1 OTRA MANERA DE VISUALIZAR LA EXPANSIÓN DE UN GAS

Transcripción

1 Toría dl Gas Ral 0 OTRA MAERA DE VISUALIZAR LA EXPASIÓ DE U GAS. Itroducció E l prst capítulo s ivita al lctor a aalizar d otra mara la pasió o comprsió d u gas. E bas a sta mara difrt d ivolucraros l fómo trmodiámico, s plata l modlo l qu s basa la toría dl prst tto. S dsarrolla l balac d rgía dl modlo s prsta la cuació qu dscrib d mara acta l comportamito dl gas ral, la llamada Ecuació d la Etalpía Rsidual. Fialmt s rsulv problmas spcíficos qu ivolucra las propidads trmodiámicas dl itrógo ragos d prsió tmpratura, dod l comportamito d dicho gas s ala d l dl gas idal.. El Modlo Los ttos covcioals maa la pasió d u gas como producto dl icrmto d su tmpratura, rsultado d u aumto d la rgía ciética d sus moléculas. Esto stá uivrsalmt acptado sta obra o s la cpció. La divrgcia co sta toría cosist la tractoria qu sigu dichas moléculas cuado so citadas. Covcioalmt s acpta qu tals moléculas choca viaa d ua forma dsordada, su tractoria dpd úicamt d la colisió por lo tato, la prsió s l producto d millos d colisios co la pard dl cotdor. Si sto fura cirto, tocs cómo plicar lo siguit: Supogamos qu s ti u rcipit d trs mtros d altura dos mtros d diámtro, dicho cotdor pos ua boquilla para librar prsió d dos pulgadas. Est rcipit coti u gas cualquira, suto a ua dtrmiada prsió. Bao st squma l ára d boquilla rprsta sólo l 0.0% dl ára total d la suprfici itrior dl taqu. La toría d qu las colisios co la pard dl rcipit gra la prsió, sugir qu l momto d abrir la boquilla, l gas cotido l itrior trará cotacto co l trior coscucia la prsió dl taqu dismiuirá, sgú sto, por

2 Toría dl Gas Ral qu alguas d las moléculas dl gas qu choca tr sí, saldrá por l orificio como producto d u momtum grado por las colisios. Cómo crr qu por u ára d boquilla qu rprsta aproimadamt l 0.0% dl ára itrior dl taqu, s libr prsió ua rlació: P 0V 0P fv f mucho maor al 0.0%, si s supo qu s u fómo totalmt alatorio dod o itrvi ada más qu la colisió d las moléculas?, dicho d otra mara: Acaso la rlació tr áras o itrvi la probabilidad d qu ua molécula d gas al golpar otra, s diria al ára d la boquilla o s diria al 99.98% dl ára rstat?, Cómo plicar qu u caos d choqus molculars, usto al momto d abrir ua boquilla, d rpt las moléculas sal ordadamt por u 0.0% dl ára total?. E la prst obra s dfi qu, por l cotrario, las moléculas, al sr citadas, mprd tractorias co tdcias bi dfiidas hacia ua dtrmiada gomtría. Esta gomtría dpd d la forma spacial qu s sté trasfirido calor al sistma mcioado. Figura. Esfra gasosa d masa m suta a la trasfrcia d calor q E la figura. s prsta u modlo dod la trasfrcia d calor ti ua forma gométrica bi dfiida. Imagimos ua sfra gasosa d masa m, qu stá suta a la acció d ua fut d calor q. Dicha sfra origialmt ti u volum V 0 para qu, mdiat la acció d calor, icrmt su volum a V f a prsió costat. Situados la frotra d V 0

3 Toría dl Gas Ral lo qu s pud obsrvar s u movimito ormal al plao co ua aclració a, durat u timpo t. Est fómo físico bi pud sr cosidrado como fluo cocétrico stimulado por u cambio d dsidad las capas cocétricas, dod l prfil d dsidads s grado por l difrcial d tmpraturas, rsultado d la trasfrcia d calor. Supogamos qu s ti u matraz crrado suto a ua fut d calor costat a través dl cotoro dl vidrio. Sgú la toría d colisios dicho calor provoca ua citació molcular dl gas cotido qu llva a u úmro d choqus cotra l vidrio, los cuals provocaría qu la prsió s icrmt hasta u puto d fractura dl vidrio. Ahora si l procdimito s rpitis, pro co l matraz abirto, habría qu supor qu l vto sría l mismo pusto qu las colisios so producto clusivamt d la citació molcular. Pro la ralidad s qu, bao sta última codició, l matraz o sufr ruptura algua. Por qué?, Cuál s la razó qu vita qu l matraz s quibr, si s supo qu las colisios so totalmt alatorias, s dcir, o orita a molécula algua hacia igú lado spcífico, sio d ua mara dsordada?, por lo qu s spraría choqus molculars cotra l vidrio qu trmiaría co la fractura d ést. Estas prgutas o pud cotstars por la toría d colisios. Como s sab, l gas pos rgía ciética itra, qu s ua porció d la rgía itra U, la rgía ciética itra total s compo d: l movimito traslacioal d las moléculas, l movimito rotacioal d éstas fialmt, l movimito vibracioal d los átomos dtro d las moléculas. Admás s sab qu sólo la rgía traslacioal s mdida por la tmpratura dl gas. Es usto la rgía traslacioal dod s basa la hipótsis prstada st tto, l stido d qu las moléculas s traslada d ua mara ordada siguido u patró bi dfiido por la forma gométrica qu s sté trasfirido calor. La prsió d u gas o cambia como rsultado d colisios molculars, sio como rsultado d la aclració o dsaclració d las moléculas qu s traslada ordadamt. Cómo plicar tocs l fómo qu ocurr dtro dl matraz atriormt pusto? El calor trasfrido a través dl vidrio va formado distitas capas d dsidad l gas cotido, vr figura., sto gra dos furzas opustas tr sí: la primra pusta la figura., qu s pud

4 Toría dl Gas Ral 3 rprstar como l momtum grado por u cambio la talpía dl gas, rprstado por la siguit rlació: d H R ρ v d v Figura. Capas d gas cocétricas formadas dtro d u matraz La sguda furza s pud dfiir como l momtum grado por u cambio la prsió dl gas, mostrado d la siguit mara: d P ρ vdv Ambas furzas s aulará mutuamt simpr qu s cosrv la siguit igualdad: d H R d P Es importat mcioar qu para stas dos últimas rlacios auqu la dsidad s variabl, o s tratada así pusto qu su variació s míima tr capas colidats. E rsum: la pasió d u gas, l fcto microscópico dl distaciamito tr moléculas sucd, pro quda limitado por l fcto macroscópico dl momtum grado por l cambio d dsidad tr capas d fluido, producto dl cambio d talpía las mismas. E las capas dl fluido fialmt s produc l momtum; como l stiramito d ua liga, cua rsistcia so las furzas itrmolculars, qu más qu darl

5 Toría dl Gas Ral furza cocidrabl d arrastr a las moléculas, la qu obti d la Etalpía Rsidual, l da dircció al vctor l stido spacial opusto l qu s stá trasfirido calor. Furzas a las qu l año 873 Johas Didrik va dr Waals adudicara las dsviacios obsrvadas d la l dl gas idal..3 Balac d Ergía sobr l Modlo Aplicado l balac d rgía al sistma mcioado, s ti qu l cambio d rgía dtro dl sistma cotabiliza trs tipos: la rgía itra, la rgía ciética la rgía potcial. Mitras qu la rgía d los alrddors cocist l calor trasfrido l trabao ralizado. Todo sto os llva a la coocida cuació: Es dcir: U E c E P ± Q ± W (.) v U g Z Q W (.) El calor trasfrido al sistma s dscompo la suma d dos talpías: la talpía cotida por l gas: H g la Etalpía Rsidual: H R, qu s la rgía qu usa l gas su movimito d pasió, misma qu toma d la rgía calorífica qu s stá trasfirido. Esto s rprsta la siguit cuació: Q H g H R (.3) Itroducido la famosa cuació d la rgía itra, s ti lo siguit: U H g PV (.) Cosidrado úicamt l trabao ralizado por la masa dl fluido W PV, u procso a prsió costat dod admás, los fctos d la gravdad srá covitmt dsprciados, sustitudo (.3) (.) (.) s llga a lo siguit:

6 Toría dl Gas Ral 5 v H R 0 (.5) E forma difrcial, s prsta a cotiuació: d H R Itgrado s ti lo siguit: v dv (.6) ( v v ) H v dh R vdv (.7) H v Figura.3 Vctor vlocidad origiado por u cambio d talpía El sigo gativo (.6) sigifica qu l stido dl vctor vlocidad s cotrario al d la trasfrcia d calor. E la figura.3 s rprsta l vctor vlocidad para la pasió d u gas

7 Toría dl Gas Ral 6 coform trascurr l procso, s formará u prfil d vlocidads, producto d u prfil d dsidads, ést último formado por ua fut d calor q. Vr figura... S tid qu dicho procso iiciará co ua aclració qu irá dismiudo hasta qu la trasfrcia d calor llgu a su fi. Figura. Procso d pasió d u gas.. La Ecuació d Covcció- Difusió sobr l Modlo Aplicado la Ecuació d Covcció-Difusió para u gas l qu mpzará la trasfrcia d calor, s pud obsrvar claramt qu térmio corrspod a la talpía dl gas H g qu térmio corrspod a la Etalpía Rsidual H R, dicha cuació s prsta dos dimsios a cotiuació: T T T T T ρ Cp u v k Q t t t (.8) Sabmos qu la talpía dl gas la Etalpía Rsidual, rspctivamt s rprsta por las siguits rlacios:

8 Toría dl Gas Ral 7 H g T T T ρ Cp ; H R ρcpu v (.8a) t t t Sustitudo (.8a) (.8), s ti lo siguit: H R H g Q Qu s la cuació (.3), prviamt prstada. Es importat rcalcar qu (.8) rprsta dsidad costat lo cual o s ustro caso, pro para fis d plicar la difrcia tr Hg, H R cosidrado qu s ralmt poco l cambio d dsidad putual, la tomamos válida para u puto dl domiio.la cuació (.8a) stablc qu la vlocidad d las capas dl gas s fució clusiva d la Etalpía Rsidual qu l úico factor dod itrvi la aturalza dl gas, s dcir, l tipo d compusto, s la capacidad calorífica Cp. Por lo qu s tdrá difrts Etalpías Rsiduals coscucia, difrts vlocidads para cada sustacia, Sutas a la misma fut d calor. Esto último coduc obviamt a qu s tga difrt volum sgú l compusto para la misma fut d calor.. Ahora supogamos qu stamos l timpo dód la trasfrcia d calor ha trmiado, si aplicamos sta codició a la cuació (.7) s ti lo siguit: v 0 v v v ct (.9) La cuació (.9) stablc qu ua vz qu csa la trasfrcia d calor qu provocó l fluo másico cocétrico, l gas cotiúa padiédos a vlocidad costat. Sólo ua furza mcáica tra al fómo trmodiámico dtdría l procso. Si rgrsamos al momto iicial, dod pricipia l procso, l qu l sistma stá rposo, s dcir, l istat l qu la primra capa iiciará a primtar movimito ormal al plao, cuado s sab qu v 0. Sustitudo valors (.7) para st momto, obtmos la siguit rlació:

9 Toría dl Gas Ral 8 v H R 0 v0 H R (.0) Dod v 0 s la vlocidad iicial d la primra capa como l gradit d tmpratura irá dismiudo csariamt, lugo tocs s ti la crtza d qu sta vlocidad s, tambié, la máima qu pud alcazar l sistma: v ma H R (.).5 La Ergía Ciética Ivolucrada l Procso La figura.5 mustra l simpl aálisis d la rgía ciética ivolucrada la pasió dl gas. El ára bao la curva rprsta dicha rgía stá tambié rprstada por la itgral d la cuació (.7). Por qué o cosidrar la cuació qu dscrib la pasió d u gas d u volum iicial a otro fial, la rgía ciética, si d algua mara ti qu cotabilizars las propidads d stado fials? Figura.5 Ergía ciética ivolucrada la pasió d u gas

10 Toría dl Gas Ral 9 La Etalpía Rsidual másica s obti a partir d la cuació (.6) para u total d masa m, u dtrmiado volum. S ti lo siguit: d H R ρ v dv (.) Dod d H R s la Etalpía Rsidual másica por uidad d volum.6 Ecuació d la Etalpía Rsidual La cuació gral d stado para gas ral, tomado cuta la Etalpía Rsidual d (.7) icorporádola a la rlació P,V T, quda dfiida d la siguit mara: PV vdv RT (.3) Dod R s la costat uivrsal d los gass. Esta última rlació para ua masa dfiida s prsa d la siguit mara: PV m v R T g c (.) La cuació (.3) dfi l comportamito d todo gas ral d mara acta, a qu todo factor a ivl molcular qu puda ifluir las propidads trmodiámicas dl compusto, fialmt qudará cotabilizado la rgía ciética dl gas. El térmio ircial d (.3) ha stado aust todas las cuacios d stado atriors a ésta. La cuació (.3) cumpl co la Primra L d la Trmodiámica, sta cuació rcib l ombr d Etalpía Rsidual, pusto qu si s sustitu (.3) (.7), s pud vr claramt qu s la Etalpía Rsidual la rgía origiadora dl fómo trmodiámico.

11 Toría dl Gas Ral 0.7 Procso a Volum Costat Supogamos u sistma idético al dscrito l modlo d la scció., pro ahora la frotra cotdora srá sólida, s dcir, la vlocidad d la capa trma srá igual a cro. Para fis d dmostració, s dsprciará la coductividad térmica d dicha frotra, lo qu s busca s dscribir l fómo trmodiámico dtro d la frotra o la frotra misma. Para st caso particular, s ti la crtza d qu la vlocidad fial d las capas dl gas tdrá a cro para fis prácticos, así como cro, la cosidrarmos. Substitudo (.7) la mcioada vlocidad fial tomado cuta la masa dl gas m, s ti lo siguit: H mv R 0 g c (.5) Sustitudo (.5) (.) s llga a lo siguit: P ˆ o P ρ H R (.6) Dod P 0 RT / V, qu s la prsió si l gas fus cosidrado como idal. El sgudo térmio d la drcha (.6) rprsta la iflucia qu ti sobr la prsió dl gas l movimito dl mismo, l térmio dl fcto ircial. Dbido a qu la rgía itra dl gas s fució clusiva d la tmpratura, así tambié lo so la talpía l Cp. Es por ésto qu: Q Cp T, s para todo tipo d procso, o sólo aqullos a prsió costat [Smith t al (987)] Gas itrógo a 85 Psia s caltará d 76 o K hasta 9 o K a volum costat d V.336 ft 3 ; s dsa coocr la prsió fial. S ti los siguits datos primtals: La dsidad s ρ lb / ft 3 H 55. BTU / lbmol Bas d cálculo: lbm

12 Toría dl Gas Ral H 55.5 BTU / lbmol Cp.65 BTU / o K lbmol La Etalpía Rsidual, como s dio atriormt, s la difrcia tr l calor total trasfrido, qu s l calor trasfrido l procso dl gas idal Q o, a qu st tipo d gas o toma cuta la rgía ciética dl procso, mos l calor cotido por l gas, qu s la difrcia d talpías tr l stado uo, H l stado dos, H. Esto s prsa d la siguit mara: El calor trasfrido l procso d gas idal, Q o s mustra a cotiuació: Q o Cp T o o ( 9 K 76 K ) BTU o lbmol K BTU lbmol La talpía qu coti l gas, H g s la siguit: BTU H g H H lbmol Lugo tocs d (.3), la Etalpía Rsidual s la siguit: 0 BTU H R Q H g lbmol La prsió para l stado idal, P o s calcula d la mara tradicioal como s mustra a cotiuació: o P ( 85) ( 55.6) 89.9 Psia 96.8 La prsió fial s obti d (.6) substitudo valors aplicado factors d covrsió como s mustra sguida:

13 Toría dl Gas Ral P ( ) Psia La prsió fial primtal tambié s d 90 Psia..8 Procso a Prsió Costat Gas itrógo icrmta su volum a prsió costat d 85 Psia al caltars dsd 5 o K hasta 350 o K; s dsa coocr l volum fial dl gas (cuo valor primtal s d.8 ft 3 ), si l volum iicial s d V.05 ft 3. S ti los siguits datos primtals: H 97.5 BTU / lbmol H 685. BTU / lbmol Cp.69 BTU / o K lbmol Bas d cálculo: lbm El calor total trasfrido Q o s obti igual qu la scció atrior, como s mustra sguida: Q 0 (.69) ( 350 5) 8. BTU lbmol El calor cotido por l gas s l siguit: BTU H g H H lbmol La Etalpía Rsidual s obti d la siguit mara: 0 BTU H R Q H g lbmol El volum d gas idal V o s obti d la forma tradicioal:

14 Toría dl Gas Ral 3 V (.05) ( 630) ( 57.).875 ft 0 3 Tabla.: Volum d itrógo gas pis cúbicos, sgú prsió (Psia) tmpratura ( o K). T 00 o K P EXP Idal VDV RW SWR PR EER T 8 o K P EXP Idal VDV RW SWR PR EER

15 Toría dl Gas Ral Sustitudo (.5) (.), pro ahora dspado para volum s ti lo siguit: V m P o V ˆ R (.7) Sustitudo valors (.7) aplicado factors d covrsió s llga a lo siguit: V ( 5.5) ( ) ( 85) ( 8) ( ) ft 3 El valor dl volum calculado coicid co l primtal. La tabla. mustra ua sri d volúms calculados a apartir d ua dtrmiada tmpratura para difrts prsios, utilizado difrts cuacios d stado. Las siguits corrlacios matmáticas: Idal, gas idal; VDV, Va dr Waals; RW, Rdlich-Kwog; SWR, Soav; PR, Pg Robiso; S compara co: Ep, datos primtals EER, Ecuació d la Etalpía Rsidual. Como s pud obsrvar dicha tabla, l rago d maor dsviació d las corrlacios matmáticas sobr todo d la dl gas idal, cotra los datos primtals d (.3), ocurr a baas tmpraturas altas prsios, como ra d sprars, l rago usto dod la dsidad dl gas s maor. Esto tambié pud plicars dsd la prspctiva qu, mitras más dso s l gas, maor rgía s rquir su movimito, lugo tocs maor Etalpía Rsidual s rquir covrtir rgía ciética mos idal s comporta l gas. E tabla. s v claramt qu, como s dio co atrioridad, las corrlacios matmáticas s austa a los datos primtals sólo para alguos ragos, pro para otros s dsvía irrmdiablmt su comportamito. E ralidad los datos obtidos por EER dbría sr idéticos a los d Ep, pro l problma aquí s qu EER s utiliza l Cp como s sab, st factor s fució d la tmpratura s rquir d prsios mu prcisas dl Cp para obtr datos idéticos.

16 Toría dl Gas Ral 5.9 Coclucios E l prst capítulo s dsarrolló la toría s prstó la Ecuació d la Etalpía Rsidual. S dfiió cómo, mdiat ua trasformació d ua part d la talpía qu gaa o cd l gas rgía ciética, s adquir vlocidad. Est fómo físico ti otro puto importat qu cotmplar: Psmos qué pasaría, hipotéticamt si o sólo ua part, sio todo l calor s covirtis movimito (.3). Es dcir qu H g 0 H R Q si aplicamos (.) para talpía másica para dtrmiar cual sría la máima vlocidad capaz d dsarrollars. Ahora si sustituimos la famosa cuació d Eistai E mc, s ti lo siguit: v Hˆ c c (.8) Ma R Dod c s la vlocidad d la luz.

17 Toría dl Gas Ral 6 ITERACCIÓ CO OTRAS LEYES. Itroducció E l prst capítulo s prsta d qu mara itractúa la Ecuació d la Etalpía Rsidual co otras ls como so: La L d Bol La L d Charls. Tambié s dsarrolla la EER, para llgar a la Primra L d la Trmodiámica, comprobado qu dicha cuació cumpl co sta l.. Itractuado co la L d Bol E l siglo XVII l químico Robrt Bol (67-69) proució la l qu llva su ombr acrca dl comportamito dl gas cuado s hac variar algua propidad d ést, la sguda dició d su obra: uvos primtos físico-mcáicos acrca d la lasticidad dl air sus fctos (66). El uciado d Bol s l siguit: Si la tmpratura d u gas s mati costat, la prsió rcida por l gas varía ivrsamt co l volum. La prsió matmática d sta l s la siguit: PV k B (.) Dod k B s ua costat qu toma cosidració l úmro d moléculas la tmpratura.

18 Toría dl Gas Ral 7 Figura. Evas co pistó dos posicios: (a) (b) Todo sto s pud visualizar mdiat l mplo d u vas d gas co u pistó movibl la part suprior, como s mustra la figura.. El procso iicia como s mustra la figura. (a) para trmiar como s mustra. (b). Es dcir, qu l pistó rcorrió ua distacia tal, qu rduo l volum dl cotdor a la mitad. Todo sto a tmpratura costat. Si l producto d la prsió por l volum da ua costat, drivado (.) s ti lo siguit: d PV 0 (.) Itgrado dl stado al stado, s llga a lo siguit: P V P V (.3) Ahora bi, si sabmos qu V V sustitudo sta última rlació (.3), s coclu lo siguit: P P (.)

19 Toría dl Gas Ral 8 La rlació (.) pruba l uciado d Bol. Ahora lo qu s busca, itractuado co sta l, s qu a partir d la EER obtgamos (.) para las mismas codicios. Para llo s dsarrolla l siguit procdimito: Si l volum s rduo a la mitad s sab qu l ára s costat, lugo:. Difrciado sta última rlació co rspcto al timpo tmos lo siguit: d d t d (.5) d t Lo qu s pud rscribir así: v v (.6) Para itroducir la EER drivamos (.) co rspcto al timpo, sabido d atmao qu la rlació PV s costat qu tambié la tmpratura T, prmac costat. Dsarrollado térmios s coclu lo qu s mustra a cotiuació: d dt mv g mv c g c 0 (.7) Aplicado la drivada s llga a lo siguit: dv mv dt dv mv (.8) d t Esto lo podmos prsar d la siguit mara: m a v m a v (.9) Aplicado la sguda l d wto: F ma, (.9), s obti lo siguit:

20 Toría dl Gas Ral 9 F v F v (.0) Dividido ambos lados d la igualdad tr l ára A itroducido la rlació tr furza prsió a (.0), s llga a lo pusto a cotiuació: Es dcir: F F v v (.) A A P v P v (.) Sustitudo (.6) (.), s llga a (.) como s mustra a cotiuació: P P Evidtmt qudó rsulto qu la EER, bao las mismas codicios qu la l d Bol, llga a los mismos rsultados. Pro ésto va más allá. Esto dmustra a su vz, qu bao stas codicios, la o idalidad dl gas o ti igú fcto sobr l procso. Por qué? Buo; l prst tto s sosti qu s la trasfrcia d calor, ustamt, dod s prsta la o idalidad dl gas. Es dcir, bao l uciado d Bol l stido d gar la trasfrcia d calor al sistma, cualquir gas s comporta como idal. Es d sprars, tocs, qu procsos dod sí s cosidr la trasfrcia d calor, l factor d o idalidad s maifist..3 Itractuado co la L d Charls El físico fracés Jaqus Aladr César Charls (76-83) dscubrió la siguit rlació tr l volum d u gas su tmpratura: El volum d ua catidad d gas, matido a ua prsió fia, varía dirctamt co la tmpratura Klvi. E forma matmática s ti lo siguit: V k T (.3)

21 Toría dl Gas Ral 30 Dod k s la costat d proporcioalidad. Supogamos l procso dsrcrito la scció. mostrado por la figura., dod s ti la pasió d u gas d u volum V hasta otro volum V, supoido qu V V. Ahora bi, difrciado (.3) s ti lo siguit: V d 0 (.) T Itgrado (.) dl stado al stado s mustra sguida: O bi: V V V d 0 (.5) T T T V T V (.6) T Dádolo fució d V, s llga a lo siguit: Es dcir: V T T V T T (.7) La itció s, ahora llgar a (.7) a partir d (.3). Para llo comsarmos drivado los trs térmios d (.3) como s mustra a cotiuació: ( PV vdv) drt d (.8)

22 Toría dl Gas Ral 3 Dsarrollado (.8) a prsió costat tmos lo siguit: PdV vdv RdT (.9) Itgrado para los stados l térmio d la drcha l primr térmio d la izquirda, lo qu s mustra a cotiuació: PdV P( V V ) (.0) RdT R( T T ) (.) Ats d sustituir (.6) (.9), s itgra l térmio d la Etalpía Rsidual, como s mustra sguida: dh R H R (.) Por lo tato (.9) s pud rprstar d la siguit forma: P V V H R T T (.3) R Dsarrollado (.3), cosidrado qu V V, s ti lo siguit: PV H R R T T (.) R Para l stado sólo para s istat s pud otorgar lo siguit: PV T R (.5)

23 Toría dl Gas Ral 3 Dbido a qu la trasfrcia d calor o ha iiciado aú l stado, (.5) s pud aplicar, pus l fcto d o idalidad o s ha prstado todavía. Esto da d sr válido para l istat postrior. Sustitudo (.5) (.) obtmos la siguit rlació: H T T R (.6) R Esta última rlació s mu parcida a (.7) pro vidtmt toma cuta l fcto d o idalidad dbido a qu para st caso, la trasfrcia d calor stá ivolucrada d mara dircta l procso, a difrcia d la scció. dod o s ivolucra.. Itractuado co la Primra L d la Trmodiámica La itció ahora, s llgar a la primra l d la trmodiámica a partir d (.3). Para llo s cosidra l procso dscrito la scció. mostrado por la figura. utilizamos la a dsarrollada cuació (.9) tomado cuta la rlació d la costat uivrsal d los gass co las capacidads caloríficas: R Cp Cv, como s mustra sguida: d PV v dv C dt C d T (.9a) p v Sustitudo (.6) (.9a) itgrado todos los térmios, llgamos a lo qu sigu: dh Cp dt PdV R Cv dt (.7)

24 Toría dl Gas Ral 33 Utilizado las coocidas rlacios trmodiámicas d H U co sus rspctivas capacidads caloríficas sustitudo (. ) (.7) s ti lo siguit: PV H H U (.8) R g Sustitudo (.9) (.8) aplicado la rlació dl trabao co la prsió l volum W PV, admás d ragrupar térmios llgamos a la siguit igualdad: U Q W (.9) La cuació (.9) s la Primra L d la Trmodiámica para sistmas crrados, s dcir, sistmas dod o ha cambios la rgía potcial dl gas dod dicho gas o staba prviamt movimito..5 Coclusios E st capítulo s prstó la itracció co las fórmulas d Bol, Charls la Primra L d la Trmodiámica, cocludo qu todas stas ls la EER guarda ua rlació d corrspodcia. Pro para l caso d la l trmodiámica lo importat fué dmostrar qu s cumpl co s importat uciado d la fisicoquímica. Quizá l lctor s prgut l por qué s stá utilizado cocptos propios dl gas idal como aqullos usados (.9a) (.7) por aú, s mzcla co la toría d gas ral. Buo, la rspusta s la siguit: Al pricipio d st tto s stablc claramt l cocpto d qu la toría dl gas idal, cocrtamt la cuació, o s icorrcta para l cálculo d st tipo d procsos, simplmt stá icomplta. Es por so qu factors como las capacidads caloríficas o la costat uivrsal so corrctos su uso la toría d gas ral. Estos factors o s modifica por l hcho d qu ua porció dl calor trasfrido al gas, sa utilizada, trasformada rgía ciética para qu ést logr padirs o comprimirs, sgú sa l caso.

25 Toría dl Gas Ral 3 3 MODELO DEL GAS REAL 3. Itroducció Ua vz dfiido l procso d pasió dl gas como u movimito d capas cocétrico, pud aplicars la toría d fluo comprsibl a la comprsió o pasió d u gas. Todo sto basado strictamt (.). Sabmos qu los modlos matmáticos para fluo comprsibl varía sgú l tipo d fluo, a sa suprsóico, sóico o subsóico. Auqu (.8) mustra qu toría, s pudis dsarrollar grads vlocidads, lo cirto s qu l fómo qu os atid s l fluo subsóico. E l prst capítulo s dsarrolla l modlo para fluo comprsibl. 3. La Ecuació d Cotiuidad Las fucios comus utilizadas para l modlo d fluo comprsibl so: (,, z, t ) ; ψ (,, z, t ) Llamadas l potcial d vlocidad la fució d corrit, rspctivamt. Si dfiimos a la dsidad como ua propidad cotiua utilizado ua dscripció Eulriaa, s stablc qu sta s ua fució

26 Toría dl Gas Ral 35 tato d la posició como dl timpo. Utilizado l sistma d coordadas cartsiaas rctagulars s dfi así: ρ ρ (,, z, t ) U cambio d sta variabl quda dfiido por mdio d la siguit prsió: ρ ρ ρ ρ dρ d d dz dt (3.) z t El pricipio d la cosrvació d la masa stablc qu la masa dfiida dtro d u sistma prmac costat. Cosidérs u lmto stacioario d u volum d d dz l spacio, a través dl cual ist fluo d matria, como s idica la figura 3.. Ahora si rstrigimos l aálisis dl fluo úicamt la dircció dl, la vlocidad d trada d matria a través dl plao z situado s: ( v ) ρ ddz (3.) La vlocidad d salida d matria a través dl plao situado d stá dado por: ( v d ) ρ d dz (3.3) Para los otros plaos pud scribirs cuacios aálogas. La vlocidad d acumulació d matria l lmto d volum s dfi así: ρ dddz t (3.) Ralizado u balac d matria los trs s coordados s obti la siguit prsió:

27 Toría dl Gas Ral 36 ρ dddz t ( ρv ρv ) ( ρv ρv ) ( ρv ρv ) z d d z dz (3.5) Figura 3. Rgió d volum fia l spacio Dividido (3.5) tr d d dz tomado límit cuado stas dimsios tid a cro, s ti lo siguit: ρ ρv t ρv ρv z z (3.6) Qu s la cuació d cotiuidad, la cual dscrib la variació d la dsidad coform cambia la vlocidad másica ρ v. El sigo gativo stablc la dismiució d la dsidad d fluo d matria por uidad d volum. Utilizado otació vctorial s llga a la siguit prsió: ρ ρ (3.7) t ( v )

28 Toría dl Gas Ral Formulació dos Dimsios La cuació d cotiuidad (3.7) dos dimsios pud prsars como: ρ ( ρu ) ( ρv ) (3.8) t La fució d corrit l potcial d vlocidad s pud dfiir a través d las siguits rlacios: u ρ 0 0 ψ ρ ρ ψ v (3.9a) ρ u v (3.9b) Dod u s la compot horizotal v la compot vrtical d vlocidad. Para facilitar l dsarrollo qu s llvará a cabo s itroduc la siguit otació: ψ ψ ; ψ ψ

29 Toría dl Gas Ral 38 ; ; ψ ψ ψ ψ ; ψ ψ ; ; ψ ψ ψ ψ ; A cotiuació s prsta l dsarrollo para obtr la cuació difrcial qu gobira l fómo bao studio térmios dl potcial d vlocidad substitudo las prsios (3.9) (3.8), utilizado la otació prstada, s llga a lo siguit:

30 Toría dl Gas Ral 39 ρ ρ (3.0) t ( ρ ) Dsarrollado la difrcial (3.0) s ti l siguit rsultado: ( ) ρ ρ ρ ρ (3.) t Otra mara d dscribir la cosrvació dl momtum qu os sirv para dsarrollar l modlo s la siguit: ρ v ρ d ρ v d v (3.) Arrglado térmios s llga a la siguit prsió: d ρ d v ρ (3.3) v Si covitmt dfiimos qu v c, dod c s la vlocidad dl soido quda así: Sustitudo (3.) (.), s ti lo siguit: d ρ d v ρ (3.) c c ˆ R d H (3.5) d ρ E (3.5) s toma l valor absoluto pus l sigo sólo mustra l stido. La cuació (.) forma vctorial quda d la siguit mara:

31 Toría dl Gas Ral 0 dhˆ R v ρd u v ρd ρd (3.6) Substitudo (3.6) (3.5) s ti lo siguit: dhˆ R ρ dρ d (3.7) c c Difrciado (3.7) co rspcto a a, s prsta las siguits prsios: ρ ρ c ( ) (3.8) ρ ρ c ( ) (3.9) Sustitudo (3.8) (3.9) (3.) arrglado térmios s obti: ρ c (3.0) c c t S pud vr qu l úico térmio qu stá fució dl timpo s l d la drcha (3.0), podmos tocs dfiir l térmio mcioado como la siguit fució:

32 Toría dl Gas Ral ρ G t (,, t ) Multiplicado por c, s obti fialmt: c c G (3.a) Esta última prsió s la cuació gral qu gobira l comportamito d u gas térmios dl potcial d vlocidad. Por comodidad l aálisis, cosidrarmos stado stabl l rsto d las sccios d st tto, cpto la scció.6 corrspodit a la formulació para gas ral. Por lo qu G (,, t) 0 la cuació (3.a) la rscribirmos como s mustra a cotiuació: ( c ) ( c ) 0 (3.b) La variació d c fució dl potcial d vlocidad quda rprstado d la siguit mara: k c c u ( v ) 0 k c ( ) 0 (3.) Dod k s la rlació tr calors spcíficos C p / C v. Esta última cuació s d orm utilidad, a qu para la solució d (3.b) por métodos uméricos s mu covit utilizar u procdimito itrativo sta última cuació (3.) s mpla para dtrmiar la vlocidad dl soido, misma qu s utilizada (3.b), cada ua d las itracios.

33 Toría dl Gas Ral Las codicios frotra típicas para los problmas gobrados por las cuacios (3.b) (3.) so las d uma Dirichlt. Estas s prsa, rspctivamt, d la siguit mara: f g (, ) Γ (, ) Γ (3.3) El dsarrollo térmios d la fució d corrit s mu similar al pusto atriormt para l potcial d vlocidad procd d la siguit mara: Para iiciar co l siguit procdimito covi rcordar qu las compots dl vctor vlocidad s dfi térmios d la fució d corrit a través d las siguits rlacios: ρ0 ρ0 u ψ ; v ψ (3.) ρ ρ La magitud dl vctor vlocidad cualquir puto stá dado térmios d la fució d corrit por la siguit prsió [Shapiro(976)]: v ( ψ ψ ) u v (3.5) ρ La codició d irrotacioalidad térmios d la fució d corrit, supoido qu s ti u fluo uiform, s prsa d la siguit mara: Ѵ v 0 (3.6)

34 Toría dl Gas Ral 3 0 v u (3.7) u v (3.8) Sustitudo (3.6), (3.7) (3.8) (3.), s ti lo qu sigu: ψ ρ ψ ρ (3.9) Difrciado (3.9) acomodado térmios: ρ ψ ρ ψ ψ ψ ρ (3.30) A partir d (3.6) s obti l siguit rsultado: v d dh R ρ (3.3) Si s combia (3.3) co (3.7) la rlació quda así: v R d c u d c c dh d ψ ψ ρ ρ ρ ρ (3.3) Difrciado l térmio d la trma drcha, s ti:

35 Toría dl Gas Ral ρ ρ ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ρ d d d c d (3.33) A partir d (3.33) s pud dtrmiar las drivadas parcials ρ ρ : c ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ (3.3) c ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ (3.35) Si stas drivadas parcials s sustitu (3.6), s ti: 0 c c c ψ ψ ψ ρ ψ ψ ρ ψ ψ ρ (3.36) La cuació d la vlocidad dl soido térmios d la fució d corrit stá dada por la siguit prsió: 0 k c c ψ ψ ρ (3.37) Ahora para cotiuar co l dsarrollo s csario dfiir l úmro Mach: v M c (3.38)

36 Toría dl Gas Ral 5 La rlació tr l úmro Mach la dsidad s dfi así: 0 k M k ρ ρ (3.39) Sustitudo (3.5) (3.36) (3.37) s obti la prsió qu prmit rlacioar la fució d corrit térmios dl cocit ρ o / ρ : 0 k c k ψ ψ ρ ρ ρ (3.0) Multiplicado (3.36) por ρ c s obti: [ ] [ ] 0 c c ψ ψ ψ ψ ψ ρ ψ ψ ρ (3.) Esta última s la cuació gral qu rig l comportamito d u gas térmios d la fució d corrit. Similar a la formulació para l potcial d vlocidad, las codicios frotra para (3.) so:,, Γ Γ f g ψ ψ (3.) 3. Técicas para Rsolvr Problmas d Fluo Comprsibl

37 Toría dl Gas Ral 6 Las técicas para rsolvr problmas d fluo comprsibl so pricipalmt uméricas. Si mbargo alguos casos s pud obtr rsultados co la itgració d sistmas d cuacios difrcials ua forma aalítica. Abordarmos brvmt la técica d Difrcias Fiitas para postriormt prstar l Método d Elmtos Fiitos, técica utilizada l prst tto para rsolvr problmas d fluo comprsibl. Difrcias Fiitas El método más comú para la rsolució d problmas d fluos gral, fu l d Difrcias Fiitas, l cual rmplaza las cuacios difrcials origials qu modla l problma por u couto d cuacios algbraicas. El aálisis cosist discrtizar l ára co ua malla d odos. E cada odo s aproima la drivada corrspodit dtro d la cuació difrcial por mdio d ua cuació algbraica d modo qu s obti u sistma d cuacios algbraicas, l cual s rsulv para las variabls dpdits cada odo. A cotiuació s prsta l dsarrollo d difrcias fiitas para la cuació d fluo potcial dos dimsios stado stabl. Para l lctor qu ds más dtall dl tma, s sugir cosult la litratura corrspodit. La cuació d Laplac térmios dl potcial d vlocidad s rprsta d la siguit mara: 0 (3.3) Suto a u valor coocido d ua porció dl cotoro qu dlimita al domiio a u valor coocido d la part rstat d la frotra dod l fluo s uiform. La técica d Difrcias Fiitas divid la rgió comprdida por l fluido ua malla d odos, qu pud sr quidistats como s mustra la figura 3.

38 Toría dl Gas Ral 7 Figura 3. Rprstació d malla difrcias fiitas Las distacias horizotals vrticals tr cada odo so, rspctivamt,. Los subídics i, dota la posició dl odo. i, (, ) (3.) Ua aproimació algbraica para la drivada d la fució co rspcto a coocida como difrcias hacia adlat, ti la siguit forma: i (, ) ( ), i, D ua forma más compacta quda así: (3.5) i, i, ( ) i, i, (3.6) Ua aproimació similar, pro ahora para la sguda drivada, s la siguit:

39 Toría dl Gas Ral 8 i i i i i,,,,, (3.7) Mdiat u procdimito similar s llga a las rlacios co rspcto a : i i i i,,,, (3.8) tambié :,,,,, i i i i i (3.9) Las fórmulas d Difrcias Fiitas atriors proporcioa u valor acto l límit cuado 0 0, simultáamt. Si mbargo l aálisis umérico s mati fiitos los tamaños d. Justamt d ahí l ombr d Difrcias Fiitas. La figura 3.3 s ua típica malla para Difrcias Fiitas qu rprsta la scció ifrior d ua pasió d 5 o. Sustitudo las cuacios (3.7) (3.9) la cuació d Laplac (3.3) s obti lo siguit: i i i i i,,,,, β β (3.50) Dod: β (3.5)

40 Toría dl Gas Ral 9 El factor β dpd dl tamaño d malla slccioado, l valor más usual s ua malla β, cuadrada, para lo cual la cuació (3.50) s rduc a la siguit prsió : i, ( i, i, i, i, ) (3.5) Por lo qu cada valor odal srá igual al promdio aritmético dl valor d sus cuatro vcios imdiatos. Las vlocidads horizotal vrtical s obti co las cuacios (3.6) (3.8), rspctivamt. El mplo d st método la solució aproimada d problmas complos la mcáica d fluidos gral, a ti más d cicuta años. Est método prsta dficicias ( s difrcía dl Método d Elmtos Fiitos) cuado s prsta situacios como: gomtrías, o codicios d frotra complas. Figura 3.3 Malla d difrcias para pasió d 5 grados Figura 3. Malla d difrcias Fiitas para ua gomtría irrgular

41 Toría dl Gas Ral 50 La figura 3. mustra ua gomtría irrgular discrtizada por ua malla d Difrcias Fiitas. La lía cotiua rprsta la frotra irrgular. S pud vr qu s prácticamt imposibl situar actamt los odos dicha frotra. Para solucioar st problma, s ti qu ivolucrar opracios adicioals para itrpolar los valors d los parámtros aldaños obtr l valor d los parámtros la posició acta d la frotra. Esto último, lógicamt, tra como coscucia rror adicioal la solució aproimada. Sumada a stas dficicias dl método s ti otra más: La codició frotra típica para problmas d fluidos cocist la drivada ormal, usto la frotra: f (, ) Γ Para rsolvr st último dtall, s csario rcurrir, ua vz más, a alguas opracios d itrpolació qu, como a s mcioó, ivolucra rror adicioal a la solució aproimada. 3.5 El Método d Elmtos Fiitos (MEF) El Método d Elmtos Fiitos s ua técica umérica para obtr solucios aproimadas a cuacios qu dscrib l comportamito d fómos físicos sutos a iflucias tras. Eist difrts altrativas para formular las cuacios dl MEF a partir d la cuació origial sus codicios frotra: Método Dircto: Ua fució aproimació s sustitu dirctamt la cuació difrcial origial para obtr las cuacios algbraicas. Método Variacioal: Ua fució aproimació s sustitu l fucioal asociado a la cuació difrcial para podr sr tratado como fució o como fucioal. La fució s trmizada, a qu dicho

42 Toría dl Gas Ral 5 fucioal stá rlacioado co pricipios d rgía, para obtr las cuacios algbraicas. Método d Rsiduos Psados o Podrados: La difrcia tr la cuació difrcial origial valuada para la fució solució acta la cuació difrcial valuada para ua fució aproimació, s cooc como rsiduo. El promdio podrado d st rsiduo todo l domiio s hac cro. 3.6 El Método Variacioal Est método pos alguas vtaas sobr los dmás, alguas d llas so: El fucioal pos u claro sigificado físico: la tropía dl sistma. El fucioal stá formado por drivadas d la fució solució d mor ord, comparadas co las d la cuació difrcial asociada, sto aumta la catidad d fucios d forma qu pud utilizars. La formulació variacioal prmit trabaar como codició d frotra atural, codicios d frotra complicadas. Etr los métodos variacioals stá: Ritz, Katrovich Trfftz, tr otros. El Método Ritz s ua técica práctica para obtr ua solució umérica aproimada dirctamt a partir d la formulació variacioal. El siguit dsarrollo stá basado l prstado por Brutt (988). S busca hacr stacioario l fucioal, s dcir, obtr u trmo máimo o míimo d ést. Para ésto, sgú l cálculo variacioal, s prciso aplicar la primra variació a dicho fucioal, lo cual s rprsta d la siguit forma: δ I ( ) 0 (3.53)

43 Toría dl Gas Ral 5 Substitudo (3.53) ua fució aproimació, l fucioal s covirt ua itgral d parámtros, a qu la itgral co rspcto a a pud sr valuada co auda d los valors spcíficos. Esto trasforma l problma dl uivrso dl cálculo variacioal (dod las variabls idpdits so fucios), al uivrso dl cálculo itgral (dod las variabls idpdits so parámtros), sto quda prsado d la siguit mara: [ ( ; ; ) ] I ( ) I (3.5) Dod, so parámtros d la fució aproimació. Ahora la itgral d la fució la podmos hacr stacioaria aplicado las rglas dl cálculo itgral, igualado a cro la drivada d la fució, como s prsa a cotiuació: di 0 (3.55) di I I... I d d dm m 0 (3.56) Dod m s l úmro total d putos discrtos l domiio. Dbido a qu cada parámtro pud variar idpditmt d los dmás para qu s cumpla (3.56), s csario qu cada coficit por sparado valga cro. Esto s pud prsar d la siguit mara: I 0; I I 0 ;... m 0 (3.57) Las prsios (3.57) costitu l sistma d cuacios algbraicas a rsolvr. 3.7 MEF para Fluo Comprsibl; Estado dl Art

44 Toría dl Gas Ral 53 Ha varios modlos MEF para fluo comprsibl, a cotiuació s prsta alguos: Modlo d Loard Las cuacios qu gobira l fluo comprsibl o viscoso, stado stabl isotrópico, so lializadas [d Vris t al (970)]. Cosidrado qu l fluo total cosist u campo d fluo coocido más ua prturbació impusta, las cuacios rsultats so prsadas forma matricial d la siguit mara: 3 [ P ] { v} [ Φ]{ v} { 0} (3.58) Dod [Φ] [P ] so matrics d parámtros dl fluo pricipal v s l vctor qu s prsa d la siguit mara: { v} u v w ρ (3.59) Dod las variabls atriors s dfi d la siguit mara: u v w ρ u v w ρ (3.60) c c c ρ Dod u, v ω so las compots d la vlocidad d prturbació, cualquira qu ésta sa. ρ s la dsidad d prturbació. c ρ so la vlocidad local dl soido la dsidad, rspctivamt dl fluo pricipal.

45 Toría dl Gas Ral 5 La rprstació Elmtos Fiitos para v s substitu (3.58) para obtr l rsiduo R l lado drcho, lugar d cros. El sistma matricial d cuacios s obtido utilizado la siguit prsió dl Método d Rsiduos Psados: Ω W ip R dω 0 i (3.6) p,... ; i,... M Modlo d Gldr Est modlo stá basado la suposició d fluo comprsibl subsóico, bidimsioal, isotrópico irrotacioal [d Vris t al (970)] dod s db cumplir la siguit prsió: ( v) 0 Ω g (3.6) Co codicios frotra d Dirichlt, dod g, s ua fució d la posició d v v El siguit fucioal db sr miimizado: I Ω v v 0 g ( d v v) dd (3.63) La dsidad, al igual qu (3.39), pud sr prsada d la siguit forma: k ρ k 0 (3.6) ρ c0

46 Toría dl Gas Ral 55 Modlo d d Vris, Brard, orri Las cosidracios so: fluo comprsibl o viscoso, bidimcioal, isotrópico irrotacioal stado stabl [d Vris t al (970)]. Dod la cuació difrcial parcial o lial qu rig l comportamito s: c c 0 (3.65) Dod la vlocidad dl soido d rfrcia s prsa d la siguit mara: ( ) c A B (3.66) Las compots A B s dfi d la siguit forma: A k k c v ; B (3.67) Las codicios frotra so, primro, la d Dirichlt: g Γ (3.68) la d Cauch, qu s prsa d la siguit mara: d Φ α 0 Γ (3.69) d La solució a la cuació d campo suta a las codicios frotra atriors, s aqulla fució σ qu hac stacioario l siguit fucioal:

47 Toría dl Gas Ral 56 Φ Ω Ω D dd d c c I ασ σ θσ σ σ ϕ σ σ σ σ σ (3.70) Mdiat u método d Ritz itrativo, dod para cada itració las fucios c, ϕ, θ Φ so icorporadas como fucios d posició coocidas, las cuals s dtrmia co la solució d la itració atrior las siguits prsios: c c ϕ θ ϕ (3.7) Dod so los compots d la ormal a la frotra. 3.8 Coclusios E l prst capítulo s dsarrolló la mtodología para obtr las cuacios qu dscrib l comportamito dl fluo comprsibl, ua vz qu s dtrmió qu l gas sigu st comportamito su procso pasivo o comprsivo. S hizo u rpaso dl stado d art d st fómo físico, para prstar las bass d las hrramitas qu s utilizará l capítulo siguit para rsolvr problmas d gas ral.

48 Toría dl Gas Ral 57 FORMULACIÓ DE ECUACIOES PARA EL MEF. Itroducció E st capítulo s mostrará l procdimito dl MEF para obtr la matriz d rigidz l vctor furza, s dcir, l sistma d cuacios algbraicas corrspodits cua solució proporcioa los valors aproimados dl potcial d vlocidad los odos. Est procdimito s basa aplicar l método Ritz. Es importat comtar qu l valor dl potcial d vlocidad por sí solo, o s suficit para ralizar l aálisis qu qurmos, s csario tambié las drivadas parcials d sta fució co rspcto a a. para obtr los prfils d vlocidad, prsió dsidad.. Formulació para Fluo Comprsibl Como s vió l capítulo 3 ha distitas formas (modlos) para la formulació d st tipo d problmas. Admás l problma pud sr

49 Toría dl Gas Ral 58 formulado utilizado l potcial d vlocidad o la fució d corrit. La formulació térmios d ψ, ti l tipo d codicios frotra ψ ct. Para todo tipo d frotras sólidas, si mbargo l valor d sa costat s dscoocido. Para solucioar s tipo d problmas d Vris t al (97) dsarrollaro u procdimito d fluo icomprsibl basado ua técica d suprposició. Dod para la frotra Γ : ψ g, g s ua fució coocida. El siguit paso s rprstar la solució complta como la suma d dos parts como s prsa sguida: ( ) ψ (, ) bψ (, ) ψ, (.) Dod b s ua costat a dtrmiar. D sta mara l problma s modifica a rsolvr dos problmas por sparado prsados como sigu: ψ 0 Ω (, ) Γ ψ g (.) ψ 0 Γ ψ 0 Ω ψ 0 Γ (.3) ψ Γ Los sistmas d cuacios (.) (.3) s pud rsolvr por algú procdimito dl MEF. Ua vz obtidas ψ (, ) ψ (, ) s obti b d la cuació (.) valuado ψ (, ) algú puto d Ω crca d la frotra Γ dod ψ (, ) s coocida. Esto rsulta ua cuació a rsolvr para b así compltar l procdimito d solució.

50 Toría dl Gas Ral 59 Para l caso d la formulació térmios d o s csario aplicar lo atriormt pusto tato para fluo icomprsibl como para fluo comprsibl. Cuado s utiliza la formulació térmios dl potcial d vlocidad, alguas codicios d frotra so dl tipo uma, como s mustra la figura., para frotras sólidas o frotras dod la prturbació (cualquira qu ésta sa), o surta fcto. Est tipo d codicios d frotra s pud prsar d la siguit mara: 0 (.) Las codicios d frotra para tradas o salidas so dl siguit tipo: U (.5) Dod U, s la vlocidad d fluo si prturbacios Figura.: Codicios d frotra usuals para.

51 Toría dl Gas Ral 60 El fucioal asociado co st problma ti icorporadas stas codicios d frotra aturals la itgral d lía, si mbargo la solució d st fucioal fució d las codicios frotra d uma carc d uicidad [Hubr (98)], lo qu llva a qu cuado s discrtiza l domiio s formula sambla las cuacios, la matriz [K] sa sigular. Para vcr st obstáculo, s slccioa uo, o alguos odos s l asiga u valor a llos, s dcir, s stá impoido ua codició d frotra Dirichlt l odo (vr figura. b), lo cual s pud prsar d la siguit mara: costat (.6) La itrprtació física d sta última codició d frotra s qu sa rgió dl domiio, l vctor vlocidad s prpdicular al ára trasvrsal dl fluo. Esto s logra rgios aladas a las prturbacios cualsquira qu sa, como s mustra la figura..3 Dscripció dl Problma E sta scció s aalizará fluo comprsibl, dos dimsios, irrotacioal, o viscoso isotrópico. Como a s ha mcioado aquí, la cuació qu rig l comportamito dl fluido s ua cuació difrcial parcial o lial dos dimsios. El procdimito d solució cocist dicrtizar la rgió lmtos formular las cuacios corrspodits. Ha varias técicas itrativas d liarizació para rsolvr sistmas o lials tr otras stá: la itració d wto-raphso la itració d Poisso. Ua d las formas más comus d tratar l fcto d comprsibilidad d los fluidos, qu rprsta, prcisamt la o lialidad dl sistma, s utilizado u algoritmo d liarizació itrativa dl tipo Picard. Los térmios o lials d la cuació s pasa al lado drcho d la igualdad s valúa

52 Toría dl Gas Ral 6 utilizado ua solució prvia (d la itració atrior) d mara similar a ua fució forzat. Est método fu usado por Raligh 96 para l aálisis d fluo comprsibl utilizado técicas d variabl compla [Od(986)]. Partido d la cuació (3.b) dsarrolládola, s ti lo siguit: c c 0 (.7) Agrupado los térmios o lials u lado d la igualdad s obti lo siguit: ( ) (.8) c Obsrvado l térmio d la drcha (.8) sustitudo la fució por, s dcir, la fució la itració prvia a la itració, podmos scribir la cuació atrior d la siguit mara: F ( ) (.9) Qu s la cuació d Poisso, simpr cuado s utilic forma itrativa.. El Fucioal Asociado El fucioal asociado al problma [Hubr (98)] qu forma itrativa, como s vió la scció prvia, s quivalt a la cuació d campo (.9), tambié forma itrativa sus rspctivas codicios d frotra (3.3), s prsa a cotiuació: ( ) [ F ( )( )] dω f Γ Ω Γ (.0)

53 Toría dl Gas Ral 6 Dod Γ Ω s la itració imdiata postrior a la itració óts qu l sgudo térmio d la drcha ivolucra la sigut codició d frotra, dod l sigo gativo rprsta solamt l stido dl fluo: f U Γ (.) La prsió (.) s utiliza para tradas o salidas. La itrprtació física s qu u fluo atravisa sa rgió, cuado ésta, stá lo suficitmt alada d la prturbació. S pud cocluir qu dicho fluo, sa rgió stá compusto por vctors d vlocidad prpdiculars al plao d trada o salida, sgú sa l caso. Es dcir, o ha compots vrticals d la vlocidad.para sa rgió. Vr figura.. Para frotras sólidas s utiliza la cuació (.). La otra codició d frotra qu utilizarmos s la a mcioada Dirichlt: (, ) costat Γ g (.) Esta última codició d frotra s pud itrprtar como qu sta part dl domiio, l cambio d a lo largo dl cotoro Γ s igual a cro. Esto s mustra a cotiuació: 0 S costat Γ Dod S s la suprfici a lo largo dl cotoro Γ. Esto implica qu l vctor vlocidad s prpdicular al ára trasvrsal, como s había mcioado a. Sólo para mplificar las codicios d frotra atriors, s toma como domiio ua pasió coordadas rctagulars dos dimsios, figura..

54 Toría dl Gas Ral 63 La frotra Γ cumpl co la codició Dirichlt úicamt cuado sa rgió stá lo suficitmt alada d la prturbació, para qu ésta última o surta fcto sobr l fluo. Cab aclarar qu la dsigació d frotras Γ Γ s idistita, s sgú l stido. Es dcir, si l fluo s d izquirda a drcha, las frotras so como las mostradas figura., pro si l fluo s stido cotrario, s ivirt los subídics Γ. Figura. (a) Rprstació d la fució d corrit ua pasió

55 Toría dl Gas Ral 6 Figura. (b) Rprstació dl potcial d vlocidad ua pasió. Volvido al dsarrollo qu culmió co la cuació (.9), la fució F ( ) s prsa d la siguit mara [Hubr (98)]: c F (.3) Dod la vlocidad dl soido s prsa d la siguit mara: 0 k c c (.) La prsió (.) s la cuació (3.) ada más qu aquí quda prsada térmios d la itració, rcordado qu c o s la vlocidad dl soido d rfrcia k s la rlació d calors spcíficos. E térmios d la itració, la cuació (3.b) ragrupada, s la cuació d Poisso (.9), lo cual quir dcir qu al asigar u dtrmiado

56 Toría dl Gas Ral 65 valor a la cuació (.3), s obti u dtrmiado valor para F ( ) por lo tato sta última fució trmia dpdido úicamt d d. Esto último hac posibl qu l problma puda sr tratado como uo lial para cada itració, s dcir, la solució s obti por l dsarrollo d u sistma lial d cuacios. Empzado co la divisió dl problma por lmtos, la cotribució dl fucioal d u lmto al fucioal l domiio Ω, s: I (). Por lo tato la suma d cotribucios s prsa d la siguit mara: I E I ( ) Dod E s l úmro d lmtos l domiio. (.5) El fucioal l lmto s prsa así [Hubr (98)]: I I ( ) ( ) ( ) ( ) F ( r ) Ω ( ) ( ) dω ( ) ( Γ ) f ( ) ( ) ( ) dγ (.6) El suprídic s cluó co l fi d qu s aprci mor (.6). El siguit dsarrollo qu iclu las cuacios (.7) a (.5) d (.7) a (.8) s u procdimito stádar qu prsta varios autors como Burtt ( 988) u Od (986), co cpció d (.8) d (.59) a (.7), qu s ua aportació d st tto.

57 Toría dl Gas Ral 66 Buscado hacr stacioario l fucioal, la primra variació dl fucioal s prsta sguida: δ I ( ) 0 La suma d primras variacios por lmto quda: E ( ) δ I δ I (.7) Aplicado l Método Ritz (vr capítulo 3) sustitudo la fució aproimació l fucioal por lmto, s ti lo siguit: d I E d I ( ) (.8) Buscado l trmo d la fució por lmto s ti lo siguit: d I ( ) 0 d I ( ) I ( ) ( ) ( ) I I d... d dr r 0 (.9) Dod r s l úmro d valors discrtos (odos) l lmto. Ya qu cada parámtro varía idpditmt d los dmás, para qu la drivada total d la fució sa cro, s csario qu cada coficit por sparado valga cro. ( ) I i 0 i... r (.0) Itroducido las fucios d forma, s obti lo siguit:

58 Toría dl Gas Ral 67 { } r, (.) Dod, so: la fució aproimació por lmto, las fucios d forma l lmto, los parámtros a obtr por lmto, rspctivamt. D la cuació (.9) s dduc las siguits cuacios: { } r (.) { } r (.3) Sustitudo (.0) (.6) para l odo i, s obti lo siguit: Ω Ω i i i i d F I (.) 0 Γ Γ i d f D las cuacios (..), (.) (.3) s obti las siguits prsios:

59 Toría dl Gas Ral 68 i i ( ) ( ) i ( ) ( ) i (.5) (.6) ( ) ( ) (.7) Admás la fució F % [Villacorta (995)] s trabaa igual qu qu s ti lo siguit: i i %, por lo F ( ) ( ) ( ) ( ) r F ( ) { F } (.8) Dod F so valors obtidos al valuar (.3) putos (, ) dtrmiados. Esto s cosigu cuado s sustitu % térmios d ( ) utilizado los parámtros, stos parámtros so valors coocidos a qu ( ) prtc a la itració prvia. Para la fució f s ti algo similar: f ( ) d ( ) ( ) d ( ) d f ( ) { f } (.9) Dod d() so las fucios d forma valuadas co las caras dl lmto, s dcir, stas fucios so itgradas sobr ua lía o sobr u ára, d ( ) s l úmro d odos qu ha la cara dl lmto. f so los valors qu s obti al valuar la fució la frotra Γ (), lo qu s pud prsar, l caso particular d problmas d fluidos, d la siguit forma:

60 Toría dl Gas Ral 69 f U d,... d (.30) La furza itra ( ) F s obti fácilmt gracias a qu l procdimito itrativo spcifica qu sta fució srá calculada co l valor d los parámtros d la itració prvia, s dcir, s u valor a coocido. La discrtizació s llva a cabo sustitudo (.), (.), (.3), (.5), (.6), (.7), (.8) (.9) (.) s llga a la siguit prsió: I ( ) ( ) i ( Ω ) ( ) { } i ( ) ( ) ( ) { } ( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) { F } i dω ( Γ ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) { f } i dγ 0 (.3) La prsió (.) para los r odos l lmto, utilizado (.3) quda así: ( ) ( ) T ( ) I i ( Ω ) ( Γ ) d ( ) T d ( ) { } ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) { f } dγ 0 ( ) ( ) T { } i,... r E otació matricial s pud rprstar d la siguit mara: ( ) ( ) ( ) [ k ]{ } { R } o bi Dod las matrics s rprsta d la siguit mara: K ( ) ( ) ( ) { F } dω (.3) R (.33)

61 Toría dl Gas Ral 70 ( ) [ k ] ( ) Ω T ( ) ( ) ( ) ( ) T dω ( ) (.3) ( ) ( ) [ R ] ( Ω ) T ( ) ( ) ( ) { F } dω ( Γ ) d ( ) T d ( ) ( ) ( ) { f } dγ (.35) Los cálculos d (.3) (.35) o so hchos dirctamt sobr l subdomiio Ω () sio sobr u spacio stádar ( ) Ωˆ prtcit a ua figura gométrica qu pud sr u triágulo isóscls, para u lmto triagular u rctágulo, para u lmto cuadrilátro, cuas coordadas, so coordadas locals clusivas para dichas figuras. E la figura.3 s mustra las gomtrías.

62 Toría dl Gas Ral 7 Figura.3: Gomtría d lmtos: triagular cuadrático Las fucios d forma térmios d las coordadas locals corrspodits s prsa a cotiuació: Triágulo lial, 3 ( ), ( ), (.36) Triágulo cuadrático

63 Toría dl Gas Ral 7,,, 3 (.37),,, 6 5 Cuadrilátro lial:,, (.38)

64 Toría dl Gas Ral 73 Cuadrilátro cuadrático (Srdipit): 3, ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 3, ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )