Representaciones irreducibles y carácter de una representación: * = corresponde al elemento i,k de la matriz asociada a la

Transcripción

1 epresetacioes irucibles y carácter de ua represetació: Gra teorema de la ortooalidad (GTO): Sea y dos represetacioes irucibles de dimesioes, : ik ( ) jl ( ) = ( ) ij kl dode ik () correspode al elemeto i,k de la matriz asociada a la operació de simetría de la represetació irucible y es el orde del rupo correspodiete. Carácter de ua represetació: La suma de los elemetos de la diaoal pricipal de ua matriz recibe el ombre de carácter (o traza) de la matriz. El cojuto de caracteres de las matrices de ua represetació matricial es el carácter de la represetació. Se usa {χ A ()}. para represetar el carácter de ua represetació A (ya sea ucible o irucible). Podemos etederlo como u vector de dimesió iual al umero de operacioes de simetría del rupo (orde del rupo). 31

2 Si e vez de trabajar co las represetacioes matriciales irucibles tal cual, lo hacemos co los caracteres de la represetació, el GTO os dice que: i ii ( ) jj j ( ) = ( = ( = ) ) i i 1 j ij ij Así, si = teemos que 2 = (1) Es decir que la suma por todas las operacioes de simetría de los módulos al cuadrado de los caracteres de ua represetació irucible es iual al orde del rupo. Pero si teemos que χ ( ) χ ( ) = 0 (2) Es decir que la suma por todas las operacioes de simetría de los productos de los caracteres de dos represetacioes irucibles es iual a 0. 32

3 Esto ultimo implica (o lo demostramos) que = 2 (3) osea, que la suma de los cuadrados de las dimesioes de las posibles represetacioes irucibles de u rupo es iual al orde del rupo. Además, puesto que los caracteres de las matrices asociadas a operacioes de simetría que perteece a la misma clase so iuales, utilizaremos u solo carácter para cada clase detro del rupo. Fialmete se demuestra que: El umero de represetacioes irucibles diferetes de u rupo es iual al umero de clases. ecapitulado: Para cada rupo putual dispoemos de u cojuto de represetacioes matriciales irucibles. E eeral, estas represetacioes puede ser moo, bi o tridimesioales. Si embaro e luar de trabajar co la represetació matricial lo haremos co su respectivo carácter. Cualquier represetació matricial del rupo puede expresarse de maera úica como suma directa de las correspodietes represetacioes irucibles del rupo. Γ = a ω Γ a Γ... aω Γ 33

4 Tablas de caracteres: El listado de las posibles represetacioes irucibles de u rupo putual se recopila e la tabla de caracteres del rupo. A cotiuació vemos la correspodiete al rupo C4v. El orde del rupo es 8 Puesto que hay tres pares de operacioes de simetría que forma ua misma clase dos a dos (y por tato tiee los mismos caracteres para todas las represetacioes), el umero de clases es 5. Hay por tato 5 (y solo 5) represetacioes irucibles, que se escribe e filas y que recibe u ombre determiado. E este caso teemos las represetacioes A1, A2, B1, B2 y E. Las represetacioes tipo A o B so moodimesioales, las E so bidimesioales y las T tridimesioales. La suma de los cuadrados de las dimesioes de las represetacioes irucibles es iual al orde del rupo. E este caso = 8 34

5 Las represetacioes irucibles so ortooales etre si. Por ejemplo, para las represetacioes A2 y B2 teemos: (1) (1) + (1) (1) + 2 (1) (-1) + 2 (-1) (-1) +2 (-1) (1) = 0 La suma de los cuadrados de los caracteres de ua represetació irucible es iual al orde del rupo. Por ejemplo, para la represetació B1 teemos: (1) 2 + (1) 2 + 2(-1) 2 + 2(1) 2 + 2(-1) 2 = 8 E cada rupo siempre existe ua represetació totalmete simétrica que es moodimesioal y cuyos caracteres so 1 para cada operació de simetría (o clase). Al fial de cada represetació se icluye las fucioes que so base para la represetació correspodiete. Por ejemplo, las fucioes x e y (jutas) so base para la represetació bidimesioal E. Éstas fucioes podemos etederlas tambié como orbitales del átomo cetral, de maera que las fucioes x, y, z represeta los orbitales px, py y pz del átomo cetral (tambié represeta vectores e la direcció x y y z). 35

6 educció de u represetació ucible: Puesto que = a ( ) χ si multiplicamos por χ () y sumamos por todas las operacioes de simetría () teemos = a χ ( ) = a = a por tato a = 1 χ ( ) Así pues, para determiar el umero de veces que ua represetació irucible () esta presete e ua represetació ucible Γ Se multiplica el carácter de la represetació ucible por el correspodiete carácter de la represetació irucible de referecia, se suma por todas las operacioes de simetría del rupo y fialmete se divide por el orde del rupo Tambié se puede expresar la formula aterior e fució de las clases (C) del rupo de maera que a = 1 C C χ ( C) χ ( C) 36