2. EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

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1 U ( - ). EL ÁTOMO DE HIDÓGENO dod l cg dl úclo y - l dl lctó, l pmiividd dl vcío y l ditci dl lctó l úclo. L gí idpdit d l oitció d m qu ti u cmpo imético o cmpo ctl. El cto d gvdd dl átomo coicid pácticmt co l cto dl úclo. L fució d Hmilto dl itm icluy lo compot d momto lo lgo d lo t, y. Dificultd d l toí d Boh ob l átomo d hidógo L toí d Boh ob l átomo d hidógo i bi fu u vc, o cotituyó u b tifctoi p xplic l compotmito d átomo má complo. Admá l itoducció d hoc d do potuldo gú lo cul l lctó moviédo u óbit pmitid o di gí y qu l lt d u ivl oto bob o lib cuto d gí, o cotb ido dto d l mcáic cláic. S logó mucho má éxito plicdo l mcáic cuátic. -. L cució d od p l movimito ito u átomo d hidógo El átomo d hidógo pud imil u oto ígido cotituido po u potó y u lctó. Como l m dl lctó mucho mo qu l dl potó, l m ducid dd po l ( - ) pácticmt igul l m dl lctó. L gí potcil dl lctó u ditci dl úclo ug úicmt d tcció coulómbic y H px py pz ( - ) y, d cudo co l Tbl, l opdo hmiltoio pud cibi h Ĥ 8 ( - ) Db cot l fució d od qu cumpl co l cució Ĥ E i i Como l lctó o c ob l úclo i p dl mimo podmo upo qu plicbl l cució d Schödig idpdit dl timpo h 8 E ( - ) Ddo qu t itm ti imtí féic má covit mpl coodd pol féic. Cudo l opdo lplcio tfom coodd pol, l cució d Schödig dopt l fom

2 8 E h ( 5) Et cució co difcil pcil pud xp como l poducto d t cucio difcil comu, cd u d ll fució d u ol vibl. P llo cib l fució d od, qu u fució d, y como l poducto d t fucio (), y () ( - 6) Al utitui t xpió l cució ( - 5) y dividi po obti d d d d d d d d d 8 E d h ( 7) dod h mplzdo l divd pcil po divd comu y qu cd fució dpd ho d u ol vibl. El tc témio d t cució coti d d Et l úico témio l cul pc y. Como l t coodd pol o idpdit t í, t témio db cott y xp como d d m (Ecució ( - 8) y l úmo m l llm úmo cuático mgético. Sutituydo l ( - 8) l ( - 7) y lugo multiplicdo po y oddo, obti d d d d 8 E h m d d d d ( 9) Mit qu l pim mimbo d l ( - 7) icluy y po o y l gudo mimbo icluy y po o y. Po lo tto, mbo mimbo ti qu igul u cott d pció qu xp como (+). L cott cib l omb d úmo cuático zimutl. Iguldo l pim mimbo d l ( - 9) (+) obti l cució dil o cució d d 8 E d h d (Ecució ) ( ) D m pcid, oddo l gudo mimbo d l ( - 9) obti l cució gul o cució. d d d d m (Ecució D t m, l cució d Schödig h dividido t cucio cd u d l cul fució d u úic vibl. Et cucio o cucio difcil y db olv. E pim lug ulv l cució p obt lo vlo pmitido d m. Dpué utilizá éto p olv l cu-

3 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 6 ció lo qu pmitiá cot lo vlo pmitido dl úmo cuático zimutl. Po último utilizá lo vlo d p olv l cució. L olució d l cució ( - 8) dl tipo im A ( - ) Sido A u cott d omlizció. L fució db t l mimo vlo =, = =..., poqu to águlo copod l mim poició, po llo qui qu m,,,,... ( - ) Lo vlo poitivo y gtivo lcio co olucio ditit. L ctidd m h tfomdo í u úmo cuático dbido l ticcio dl itm ( ti qu tom ólo dtmido vlo) y o d m biti. po, p oto vlo d m l olucio icluy xpot imgiio. P vit to mpl u combició lil d l fucio m m y qu l combicio lil d fucio popi d u opdo o tmbié fucio popi d opdo y, po lo tto, tmbié o olucio d l cucio d od qu l dcib. Po mplo: P m =, P m = - i ( - 6) i ( - 7) Sumdo t do cucio y dividido l ultdo po obti u uv cució qu idic co x El vlo d l cott d omlizció A cut plicdo l codició d omlizció qu hc l itgl dl poducto d l fució po u complo cougdo igul. x i i co ( 8) im im m m d A Po lo tto A d A y l olució d l cució im ( ) ( - 5) Nót qu cudo m = l vlo d Et obitl dig co x y qu co ti u vlo máximo cudo =, lo cul copod l x (Figu - ). D m álog pud tom l difci - - y dividil po y i i i ( 9) Como, gl, it l didd d pobbilidd ul o iclui l i t xpió y qu limi cudo tom l cougd compl. Eo hc qu l ul cibi

4 6 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA y ( - ) E l tbl d l Figu - d l olucio d l cució El vlo d t fució máximo cudo = o lo lgo dl y. Vlo d m Solució fom compl Fom l - i i i x - i i i y co i i x y co - i xy Figu -. Solucio d l cució. Solució d l cució L olució d l cució btt complicd dd l puto d vit mtmático d modo qu olo l dcibimo bvmt iitido lo picipl ultdo. codmo qu t cució d d m d d ( ) P olvl itoduc u tfomció hcido w co P w ( - ) y obti d d w P w w P w dw m w dw P w ( - ) Cudo m vl co, t cució l cució d Lgd. L olucio d l cució d Lgd ólo o poibl cudovl co o ti vlo to poitivo. Et olucio domi poliomio d Lgd d gdo. Pofo: D. Migul Ktz

5 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 6 Cudo m ditito d co, olo pud hb olució i m ti lguo d lo vlo to,,..,. Po lo tto, u vlo tá cotdo -, - +, - +,...,,,...,. E t co l olucio domi fucio ocid d Lgd. E íti: ólo pud vl co o t u vlo to poitivo y lo vlo d m dpd dl vlo d =,,,... m = - +, - +,...,,,..., L olució d l cució impo u límit ifio lo vlo d. El límit upio lo d l olució d l cució. m Fució 6 co +, - co +, - 5 co +, - 5 Figu -. Solucio d l cució E l tbl d l Figu - d l olucio d l cució p lo vlo d d, y y lo vlo pmitido d m copodit. Como l fucio d o y coo pud t vlo poitivo y gtivo, hy gio poitiv y gtiv l fucio d od. L fucio d od d l Figu - o otogol t í (como qui p fucio popi d u opdo hmítico) y h omlizdo. -. Solució d l cució codmo qu l cució d 8 E d h d d ( - ) Multiplicdo mbo mimbo po iguldo co, t cució pud cibi d d d 8 E d h ( - 5) Et cució plicbl o ólo p l átomo d hidógo io p culqui itm d do ptícul cuy itcció pud xp mdit u gí potcil dl mimo tipo, como io hidogoid o lo úclo d u molécul bitómic. E l co qu l gí tg u vlo gtivo, dci, l gí totl iuficit p ioiz l átomo, covi itoduci l iguit lcio: 8 E y u uv vibl idpdit

6 6 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA Sutituydo t xpio l ( 5) obti d d ds S d co y dod S() = (). ( 6) y L ( ) df d d F d L dl d dl d d L d L Cudo muy gd, l cució poxim d S S d cuy olucio o S y S D t do olucio, ólo l gud ti tido fíico, y qu cudo, S. A pti d t olució db c l olució d l ( 6). Supoido qu l ( 6) ti l fom o S F ( 7) S cut qu l ( 6) tifc i d F df F d d d F df F d d ( 8) E t ultdo, pud utitui F() po F L ( 9) dod L() u i d potci d qu comizdo co u témio cott o ulo. mplzdo t divd l ( 8) d L d dl L d dl d dl L d L L L Ddo qu F L ( ) y L comiz co l coficit d db l um d todo lo coficit d L, dci Po como, l xpió t cocht db fi qu tifg l (- ) qu cumpl i o Cudo mplz po (+) l ( 9) clcul l divd y mplz l ( 8), o obti u fució d od cptbl, po lo qu cpt = y F L ( ) Pofo: D. Migul Ktz

7 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 65 mplzdo po l ( ) y dividido po +, obti d L d dl ( - ) d L Cudo xplicit L como i ( -) obti u cució co potci d cuyo coficit ucivo db cumpli l codicio o, p l coficit d ( ) Si t i tdi ifiito, l fució d od S() o í cptbl y qu tdí u compotmito imil l xpió d. P qu fiit, l i db ul lgú témio. L codició p qu l i ul lgú témio qu cumpl ' o ' llm úmo cuático dil y llm úmo cuático totl. D cudo co l fom d lo coficit d lo témio d l i, v qu =,,,, D t m cut qu l cució dil L ( 5) dod L() tá dfiid po l fómul d cuci ( ) co =. L olució d l ( ) log pti d l cució d Lgu d y x dx x x x dy dx y x qu xpd mdit l fómul d odigu L! dx x d x x x A pti d l fómul d odigu obti l fucio ocid d Lgu L x d dx L x Et fucio tifc l cució x d L x dx dl x dx Hcido = (+) d L x dx x x L x dl x x dx Lx ( - 7) Ecució imil l ( ) L úic olucio d l cució ( - 7) o qull p l cul l coficit d L co o u úmo to poitivo. (+) ( 8) llm úmo cuático picipl o totl. Admá, l Scció tio hmo dicho qu l olucio d l cució d Lgd ólo o poibl cudovl co o ti vlo to poitivo. Po coiguit: - ( - 9)

8 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA 66 Tmo í l codicio d cutizció E H ( ) =,,,... =,,,..., E l tbl d l Figu - d l olucio d l cució p vlo d, y m = -, - +,...,,... E l Apédic A, l fil d t cpítulo, dmut qu l gí dl átomo d hidógo o d lo átomo hidogoid vi dd po Fució Figu -. Solucio d l cució - 5. L fucio d od complt p l átomo d hidógo L fucio d od complt cooc tmbié como obitl y obti multiplicdo l cucio dcud y. Como t o olucio d l cució d Schödig p l átomo d hidógo (o átomo hidogoid) pud dfii obitl como u olució d l cució d Schödig p t tipo d átomo. Fu d cotxto, l oció d obitl poximd. Supogmo qu qumo obt l fució d od complt p l lctó d u átomo d hidógo p l cul =, = y m = (obitl p). P llo bt multiplic l fució dil p = d l tbl - ( ) po l fució p = y m = d l tbl - ( ) y Pofo: D. Migul Ktz

9 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 67 dpué po l fució p m = d l tbl - ( ), l xpió fil co 6 7 S pud obt ot do olucio cptbl p lo obitl p fctudo lo poducto x o - y. Eto poducto d obitl idético l dcipto xcptudo l oitció. m Fució ) ( p z co + ) ( p x co - ) ( p y Figu -. Fucio d od complt p l átomo d hidógo. E l tbl d l Figu - d l fucio d od complt p l átomo d hidógo p lguo vlo d L olució mtmátic d l cució d Schödig p l átomo d hidógo y átomo hidogoid mut qu hy t úmo cuático obitl,, y m qu tá viculdo t í. S h itoducido u otció pcil p dig o úmo cuático y lo obitl lo cul copod. Pimo idic l úmo cuático picipl guido po u lt qu idic l úmo cuático. E lt o Lt p d f g h i 5 6 D l t cucio qu fom l fució d od ólo l cució ti xplícit l gí. Po lo tto l cálculo d l gí dl lctó l átomo d hidógo dpd úi-

10 68 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA cmt d l olució d y o d l olucio d l cucio y. E ot plb, l gí dpd ólo dl úmo cuático picipl (qu povi d l cució ) y o d o d m. Eto ólo ocu l co dl átomo d hidógo y lo átomo hidogoid. L gí pud obt utituydo l div olucio p mciod l tbl d l Figu -. Al hc to, l gí pmitid obti mdit l xpió: E h E k k y coddo qu = c hc E k k Dpdo k y utituydo lo vlo d E, h y c E 8 ( - ) k 8 6, 66 J.., 998 m. 8, 78 J k Et xctmt l mim xpió qu obti gú l toí d Boh. El dio d Boh vi ddo po 5, 9 m ( - ) m mplzdo t vlo l ( - ) cut qu p = E = = -,6 V qu copod co l vlo xpimtl d l gí d ioizció dl hidógo. P =, pud tom vlo y. Como l gí vi dd úicmt po l vlo d lo obitl ddo po l fucio d od,, y - tdá l mim gí, dci p l hidógo y lo átomo hidogoid E pt u cuádupl dgció. Poblm: 8. Clcul l logitud d od d l t pim lí d l i d Lym, Blm y Pch. Clcul l límit d l i y l lí d mo logitud d od p cd i. Solució: A pti d 8 k 9, 9 m k P l i d Lym, = utituydo k l cució tio po,, 8 9, 9 7 k, 59 m k 8 9, 9, , 9 8 k 9, 769 m P k = y culqui vlo fiito d 9, 9 k m lím k k 8 Dividido umdo y domido po k 9, 9 9, m lím k k m m Pofo: D. Migul Ktz

11 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 69 P = 9, 9 8 m S d l lcto l t d lo cálculo p l i d Blm ( = y k =,, 5,..., ) y l i d Pch ( = y k =, 5, 6,..., ) - 6. cpitulció ob l átomo d hidógo El átomo d hidógo tá fomdo po do ptícul u úclo qu coti u potó y u lctó. P dcibi l tdo mcáico d t itm cit i coodd y i momto lil, t p cd ptícul. L i coodd d t tipo pud tfom imp t coodd dl cto d m y t coodd it. U vz lizdo to, l cució d Schödig p do cucio idpdit, l pim d l cul icluy l coodd dl cto d m y l gí d tlció dl átomo como u todo. L pt tlciol ti ólo ité cudo qui itpt cit popidd mcocópic como l pió, l tmptu y l didd d u itm fució d u popidd copucul (toí ciétic d g, tmodiámic tdític, tc.). L gud cució icluy l coodd it dl átomo y l gí it. So t gí y t pt d l dcipció l qu o it. No fimo t gí como l gí dl átomo. L coodd it o l coodd pol féic,, y l Figu - idic u lció co l coodd cti). El úclo tá l oig d l coodd féic, l ditci t l úclo y l lctó, l águlo t l z y l dio vcto qu u l úclo co l lctó y l águlo t l +x y l poycció dl dio vcto ob l plo xy. L gí potcil ultt d l tcció léctic d l cg + dl úclo y - dl lctó, - ( dod l úmo tómico, t co ). L cució d Schödig pud olv tfomdo l fució d od, qu u fució d, ycomo l poducto d t fucio (), y idpdit. L fucio d od qu ult l olv t cucio dcib tdo dl átomo d hidógo. P qu l olucio d l cució d Schödig tg tido fíico, db itoduci cito úmo to llmdo úmo cuático. Al igul qu l co d u ptícul u c, to to pc dbido l ticcio qu ig l itm. Po mplo, i l didd d pobbilidd db t u vlo úico cd puto dl pcio, l dcipció d dbá t l mimo vlo p y p y qu to vlo d copod l mimo couto d puto l pcio. Et ticció uto co l fom d l cució xig qu l dpdci d pcto d l fom im o -im dod m u úmo to. L xigci d qu l didd pobbilític fiit culqui pt, implic l itoducció d oto do to y qu ul l poibilidd d obt u pobbilidd ifiit d cot l lctó culqui pt dl pcio. L dcipció fil, lm (, u fució d, yy d lo úmo cuático, y m. Como m (, dpd d lo to mdit u lció úic, lo to, po í mimo, cotituy u dcipció bvid y covit dl itm. Coocido lo to podmo tblc m (, mdit u tbl como l d l Figu -, i l citmo. E l myoí d lo co utiliz ólo lo úmo cuático p dcibi l itm l tdimito qu l fucio d od ultt d lo mimo tá tbuld.

12 7 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA - 7. Sigificdo d lo úmo cuático l átomo d hidógo El úmo cuático picipl El to dcib l gí dl átomo d hidógo mdit l cució E E h ( ) Al liz u tició d u tdo gético lto uo bo, l átomo mit u cuto d luz cuy gí tá dtmid po h = E, dod E l difci d gí t lo do tdo. El pcto dl átomo, cot, po lo tto, d u couto d i d lí cuy fcuci copod lo vlo poibl d l difci d gí (ptd l Figu -5 po l logitud d l flch). Sob l b d l cució ( - ) l fom gl l difci d gí t do tdo E h E ( ) k h k qu quivlt l fómul cotd po ydbg 89 p l fcuci d l lí dl pcto d miió dl hidógo co lo vlo pmitido =,,,... E l cució ( - ) l dio d Boh y E h l gí d Ht dfiid po =,57 x -8 J. Si bi l gí dd po l ( - ) o l mim qu l dd po lo cálculo iicil d Boh, l modlo d Schödig ti u igificdo dift. P Boh u mdid dl momto gul dl itm. L gí dl átomo d hidógo tá cutizd. L gí pmiibl má b copod cudo = y á E 8 E h E h 8 Si d Pch Si d Blm =5 = = = 8 E E, 787 J, 598 V. h Lo vlo pmitido á Si d Lym E h, 8 E h, 8 E h, E h, y l poibl ticio mut l Figu - 5. E h = Figu - 5. Nivl d gí pmitido l átomo d hidógo El úmo cuático zimutl El úmo cuático dcib l momto gul totl dl átomo d hidógo mdit l cució Pofo: D. Migul Ktz

13 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 7 L ( - 5) y ti vlo pmitido t y -. L l cuddo dl momto gul totl. Sgú l vlo d l obitl dig co, p, d, f,... Cudo vific l tició d u tdo oto tto l miió como l boció d dició xit u ticció ob llmd gl d lcció: El vlo d db cmbi ±. Aí i u átomo d hidógo l tdo fudmtl bob dició p p l ivl = db lcz filmt l tdo p. Culqui ot tició t lo ivl y impdid po l gl d lcció. Auqu cooc l mgitud dl momto gul totl po l cució ( - 5) o cooc u igo. Como l oitció dl vcto momto gul idfiid, l oitció d l óbit tá tmbié idfiid. Mit qu l modlo d Boh l momto gul tb ddo po L,,, E dci, tí u vlo imp ditito d co, l cocpció cuátic l momto gul vl co p todo lo tdo lo qu =, dci lo obitl. L uci dl momto gul lo tdo hc impoibl imgi cómo muv l lctó t tdo gú l cocpció obitl cláic. El úmo cuático mgético El to m dcib l compot gú l z dl momto gul (L z ) mdit l cució L z m ( - 6) co + vlo p cd vlo d. P l boció o miió d u cuto d luz, l gl d lcció xig qu m = o qu m = ± Poblm: 9. Coid l fució d od dil Dmut qu u mplitud ti do xtmo y clcúllo. Solució: Hcido A A, d d d d y A A qu hc cudo =. Po lo tto, l fució d od ti u xtmo cudo =. P t vlo d to, y l xtmo u míimo. D u m má foml; p =, d d >. El gudo xtmo cut p =. E igo o u míimo, io u máximo fíico. (P compoblo bt utitui,.. A pti d l cució dil 9 6 9

14 7 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA ubiqu lo odo dil l obitl dl átomo d hidógo co =, obtiédo u gáfico como l d l Figu 6 Solució: Hcido 9 A y A 6 9 Lo odo vificá cudo = to cudo 6 9 Eto vific cudo =,9 y = 7,98. P l hidógo = y =,59 x - m. Po lo tto, ido =, lo odo tá p =,6 x - m y,755 x - m - 8. ptció pcil d lo obitl Como l fució d od fució d t vibl, quií u pcio ttdimiol p u ptció pcil. Exit dmá l poblm d pt dbido qu pud tom vlo complo. E po llo qu cu pt lgu d u fucio cotitutiv, y qu cd u d ll fució d u ol vibl. Po mplo pt () fució d p l obitl. D l tbl d l Figu - cut qu Figu - 6 ptció d () fució d p ditito vlo d. L pici tidimiol d u obitl pud xpd d div m. U d ll coit dot l pobbilidd d cot u lctó u gió dl pcio mdit l didd dl ombdo. (Fig. 7 y b). Figu 7. () ptció dl obitl, (b) d u obitl. L zo dod l didd myo pt l myo pobbilidd d cot l lctó. Pofo: D. Migul Ktz

15 U pocdimito gl má impl, po dcudo, coit dibu l upfici límit, upfici d pobblidd cott dto d l cul hy u popoció pcificd d l didd d pobbilidd (glmt,9 -,95) P idic l fom l d lo obitl, tmbié ul idic l igo d l fució d od ocucido l pt poitiv d l upfici límit o ggdo igo + y lo lóbulo lvt d lo obitl. CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 7 Figu 9. ptció tidimiol d lo obitl p. P u ddo vlo d hy 5 obitl d poibl. E l Figu pt lo cotoo d lo 5 obitl d. Figu 8. ptció tidimiol d lo obitl. L upfici dl cotoo ci l volum pcil dod l pobbilidd d cot l lctó,9,95. L upfici límit d l Figu - 8 mut qu lo obitl ti imtí féic y qu idpdit d y d Lo t obitl p co l mimo vlo d copod lo t vlo qu pud tom m l, y ±. El obitl co m = l y l compot dl momto gul gú l z vl ; lo llm obitl pz. Lo oto do obitl, llmdo p x y p y o fucio compl y ti u mplitud máxim l plo x y. E l Figu 9, mut l ptció tidimiol d lo obitl p. Figu. ptció tidimiol d lo obitl d.

16 7 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA - 9. Vlo mdio Mcáic Cuátic Aí como Boh ució l picipio d copodci, gú l cul l límit d fcuci muy b d dició (o vlo gd d ) lo ultdo obtido po l Mcáic Cuátic db cocod cutittivmt co lo qu obti ob l b d l Mcáic Cláic, Pul Ehft ució, 97, u tom qu tblc cómo ví l vlo mdio d u obvbl ddo A co l timpo, co l comutdo t l hmiltoio dl itm y l opdo hmítico ocido l obvbl d A dt A t Ĥ, Â Si l vibl A idpdit dl timpo d A dt Ĥ, Â Gci t tom, cup l Fíic wtoi y qu lo vlo mdio tmpol d l ditit vibl diámic obtid mdit cálculo mcáico-cuático o lo mimo qu lo obtido mdit l Mcáic Cláic. Aí, po mplo cut qu d m dt F x Po lo tto, l cocluió dl Tom d Ehft pud xp: Cudo Mcáic Cuátic clcul lo vlo mdio tmpol d culqui mgitud diámic obti lo mimo ultdo qu co l Mcáic Cláic. Dicho d ot m, i l lug d obt vlo ittáo d cot vlo mdio o válid l ly d l Mcáic Cláic. -. Fucio d ditibució Hmo vito qu l pobbilidd d qu u lctó cut u lmto d volum dtá dd po do d i l fució d od l. Si divid po d l ultdo l pobbilidd po uidd d volum o didd d pobbilidd. D l tbl d l figu - y dl vlo d dp u cqut féico d dio y po d, l pobbilidd d qu l lctó cut volum lmtl d y l didd d pobbilidd copodit (qu ho po uidd d ditci dil ) obti dividido po d y Et fució cib l omb d fució d ditibució dil y l Figu - mut u gáfic d ll cot. L cuv tvi po u máximo cudo = = 5,9 x - m y, po lo tto t l ditci má pobbl t l úclo y l lctó. Sgú l toí d Boh l lctó l tdo bl () dl átomo d hidógo dplz u óbit pci d dio mit qu Mcáic Cuátic t ólo l ditci má pobbl y qu l lctó pud cot ot ditci dl úclo. Pofo: D. Migul Ktz

17 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 75 Figu -. Pobbilidd fució d l ditci l úclo Poblm:. Clcul qué vlo dl dio l pobbilidd d cot l lctó d u átomo d hidógo c l 5% d u vlo máximo bido qu Solució: L pobbilidd d qu l lctó cut volum lmtl El vlo máximo d l pobbilidd dá cudo = y tdá l 5% dl vlo máximo cudo =,5 d y l didd d pobbilidd copodit (qu ho po uidd d ditci dil ) obti dividido po d y Sido Eto implic qu l, 5, 7, 8 m. Cuál l momto gul obitl d u lctó lo obitl: ) b) c) d

18 76 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA Solució: codmo qu l mgitud dl momto gul tá dd po y ddo qu lo obitl cctiz po t u úmo cuático zimutl co y lo obitl d ti úmo cuático zimutl, ult ) = L = b) = L = c) d = L = (+). Cuál d l iguit ticio o pmitid l pcto d miió oml d u átomo ) b) p c) d p Solució: Sido mb fucio l y ditit, btá dmot qu d El lmto d volum d xpdo coodd pol ddd d mplzdo po l pctiv fucio d od L llmd gl d lcció tblc qu p culqui to l úmo cuático zimutl db vi. Po lo tto ) pohibid d b) p pmitid c) d p pmitid. Udo lo vlo tbuldo d y dmot, po itgció, qu lo obitl y dl átomo d hidógo o otogol. Solució: Si do obitl y k o otogol l itgl d u poducto co d * k k E l co dl átomo d hidógo l fucio d od d lo obitl y o d d d D l tbl d itgl ti qu x qx Po lo tto! dx ; q q d Pofo: D. Migul Ktz

19 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO d!! Poblm poputo:.. Clcul l m ducid d lo átomo d hidógo y dutio mpldo l iguit m p l ptícul: lctó; 9,95 - kg potó:,677-7 kg úclo d dutio, -7 kg ) Expliqu culittivmt qué fcto tdá l ditit m ducid ob lo dio d Boh y, po lo tto, ob l poicio d l lí lo pcto tómico.5. Dmut qu p l tdo fudmtl d u átomo hidogoid <>=ª.6. E qué pt dl átomo d hidógo, u tdo fudmtl, máxim l didd d pobbilidd..7. Dtmi l pobbilidd d cot d cot l lctó l tdo fudmtl d u átomo d hidógo u ditci dl úclo upio..8. Dtmi l pobbilidd d cot l lctó l gió cláicmt pohibid p l lctó dl átomo d hidógo u tdo fudmtl..9. P qué tdo dl átomo d hidógo ditito d co l úclo... P l tdo fudmtl dl átomo d hidógo: () Dtmi <V>; (b) Acptdo qu <V> + <T> = E, clcul l vlo d <T><V>; (c) utilic <T> p clcul l vlocidd cudátic mdi <v > dl lctó; clcul tmbié l lció <v > c dod c l vlocidd d l luz. b) El pcto d lí d Blm ti u lí l logitud d od d 656,7 m. Dduzc l logitud d od d l lí copodit l pcto dl dutio... Clcul l logitud d od y l gí copodit l tició d = = 5 l átomo d hidógo... Clcul, oul y uidd tómic, l gí potcil dl lctó dl átomo d hidógo cudo tá l ivl gético copodit =... Dtmi l pobbilidd d qu l lctó dl átomo d hidógo u tdo fudmtl cut u ditci dl úclo ifio

20 78 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA APÉNDICE A L gí l átomo d hidógo d T d dt d T (A - ) L cució dil p l átomo d hidógo P hll l olució itótic, xpmo l cució p cudo d 8 E d h d d d T d T (A - ) qu pud cibi, multiplicdo mbo mimbo po, coddo qu 8 h iguldo co d d d 8 E d h d d E d d (A ) Agupmo l cott d l iguit fom E y d modo qu l cució (A - ) qud d d d d (A - ) itoducido u uv vibl idpdit podmo mplz () po T() co lo qu l (A - ) tfom qu u cució difcil dl tipo d y b dx y cuy olució gl dl tipo y ibx c c ibx E uto co, y = T, x = y b = T c c (A - 5) (Omitimo i lo xpot pu ido =, i tá implícit y qu = (- E ) ) Dbmo hc l iguit coidcio: L gí podí tom vlo gtivo o poitivo. Si E l ctidd (E) í poitiv y, po lo tto, l fcto qu multiplic í imgiio. Dd l puto d vit fíico, to implic qu l lctó o tá itctudo co l úclo, dci, l átomo tá ioizdo. Al o xiti itcció, o hy ticcio l movimito y cd u d l ptícul compot como ptícul lib. P u ptícul lib tá pmitid tod l gí o gtiv. L fucio popi cuyo utovlo d gí o poitivo domi fucio popi dl cotiuo. E l co qu E <, lo xpot d (5) o l. Como l fució d od () db fiit ú cudo ifiito, dbmo dch Pofo: D. Migul Ktz

21 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 79 l témio co xpot poitivo, co lo qu o qud T c (A - 6) P cot l olució o itótic, xpmo T() como l poducto d l olució itótic y u i ifiit G() d potci d. G T k k c k G Hcido c k = b k k k T b (A - 7) k L i G() db lgi d modo tl qu l fució T() y, po lo tto () d bu compotmito. P llo db cumpli qu G lím L divd pim d T() pcto d T' G' L divd gud T" G" G G' G mplzdo T, T y T l cució (A - ) y multiplicdo mbo mimbo po - G' d G d dg d G (A 8) Como t cució db válid p todo lo vlo d db válid p =. E t co, l (A - 8) covit G (A - 9) dod i, cimt G() =. Et compotmito ugi qu G() db u xpió dl tipo G l cul > p y. ult covit itoduci l dfiició L (A - ) D modo qu G() pud cibi G L (A - ) L divd pim y gud o G' G" L L' L L' L" mplzdo G, G y G l cució (A - 8) y combido lo témio qu ti l mim potci d L" L' L' L' L L L (A- )

22 8 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA Et lció pud válid l itvlo í y olo í l coficit d cd potci d igul co. E cocuci, p... Po como hmo lgido, cio qu (A - ) Et u cució d gudo gdo co u icógit,, cuy íc o y (A - ) Et íc copod do olucio lilmt idpdit d l cució difcil. Dbmo vific i hc qu l fució d od d bu compotmito. Como p, =, ólo l pim íz tifc qu > p y to o llv qu G() = p. D t m, l i d potci G() G (A - 5) (A 6) Et cució tifc i y olo í l coficit d cd potci d ulo. Lo témio iguit o Po lo tto, l coficit d y db cumpli (A - 7) A pti d l (A - 7) obtmo l fómul d l cuci Como L El vlo límit cudo (A - 8) L ' lím (A - 9) L " L xpió d! b mplzdo to vlo l cució (A + - ), hcido = y dividido po p l cul Pofo: D. Migul Ktz

23 CAPÍTULO II - EL ÁTOMO DE HIDÓGENO 8 b b (A - ) Eto mut qu G() umt co tto como lo hc y T G S pud hc poximdmt igul T (A - ) T() hc, po lo tto, ifiit cudo tid ifiito y o cudáticmt itgbl. L úic fom d impdi t ctátof ifiit tuc l i d m qu tg u úmo fiito d témio cuyo co l fcto gu qu l fució d od hg co cudo tid ifiito. S k k l último témio o ulo d l i. P qu todo lo témio k+, k+,... ul, l fcció qu multiplic l lció d cuci (8) db vl co p = k k (A - ) Sido k y to, u um u to qu digmo co k (A - ) d modo qu o,,, (A - ) tomdo l dfiició d y como hcido E E E (A - 5) fómul tmt álog l cotd po Boh 9. E ll =,59 m l dio d Boh. El úmo to llm úmo cuático picipl. A pti d l dfiició () d cut p, qu llm úmo cuático zimutl = k Como k, pud tom vlo,,,..., - L cució (5) o mut qu tá pmitido todo lo ivl cuático ddo po. Lo úmo d od d l lí pctl dl átomo d hidógo o E E c hc

24 8 DEPATAMENTO DE FÍSICA - CÁTEDA DE MECÁNICA CUÁNTICA H H l cott d ydbg p l átomo d hidógo ( H = 9677,6 cm - ) Dbmo hc ot qu p lo tdo lzt dl átomo d hidógo l gí l gí dpd olmt d. Si mbgo, como l fució d od totl dpd d lo t úmo cuático, y m. Lo tdo co dift vlo d o m po co l mimo vlo d ti l mim gí y, xcptudo l tdo l cul =, xit dgció d l gí Pofo: D. Migul Ktz