cristal Propiedades térmicas del equilibrio: Calor específico: Expansión térmica: Fusión:

Transcripción

1 Diámica de la red Fooes Fallas de la aproximació estática para el cristal Propiedades térmicas del equilibrio: Calor específico: Las vibracioes de la red so la pricipal causa de absorció de calor y da cueta del calor específico observado tato de metales como de aisladores. Expasió térmica: Las vibracioes aharmóicas hace que el volume del sólido depeda de la temperatura. Fusió: U sólido se fude cuado el valor cuadrático medio de la posició de u átomo es ua cierta fracció del espaciado iteratómico criterio de Liderma 90

2 Fallas de la aproximació estática Propiedades de trasporte: La resistividad de los metales: La depedecia de la resistividad co la temperatura ρt se debe escecialmete a la iteraccio de los electroes co las vibracioes de la red fooes. Coductividadd id d térmica de aisladores: i l d Se debe al itercambio de fooes desde el extremo caliete al frio. Trasmisió del soido Supercoductividad Oes 9

3 Fallas de la aproximació estática: Propiedades de trasporte Se debe a la iteracció ió electró-foó ó BCS 957 Iteracció co la radiació: Reflectividad de los cristales ióicos: Tiee u máximo e frecuecias del ifrarrojo que o correspode a eergías electróicas sio a las fluctuacioes e el mometo dipolar creado por las vibracioes ióicas.

4 Fallas de la aproximació estática: Iteracció co la radiació Dispersió ielástica de Luz: La luz laser dispersada por el sólido tiee u corrimieto e frecuecia Rama. Dispersió de Rayos X: La itesidad de los picos es meor que la predicha por u modelo estático. Además hay u fodo de radiació e direccioes que o satisfase la ley de Bragg. Dispersió de ielástica de eutroes: Itercambia eergía y mometo co las vibracioes

5 La aproximació armóica Desviació de la posició de equilibrio Posició de u átomo cuya posició media es el vector de la RB Si las iteraccioes so debidas a u potecial r.que actúa etre pares de átomos a distacia r. La eergía potecial del cristal se escribe como:

6 La aproximació armóica Si los ur so chicos podemos expadir alrededor d de la posició ió de equilibrio usado Taylor e varias variables: Tomado y e U, teemos: Eergía potecial Eergía potecial e posicioes de armóica equilibrio Fuerza ejercida sobre u átomo por los otros0

7 La aproximació armóica Fuerza e la direcció ν que ejerce el átomo R al moverse e la direcció µ sobre el átomo R.

8 La aproximació adiabática Para u sólido geeral, el potecial o puede represetarse como ua suma de poteciales de a pares. La fuerza etre átomos proviee de la deformació de la estructura electróica producida por el desplazamieto ióico. Aproximació adiabática: La estructura electróica se deforma istatáeamete siguiedo la deformació ióica m ió<< m electró v ió ~0 5 cm/s<<v electró v F ~0 8 cm/s o se toma como puto de partida co ajustado a los experimetos o tomados de cálculos de la estructura electróica

9 Paso a paso: Empecemos por el ejemplo más simple de ua cadea mooatómica co iteraccioes sólo a primeros vecios Potecial de iteracció etre dos átomos separados x

10 Cadea Mooatómica U aálogo mecáico es: K Co ecuacioes de movimieto: Si la cadea es muy larga lo que pase e los bordes o afectará al iterior, tomamos como codicioes de cotoro las periodicas ya que o rompe la ivariacia de traslació.

11 Cadea Mooatómica Propoemos solucioes de la forma co las codicioes periódicas etero Reemplazado e las ecuacioes de movimieto:

12 Cadea Mooatómica Esto determia ua relació etre ω y relació de dispersió: Los movimietos de las partículas estará dados por: Ahora o puede ser arbitrario además de su discretizació porque dos solucioes co y que solo difiere e π/a represeta e realidad la misma diámica de las partículas.

13 Cadea Mooatómica Podemos restrigir -π/a < < π/a, primera zoa de Brilloui. N putos N modos ormales

14 Cadea Mooatómica Cuado es chico la relació de dispersió se hace lieal Correspode a odas e u medio cotiuo. No hay dispersió la velocidad de grupo y de fase so iguales y da la velocidad del soido e el medio v E π/a la velocidad de grupo se aula odas estacioarias a v g K M

15 Cadea Diatómica

16 Cadea Diatómica

17 Cadea Diatómica

18 Cadea Diatómica

19 Cadea Diatómica

20 Cristal mooatómico tridimesioal Las simetrías de D so: - - Los putos de ua red de Bravais está e cetros de iversió. 3- U desplazamieto rígido de todos los átomos o cambia la eergía total.

21 Cristal mooatómico tridimesioal Cristal mooatómico tridimesioal L i d i i t Las ecuacioes de movimieto so: Las codicioes periódicas: direcció.cadaecristaldelsdimesioe,,3n N N 3 a a a celdasdetotalúmeron N N N 3 3 era zoa de Brilloui

22 Cristal mooatómico tridimesioal Matriz Diámica D es simétrica real y tiee 3 autovalores reales y tres autovectores ortoormalespara cada. Tres ramas acústicas <<π/a

23 Cristal mooatómico tridimesioal: Ejemplo Pb

24 Cristal poliatómico tridimesioal Para u cristal co p átomos e el motivo habrá 3Np grados de libertad, lo que lleva a 3 ramas acústicas y 3p- ramas ópticas Ejemplo átomos por celda KBr

25 Trasformació a coordeadas ormales ealidadveamos la diámica i de la red e térmios de ua trasformació de coordeadas que covierta el problema e osciladores desacoplados. Para la cadea mooatómica: cocodcideró* ia u A / u A e A A N Teiedo e cueta que: i N e ' a i ' a N N π δ 'e δ ' j - < j N Na

26 Trasformació a coordeadas ormales Trasformació a coordeadas ormales T l t f ió i Teemos la trasformació iversa: ia A ia e u N A + A A M u u K U... ω M U T L A A M T MA A L P + A A M P P H A ω + A A M M H ω

27 Trasformació a coordeadas ormales Correspode a u sistema de osciladores desacoplados d co coordeadas A y mometos P coordeadas ormales. Las ecuacioes de movimietos so : d dt L A L A 0 A ω A Aáloga a la de u oscilador armóico x ω x

28 Trasformació a coordeadas ormales Para el caso geeral de u cristal tridimesioal i co p átomos co celda, las coordeadas ormales adquiere u ídice de rama o polarizació A,,3,...3p Primera Zoa acústicas óti ópticas { + ω } H P P A A,

29 Cuatificació Fooes Repaso Para u oscilador armóico: Paso a operadores de creació y destrucció

30 Cuatificació Fooes Esto implica u cambio de iterpretació. t ió estado de vacio, si partículas. estado co ua partícula si estructura itera. estado co partículas La eergía del sistema e u estado co partículas es ω.úmero de partículas, ya que y Pictoricamete: Represetació origial i do exciitado er exciitado Estado fudametal Nueva represetació fooes foo Si fooes

31 Cuatificació para el cristal armóico Cuatificació para el cristal armóico El Hamiltoiao queda: + ω ˆ ˆ a a H t + ω, a a H Ahora los fooes tiee estructura, mometo y polarizació, y p U estado se determia por el úmero de fooes para cada y { } p p p 3 3 3,...,,,...,,...,,,,...,, N N N

32 Cuatificació para el cristal armóico La ueva iterpretació para ua cadea sería

33 Termodiámica del cristal armóico La mecáica estadística clásica predice que el calor específico de los sólidos debería ser costate e igual a Ley de Dulog y Petit: c Np 3 / + 3 / v Número de celdas B B Cotribucioes de la eergía ciética y potecial Partículas por celda Si embargo:

34 Termodiámica del cristal armóico Termodiámica del cristal armóico V t i d l tifi ió La eergía total del cristal pesado como gas de fooes es: Veamos etoces que es cosecuecia de la cuatificació. a e e g a o a de c s a pe sado co o gas de o o es es + ω E + ω, E dode da el úmero de fooes co casimometo y polarizació. La eergía media o eergía itera a temperatura T es:, + β ω ω E U Bosedeódistribuci, β ω e

35 Termodiámica del cristal armóico Termodiámica del cristal armóico O más formalmete: + ˆ } {... ] [ E H e e e Tr Z ω β β β 0 0, } { / e Z e e β ω β ω β ω β, 0, e ω β e β ω La eergía libre es: La eergía libre es:

36 Termodiámica del cristal armóico Termodiámica del cristal armóico ω β l l e T Z T F ω β, l l B B e T Z T F y la eergía itera: y la eergía itera: + B T F U + ω β ω β, B e U coicidete co lo aterior

37 Termodiámica del cristal armóico Termodiámica del cristal armóico Fialmete el calor específico por uidad de volume es: U + ω β ω, v e T V T U V c Aalicemos los límites de alta y baja T Alta T: usado

38 Termodiámica del cristal armóico c T 3Np ω v V, T ω V LeydeDulogyPeit Baja T: Cambié por s y pase de suma e a itegral e la primera zoa A baja T los modos co da cotribució despreciable porque el itegrado se aula expoecialmete

39 Termodiámica del cristal armóico Si embargo cuado, para las 3 ramas acústicas. Los modos de larga logitud de oda cotribuye por chica que sea T. A bajas T podemos elimiar las ramas ópticas, quedaros co el comportamieto de bajo de las acústicas y exteder la itegral a ifiito.

40 Termodiámica del cristal armóico Cambiado variables a

41 Termodiámica del cristal armóico Ley de Dulog y Petit αt 3

42 Modelo de Debye

43 Modelo de Debye

44 Modelo de Debye

45 Modelo de Debye

46 Modelo de Eistei

47 Modelo de Eistei

48 Modelo de Eistei