuacio Difrcial hicimo hata aquí pud tomar, pricipio, cualquir valor Tambié ifrimo a partir d la l d rcurrcia qu, ua vz fijado l valor d a, quda dtrmiado todo lo coficit par Vmo qu, como toda cuació d gudo ord, éta coti do cotat idtrmiada Ua vz fijada la codicio iicial dl problma, dicha cotat qudará dtrmiada Si la codicio iicial o ', d lla rulta a a la olució Si la codicio o ', al rmplazarla la ri d potcia corrpodit, rulta a a la olució 6 Eta do olucio d la cuació forma ua ba d olucio, d modo qu para codicio iicial arbitraria, la olució gral ua combiació lial d lla: 6 A B A B Eto dic qu la olució u cao gral coti do cotat arbitraria, como ra d prar, por tratar d ua cuació d gudo ord La cotat B l valor d la fució, tato qu A l valor d la drivada UNSAM Ecula d Cicia Tcología Tcicatura Elctromdicia Diagótico por Imág Alicia Di 8