Un ejercicio relacionado con la función Li(x)

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1 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc U jrcicio rlacioado co la fució Por: Eriqu Díaz Gozálz Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico, Rcio d Poc. U poco d hisoria. E la búsquda para ua l qu idicara la disribució d los úmros primos, l paso dcisivo s dio cuado los mamáicos ruciaro a los vaos ios para corar ua fórmula mamáica simpl qu proporcioara odos los primos o qu dira l úmro aco d primos qu aparc r los primros ros posiivos. E vz d coiuar sa búsquda, raaro d obr iformació rlaiva a la disribució promdio d los primos r los ros. Dfiició. Para odo ral, sa la caidad d primos Por jmplo: 5, c. Como l úmro d primos s ifiio Euclids, s sab qu lim Pro s rsulado o da iformació acrca d la razó d crcimio d. Varios d los más famosos mamáicos Lgdr, Gauss, Chbshv, Hadamard, d la Vallé Poussi hiciro prologados sfurzos para llgar fialm al sigui orma qu s fudamal la oría aalíica d úmros. Torma d úmros primos. La fució s asióicam igual a l, s dcir, lim l E oras palabras, para valors grads d, la fució s aproimadam igual a Es orma fu dmosrado idpdim 896 por Jacqus Hadamard fracés Charls d la Vallé Poussi blga. l. Rvisa 60 / No.8/ 0

2 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc E su juvud l gra Gauss sudió la fució por mdio d ablas d primos co l propósio d corar ua fució scilla qu aproimara co algú pquño rror rlaivo para valors grads d. Sobr la bas d sus obsrvacios, Gauss hizo la cojura qu d l so buas aproimacios d. Esa igral s llama igral arímica s doa por o por li. Es dcir: d li l. S pud dmosrar qu lim E la sigui abla, s advir qu s ua mjor aproimació d para valors pquños d. Si mbargo, 985, R.H.Hudso d la Uivrsi of Souh Carolia mosró qu so o s ciro para valors arbirarios d. Cuaro años más ard, C. Bas juo co 6 Hudso probaro qu ua vcidad dl úmro l Rvisa 60 / No.8/ 0

3 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc Rfrcias.. Coura, Richard ad Robbis, Hrbr 996. Wha is Mahmaics? Scod d. Nw York: Oford Uivrsi Prss.. H. Bhk al Fudamals of Mahmaics, Volum III, Aalsis. Nw York: MIT Prss.. Simmos, Gorg F. 99. Calculus Gms. Nw York: McGraw-Hill.. Kosh, Thomas 00. Elmar Numbr Thor wih Applicaios. Sa Digo,CA: Harcour Acadmic Prss. 5. Aposol, Tom M, Calculus volum I,Scod d. Wil I Dspués d sa brv posició hisórica, volvmos al íulo d s arículo. UN EJERCICIO RELACIONADO CON LA FUNCIÓN E l libro d cálculo d Aposol aparc propuso l sigui jrcicio las págias Ejrcicio 8. Ua fució, llamada igral arímica doada por, s dfi d la sigui mara: d, si Aquí s subid qu l Esa fució s prsa la oría aalíica d úmros dod s pruba qu s ua mu bua aproimació para l úmro d primos : d a Solució propusa. Dducir las siguis propidads d Calculmos por pars Sa u du d Rvisa 60 / No.8/ 0

4 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc dv d v d d Eso pruba lo qu s pid. k! d C, dod C s ua cosa qu b! k k dpd d. Ecorar sa cosa. Vamos a vrificar sa fórmula para = Usado l rsulado d la par a calculmos la igral por pars. Sa u dv d v du d Por lo ao: d d d d Susiudo la prsió a rsula: d rsulado qu vrifica la prsió b. Rvisa 60 / No.8/ 0

5 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc 5 Supogamos qu la prsió b s válida para. Probarmos qu la prsió s válida para +. Vamos a calcular por pars la igral qu aparc b. Sa u dv d v Por lo ao: du d d d k! d![ ] k k k k!! k d C Lugo sa fórmula s válida para odo ro >. Para drmiar la cosa C s hac la prsió b, d dod s obi: 0 k k! k C Por lo ao, C k! k! k k k k Rvisa 60 / No.8/ 0

6 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc 6 c Probar qu is ua cosa b al qu d corar l valor d b b Cambiado la variabl d d Sa d d d d Cambiado los límis d igració Para Por lo ao, d d Por lo ao: b d Eprsar d S i c érmios d la igral arímica dod c c d c d c Calculado sa úlima igral: d c d Sa Rvisa 60 / No.8/ 0

7 Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico - Rcio d Poc 7 Rvisa 60 / No.8/ 0 Cambiado los límis d igració: Para rsula Para rsula Por lo ao: d d d Sa f si Probar qu f Como d Eocs si f, s i: f = Eso rmia la dmosració dl jrcicio. Eriqu Díaz Gozálz, Cadráico Auiliar d Mamáicas d la Uivrsidad Iramricaa d Puro Rico Rcio d Poc. M.S. Uivrsi of Illiois.

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