Fenómenos de enlace atómico en una dimensión

Transcripción

1 Joural of Basic Scics Vol. ( Mayo-gosto 05 Fómos d lac atómico ua dimsió E. Ruda Solis Divisió cadémica d Igiría y rquitctura Uivrsidad Juárz utóoma d Tabasco C.P Cuduacá Tabasco Mx. rudas@gmail.com Rcibido: 9 dicimbr 04. cptado: 6 abril 05. Publicado: 0 mayo 05. Rsum E st trabajo s rsulv la cuació mastra qu gobira la diámica d la itracció tr u campo lctromagético cuatizado y u átomo d dos ivls l régim disprsivo ua cavidad co pérdidas. Tals pérdidas s db a la itracció dl sistma co su mdio ambit. El problma s rsulv usado ua técica d supropradors. S mustra qu s posibl rcobrar iformació dl sistma aú para u úmro rducido d fotos la cavidad. S prsta colapsos y rvivimitos qu dpd dl grado d disipació la cavidad lo qu dtrmia l ivl d itracció tr l átomo y l campo. I. Itroducció La Óptica Cuática actualmt s ua d las ramas d la física qu los últimos años ha tido u aclrado dsarrollo gracias al progrso d técicas tórico-xprimtals qu prmit crar y dtctar u fotó así como studiar u átomo dtro d ua cavidad por jmplo [5]. Est trabajo stá ddicado ítgramt al aálisis d sistmas cavidads lo qu rca l ctro d uo d los tmas clásicos Óptica Cuática: La lctrodiámica cuática d cavidads más coocida como CQED por sus siglas iglés. E st cotxto s dscrib l mcaismo d itracció tr átomos y fotos cavidads y s trata d sclarcr los dtalls dl rdo tr stos subsistmas. La toría acrca d u átomo acoplado a u campo d radiació d u sólo modo ua cavidad fu dsarrollada co éxito por Jays y Cummigs 963 [9] sguido d ua sri d artículos rlacioados a llo. La aparició d stos trabajos abrió camio hacia ua ola d publicacios acrca d sistmas cavidads cuáticas [5]. hora bi cuado cosidramos ua cavidad idal s dcir si pérdidas d rgía los dtalls d la itracció tid a sclarcrs (por sr u modlo idal; pro cuado s cosidra ua cavidad ral s dcir co disipació dbido a la itracció dl campo d la cavidad co l mdio a través d las pards (spjos la dscripció d la diámica s complica. El problma d la diámica tr u átomo d dos ivls itractuado co u campo cuatizado l límit disprsivo ua cavidad disipat ha sido tratado xactamt por Pixoto- Nms [3]. E st trabajo s dfi supropradors y s aplica stos a la solució d la cuació mastra qu dscrib tal problma lo qu coduc a ua solució dircta y aalítica. II. Modlo d Jays-Cummigs y la aproximació disprsiva E sta scció s dscrib la itracció tr u campo d radiació moomodo cuatizado y u átomo d dos ivls co u sólo lctró i. la itracció átomo-campo. Es obvio qu sólo s tdrá dos stados atómicos: l ivl xcitado y g l ivl fudamtal. Supodrmos qu l sistma átomo campo s cutra ua cavidad idal. La itracció dl campo cuatizado co l átomo pud sr dscrito por l siguit hamiltoiao Ĥ Ĥ Ĥ Ĥ ( F dod Ĥ F y Ĥ so las rgías dl campo y dl átomo stado libr rspctivamt; s dcir auscia d itraccios mitras qu Ĥ F s l hamiltoiao qu rprsta la itracció. Es bi sabido qu la rgía dl campo cuatizado stá dada por F ( â â Ĥ F ω 0 ( 6

2 Joural of Basic Scics Vol. ( Mayo-gosto 05 sido ω 0 la frcucia d oscilació dl modo dl campo; â y â so los opradors d cració y aiquilació d fotos. El hamiltoiao dl átomo libr stá dado por dod ωg Ĥ ωg σ ˆ z (3 s la frcucia d trasició atómica. S obsrva qu la matriz d Pauli ˆσ z os dfi l hamiltoiao dl átomo stado libr. Fialmt l hamiltoiao d la itracció stá dado por ( â âσ Ĥ F Ω ˆ. (4 El térmio â dscrib l procso l cual l átomo raliza la trasició dl stado xcitado al stado bas y s cra u fotó tato qu l térmio â dscrib l procso ivrso. Por lo tato la rgía s cosrvada ambos procsos. El coficit Ω s la costat d itracció sido Ω la frcucia d Rabi qu mid l acoplamito tr l átomo y l campo. Etocs l hamiltoiao complto d la cuació ( pud sr rscrito como ( â âσ ω0 â â ωg z Ω (5 Ĥ ˆ lo qu s cooc como l Modlo d Jays- Cummigs (MJC [9]. Las matrics d Spi d la cuació (5 stá dadas por z ˆ σ ˆ σ. ( hora drivamos la codició d validz d la aproximació disprsiva para l caso o rsoat st modlo. Para sto dfiimos la dsitoía como δ ωg ω0 qu mid l dfasamito tr los dos subsistmas. El límit disprsivo s alcazado cuado Ĥ F pud sr cosidrado como ua prturbació pquña l stido d qu δ >> Ω (7 dod s l úmro promdio d fotos l campo. Tmos tocs u dfasamito grad llamado límit disprsivo para l cual s obti u hamiltoiao fctivo d itracció [3] dado por ff I Ĥ χâ â z (8 dod χ Ω δ srá la costat d itracció tato qu la matriz ˆσ z stá dada la cuació (6. E sta aproximació los stados tid a dsacoplars la itsidad dl campo dismiuy por lo qu ya o logra provocar xcitacios l átomo y por cosiguit o hay itrcambio d rgía pro cotiúa habido diámica l sistma s dcir hay oscilació dipolar l átomo dbido al campo. III. Modlo dl problma hora cosidramos ua cavidad o idal. E sta cavidad s tdrá u átomo d dos ivls itractuado co l úico modo dl campo cuático dod tambié srá cosidrado l mdio ambit qu vulv a la cavidad. El campo moomodo s xcitado por st mdio acció qu gra las pérdidas d rgía. E la práctica s trabaja co átomos d Rubidio. E la dscripció d itracció y la aproximació disprsiva la cuació mastra qu gobira la diámica d u átomo d dos ivls acoplado co u campo lctromagético cuatizado ua cavidad co disipació s d ˆ ρ dt dod ˆ ρˆ ( t ff [ ˆ ˆ ρ] ˆ ˆ ρ i H (9 I ρ s la matriz d dsidad dl sistma y ˆ ρˆ γ∠ρâ γâ ∠ρ γρˆ â â (0 sido γ la razó d dcaimito d la cavidad. El sgudo térmio d la cuació (9 s l oprador d las pérdidas qu dscrib la disipació y corrspod a u campo d vacío. IV. Solució. Técica d supropradors hora os focamos a la solució d la cuació d movimito dl sistma dada por (9 dod l hamiltoiao stá dado por (8. Para sto dfiimos los supropradors [7] y dod ˆ â ∠ˆ ˆ Lˆ ρ ˆ Γ ρ ργ â â ( Ĵρˆ γ∠ρâ ( Γˆ s l adjuto d Γˆ dado st por 7

3 Joural of Basic Scics Vol. ( Mayo-gosto 05 co Es fácil mostrar qu Γ ˆ γî iχ (3 z Î g g. (4 [ Ĵ ] ρˆ ŜΓ Ĵρˆ Lˆ (5 dod l suproprador Ŝ Γ s dfiido como Ŝ ρˆ Γρ ˆ ˆ ρˆ Γˆ. (6 Γ S ls domia supropradors dbido a su acció sobr la matriz d dsidad. Estos ti la propidad d actuar por la drcha y por la izquirda d sta matriz al mismo timpo. l sustituir (8 (9 co y cosidrado (0 s obti fácilmt qu dˆ ρ dt ( Lˆ Ĵ ρˆ. (7 hora supomos qu iicialmt l vctor d stado dl átomo stá dado por l stado puro ( g (8 ( t Ŝ Γt Ŝ Γ fˆ. ( Tmos tocs compltamt dfiida la matriz d dsidad por (. Si cosidramos l stado iicial dado por (9 la matriz d dsidad iicial s scrib como ( ( 0 ( α α ρˆ 0 0. (3 hora csitamos oprar sta matriz co l xpot d los supropradors dado (. fˆ ( t Jˆ sí al aplicar l xpocial sobr ρˆ ( 0 su forma d sri d Maclauri tmos fˆĵ fˆ Ĵ α α ( ρˆ 0 (4! Σ 0 sto dbido a qu fˆ s u suproprador atómico y oprará sólo sobr stados atómicos tato qu Ĵ actuará sólo sobr stados d campo. Bajo u poco d álgbra s mustra qu fˆ ξ ξ t r Iˆ ( ξ ξ t ( ( ξ r g y qu l stado dl campo s u stado cohrt α [6]. Podmos tocs cosidrar qu la fució d oda iicial total dl sistma stá dada por la xprsió co t ξ r ( ξ g (5 ξ γ i χ y r. Es bi sabido qu ( α ( g α 0. (9 Ĵ ( γ α α α. (6 La solució a la cuació (7 sujta a la codició iicial (9 s ρˆ ( ( Lˆ Ĵ t t ρˆ ( 0 (0 dod ρˆ ( 0 s la matriz d dsidad iicial la cual dscrib u stado iicial puro o u stado iicial mzclado dl sistma total. Propomos la siguit factorizació para (0 dod ρˆ Lˆ t fˆ ( ( t Ĵ t ρˆ ( 0 ( Cosidrado (5 y (6 (4 y sustituydo sta última ( s obti fialmt la matriz d dsidad total dl sistma tˆ tˆ tˆ tˆ ( α α α α ˆ ρ t tˆ tˆ tˆ tˆ α α α α (7 Esta matriz dscrib la volució tmporal dl sistma y prmit xtrar iformació d la diámica tr l átomo y l campo d la cavidad como s vrá la siguit scció. V. Rsultados U primr importat rsultado ha sido la obtció d la matriz d dsidad dada por la 8

4 Joural of Basic Scics Vol. ( Mayo-gosto 05 cuació (7. hora calculamos l valor promdio d la obsrvabl ˆσ x s dcir l dipolo léctrico ( σ ˆ mdiat la cuació ˆ x σ [ ρˆ ( t ] m ρˆ ( t m x Tr x Σ 0 m x (8 sido { m } ua bas arbitraria cosistt d u cojuto complto d stados ortoormals. l ralizar st cálculo s obti la fució scilla φ α γt ˆ σ x cos{ α [ γβ s( χt ]} (9 dod las catidads φ y β aparc dfiidas [7]. hora graficamos sta fució para difrts grados d dcaimitos. Sa α 3 y t 08. χ tato qu [ ] lo qu o s pird iformació. E sta situació s ti l máximo acoplamito lo qu provoca oscilació dipolar s dcir hay mayor diámica. E la gráfica s obsrva qu prscia d pérdidas comiza a habr poca rspusta por part dl smbl ya qu los stados dl átomo y l campo tid a dsacoplars la itracció mpiza a morir al disipars la rgía qu s la causat d los rvivimitos la cual s absorbida por l mdio. E st caso hay scasa oscilació dipolar l átomo y la diámica tid al colapso como s vidt. El flujo d rgía dpd d la costat d trasmisió d los spjos. E la práctica s utiliza spjos d muy alta calidad. VI. Coclusios El problma s rsolvió usado la técica d supropradors lo qu mustra qu l método fucioa adcuadamt. S mustra admás qu s posibl rvivir las oscilacios aú para u úmro rducido d fotos. S utilizó como laboratorio l MJC l límit disprsivo ua cavidad disipativa por varias razos: porqu s l modlo qu dscrib la itracció porqu s pud obtr ua solució aalítica y porqu s posibl hacr prubas xprimtals d la actual prdicció. Fialmt s cocluy afirmado qu las pérdidas afcta al sistma ya qu s pird iformació dl campo y d su itracció co l átomo; pro tambié s importat sabr d qu mara sta afcta al sistma. Para trabajo imdiato s usará st método d solució para mdir la fució d oda d u campo lctromagético dscoocido la cavidad. VII. gradcimitos gradzco ormmt al Coacyt l apoyo otorgado a través d la bca (No para la ralizació d mis studios d Mastría. El promdio os da la probabilidad d cotrar al átomo ya sa l stado xcitado o l stado bas s dcir s mid la polarizació atómica. E la gráfica s obsrva qu para dcaimito cro s ti u rvivimito por VIII. Rfrcias [] Moya-Cssa H. Rovrsi J.. Dutra S. M. d Barraco-Vidilla Phys. Rv (999. [] Louisll W. H. Quatum Statistical proprtis of th Radiatio Wily Nw York 973. [3] Pixoto d Faria J. G. ad Nams M. C. Phys. Rv (999. [4] Carmichal H. Op Systms pproach to Quatum Optics Sprigr-Vrlag 99. [5] Brma P. R. Cavity Quatum Elctrodiamics cadmic Prss 994. [6] Mystr P. Elmts of Quatum Optics 9

5 Joural of Basic Scics Vol. ( Mayo-gosto 05 Sprigr Third Ed [7] Ricárdz Vargas I. Solució d la itracció o rsoat tr u campo cuatizado y u átomo d dos ivls prscia d pérdidas Tsis d Mastría INOE México 00. [8] Walls D. F. ad Milbur G. J. Quatum Optics Sprigr-Vrlag 994. [9] Jays E. T. ad Cummigs F. W. Proc. IEEE 5 89 (963. 0