5.1. LA DERIVADA, DERIVADAS LATERALES. Observación: df sí existe y es finito lim x a

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Mariano Carrasco Navarrete
hace 5 años
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1 Divd d ucio u vibl l 5 LA DERIVADA, DERIVADAS LATERALES Diició 5 S : lr lr u ució, Dom, dimo qu divbl d í it y iito lim D D y d Si divbl t tbjo umo l otcio, d d p dci l divd d Ejmplo: Sí lim lim 8 Obvció: Hcido toc Obtiédo lim lim Itptció Gométic d l Divd Coidmo l ució divbl co l iuit áico : y L L L Obvció: Cudo ti m Cudo ti m l pdit d L l pdit d L

2 Divd d ucio u vibl l Sucivmt cudo toc lim l pdit d l ct tt L l áico d Luo: i L ct tt, ptcit l áico d tá dd po: L T : y - ii L ct oml, ppdicul L T tá dd po: L N : y - ; Diició 5 U ució dic divbl i lo cd puto d u domiio Diició 5 Fució divd d pim od S l ució : lr lr tl qu y y B { Dom / }toc l ució: : B lr llmd ució divd d pim od d d y d d Not qu divbl i Dom Dom Ejmplo: Divd d l ució Aí b;, b lr, b b lim lim lim Ejmplo: Divd d l ució / lim lim lim lim Ejcicio Divd d l ució ; Z U: b b - - bb - Dod, b Diició 54 Divd ltl S : lr lr y Dom i Dimo qu divbl po l izquid d í it y iito l límit lim ii Dimo qu divbl po l dc d í it y iito l límit lim Z

3 Divd d ucio u vibl l Tom 5 divbl í olo í it y o iul y - Dmotció: Btá u l diició54 Tom 5 Sí divbl toc cotiu Dmotció: Po dmot lim Po ipóti lim it y iito Aí lim lim [ ] Obvció: El cípoco dl tom tio o cumpl Cotjmplo: Aliz l divbilidd d í toc y - - í < Como - po tom? Po lim lim Lo cuál dic qu cotiu 5 REGLAS DE DERIVACIÓN Tom 5 Sí y o ucio divbl, k u cott y toc k, ±,, o divbl y: i ii iii k k ± ± ' iv ; Dmotció: P iii cod qu i divbl toc cotiu * lim lim lim [ lim lim lim * Ejcicio Sí ; Z toc U l pt iv dl tom tio y jmplo tio

4 Divd d ucio u vibl l Tom 54 Rl d l Cd S y do ucio tl qu Im Dom Sí divbl Dom y divbl y Dom Etoc o divbl y o Iulmt i z o, y, z y toc u Dmotció: y y Coidmo y ; ; Fució bi diid pu divbl y Evidtmt lim toc α cotiu P ti y y y α * Coidmo * y dividido t ti: [ ] [ ] α ** Como divbl ti: lim lim lim lim Y qu α cotiu po l tom d límit d l compoició: lim lim E ** cudo tmo: lim lim [ ] Po lo tto o dz d dz d Obvció: L vió lobl d l l d l cd dd po: o dz dz Si z o, y, z y toc d d Ejcicio Sí q, q Q q q U l d l cd Ejcicio Sí divbl y [] q, q Q divbl Admá q [ ] q - Bt coid q toc q q y E pticul í 5 5 Coidmo 5 5, 5 Etoc o 5 5 Obvció:Divd d l ució iv y divd pmétic - Sí y y ivibl co iv y toc yy y

5 Divd d ucio u vibl l toc toc d y y d d d Sí y y, z z, z y y diid pméticmt po d y Como ú d dz d dz dz dz z d l divd pmétic d y pcto d z d d á l divd d l iv d y y d z z y y Ejmplo: y, z 6 d, dz d 6 dz 6 6 p Ejcicio P t ll l ct tt l lu omético ddo po p p p 5 Solució: p t ti l puto P, 5, t y 5cot Admá d p t p y p p co p L T : y DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E INVERSAS - Tom 55 L ucio tioométic o divbl u domiio y : - Sí co - Sí co - - Sí t c 4- Sí ct -cc 5- Sí c c t 6- Sí cc -cc ct Dmotció: - co co lim lim co lim co lim co co - 8 -

6 Divd d ucio u vibl l - co co co co co co co c co co 6- cc ct Ejmplo: Si t toc cot t cot c cot c Coolio 56 Dd u ució divbl toc: - Sí co - Sí co - - Sí t c 4- Sí ct -cc 5- Sí c ct 6- Sí cc -ccct Dmotció: S iu imdito d l Rl d l Cd Tom 57 L ucio tioométic iv o divbl y : - Sí c ; < - Sí cco ; < - Sí ct ; lr 4- Sí cct ; lr 5- Sí cc ; > 6- Sí ccc ; > Dmotció: p p - y c toc Dom [-, ], R [, ] p p Sí <, co, S y y iv d ' d d co y Como: y co y, y c, y - 8 -

7 Divd d ucio u vibl l coy Po lo tto ; Dd u ució divbl toc: cco Sí 4 S cc Sí 6 c Sí 5 U l tom57 y l l d l Cd, Sí l Sí >,, l l Si y co < y Sí c Sí cct ct í c c ct lim lim lim lim lim lim Coolio 58 Dmotció: Ejmplo DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL, HIPERBÓLICA Y LOGARITMO Tom 59 Dmotció: Tom 5 Dmotció: Coolio 5 Divd d l ucio ipbólic

8 Divd d ucio u vibl l Si y co Si y t c co co Si y ct -cc Si y c co -ct Si y cc -ccct Tom 5 Sí l Dmotció: l l l lim lim lim l l lim l l Tom 5 Sí >,, lo l Dmotció: l l l l l l l Coolio 54 Sí u ució divbl toc: Sí Sí l ; > Sí l 4 Sí lo ; > l Dmotció: U lo tom 59, 5, 5, 5 tio y l l d l Cd Ejmplo: Si l toc: co co c - 8 -

9 Divd d ucio u vibl l 55 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR, FÓRMULAS DE LEIBNIZ Y TAYLOR Coidmo l ució y P: B { Dom / } Obtmo : B lr llmd divd d od d P: B { Dom / } Obtmo : B lr llmd divd d do od d y d Sucivmt p B { Dom / }, Z Obtmo : B lr llmd l divd d od upio ó -im divd d y d Ejmplo: Obvció : Alu vc poibl ll l divd d od om iductiv Ejmplo: Dd! como 4!! 4 k k k! Supomo qu p k ti k k k! k k! Po tto ú iducció mtmátic ; Tom 55 Fómul d Libiz Dd y dod, o ucio divb t l od Dom Dom D Etoc divbl t l od D dmá: Dod y Dmotció: Umo iducció Mtmátic P ;

10 Divd d ucio u vibl l Supomo qu l popidd vdd p O Pobmo l vdd p Udo l iuldd: Dd y divbl t l od Coid b k!, k,,, El poiomio llmdo El o qu comt l poim l poliomio d Tylo p co ddo po R -p tmbié llmdo d do p Dd l ució y ; Como 4 4 Etoc b, b! ', b 4!, b 8! El poliomio d Tylo d do p : p Si y divbl t l od toc!! E l tom c, < c- < - c- - ;, Luo R! - ;, y l ómul d Tylo qudá: k k k k k c ε ε ε Obvció: p b b - b - b - poliomio d Tylo d do p témio idul d L Ejmplo: ,, Tom 56 Fómul d Tylo ; c, Obvció: Î á ñ

11 Divd d ucio u vibl l ; ε,!! E pticul cudo ti: ; ε,!! Domid l ómul d Mclui Ejmplo: Dd l ució y p co, p - p -co,, p E t jmplo p l omul d Mclui lo um poicio p ul: p ; ε,! 5!!! 56 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Diició 55 Dimo qu u ució y tá dd implícitmt l cució R, y í l mplz y l cució t tic Ejmplo: y dtmi implícitmt l ucio: y y - Diició 56 Dd l cució R, y dod l ució d do vibl R, y ú cit codicio d cotiuidd y divbilidd di: R, y divd pcil d R pcto d qu obti divdo R coiddo y como u cott R, y divd pcil d R pcto d y qu obti divdo R coiddo y como u cott Obvció: - No tod cució R, y ti ucio implícit L cució R, y y cotituy u cotjmplo - A pti d R, y vc o ácil obt l ució y plícitmt Po jmplo d l cució R, y y 5 y l y - ultá muy diícil dpj ucio y plícitmt

12 Divd d ucio u vibl l R, y - L divd d l ucio implícit dd po y d R, y y ómul pud v l tudio d ucio d m d u vibl Et 4- U m pctic d obt l divd implícit divdo R, y co d pcto d coiddo y u ució d luo iul co y dpj y Ejmplo: Dd l cució R, y y Podmo coid l ució R, y y tl qu y d y yy - 4yy - d Po lo tto y 4 y 4 R, y Udo divd pcil:, R, y 4y y Po lo tto y d 4y 4y 4 57 TEOREMAS DE ROLLE Y VALOR MEDIO Diició 57 S dic qu u ució pt u Máimo Rltivo ó Locl í u vcidd V δ tl qu, V δ llmdo tmo d Máimo ltivo ó locl d Diició 58 S dic qu u ució pt u Míimo Rltivo ó Locl í u vcidd V δ tl qu, V δ llmdo tmo d Míimo ltivo ó locl d Tom 57 S u ució tl qu u tmo d máimo ó míimo ltivo y ti divd toc Dmotció: Aumido qu u tmo d máimo ltivo Po ipóti V δ / V δ ti P - δ, < - <, - δ, Udo popidd d límit y qu - lim * P, δ < - >,, δ

13 Divd d ucio u vibl l Udo popidd d límit y qu lim Po lo tto d * y ** ti ** -δ δ L T Obvció: - L popoició tio im qu í u tmo ltivo y dmá it toc l tt, oizotl - El cípoco d l popoició tio lo Cotjmplo: Si mbo o tmo ltivo - -δ δ Diició 59 Puto Cítico S : lr lr u ució, u puto, llmdo puto cítico ó puto iul d í ó? 7 Ejmplo: Hll lo puto cítico 7 49 ± 7? í 7 Po Dom lr-{} Po lo tto -7, -7, 7, 7 o lo puto cítico Tom: 58 D Roll S : [, b] lr tl qu i cotiu [, b] ii divbl, b iii b Etoc, b tl qu Dmotció: i Sí [, b] cott y,, b ii Sí < p lú, b E [, b] ti qu b o máimo Etoc po l tom dl máimo d Wit, b tl qu l vlo máimo ltivo d [, b] y como it po tom tio

14 Po tto - - ti u úic íz l, Tom 59 Dl Vlo Mdio ó d L ii divbl, b iii Etoc Sí >, p b tl lú qu, b E b [, b] ti qu b o míimo Po l tom dl míimo d Witu b, b tl qu l vlo míimo Dmotció: ltivo d [, b] y como it po l popoició tio b Coid F [ ] Obvció: Sí l divd o it b lú puto d, b pud qu o ll tt oizotl Luo d i uqu y ii : F cotiu y [, b] b El iuit áico F mut divbl u modlo, b F Fb Aplicdo l tom d Roll, b tl qu F Divd d ucio u vibl l S : [, b] lr tl qu i cotiu [, b] b F - [ ] F? b - [ ] b b b Po lo tto, b tl qu b b b Ejcicio U l tom d Roll p pob qu l cució - - t u úic íz l, Solució: Si - - toc < Po l tom dl co c [, ] / c Aquí c, c pu Etoc c, / c Ao upomo qu c, / c ; c c Etoc l ució cumpl co l codicio dl tom d Roll po lo qu: Eit, / 6-6 Etoc lr lo qu cotdicció Po tto - - ti u úic íz l,

15 Divd d ucio u vibl l Itptció Gométic: L ct qu p po:,, b, b dd po b L T L L : y [ b ] b d pdit b b b b El tom dic pdit d L T, b O L T y L o Pll Ejcicio: Dd l ució ; [-, ] dtmi l vlo qu tic l tom dl vlo mdio Solució: cotiu [-, ] y divbl -, Admá Sú tom dl vlo mdio -, tl qu Etoc Po lo tto l vlo qu tic l tom - 9 -

16 Divd d ucio u vibl l Aplicdo l diició ll i 8 ; - ii 4 ; Hll qu puto l tt l cuv y 5 ppdicul y Dtmi lo vlo, b, c d modo qu b, c ti l mim ct tt l puto, 4 Hll l cució d l ct tt y oml l cuv y l l puto d bci Hll l divd d l iuit ucio: t 6 ct Clcul l divd u domiio: ; 5 ; 5 4 ; ; ; Hll A y B bido qu mbo o cott : ; c Hll í :, l, Clcul l divd d l ucio: ct l t l 4 l 5 l 6 7 l 58 RELACIÓN DE EJERCICIOS I II III IV V VI B A d y > <

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