Tema 5. Análisis de Fourier para Señales y Sistemas Discretos.

Transcripción

1 Tma 5. Aálisis d Fourir para Sñals y Sistmas Discrtos. E l tma 3 hmos hcho u studio d los sistmas discrtos l domiio tmporal. Esto os ha prmitido ralizar ua caractrizació d los mismos y hacr u studio d sus propidads, lialidad, stabilidad, tc. E l tma 4 itroduimos la trasformada Z, qu os ha prmitido ralizar ua rprstació altrativa d las sñals y sistmas discrtos qu facilita su aálisis. Otra forma d rprstar las sñals y sistmas s l domiio frcucial. E st stido las sñals va a qudar dfiidas por las distitas frcucias cotidas las mismas, y los sistmas por como modificará las frcucias d ua sñal aplicada a su trada Cocptos como spctro, rspusta frcucia tc, srá aalizados st tma. E l studio d los sistmas LTI las sñals siusoidals y las xpocials complas uga u papl muy importat, ya qu como vrmos, cuado u sistma d stas caractrísticas s xcitado co algua d stas tradas su salida vulv a sr ua xpocial compla o siusoid co la misma frcucia, modificado úicamt su amplitud y su fas. Esta propidad hac qu la rprstació d las sñals mdiat siusoids o xpocials complas; rprstacios d Fourir, sa d gra utilidad. 5.. Trasformada d Fourir d ua scucia. 5.. Dfiició S dfi la TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO X como DTFT, d ua scucia discrta [ ] x, y lo idicamos como X x[ ] X s ua fució compla d la variabl ral y pud xprsars como: Forma biómica: X X + X r im Forma Polar: X X θ arg{ X θ } 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

2 Tato l módulo, X como la fas, θ, so fucios rals d la variabl. A la DTFT s l sul domiar ESPECTRO DE FOURIER. o X : s l ESPECTRO DE AMPLITUD. o θ : s l ESPECTRO DE FASE. El spctro d fas o s úico ya qu: θ + π θ X X X o Cuado l valor d la fas stá l itrvalo π θ < π, s habla dl VALOR PRINCIPAL DE LA FASE. La DTFT s ua fució cotiua d variabl. Ercicio: Vrificar qu para ua scucia ral X y X r so fucios pars d la variabl. Vrificar qu para ua scucia ral θ y X im so fucios impars d la variabl. Priodicidad dl Espctro: El spctro d ua sñal s ua fució priódica d príodo π. X + π x[ ] x[ ] X + π, tro x[ ] π 3 Emplo : DTFT d la scucia impulso uitario: x[ ] δ [ ] δ[ ] δ[] 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

3 Emplo : DTFT d la scucia x[ ] α u[ ], α < X ya qu α α u[ ] α < α α α Para α. 5 la gráfica s la mostrada a cotiuació. Hmos rprstado l itrvalo [-3π,3π]. S aprcia claramt la priodicidad dl spctro, y al tratars d ua scucia ral, la simtría dl spctro amplitud y la atisimtría dl spctro d fas. Scucia ral x.5 u Amplitud /π.5 Fas rad /π.5 Scucia compla x.5.5 u Amplitud /π.5 Fas rad /π 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

4 5... Trasformada d Fourir timpo Discrto Ivrsa. Dada la DTFT d ua scucia x[], podmos rcuprar la scucia origial mdiat la trasformada Ivrsa dfiida como la itgral: x[ ] π π π X d Dod l itrvalo d itgració s ha limitado al itrvalo [-π,π] dbido al la priodicidad dl spctro Covrgcia d la DTFT. Hmos visto qu la DTFT s ua sri d potcias. Para qu xista la trasformada s csario qu dicha sri covra. Si dfiimos la scucia: X K K K x[ ] al tratars d ua scucia fiita la suma simpr xist. Si la suma sigu xistido para K, tdrmos la DTFT d ua scucia. Lugo si la trasformada xist s db vrificar qu: lim X X K Si la scucia x[] s absolutamt sumabl tmos K X x[ ] x[ ] < Lugo, basta qu la scucia sa absolutamt sumabl para qu xista la trasformada. Emplo: x[ ] α u[ ] α < s absolutamt sumabl, por lo qu la trasformada xist, tal como hmos comprobado atriormt. α u [ ] α α < 5.4 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

5 Lugo la trasformada X covrg a / α uiformmt. Sabmos qu ua scucia absolutamt sumabl ti rgía fiita, ya [ ] x[ ] qu s vrifica x, si mbargo lo cotrario o s cirto; s dcir, hay sñals co rgía fiita qu o so absolutamt sumabls como por mplo: / > x [ ] Si calculamos la suma d su módulo os aparc la sri armóica, qu sabmos qu s divrgt, pro si calculamos su rgía obtmos ua sri qu sí covrg. π Ex 6 Para st tipo d scucias co rgía fiita pro o absolutamt sumabls, para qu s puda rprstar mdiat la DTFT s xig qu sa cuadrado sumabls; s dcir, lim K π co X K π X X K K K x[ ] d La xprsió atrior os idica qu s csario qu la rgía total dl rror tr la rprstació d la sñal y su trasformada s aproxim a para. 5.5 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

6 Emplo: Calcula la IDTFT d ua sñal qu val l itrvalo [, ] l rsto d frcucias. Qué scucia s obti?. Sgú os idica la trasformada s: y cro c c y su rprstació gráfica H LP,, < π c c Si dtrmiamos la scucia orig mdiat la trasformada ivrsa, h LP [ ] π c c c d π c sic π < < Obsrvamos qu s trata d ua scucia qu o s absolutamt sumabl, pro sí s cuadrado sumabl; s dcir, la scucia K h LP K [ ] K K sic π o covrgrá uiformmt a H LP pro sí stido cuadrático. Esto s aprcia claramt mdiat ua rprstació gráfica c. 5π. 5.6 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

7 .5 K.5 K Amplitud.5 Amplitud.5.5 /π.5 K /π K3.5 Amplitud.5 Amplitud.5 /π /π.5 K.5 K Amplitud.5 Amplitud.5.5 /π K3 Altura d la Sobroscilació o varía al icrmtar K.5 /π K4 Amplitud.5 Amplitud.5 /π /π 5.7 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

8 Amplitud K Efcto GIBBS Amplitud K Efcto GIBBS /π K /π K4 Amplitud.5 Amplitud.5 /π /π Obsrvamos la prscia d oscilacios alrddor dl puto c. El úmro d oscilacios dpd d K. Obsrvamos qu a mdida qu s icrmta su valor l rror s rduc, si mbargo simpr s obsrva ua sobroscilació d amplitud costat crca d la discotiuidad qu s cooc como EFECTO GIBBS. Exist scucias qu o so i absolutamt sumabls i cuadrado sumabls, como ocurr co la scucia scaló uidad. E stas circustacias tambié s posibl dfiir la trasformada d Fourir d las mismas Propidads d la Trasformada d Fourir. Aálogamt a lo xplicado cuado vimos la trasformada Z, la trasformada d Fourir ti las siguits propidads: 5.8 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

9 Extraído d: Tratamito Digital d Sñals. J.G. Proais Dstacamos las propidads d covolució, qu utilizarmos más adlat, la propidad d Modulació, qu os prmit hacr u dsplazamito frcucia d ua sñal y la propidad d multiplicació o vtaado qu s utiliza como método para l disño d filtros digitals d rspusta impulsioal fiita FIR E último lugar s ucia l torma d Parsval, qu l caso qu x x, os idica qu la rgía d ua scucia, calculada como suma d sus mustras coicid co l ára crrada por la curva * S X X X xx u príodo, dividida por π. Es dcir la rgía l domiio tmporal y frcucial coicid. A la magitud S X xx s l domia DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA Tabla Rsum Trasformada y Sris d Fourir: Dado qu durat l studio d sistmas cotiuos, l curso pasado, tambié s aalizó la trasformada d Fourir para sñals cotiuas priódicas y o priódicas y aquí s ha itroducido la trasformada para 5.9 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

10 sñals discrtas o priódicas s mustra la siguit tabla qu coti las cuacios d aálisis y sítsis cada uo d los casos. Extraído d: Tratamito Digital d Sñals. J.G. Proais 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

11 5. Rspusta Frcucia d u sistma LTI. Dado u sistma LTI sabmos qu la rlació trada salida vi dada por: y [ ] h[ ] x[ ] Cosidrmos ua trada d tipo xpocial compla La salida srá x[ ], < < como Podmos scribir, y[ ] h[ ] y[ ] H h[ ] h[ ] H x H S domia RESPUESTA EN FRECUENCIA, d u sistma LTI, a la trasformada d Fourir Timpo Discrto d su Rspusta Impulsioal. La xprsió rcuadrada s muy importat ya qu os idica qu si la trada a u sistma LTI s ua xpocial compla la salida s otra xpocial compla modificada amplitud y fas por u factor qu vi dado por la rspusta frcucia dl sistma. S dic qu las xpocials complas so FUNCIONES PROPIAS dl sistma. Todas las propidads qu hmos idicado al studiar la DTFT srá aplicabls a la Rspusta Frcucia d u sistma. A cotiuació idicamos alguas caractrísticas d sta magitud. 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

12 H Costituy ua caractrizació dl sistma l domiio d la Frcucia. S trata d ua fució compla d la variabl cotiua. θ Podmos xprsarla como H H, dod H s la rspusta módulo dl sistma discrto y θ fas. Ambas so fució rals d la variabl. H s priódica d príodo π. s la rspusta E ocasios la Magitud s xprsa Dciblios como G log H db Emplo: Cálculo d la rspusta frcucia d u sistma d promdiado móvil d M mustras. La cuació difrcias dl sistma s: y M [] x[ ] M La rspusta impulsioal vi dada por M h [ ] M otro caso Aplicado la dfiició d rspusta frcucia H M M M M Dod hmos aplicado la xprsió para la suma d ua progrsió gométrica. Si sacamos factor comú M / l umrador y / l domiador podmos xprsar como l cocit tr dos sñals siusoidals. 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

13 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9- / / / / / / M M M M M M H / / si / si M M M H D la xprsió atrior s imdiato l cálculo d su módulo y fas. Tmos Módulo: / si / si M M H Fas: θ M Si rprstamos para divrsos valors d M tmos:

14 Amplitud M M4 M6 M /π Fas rad M M4 M6 M /π Amplitud 3 4 M M4 M6 M /π Fas rad M M4 M6 M /π Vamos como la rspusta frcucia d u sistma os proporcioa tambié la salida dl mismo régim stacioario at ua sñal d trada siusoidal Rspusta d u sistma LTI at ua trada siusoidal Aálogamt al procdimito sguido co la sñal xpocial compla, vamos a dtrmiar la salida at sñals d tipo siusoidal. 5.4 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

15 Espramos qu l rsultado sa aálogo ya qu ua siusoid pud dscompors ua suma d xpocials complas. Sa la trada como: co x[ ] Acos o + φ, < < podmos xprsarla x [ ] g[ ] + g *[ ] g[ ] A φ o Sabmos qu la salida para ua trada o s: H Como la DTFT s lial, la salida srá o o v[ ] A y para la trada g * [], las salida srá φ H o o v *[ ] La salida total srá la suma d ambas φ o A H o y[ ] φ o o φ o v + v A H + A H [ ] *[ ] o Exprsado la rspusta frcucia forma polar, y aplicado qu l H H y la fas impar módulo s ua fució par θ θ Obtmos y[ ] o A H { } θ o φ o θ o φ o + o y cos + θ + φ A H o o La salida s ua siusoid d la misma frcucia, qu ha modificado su amplitud y su fas por u factor corrspodits al módulo y la 5.5 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

16 5.6 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9- fas d la rspusta frcucia dl sistma, valuado a la frcucia d la siusoid. Est rsultado s muy útil ya qu os prmitirá calcular la salida d u sistma at ua trada siusoidal coocido úicamt la rspusta frcucia dl mismo. 5.4 Aplicació súbita d xpocials complas a u sistma LTI. Los rsultados atriors s ha obtido cosidrado xpocials complas y siusoids qu actual l itrvalo < <. Si mbargo lo habitual para u sistma causal s qu la trada s apliqu a partir d u dtrmiado istat o. Cosidrmos u sistma LTI causal al qu s l aplica ua trada ] [ ] [ u x Podmos calcular la salida mdiat la suma d covolució u h x h y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Si dtrmiamos los límits dl sumatorio tido cuta qu l sistma s causal, obtmos qu para < y[] y para valors positivos d la xprsió rsultat s: ] [ ] [ ] [ u h y Esta xprsió la podmos scribir como la difrcia tr dos sumatorios, dod hmos sacado factor comú l térmio : ] [ ] [ + h h y ] [ + h H y La rspusta dl sistma stá formada por dos térmios. ] [ ] [ ] [ y y y rt r +

17 El primro y r [] coicid co la salida dl sistma at ua trada qu s xtid < < y s domia RESPUESTA EN ESTADO ESTACIONARIO. El sgudo térmio y rt [] s domia RESPUESTA TRANSITORIA, qu ha sido origiado por la aplicació súbita d la xpocial compla causal al sistma. E alguos casos st térmio s pud asimilar a cro. Para qu sta salida s puda dsprciar s db vrificar qu: y [ ] tr + h[ ] + h[ ] h[ ] Es dcir, si l sistma s stabl, sta suma stará acotada por lo qu para st térmio srá dsprciabl y la rspusta dl sistma coicidirá co la rspusta stacioaria. Si l sistma o s stabl sto NO ES CIERTO. Si l sistma ti rspusta impulsioal FINITA FIR co N+ térmios o ulos N, la rspusta trasitoria srá para + > N, por lo qu u sistma FIR alcaza su stado stacioario para N. Emplo: Rspusta trasitoria y stacioaria E las siguits gráficas mostramos la rspusta trasitoria y stacioaria d los siguits sistmas: a h.95 u b h. u c h {,,, } at la trada x cos. π u E todas las gráficas siguits la part suprior, color azul, s la salida total dl sistma y la part ifrior mostramos color roo cotiuo la rspusta trasitoria y gro la stacioaria. Obsrvamos qu sólo cuado l sistma s stabl la salida total coicid co la salida régim stacioario para valors grads d. 5.7 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

18 a h.95 u Rspusta dl Sistma Rspustas trasitoria y stacioaria h. u Rspusta dl Sistma b Rspustas trasitoria y stacioaria JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

19 c h {,,, } Rspusta dl Sistma Rspustas trasitoria y stacioaria E las gráficas tambi aprciamos qu l trasitorio para u sistma IIR ti ifiitos térmios, mitras qu para u sistma FIR la rspusta trasitoria ti u úmro fiito d térmios. 5.5 Rlació d la trasformada d Fourir co la trasformada Z. Dfiimos la trasformada Z d ua scucia x[] como: X z x[ ] z ROC : r < z < r Si xprsamos z forma polar: z r, obtmos { x[ ] r } ROC : r < z r < X z r Es dcir podmos itrprtar la TZ como la trasformada d Fourir d la scucia x[ ] r. 5.9 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

20 Si la circufrcia uidad stá icluida la rgió d covrgcia podmos hacr l cambio z co lo qu tdrmos: X z X x[ ] z Las coclusios so varias: La trasforma d Fourir coicid co la trasformada Z valuada sobr la circufrcia uidad, si ésta s cutra dtro d la Rgió d Covrgcia. Exist scucias para las qu o xist la trasformada Z, pro sí xist la Trasformada d Fourir cuado s rstrig la codició d covrgcia a covrgcia stido cuadrático lugar d xigirs covrgcia absoluta como ocurr co la scucia x [] s π Emplo: Dtrmia l spctro amplitud y Fas dl sistma dfiido por la y x x cuació difrcias [] [ ] [ ] π Calcula cuál sría la salida d st sistma at ua trada x[] 5cos. 3 π Si la trada fus x[] 5cos u habría algú cambio?. 3 Podmos rsolvr d dos formas: Opció. El sistma ti rspusta impulsioal fiita d valor {, } Calculado la covolució: o h, π π π y [] h[] x[] δ [] δ [ ] 5cos 5cos 5cos < < Opció. 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

21 Esta procdimito s más gral ya qu o sta limitado a sistmas co rspusta impulsioal fiita, si bi la xprsió más gral s obti d la ivrsió d la trasformada Z. Al tratars d u sistma LTI podmos calcular la salida utilizado la rspusta frcucia. Como la trada s xtid para valors < <, la rspusta dl sistma srá la xacta, ya qu l térmio trasitorio srá ulo. Calcularmos la salida como: y π 3 [] 5 H π cos + φ φ arg H π 3 3 La fució d trasfrcia dl sistma vi dada por H z z ROC : z Como la circufrcia uidad prtc a la ROC podmos calcular la Rspusta Frcucia dl Sistma hacido l cambio z. H H z z Si sacamos factor comú y tmos cuta la rprstació d las fucios trigoométricas como sumas d xpocials obtmos: H s s π E sta xprsió la obtció dl módulo y la fas s imdiata. Si π particularizamos para ustra sñal d trada 3 π Módulo: H π s 3 6 π 3 π π π Fas: φ dod hmos tido cuta qu l s 3 6 > sio dbríamos habr sumado u dsfas adicioal d π. 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

22 Si sustituimos stos valors la xprsió gral dada atriormt tmos: π π π y [] s 5cos Si aplicamos las fórmulas trigoométricas d trasformació d productos sumas d siusoids, s fácil probar qu, tal como habíamos obtido. y π 3 π 3 [] 5cos 5cos Si la scucia d trada hubis sido causal x[] 5cos u, por l procdimito hubiésmos obtido: y por l procdimito, y π 3 π 3 [] 5cos u 5cos u y r π 3 π 3 [] 5cos 5cos u qu st caso s la rspusta stacioaria. Si calculamos las primras mustras d sta scucia y las comparamos co la rspusta xacta at trada causal, calculada mdiat l procdimito 5 5 y r [],,5,... 5 y [] 5,,5,... Tmos u sistma FIR co N, por tato para s alcaza l stado stacioario, tal como obtmos. Gráficamt: π 3 5. JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

23 5 Rspusta dl Sistma yxx, x5 cosπ/3u Rspustas trasitoria y stacioaria y r yrt Emplo: Dibua la rspusta frcucia módulo y fas para u sistma causal cuya rlació trada salida vi dada por y.5y + x Dtrmia cuál sria su salida régim stacioario para la trada: π π x 5u + 3cos + u 3 Si dtrmiamos la fució d trasfrcia dl sistma obtmos:.5z H z ROC : z. 5 ya qu la scucia s causal. > Como z ROC podmos obtr la rspusta frcucia hacido l cambio z, lugo H.5.5cos +.5si Módulo: H.5cos +.5si +.5 cos 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

24 .5si Fas: φ arcta.5cos Si rprstamos gráficamt:.5 H /π Φ rad /π y si prfrimos ua rprstació db, para la rspusta módulo: H db /π Φ rad /π π π Calculmos ahora la salida at la trada x 5u + 3cos JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

25 Esta sñal sta formada por ua compot d frcucia y otra d π frcucia. Si calculamos módulo y fas para stas tradas obtmos: Módulo : H +.5 cos.5.5si Fas : φ arcta.5cos Módulo : H π.89 π +.5 cos +.5 π π.5si Fas : φ arcta.46 rad π.5cos Lugo la salida régim stacioario srá: π π y 5 u cos +.46 u 3 Los valors dl módulo y la fas s pud obtr aproximadamt d las gráficas d la rspusta frcucia. Basta co mirar las gráficas los valors d amplitud y fas corrspodits a cada ua d las frcucias. Tégas cuta qu 5u 5cos + π u. S trata d ua sñal d cotiua lugo la frcucia s y la fas s φ π 5.5 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

26 H H.5 π/ H π/ /π Φ rad.5.5 Φ π/ Φ π/.46 /π Ercicio: Dibua l spctro módulo y fas d u pulso cuadrado dfiido como x N N otro caso Ercicio: U sistma d procsado digital ti l diagrama d bloqus siguit: xt AD H z + z DA yt Supoido qu los covrtidors AD y DA so idals y qu la frcucia d mustro s d 3 Hz dtrmia la salida yt si la trada al sistma vi dada por la siguit xprsió: x t 3cosπ t + si5πt + si5πt Si como tapa prvia al covrsor AD s hubis colocado co filtro atialiasig qu limias todas las frcucias por cima d Hz, Qué sñal hubiésmos obtido a la salida?. y si l filtro atialiasig s coloca dspués dl AD?. Justifica tu rspusta. 5.6 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

27 5.7 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9- Ercicio: Dtrmia la salida régim prmat y la salida trasitoria d u sistma LTI cuya rspusta impulsioal s u h cuado s l aplica ua trada 3 u x 5.6 Rspusta frcucia d u sistma LTI d coficits costats: Itrprtació gométrica a partir dl diagrama d polos y cros. Sabmos qu la fució d trasfrcia para u sistma LTI d coficits costats pud scribirs como: N M M N p z c z a b z z H sistma polos dl, sistma cros dl, N M p c Si l sistma s stabl ROC z, por lo qu podrmos obtr su rspusta frcucia valuado la TZ z N M M N p c a b H Módulo: N M p c a b H Fas: + + N M p c a b M N H arg arg arg arg Itrprtació Gométrica: Cosidrmos u sistma co polos : s u vctor cuyo orig s, y su xtrmo s la circufrcia uidad formado u águlo co l smi positivo d ordadas. : φ r p s u vctor cuyo orig s, y su xtrmo s la posició dl polo. Ti módulo r, y forma u águlo φ co l smi positivo d ordadas

28 Lugo p : s u vctor co orig p y fial. Aálogamt para l otro polo. Lugo la itrprtació gométrica d la rspusta frcucia a partir dl diagrama d polos y cros srá la sigut: La rspusta frcucia módulo para ua frcucia dtrmiada s igual al cocit d los productos d distacias a los cros, divido por l producto d distacias a los polos Aálogamt la rspusta fas para ua frcucia dada s igual a la suma d las fass d los vctors d los cros mos la suma d las fass d los vctors d los polos más l factor N M corrspodits a los cros o polos l orig. Coclusios:. Los polos y cros l orig o afcta a la rspusta frcucia módulo ya qu simpr s pro sí afcta a la rspusta fas. 5.8 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

29 . Al obtr la rspusta frcucia dichos vctors s stá movido stido cotrario a las aguas dl rlo a mdida qu varía d a π. 3. La rspusta frcucia s simétrica d a π, y d π a π, simpr qu los cros y polos complos aparzca como paras complas cougadas. 4. El vctor d u cro ti su valor míimo magitud cuado φ. Si l cro stá sobr la circufrcia uidad l valor d la rspusta frcucia para sta frcucia srá cro 5. El vctor d u polo ti su valor máximo magitud cuado φ. El polo o pud sta sobr la circufrcia uidad ya qu daría lugar a u sistma istabl 6. Si qurmos qu u sistma atú dtrmiadas frcucias d trada dbrmos colocar cros sobr la circufrcia uidad para sas frcucias. 7. Si qurmos qu u sistma amplifiqu dtrmiadas frcucias d trada colocarmos polos a stas frcucias, crca d la circufrcia uidad. La itrprtació gométrica os prmit dtrmiar APROXIMADAMENTE, cuál va a sr la forma d las gráficas d la rspusta módulo y fas. E ocasios pud sr útil para dtrmiar l valor d la rspusta frcucia frcucias cocrtas, las qu s pud stablcr rlacios gométricas y simpr qu l úmro d polos y cros o sa muy lvado. Nota: Rcordar l domiio digital cuado hablamos d baas frcucias, y cuado os rfrimos a altas frcucias π, qu s corrspod co z y z π D la rspusta frcucia s dduc qu cualquir sistma discrto raliza modificacios la amplitud, fas o ambas magituds d las sñals qu s aplica a su trada, s dic qu st sistma s u FILTRO 5.9 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

30 DIGITAL. Por sta razó muchas ocasios os rfrimos a stos sistmas como filtros digitals. La siguit figura mustra 4 tipos d filtros idals básicos: Los filtros rals ti rspustas frcucia ligramt distitas, vamos los tipos básicos. 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

31 Emplos d filtros digitals: Utilizado la itrprtació gométrica dibua la rspusta frcucia módulo y fas d los siguits filtros digitals: asistma co u cro. H z.8z El diagrama d polos y cros y la rspusta frcucia s la siguit: Imagiary Part H Φ rad /π Ral Part.5.5 /π Obsrvamos qu st sistma s comporta como u filtro pasa alta, si bi las trasicios o so abruptas como l filtro idal. Por sta razó la frcucia a la qu s produc la trasició c frcucia cort o sta claramt dfiida. Para u filtro PASA BAJA ral s dfi la FRECUENCIA DE CORTE, como aqulla para la qu la gaacia dl filtro ha dismiuido u c factor rspcto dl valor qu ti para frcucia H H c Si lo xprsamos db: db log H db H c 3 Es dcir, s la frcucia para la qu la gaacia ha dismiuido 3dB Para u filtro PASA-ALTA podmos hacr ua dfiició aáloga sustituydo H por Hπ 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

32 bsistma co u polo. H z.8z El diagrama d polos y cros y la rspusta frcucia s mustra la siguit gráfica. Tambié s idica l procdimito gráfico para dtrmiar la frcucia d cort.:.5 H db 5 5 3dB Imagiary Part Ral Part Φ rad 5 c.5.5 /π /π csistma d sgudo ord co cros complos cougados H z θ r cos z + r z Sabmos qu st sistma ti dos cros complos cougado d valors θ c r y u polo dobl l orig. Si H z c z c z H c θ + θ r r r θ Las distacias a los cros dsd ua frcucia gérica so: 5.3 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

33 d d + r + r r cos θ r cos + θ dsistma d sgudo ord co polos complos cougados. Las xprsios so aálogas al caso atrior, ahora tmos distacias a los polos lugar d a los cros y r o pud sr igual a la uidad. H θ + r r θ Las distacias a los polos dsd ua frcucia gérica so idéticas a las atriors. La rspusta fas tdrá u cambio d sigo. E las siguits gráficas s mustra las rspustas módulo y fas para divrsos valors d los parámtros r y θ, para los casos c y d 5.33 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

34 Sistma FIR d ord. Rspusta Módulo θπ/ 5 H db 5 r.4 r.5 r.6 r.7 r.8 r /π 5 Sistma FIR d ord. Rspusta Módulo r.8 5 H db θ θπ/4 θπ/ θ3π/4 θπ /π 5.34 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

35 Sistma FIR d ord. Rspusta Fas θπ/ Φ rad r.4 r.5 r.6 r.7 r.8 r /π Sistma FIR d ord. Rspusta Fas r.8.5 θ θπ/4 θπ/ θ3π/4 θπ.5 Φ rad /π 5.35 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

36 5 Sistma IIR d ord. Rspusta Módulo θπ/ r.4 r.5 r.6 r.7 r.8 r.9 H db /π 3 5 Sistma IIR d ord. Rspusta Módulo r.8 θ θπ/4 θπ/ θ3π/4 θπ 5 H db /π 5.36 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

37 Sistma IIR d ord. Rspusta Fas θπ/ r.4 r.5 r.6 r.7 r.8 r.9 Φ rad /π Sistma IIR d ord. Rspusta Fas r Φ rad.5.5 θ θπ/4 θπ/ θ3π/4 θπ /π 5.37 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

38 Coclusios drivadas d las gráficas: Sistma todo cros : La distacia dl cro al orig, r dtrmia l grado d atuació qu va a xprimtar la frcucia la qu l sistma ti l cro. La atuació máxima d los cros s obti cuado éstos stá colocados sobr la circufrcia uidad. U filtro d sgudo ord d stas caractrísticas ti u comportamito d filtro limia-bada Sistma todo polos : La distacia dl polo al orig, r dtrmia l grado d amplificació. Las frcucias amplificadas so las qu s cutra las proximidads dl polo. La amplificació aumta a mdida qu r s aproxima a la uidad. La rspusta dl sistma mustra claramt ua rsoacia a sta frcucia, mucho más picada a mdida qu r s icrmta. U sistma d sgudo ord s comporta como u filtro pasa bada Por lo gral l itrés s ctra cosguir la rspusta módulo dsada para atuar o amplificar frcucias ya qu hay procdimitos postriors para modificar la rspusta fas si sta o fus la dsada. Ercicio: U sistma d º ord ti u polo dobl p. 5 y dos cros, 4 complos cougados c. Utilizado la itrprtació gométrica, lig la gaacia dl filtro d mara qu H Ercicio:, π ± U filtro digital d primr ord vi dscrito por + bz H z b ROC : z > a + az adtrmia la cuació difrcias dl sistma. b S trata d u sistma causal? c Dibua l diagrama d polos y cros para a.5 y b.6. Es stabl? 5.38 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-

39 d Rpit l apartado atrior cosidrado qu ROC : z < a Para a-.5 y b.5 dtrmia b para qu l valor máximo d la rspusta frcucia módulo sa la uidad. f Dibua aproximadamt la rspusta frcucia,amplitud y fas dl filtro obtido l apartado atrior 5.7 Fucios d Matlab Rlacioadas: Frqz: Prmit dibuar la rspusta frcucia módulo y fas d u sistma %B coficits dl poliomio dl umrador potcias gativas d Z. %A coficits dl poliomio dl domia potcias gativas d Z. frqzb,a; %Dibua la rspusta módulo y fas db %El siguit código prmit prsoalizar los %rsultados, como lgir scala lial para la %rprstació [h,w]frqzb,a,w; frqzb,a; ww/pi; %Normalizamos uidads subplot %Elgir ua dl las siguits lias plotw,absh,'' %Escala lial plotw,*logabsh,'' %Rprstació DB ylabl' H\omga ' xlabl'\omga/\pi' grid o subplot plotw,uwrapaglh,'' ylabl' \Phi\omga rad' xlabl'\omga/\pi' grid o 5.39 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 9-