3 Distribuciones de variable aleatorias

Transcripción

1 3 Distribucios d variabl alatorias Edgar Acua ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

2 3.. Distribució Biomial. U rimto s llamado d Broulli, si satisfac las siguits caractrísticas: E cada rtició ud ocurrir sólo ua d dos maras, ua d llas s llamada Eito ylaotrafracaso. La robabilidad d Eito, rrstada or, db rmacr costat cuado l rimto s rtido muchas vcs. Las rticios d los rimtos db sr iddits tr sí. Los siguits so rimtos d Broulli Lazar varias vcs u dado y obsrvar las vcs qu sal l valor 6, st caso la robabilidad d éito s /6. Cotar l úmro d acits qu sobrviv a ua oració d corazó abirto. Cotar l úmro d rsoas qu s trvista or u mlo y a las qu s l hac ua ofrta d mlo. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

3 La Distribució Biomial cot Ua variabl alatoria ti ua distribució Biomial co arámtros y si s dfi como l úmro d éitos qu ocurr cuado u rimto d Broulli s rit vcs forma iddit. Ejmlo 3.. Las siguits so variabls alatorias biomials. Númro d vcs qu rsulta suma 7 al lazar u ar d dados vcs s ua variabl biomial co aramtros /6 y. Númro d rgutas bi cotstadas u am d rgutas d slcció múltil, dod cada ua ti 4 altrativas d las cuals ua s la corrcta. E st caso y ¼.5. Númro d artículos dañados qu hay ua mustra d tamaño 3 traida CON REPOSICIÓN d u lot qu coti artículos, d los cuals 4 so dañados. E st caso 3 y 4/. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3

4 La Distribució Biomial cot La fució d robabilidad d ua Biomial sta dada or: ara,,,. dod rrsta combiacios d lmtos tomados d. Notar qu s similar al -simo trmio dl biomio d Nwto. Lugo, s ud vr facilmt qu [ ] El valor d ara divrsos valors d y aarc tablas d todo tto básico d Estadística. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4

5 Calculos d la fucio d distribucio Biomial E MINITAB y cualquir softwar stadistico s ud calcular la fució d robabilidad Probability, la fució d distribució acumalada Cumulativ robability y los rctils Ivrs cumulativ robability d la distribució Biomial ara cualquir valor d y. Parastohay qu sguir la scucia Calc 4Probability Distributios 4Biomial. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 5

6 Ejmlo 3.. Probabilidads biomials MINITAB aersar ua tabla d valors la fució d robabilidad y la fució d distribució acumulada d la variabl alatoria : Númro d rgutas bi cotstadas or u studiat qu rsod al azar u am tio slcció múltil qu cosist d rgutas, cada ua co 4 altrativas d las cuals sólo ua s corrcta. Solució: Por ua columa, llamada, todos los valors osibls d la variabl. La vtaa sssio Miitab mustra los siguits rsultados ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 6

7 Ejmlo 3.cot busar la tabla atrior ara calcular la robabilidad d qu l studiat: Tga actamt 3 rgutas buas. Tga 6 ó mos rgutas buas. Tga or lo mos 4 buas. Solucio: La robabilidad d tr 3 rgutas bi cotstadas s P3.5, la robabilidad d tr 6 o mos rgutas bi cotstadas s F6.9964, la robabilidad d tr or lo mos 4 buas s or comlmto P 4 P 3 F ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 7

8 Ejmlo 3.3. Ua mrsa ti dos latas d roduccio A y B. E la lata A s roduc l 6% d la roduccio total y la lata B solo l 4%. El 5% d la roduccio d A s dfctuosa mitars qu solo l % d la ruduccio d B lo s. S lig al azar articulos roducidos or la mrsa. Cual s la robabilidad d qu aeactamt dos d los articulos rsult dfctuosos? b A lo mas 3 d llos rsult dfctuosos? c Por lo mos 6 d llos rsult dfctuosos? d Por lo mos 8 d llos rsult buos? Solucio: Sa :umro d articulos dfctuosos tr los scogidos. s biomial co aramtros y co robabilidad d ito.6*.5.4* , usado robabilidad total a P b P ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 8

9 Ejmlo 3.3 cot. c P 6 P 5. d Por lo mos 8 sa buos s quivalt a dcir qu a lo mas dos d los articulos sal dfctuosos. O sa. P ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 9

10 Mdia y variaza d ua Biomial Si s Bi, tocs E Var q E fcto, E!!! Hacido y s obti qu E y y y y Pro la suma s, orqu s la suma d todas las robabilidads d ua biomial co aramtros y. Lugo, E ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

11 VarE [E] Pro lugar d calcular E dirctamt s mjor usar la siguit rlacio E[ ] E E, dod E[ ] s obtido mas facilmt E[ ] y! y! y! y y!!! y y y y Notar qu la ultima sumatoria val ussla suma d las robabilidads d ua biomial,. Lugo, E[ ] E E. Por lo tato, E E coscucia, Var q ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

12 3. La distribucio hirgomtrica E st caso d ua oblacio dicotomica d tamao N co N << lmtos d u tio I y N lmtos u tio II s tra SIN rmlazo ua mustra d objtos y s dfi la variabl alatoria : umro d lmtos dl tio I qu hay la mustra. Etocs s dic qu ti ua distribucio hirgomtrica co fucio d robabilidad P N N N dod ma, N mi N, ESMA 4 Los aramtros d la distribucio so N, y. Usado l hcho qu a b a b s ud mostrar qu la suma d las robabilidads hirgomtricas da Uivrsidad d Purto Rico

13 Mdia y variaza d ua hirgomtrica ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3 Si s ua hirgomtrica co aramtros N, y tocs!!!!!!!!!!!! N N Var y N y N y N N N N y N y N y N N N N N N N N N N E y y Cuado N tid a ifiito la hirgomtrica covrg a ua Biomial,

14 Ejmlo 3.4 Los articulos roducidos or ua mrsa so isccioados lots d 5 articulos. S tra ua mustra alatoria d 6 articulos dl lot y si a lo mas uo d los articulos sal dfctuoso l lot s actado su totalidad. Si s sab qu 5 d los 5 articulos dl lot sta dfctuosos. Cual s la robabilidad d qu u lot cualquira sa actado.? Solucio: Sa : umro d articulos dfctuosos la mustra d 5 traidos al azar dl lot d 5. Claramt s ua hirgomtrica co N5,. y 6. Lugo, P,,,3,4, P P P Problot sa actado 8969 ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4

15 3.3 La distribucio Gomtrica Sa : umro d rticios d u rimto d Broulli hasta qu salga l rimr ito. Etocs s dic qu ti ua distribucio gomtrica co aramtro. La fucio d robabilidad d sta dada or P ara,,. Usado la suma d ua sri gomtrica s ud mostrar quσp Proidad : Si s Gom tocs P > P > j P j j j m m m m Y usado la suma d ua sri gomtria d razo r s obti P >. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 5

16 Mdia y variaza d ua gomtrica ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 6 / / q Var E tocs Gom s Si q q dq d dq q d dq dq q P E ] [ ] [ 3 3 ] [ q q q q q dq d q q dq d q dq q d q dq q d q q E, q q q q E E E Var Lugo

17 Proidad d falta d mmoria d ua gomtrica. Si s ua Gom tocs ara dos tros ositivos cualsquira m y s cuml qu P[>m/>]P[>m]. Pruba: m P[ > m, > ] P[ > m ] q m P[ > m / > ] q P[ > m] P[ > ] P[ > ] q Ejmlo 3.5. La robabilidad d qu u rclutador haga ua ofrta d mlo a u trvistado s.3 idditmt d qui sa l trvistado acual s la robabilidad d qu s haga la rimra ofrta al cuarto trvistado? b Cual s la robabilidad d qu la rimra ofrta s haga dsus d la quita trvista? c Si a los rimros 5 trvistados o s l ha hcho ua ofrta d mlo, cual s la robabilidad d qu la rimra ofrta d mlo s haga dsus d 9 trvistas? Solucio: a P bp>5.7 5 cp>9/>5p>4.7 4 ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 7

18 3.4 La distribucio Poisso S dic qu ua variabl alatoria ti ua distribucio Poisso co aramtro > si su fucio d robabilidad sta dado or P[ ]! Para,,,3,.. Notar qu! usado l dsarrollo sris d la fucio ocial ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 8

19 Ejmlo d variabls alatorias Poisso Ua variabl Poisso la ractica cuta l umro d ocurrcia d vtos qu ti ua robabilidad qua d ocurrcia. : Numro d rrors or agia d u libro : Numro d llamadas qu tra a u cuadro tlfoico u itrvalo d timo dado : Numro d rsoas qu hay la fila d u baco u itrvalo d timo dado :Numro d accidts qu ocurr ua itrsccio smaalmt. : Numro d ocurrcia d trrmotos or ao ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 9

20 Mdia y variaza d ua Poisso ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico Si s ua Poisso co aramtro tocs E y Var!!! t t t E!!!! ] [ y y y y y y E La ultima suma da, orqu s la suma d todas las robabilidads d ua Poisso. Lugo, E E[ ]E. Por lo tato, Var

21 Ejmlo 3.6 El umro romdio d accidts ua itrsccio s or smaa. Asumido qu l umro d accidts or smaa sigu ua distribucio Poisso ahallar la robabilidad d qu o haya accidts ua smaa cualquira bhallar la robablidad d qu ocurra a lo mas trs accidts u riodo d dos smaas. Solucio: Sa :umro d accidts or smaa la itrsccio. s Poisso a P /! b Sa Yumro d accidts u riodo d dos smaas. Y s ua Poisso co 4 PY<3PYPYPYPY / ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

22 Ejmlo 3.7 El umro d rrors u libro s distribuy como ua variabl alatoria Poisso co.5 rrors or agia a Cual s la robabilidad d qu ua agia lgida al azar haya dos rrors? b Cual s la robabilidad d qu u caitulo dl libro, qu ti 3 agias, haya 5 rrors? c Cual s la robabilidad d qu u caitulo dl libro, qu ti 3 agias, haya or lo mos rrors? Solucio: a Sa :umro d rrors or agia, s Poisso.5 P.5.5 /!.758 b Sa Yumro d rrors u caitulo d 3 agias. Y s ua Poisso co 3.55 PY /5! c PY> PY< ! ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico

23 Aroimacio Poisso a la Biomial ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3! lim!...!...!!! Tomado limits cuado tid a ifiito s ti! lim!... dod Las robabilidads d ua biomial co grad ud sr aroimadas usado ua Poisso co aramtro. Es dcir,

24 Comaracio d robabilidads biomials B,. y las robabilidads Poisso bi oiss ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4

25 Ejmlo 3.8 Estimar la robabilidad d qu u gruo d 4 rsoas or lo mos 3 clbr sus cumlaos l 4 d julio. Asumir qu hay 365 dias l ao y qu cada uo d llos s igualmt robabl qu sa l dia d cumlaos d ua rsoa dada. Solucio: Sa : l umro d rsoas qu cuml aos l 4 d julio. Proiamt s ua biomial co 4 y /365. Asi qu habria qu calcular P>3 P< Pro, u calculo mas facil, s usado la aroimacio Poisso, co 4/ P> / ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 5

26 Ejmlo 3.9 Al formar digitos biarios co digitos, la robabilidad d qu aarzca u digito icorrcto s.. Si los rrors so iddits a Cual s la robabilidad d cotrar uo o mas digitos icorrctos u umro biario d 5 digitos? b Si u comutador forma 6 umros biarios d 5 digitos or sgudo, cual s la robabilidad d qu s form u umro icorrcto u sgudo cualquira? Solucio: a Sa : l umro d digitos icorrctos l umro d 5 digitos, s ua biomial co 5 y.. Lugo, la robabilidad d cotrar uo o mas digitos icorrctos l umro sra P[>] P[] b Sa Y la catidad d umros icorrctos formados, Y s ua Biomial co 6 y.49. Pro como s muy grad odmos cosidrar a Y como ua Poisso co Lugo, la robabilidad d u umro icorrcto sra P[Y} ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 6

27 Ejmlo 3. Sa : l umro d llamadas qu llga a u cuadro tlfoico u riodo d ua hora, ua variabl alatoria Poisso co aramtro. Sa la robabilidad d qu la llamada sa cotstada. a Probar qu Y l umro d llamadas qu so cotstadas s ua variabl alatoria Poisso co aramtro. b Si.8 y. Hallar la robabilidad d qu or lo mos 9 llamadas sa cotstadas. Solucio: a Sa Yumro d llamadas cotstadas tr las qu llga al cuadro P[Y]P[Y, ]P[Y, ]P[Y,] P[]P[Y/]P[]P[Y/]P[]P[Y/].. Lo atrior s justifica or la rgla dl roducto. Por otro lado, si llga m llamadas al cuadro tocs la robabilidad d qu <m sa cotstadas s ua robabilidad biomial d la forma m m ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 7

28 Ejmlo 3. cot. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 8!!!! ] [!!!!!! ] / [ ] [ ] [ m m j j j j P Y j P P Y m m m m m j j j j j j j Lugo Y s ua variabl alatoria Poisso co aramtro b D acurdo a a umro Y d llamadas cotstadas sra ua Poisso co.88. Lugo, PY>9 PY< ! 8 8 8

29 3.5. La distribucio Uiform o Rctagular Ua variabl alatoria cotiua s dic qu s distribuy uiformmt l itrvalo a,b si su fucio d dsidad sta dada or f f b, a. o. c a < < b Esta distribucio s muy usada la gracio alatoria d distribucios ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 9

30 Valor srado y Variaza d ua variabl alatoria Uiform ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3 Si ~Ua,b tocs Eab/ Varb a / E fcto, a b a b a b a b d a b E b a b a b ab b a b b ab b a b a b a b a b d a b E b a b a 4 3 b a b ab a b ab a a ab b E E Var Lugo

31 Ejmlo 3. U uto s lig al azar sobr l sgmto d lia [,]. Cual s la robabilidad d qu l uto scogido qud tr y 3/ Solucio: Sa :umro lgido al azar tr y. Etocs la dsidad d sta dada or f/ si <<.o.c Hay qu hallar 3/ / P < < 3/ d /4 ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3

32 Ejmlo 3. Si la variabl alatoria K sta distribuida uiformmt,5. Cual s la robabilidad d qu las raics d la cuacio 4 4KK so rals? Solucio: Las raics d la cuacio cuadratica sra rals si 4K 44K>. Es dcir, 4K 4K 8K K KK >. Esto ocurr cuado K> o K<. Lugo, solo habria qu calcular P > d ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 3

33 3.6. La distribucio Eocial Ua variabl alatoria s dic qu ti ua distribucio ocial co aramtro si su fucio d dsidad sta dada or f / > Notar qu f d / d / ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 33

34 Ejmlo 3.3 Suoga qu l timo ara qu fall u comot sta distribuido ocialmt co aramtro. a Cual s la robabilidad d qu u comot dur tr 5 y horas? b Cual s la robabilidad d qu u comot dur mas d horas? Solucio: Sa :l timo d duracio dl comot. Lugo a f / / /.5 P5 < < d 5 5 b / /. P > d ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 34

35 Mdia y Variaza d ua Eocial ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 35 Si ~ tocs aft t/ ara t> y Ft.o.c be y cvar dproidad d falta d mmoria: Si ~ tocs P>st/>tP>s Pruba: / / / > t si d t P a F t t t t < t si t F / / / / d d d b E / / / / d d d E c

36 ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 36 Lugo, VarE E ] [ ] [ ] [ ] [ ], [ ] / [ / / / t P s P t s P s P s t s P s t s P d t s t s > > > > > > > >

37 3.7. La distribucio Gamma ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 37 S dic qu ua variabl alatoria cotiua s distribuy como ua Gamma co aramtros y si su fucio d dsidad s d la forma, / > f Dod dota a la fucio Gamma qu s dfi or d Si s u tro tocs!. Notar qu / dt t d d f t

38 Distribucio Gamma cot. Dos casos articulars d la distribucio Gamma, qu ti mucha alicacios ocurr cuado a tro, la cual s llamada la distribucio Erlag qu s ud obtr sumado idits disribucios ocials. E articular, cuado s obti la dsidad ocial. b / y, la cual s llamada la distribucio Chi Cuadrado co grados d librtad. La Formula d la fucio d distribucio acumulada ara la Gamma o s ud scribir forma licita, ro cuado s tro s rlacioa co la acumulada d ua Poisso. Mas rcisamt. F, t t / Gamma F Poisso Ejmlo:F gamma3,.5 F oisso ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 38

39 Distribucio Gamma cot. Si s Gamma, tocs a E b Var E / d / d La itgral val orqu s la itgral d ua Gamma, todo su domiio E / / d d Lugo, Var ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 39

40 3.8. La distribucio Bta ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4 S dic qu ua variabl alatoria cotiua s distribuy como ua Gamma co aramtros y si su fucio d dsidad s d la forma, < < f La fucio Bta s dfi or, dt t t Bta Notar qu, d Bta

41 Mdia y variaza d ua bta ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4 Si ~Bta, tocs E/ y Var /[ ] d d d E La ultima itgral val, orqu s sta itgrado la dsidad Bta, todo su domiio. Por otro lado, d d d E La ultima itgral val, orqu s sta itgrado la dsidad Bta, todo su domiio. Lugo, ] [ E E Var

42 3.9 La Distribució Normal Es llamada tambi Distribució Gaussiaa hoor a K. Gauss. S dic qu ua variabl alatoria cotiua ti ua distribucio Normal co aramtros μ yσ si su fucio d dsidad s d la forma f μ σ σ π < < S usa la otacio ~ N μ, σ. Cuado μ yσ s obti la llamada distribucio Normal stadar rrstada or Z. Para robar qu l ara dbajo d la curva Normal da odmos asumir si rdida d gralidad ua ormal stadar. Asi, sa I π z / dz I z / t / z t / dz dt dzdt π π π ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 4

43 Usado coordadas olars s obti π ρ / ρ / π ρ / πi ρ ddρ ρ dρ π π Por lo tato, I y I. Claramt, la curva ormal s simtrica co rscto a la mdia u. Esto s, fuf u. Asi qu l ara d cada mitad s.5. Tambi la curva ormal ti utos d iflio μ/ σ, cambiado la cocavidad d cocava hacia arriba los trmos a cocava hacia abajo l ctro. Por otro lado, la curva ormal s asitotica co rscto al j, casi u % d los datos ca tr μ 3σ y μ3σ. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 43

44 Estadarizació d ua Normal Dada ua variabl alatoria distribuida Normalmt co aramtros μ y σ, ~Nμ,σ, tocs ud sr covrtida a ua ormal stádar mdiat l, dfiido or Z -μ/σ, dod Z~N,. Est s llamado l rocso d stadarizació d ua Normal. Admás si y Z rrsta sus rsctivos rctils tocs: μ σz E fcto, sa F Z zpz<zp[ -μ/σ<z]p[<σzμ]f σzμ, dod F rrsta la acumulada d. Drivado la acumulada d Z co rscto a z, s obti d f Z z F σ z μ f σz μ σ dz Notar qu st ultimo aso s ha drivado usado la rgla d la cada. Sustituydo la fucio d dsidad d s obti f Z σ z σz μ μ σ π / σ z / π qu s justamt la dsidad ormal stadar ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 44

45 Mdia y variaza d ua ormal Si ~ N μ, σ, E μ, ad Var σ. Pr obarmosqu si Z ~ N,, E Z, ad Var Z. E Z E Z z / z / zf z dz z dz π π z / z / / z z z f z dz z dz π π π E la ultima itgral s fctuo itgracio or arts co uz y dv z z dz π Por lo tato VarZ. Ahora como σzμ, tocs EσEZμμ. Tambi, usado variaza d ua trasformacio lial s ti. Varσ VarZσ. / ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 45

46 Calculo d robabilidads d la distribucio Normal Si F rrsta la distribució acumulada d la distribució Normal, s dcir l ára acumulada a la izquirda dl valor dado, tocs, a P < a Fa b P a < < b Fb - Fa c P > b - Fb E MINITAB s ud calcular la fució d dsidad Probability dsity, la fució d distribució acumalada Cumulativ robability y los rctils Ivrs cumulativ robability d la distribució Normal ara cualquir valor d la mdia μ y dsviació stádar σ. No s rquir trasformació a ua ormal stádar. Para sto hay qu sguir la scucia Calc 4Probability Distributios 4Normal. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 46

47 Ejmlo 3. Si s ua oblació Normal co mdia μ 7 y σ. Hallar las siguits robabilidads: a P < 6 b P > 95 c P 5 < < 8 Solució: Usado MINITAB co ma 7 y stadard dviatio, s ti qu: a P < 6 F b P > 95 F c P 5 < < 8 F 8 F ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 47

48 Ejmlo 3. El timo qu l toma a los studiats ir d su casa a la Uivrsidad s distribuy ormalmt co mdia miutos y dsviació stádar 5. a Cuál s la robabilidad d qu a u studiat l tom más d 8 miutos llgar a la uivrsidad? b Cuál s la robabilidad d qu u studiat llgu a la uivrsidad mos d 3 miutos? c A qué hora db salir l studiat d su casa si s dsa qu llgu tard a su clas d la 8: a.m. solamt u 5 or cito d las vcs? Solució Sa la variabl alatoria : El timo qu l toma al studiat llgar d su casa a la Uivrsidad, s ormal co mdia y dsviació stádar 5. a P > 8 F bp < cequival a hallar l rctil dl 95%, y dsués rstarl l timo hallado a las 8: am. El rctil dl 95 % s Lugo l studiat db salir alrddor d 8. am. 8 miutos7.3 am. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 48

49 Ejmlo 3. Suoga qu, l diamtro itrior milimtros d u tubo s ua variabl alatoria distribuida ormalmt co mdia μ y variaza. Si o satisfac cirtas scificacios, l roduc ua rdida al fabricat. Mas actamt suoga qu la gaacia G or tubo s la siguit fucio d : GC si <<, G C si < y G C3 si >. Hallar la Gaacia srada or tubo. Cual s l valor d μ qu maimiza la gaacia srada. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 49

50 Ejmlo 3.3 S dsa amiar a u gruo grad d rsoas, digamos N, ara vr si ti ua cirta frmdad. La altrativa obvia s aalizar las mustras d sagrs idividuals y vr si cada ua d llas ti o o la frmdad. Pro otra altrativa mas coomica s dividir las N rsoas gruos d rsoas cada uo N. S toma lugo, ua mustra d sagr a cada itgrat dl gruo y s combia la mustra. Si la mustra combiada d sagr s gativa todo los itgrats dl gruo sta saos, si ésta sal ositiva s hac u aalisis idividual ara cotrar las rsoas frmas. Asumido qu hay ua robabilidad d qu la mustra d sagr d ua rsoa cualquira salga ositivo. ahallar l umro srado d rubas d sagr qu hay qu aalizar ara cotrar todas la N rsoas frmas. b Para qu valors d, l valor srado dl umro d rubas s mor qu N. ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 5

51 Ejmlo 3.4 Suoga qu la duracio horas, digamos T, d u comot lctroico s ua variabl alatoria ocial co aramtro. Ua maquia qu usa sta comot custa C dolars or hora ara fucioar. Mitras la maquia sta fucioado, s obti ua gaacia d C dolars or hora. Para orar la maquia s cotrata a u obrro u umro H d horas y co u salario d C3 dolars or hora. Para qu valor d H s maimiza la gaacia srada. Si, c3,c y c34, cuatas horas habria qu cotratar al obrro ara maimizar la gaacia?. Solucio: La Gaacia G dd d T y d H. Si al obrro s l cotrata or H horas y la maquia s daa ats d las H horas T<H tocs GC T C T C 3 H. Si la maquia s daa dsus d H horas T>H tocs GC H C H C 3 H. Lugo, E G C C G t f t dt H t t / CC[ H H Ct Ct C3H dt C H 3 H / H / ] C H 3 H / t / dt C H C H C H H CH CH C3H 3 H / C H C H C H 3 H / t / dt ESMA 4 Uivrsidad d Purto Rico 5