Fonones: Cuantización de las vibraciones de la red cristalina.

Transcripción

1 Foo: Cuatizació d la ibracio d la rd critalia. Oda d logitud larga Oda lática... Oda d logitud corta λ a o πa tmo qu tr cuta la tructura atómica dl crital. foó logitudial foó traral

2 a mooatómica: Coidrmo qu la itraccio o lática, co cotat qu ddrá d la dircció d roagació y la olarizació d la oda. La furza o roorcioal al dlazamito y coidramo ólo itraccio tr lao cio. La furza obr u átomo dl lao i d lo lao y -: F C u u ) C u - u ) La cuació dl moimito ara l átomo: d u dt M C u u u ) Ua oda iajado la dircció rdicular al lao) : u u ia i t u ) y or tato ± u ± ia Sutituydo quda: - M C [ia) -ia) ] y or tato: CM)- co a)

3 La olució o cambia i ± πa. Lugo πa < < πa.ª Zoa d rilloui). ma πa ua oda tacioaria. locidad d gruo d la oda: g dd o g grad ). Para la rlació d dirió qu mo ito g ) Ca M) ½ co ½ a). E πa, g. Límit cotiuo: i a << CM) a. Ca M) ½ locidad oda lática.

4 a diatómica: E gral i ay átomo or clda uidad, ay rama la rlació d dirió. rama acútica y ótica dimio). amo cómo obti. ) ) u u C dt d M u C dt u d M Probmo olucio d la forma u u ia-it) y ia-it). Sutituydo obtmo:

5 Et itma ti olució i: ara a << tmo u - M M ) u

6 La tructura d la rlacio d dirió gral comlicada:

7 Cuatizació d la oda lática: La oda lática o ocilador armóica qu tá cuatizado y l aocia artícula FONÓN). La rgía or tato: E ½ ) ħ. Eto imlica qu la amlitud d la oda tá cuatizada. <E> ¼ ρ u ½) ħ. u 4 ½ ) ħρ. El momto dl foó : Ua oda lática o foó o traorta momto lial, i mbargo lo foo comorta como i u momto fura P ħ. E roco d coliió, cració y dtrucció, cora l momto lial.

8 Proidad érmica: La oda lática o foo dtrmia gra art d la roidad térmica: Calor Ecífico. Coductiidad érmica. Ergía Itra d la oda lática a tmratura : U U,,, Cómo ac la uma?. Cuáto al la cotribució a la rgía mdia d u oda d frcucia )?. Cuáto al l úmro mdio d foo a tmratura?.

9 itribució d Plac otro cotto o-eiti ): La robabilidad d qu u ocilador té u tado d rgía E : PE ) Z) - E ) dod Z ) ua cotat d ormalizació. S ti qu cumlir qu PE ). Lugo Z - E ). La ditita rgía lo qu ud tar u ocilador d frcucia ) o E ½) ħ. La fució Z or tato, [ ] Z ) ) La cotribució d la oda lática a la rgía mdia : ) ) Z E P U ) ) )

10 ) ) ) ) ) ) U ) E E itribució d Plac o-eiti)

11 La rgía itra quda toc : U,, El calor cífico obti como : ) ) U C,,, Sólo o quda or r cómo umamo.

12 Eumració d modo ormal ). Ya mo ito qu ólo ti tido lo modo dtro d la ªZ. Imogamo aora codicio d cotoro N artícula co: Codicio fija: u y u N. Para qu cumla a codicio db formar oda tacioaria: u u i a) it).la rmitida o cuml ina) y o mo or tato N- modo ditito tr y πa. La didad d modo N grad) ) Naπ Lπ.

13 Codicio riódica: Imomo qu u N u. Eto o rtrig a aqulla tr πa y πa tal qu y Na ±m π o ± m π L. mo N modo ditito tr πa y πa lugo la didad ) Lπ. E do dimio : N modo ua Z d urfici πa). Lugo ) L 4π. E tr dimio : N modo ua Z d olum πa). Lugo ) L 8π.

14 Si N La grad qu lo ) odmo utituir la uma or itgral: E d ) F F ) ) d ) Z idad d tado frcucia ) : E l úmro d tado modo) qu tmo or uidad d frcucia. Si coocmo la rlació d dirió ) fácil rlacioarla co ) al mo t cao). úmro d tado d N ) d ) d) E d d) d d y d z dl módulo d tmo o 4π d, lugo i la frcucia olo dd ) ) 4π dd π ) dd ) dod L.

15 Modlo d by:.- Aumimo la rlació d dirió d la oda lática ). Eto imlica qu la didad d tado ) π..- El úmro d tado or olarizació N úmro d clda uidad). mo toc ua frcucia máima. N d N 6 ) π Qu imlica u ctor d oda máimo: 6π N). aro cuta qu N) a. ommo ua locidad d roagació romdio : L ) L π π

16 La rgía itra quda: d d d d U U 4 4 ) ) π π π od mo dfiido ħ y ħ θ. Eto dfi la llamada tmratura d by θ) dada or: 6 N π θ Utilizado ta dfiició: d N U 9 θ

17 El calor cífico quda: d N d C θ θ π 4 4 ) 9 ) Límit d tmratura alta θτ) << : -). N d N C 9 θ θ Ly d ulog- Ptit.

18 Límit d baja tmratura θ) << θ). 4 d ) 4π 5 4 C 4 5 π N Ly. θ

19 Modlo d Eiti:.- La frcucia iddit d,, aroimació ara la rama ótica)..- mo tambié N modo olarizacio N tado. Cocucia d y ) N δ ). fiimo ħ θ Ε ) y la caacidad calorífica quda N U C N U iamat θ Ε Para θ Ε >> C N. Para θ Ε << C - θ Ε )