UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Departamento Académico de Ciencias Básicas, Humanidades y cursos complementarios

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Dpartamto Académico d Cicias Básicas Humaidads y cursos complmtarios METODOS NUMERICOS MB 56 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Prosors: Garrido Juárz Rosa Castro Salguro Robrt Obrgó Ramos Máimo 9-

2 ECUACION NO LINEAL INTRODUCCION. Ua ució lial s aqulla qu satisac las siguits propidads. Aditividad: y y Homogidad: Coocido tambié como pricipio d suprposició. Ua ució o lial s aqulla qu o cumpl dicho pricipio. Ejmplos d alguas ucios o lials: = + Parábola k / D.5 log dod =g Fució d Colbrook-.7 R Whit Las raícs d muchas d stas ucios o pud calculars aalíticamt. Pro si s podrá rsolvr usado métodos itrativos co cirtos critrios d parada. SOLUCION DE ECUACION NO LINEAL Figura Solució d ua ució o lial Los divrsos métodos las podmos clasiicar tipos: Métodos Crrados: S caractriza porqu s csita d valors iicials para la raíz admás s aprovcha d qu stos dos trmos la ució cambia d sigo. Dtro d llas tmos: Método gráico Método d biscció Método d la alsa posició Método d búsquda por icrmtos Métodos Abirtos: S caractriza porqu s csita ormalmt u valor d partida para la raíz ormalmt los métodos atriors ti la vtaja d cotrar por lo mos ua solució y simpr covrg cambio stos métodos s prstara casos qu Solució d sistmas d cuacios o lials /9

3 o covrg a la solució pro cuado covrg ormalmt so más rápidos qu los métodos crrados. Dtro d llas tmos: Método d Puto ijo Método d Nwto-Raphso Método d la scat Nota: Cab dstacar qu alguos autors dsiga a alguos d stos métodos co otros ombrs. Critrios d parada para los algoritmos Cosidrado qu s dsa hallar la solució d la ució tocs s ti los siguits critrios d paro para stimar l rror cada itració. Error absoluto: a uvo atrior Error rlativo: r uvo uvo atrior Error como la ució: uvo Máimo úmro d itracios: Usado más los métodos dod pud sucdr la divrgcia. MÉTODOS GRÁFICO Dsd hac mucho timpo st método ra uo d los prridos para podr hallar la solució s tabulaba dirts putos u gráico hcho a mao lugo visualmt s ralizaba u ajust y s aproimaba las solucios posibls. Hoy día co las hrramitas iormáticas s dispo d varios sotwar qu t prmit graicar cualquir ució matmática iclusiv t prmit hacr ampliacios la rgió dsada y puds obtr grads prcisios como por jmplo l Autocad Matlab tc. Ejm: Cosidr la siguit ució para calcular la vlocidad dl paracaidista gm c / m t v c Dod: v = vlocidad g = gravdad t = timpo c = coicit d arrastr m = masa Ahora imagi qu s dsa hallar c para v= m/s g=9.8 m/s² t=5 s m=7 kg. Usado l Matlab ci=;c=;p=; rvisarmos l h=c-ci/p;c=ci:h:c; comportamito dl g=9.8;m=7;t=5;v=; graico u rago y=g*m*-p-c*t/m./c-v; rlativamt grad plotcy [ ] co las hold o siguits istruccios: plot[c cd][ ]'r' Solució d sistmas d cuacios o lials /9

4 Claramt podmos otar visualmt qu la solució s cutra crcao a tocs vulvo a graicar co u rago crcao a la solució por jmplo d 5 a 5. Admás l Matlab ti u icoo comado para podr ralizar u zoom cualquir rgió dsada y podmos rptir st último paso varias vcs obtido lo siguit: S pud otar qu la rspusta s 6.84 co dcimals actos. Si sguimos los pasos atriors podmos obtr mayor prcisió. La dsvtaja d st método s qu dpd d la visió humaa y por lo tato o s automático s dcir o s dispo d u programa qu t trgu la rspusta dirctamt co ua cirta prcisió ahora imagia qu t pida graicar c ució d t co st método sria muy tdioso. MÉTODOS DE BISECCION. Coocido tambié como cort biario d partició d itrvalos o d Bolzao s u tipo d búsquda icrmtal l qu l itrvalo s divid simpr a la mitad y s valúa si ti u cambio d sigo cada sub-itrvalo solo uo d los dos dbrá tr la rspusta. Actualmt llamamos sucsió udamtal o tambié sucsió d Cauchy a ua sucsió qu ti la siguit propidad: s pud lograr qu dos térmios diira tr sí ta poco como s ds a codició d cosidrar los subídics d ambos a partir d alguo. Euciado lguaj ormal: N = tal qu si > o p> s ti qu +p - <. Torma Si la ució s cotiua rspcto a la variabl tr los límits = = X y si s dsiga por b a ua catidad itrmdia tr y X s podrá simpr satisacr la cuació =b para uo o varios valors rals d comprdidos tr y X. Dmostració: Para stablcr la proposició prcdt basta hacr vr qu la curva qu ti por cuació y cruzará ua o varias vcs a la rcta qu ti por cuació y b l itrvalo comprdido tr las ordadas qu corrspod a las abscisas y X s vidt qu sto Solució d sistmas d cuacios o lials /9

5 tdrá lugar bajo la hipótsis admitida. E cto al sr cotiua la ució tr los límits X la curva qu ti por cuació y y qu pasa primro por l puto corrspodit a las coordadas y y sgudo por l puto corrspodit a las coordadas X y X srá cotiua tr stos dos putos y como la ordada costat b d la rcta qu ti por cuació y b s cutra comprdida tr las ordadas X d los dos putos qu stamos cosidrado la rcta pasará csariamt tr sos dos putos lo qu o s pud hacr si rcotrar l itrvalo a la curva mcioada. Torma d Bolzao: Si s ua ució cotiua l itrvalo [a b] y si admás los trmos dl itrvalo la ució toma valors d sigo opusto a * b < tocs ist al mos u valor c Î a b para l qu s cumpl: c =. E gral: Si a*b< Etocs ist *k+ solucios Si a*b> Etocs ist *k solucios Dod k s u tro positivo. Tratado d rsolvr l problma atrior implmtamos ua ució para s caso: uctio y=uc Algoritmo g=9.8;m=7;t=5;v=; para hallar la solució matlab: y=g*m*-p-c*t/m./c-v; Lugo implmtamos la ució para calcular la raíz usado l método d la biscció. uctio =bisccioabrrorma i vala*valb> disp'e st tramo l método o asgura ada'; =; ls r=i; whil r>=rrorma c=a+b/; i vala*valc<= b=c; ls a=c; d r=absb-a/a; d =c; d Probamos para l tramo a y obtmos: >> symbisccio'u'^-'d' % co dígitos d prcisió as = >> symbisccio'u'^-'d' % co dígitos d prcisió as = >>symbisccio'u'5^-'d' E st tramo l método o asgura ada as = Solució d sistmas d cuacios o lials 4/9

6 El método d la biscció s l mas scillo d implmtar así como tambié s uo d los mas iicits auqu la gra vtaja s qu simpr covrg simpr qu s cutr u cambio d sigo la ució. Así mismo l algoritmo idicado atriormt pud sr optimizado si valuamos la ució la mor catidad d vcs ist casos l cual la ució a valuar coti varias lías d código lo cual cosumirá rcursos d timpo al computador s propo l siguit algoritmo para llo: uctio =bisccio_bttrabrrorma a=vala; b=valb; i a*b> disp'e st tramo l método o asgura ada'; =; ls r=i; whil r>=rrorma c=a+b/; c=valc; p=a*c; i p== r= ls r=absb-a/a; i p< b=c; b=c; ls a=c; a=c; d d d =c; d Co rspcto al rror comtido st pud sr calculado a priori dbido a qu l rror s igual la mitad dl itrvalo s dcir a+b/. E cada itració s rducirá a la mitad por lo tato: k a b a k Dod k vi ha sr l úmro d itració. k log b a dsado Ahora tratmos d graicar c ució d t[.. 5] para llo modiicamos los programas: uctio y=uct g=9.8;m=7;v=; y=g*m*-p-c*t/m-v*c; Lugo d dsarrollar l programa igrsamos las siguits istruccios: Solució d sistmas d cuacios o lials 5/9

7 uctio =bisccio_bttrabrrormat a=valat;b=valbt; i a*b> disp'e st tramo l método o asgura ada'; =-; ls r=i; whil r>=rrorma c=a+b/; c=valct; p=a*c; i p== r= ls r=absb-a/a; i p< b=c; b=c; ls d d d =c; d a=c; a=c; Estas últimas istruccios os prmitirá graicar c ució dl timpo. c=[]; =:.:; or t= c=[c bisccio_bttr'u'^-t]; d plotc hold o plot[ d][ ]'r' Gráica c vs t METODO DE LA FALSA POSICION Tambié llamado latí rgula alsi método d itrpolació o método d la scat. Est método tambié rquir idicar u itrvalo dod los trmos ist u cambio d sigo la dircia co l método atrior s qu st traza u sgmto tr los putos d las graicas corrspodit a los trmos dl itrvalo y cosidra l puto itrmdio como l puto d itrscció d st sgmto co l j para lugo rducir l sgmto sgú s valué l cambio d sigo. Solució d sistmas d cuacios o lials 6/9

8 Dicho puto pud sr calculado por la siguit prsió: a b c a c b b * b a c b a b Implmtamos los programas matlab y lo acodicioamos para ralizar las comparacios tr l método d la biscció y la alsa posició: uctio [i]=bis abrrormat a=valat;b=valbt; i=; i a*b> disp No asgura ada'; =-; ls r=i; whil r>=rrorma i=i+; c=a+b/; c=valct; p=a*c; i p== r= ls r=absb-a/a; i p< b=c; b=c; ls d d d =c; d a=c; a=c; uctio [i]=alsiabrrormat a=valat;b=valbt; i=; i a*b> disp'e st tramo l método o asgura ada'; =-; ls r=i; whil r>=rrorma i=i+; c=b+b*b-a/a-b; c=valct; p=a*c; i p== r= ls r=absb-a/a; i p< b=c; b=c; ls a=c; a=c; d d d =c; d Y jcutamos las ucios co los mismos parámtros. >> [i ]=bis'u'^-55 i = = 6.84 >> [i ]=alsi'u'^-55 Solució d sistmas d cuacios o lials 7/9

9 i = = 6.84 E st caso l método d la alsa posició s más rápido s dcir mor catidad d itracios llga a la rspusta. MÉTODO DE BÚSQUEDA POR INCREMENTOS Est método ralidad s basa tambié l vto d cambio d sigo y s muy útil para hallar varias solucios la búsquda pud sr solamt co ua búsquda por pasos d valor h suicitmt pquña Ejmplo: Tommos la siguit gráica grada por las siguits stcias. i=;=5;p=; h=-i/p;=i:h:; y=*p-.*.^.*cos; ploty hold o plot[ d][ ]'r' S pud obsrvar la gráica qu ist varias solucios co st método s pud hallar todas stas solucios para llo usmos l siguit programa d matlab: uctio y=u g=9.8;m=7;v=; y=*p-.*.^.*cos; Obtido los siguits rsultados: [i ]=busquda'u'5^- i = 5 = uctio [i]=busqudaabh =[]; i=; or c=a:h:b-h i valc*valc+h<= =[;c+h/]; d i=i+; d Solució d sistmas d cuacios o lials 8/9

10 Estas solucios l ha tomado 5 itracios. Est método s muy buo para obtr todas las raícs pro ti la dsvtaja qu s muy lto si s l da u h dl ord d ^-8 sguramt qu l procsador dl computador l tomará alguos miutos para rsolvrlo y si l damos u itrvalo mayor podríamos prdr alguas raícs. Est método pud sr mjorado tomado u h mayor y a su vz para mjorar la prcisió u itrvalo qu s cutr u cambio d sigo utilizar uo d los métodos atriors biscció o alsa posició. S dja propusto implmtar st programa. METODO DEL PUNTO FIJO Diició: Dirmos qu ua ució :[ a b] ti a [ a b] como puto ijo si = Torma: Sa :[ a b] cotiua co [a b] [a b]. Etocs ti u puto ijo si admás s drivabl y [ a b] l puto ijo s úico. Torma dl Valor Mdio: Sa :[ a b] cotiua y drivabl a b c a b tal qu b-a= cb-a Torma: Sa :[ a b] cotiua y drivabl a b co: [ a b] [ a b] ' k a b Etocs si s s cualquir úmro [ a b] la sucsió diida por s s... s s N Covrg al úico puto ijo s [ a b] Admás las cotas para l rror so: Solució d sistmas d cuacios o lials 9/9

11 Solució d sistmas d cuacios o lials /9.. S S K K S S a b K S b a S má K S S A cotiuació s prsta los siguits casos: Ejrcicio: S cosidra la ució.

12 a Obtr gráica y aalíticamt los putos ijos d. b Dmostrar qu vriica las dos hipótsis dl torma d covrgcia global d puto ijo [- ] y obtr trs térmios d la sucsió grada por l algoritmo d puto ijo co. Cuál s l ord d covrgcia?. Solució: a Los putos ijos d so los valors d qu vriica. Para llo s obsrva dód s itrsca las gráicas d y y. Gráicamt vmos qu hay dos putos ijos d : y 4 Vamos a comprobar lo atrior d mara aalítica: Solució d sistmas d cuacios o lials /9. Rsolvido la cuació d sgudo grado s obti los valors d. 7 y.7. L / L ya qu sup Nota aclaratoria: Si s moótoa a b st caso strictamt crcit tocs b cotractiva alcaza l suprmo uo d los trmos dl itrvalo. S cumpl :? y / ma y mi / Por tato : / la sucsió / covrg al úico puto ijo d s dcir covrg a ; ; / 9 8 7

13 / La covrgcia s por tato lial ord d covrgcia. Ejrcicio: 4 S cosidra la ució F a Dmostrar gráica y aalíticamt qu la cuació F ti actamt dos raícs rals y cotrar dos itrvalos cada uo d llos co trmos tros coscutivos qu las cotga. b S quir aproimar la raíz d la cuació F qu prtc a [ ] usado l método d itració d puto ijo co dirts ucios: Estudiar cuáls d stas ucios so útils para aproimar dicha raíz. Co cuál d llas so csarias mos itracios para qu la cota d rror sa mor qu ua catidad prijada partido dl mismo valor iicial?. Comprobarlo uméricamt si. 6 y 6. c Estudiar cuáls d las ucios atriors so útils para aproimar la otra raíz. Solució: a F Gráicamt vmos qu F ti dos raícs y rals Aalíticamt: F log.98 s dcir qu F s strictamt moótoa log y por tato la cuació F ti a lo sumo ua raíz dicho itrvalo. Aálogamt F s strictamt moótoa log y por tato la cuació F ti a lo sumo ua raíz dicho itrvalo. Hmos dmostrado qu la cuació F ti a lo sumo dos raícs rals. F F F Cotiua la cuació F ti al mos ua raíz l itrvalo. Solució d sistmas d cuacios o lials /9

14 F F 6 la cuació F ti al mos ua raíz l itrvalo. F Cotiua E coscucia la cuació F ti actamt dos raícs rals: y b Lo primro qu habría qu comprobar s qu y so ucios d itració asociadas a F F F 4 F o s ució d itració; y sí lo so. Todo puto ijo d aálogamt d s raíz d la cuació F. Admás st caso s vriica l rcíproco s dcir qu toda raíz d la cuació F s puto ijo d y. o s útil; vamos si lo so y cotractivas algú itrvalo qu cotga a. s cotractiva para aproimar la raíz ' L [ / L s dcir vamos si so ' ; óts qu s ua ució crcit y por tato sup.96 s cotractiva ; por tato s útil s cotractiva ' L [ / L Solució d sistmas d cuacios o lials /9

15 ' ' ució crcit ya qu. Por tato: sup s dcir: ' L.859 < : s útil. s cotractiva Co cuál d llas so csarias mos itracios para qu la cota dl rror sa mor qu partido dl mismo valor iicial? Co ya qu la L corrspodit a sta ució stá más próima a cro qu la L corrspodit a. L L log L log L log log log log L log log L log log log = 5 log log log log = 75 log c ya stá dscartada: vamos si y Sabmos qu so cotractivas algú itrvalo qu cotga a. Solució d sistmas d cuacios o lials 4/9

16 s cotractiva [] L [ / ' L ' Fució crcit; sup 46 Por tato o s cotractiva []. Lo s algú itrvalo qu cotga a? F.5 F F 6 i Por tato '.5. Así pus o ist igú itrvalo qu cotga a dod sa cotractiva. o s útil. ' s ua ució crcit sup ².9 Por tato o s cotractiva [] Lo s algú itrvalo qu cotga a?.5 i Por tato '.5. Así pus o ist igú itrvalo qu cotga a dod sa cotractiva. o s útil. Ejrcicio: S cosidra la ució F. a Dtrmiar gráica y aalíticamt l úmro d raícs rals d la cuació F y spararlas itrvalos d logitud uo. b Dtrmiar ua ució d itració y u itrvalo [a a +] co a Z qu satisaga las hipótsis dl torma d covrgcia global d puto ijo para aproimar ua raíz d la cuació F. Cuátas itracios so suicits ralizar para garatizar qu l rror s mor qu si s cualquir puto dl itrvalo d covrgcia? Solució a F ³ Apartmt por la gráica la cuació F ti ua úica raíz ral. Aalíticamt: Solució d sistmas d cuacios o lials 5/9

17 F Así pus la cuació F ti a lo sumo ua raíz ral cada uo d los itrvalos : y F - F - La cuació F F 5 ti al mos ua raíz ral Como s cocluy qu la cuació F ti actamt ua raíz ral qu admás sabmos qu stá. - F - F La cuació F o ti raícs l itrvalo F s strictamt moótoa -/ / S dduc d lo atrior qu tampoco ti raíz l itrvalo ya qu u poliomio d grado trs o pud tr dos raícs rals distitas si tr ua trcra. Coclusió: Ti ua úica raíz ral y stá. b F ³ - Sa ; ' ² ². Por tato o s cotractiva igú itrvalo qu cotga a. No os val. F ³ Sa s cotractiva L[ / ' L ' ² ² ' Solució d sistmas d cuacios o lials 6/9

18 s strictamt dcrcit ; por tato sup ' sup ' '.99 s dcir: 4 ' 4 s cotractiva [] S cumpl qu :? ' s s strictamt crcit ² mi.599 ma.44 : Por tato la sucsió / / covrg al úico puto ijo d / [] s dcir covrg a la raíz d la cuació F. L L L L log L log L log ; - log log log L L log log. L. ; log. ; =5 METODO DEL NEWTON-RAPHSON Uo d los métodos más utilizados para rsolvr cuacios s l d Nwto.* i Así como los métodos atriors ést tambié s basa ua aproimació lial d la ució auqu aplicado ua tagt a la curva. A partir d ua stimació iicial simpl qu o sté muy ljos d ua raíz s ctúa u dsplazamito a lo largo d la tagt hacia su itrscció co l j y s toma sta como la siguit aproimació. Esto cotiúa hasta qu valors sucsivos stá suicitmt próimos o l valor d la ució stá suicitmt crca d cro. ** Solució d sistmas d cuacios o lials 7/9

19 El squma d cálculo s cocluy d imdiato a partir dl triágulo rctágulo qu s mustra la igura. qu al igual qu uo d sus águlos agudos ti l águlo d icliació d la rcta tagt a la curva = ta S cotiúa l squma d cálculo al stimar o térmios más grals... *Nwto o publicó u aálisis tso d st método auqu rsolvió u poliomio cúbico Pricipio 687. La vrsió qu s proporcioa aquí stá cosidrablmt mjorada co rspcto a su jmplo origial. ** La lcció dl critrio qu db aplicars sul dpdr dl problma ísico particular al qu s l aplica la cuació. Por lo comú s rquir coicidcias d valors sucsivos a ua tolracia spcíica. El algoritmo d Nwto s mpla ampliamt porqu al mos la vcidad próima d ua raíz covrg más proto qu cualquira d los métodos aalizados hasta ahora. E otra scció s dmustra qu l método s cuadráticamt covrgt lo cual sigiica qu l rror d cada paso tid a ua costat K multiplicada por l cuadrado dl rror dl paso atrior. El rsultado to d sto s qu l úmro d ciras dcimals d actitud casi s duplica cada itració. No obstat la compsació d sto s la csidad d dos valuacios ucioals cada paso y.* Cuado l método d Nwto s aplica a = + s - = s ti los cálculos siguits: Solució d sistmas d cuacios o lials 8/9

20 Obsérvs qu para rprstar s usa p y qu la variabl d dirciació o s csaria cuado s l valor por dcto. Si s mpiza co =. s ti Dspués d trs itracios la raíz s corrcta hasta sit dígitos sigiicativos. Al comparar sto co los métodos atriors s obsrva qu l método d Nwto covrg cosidrablmt más proto. No obstat al comparar métodos uméricos s acostumbra cotar l úmro d vcs qu s csario valuar las ucios. Dbido a qu l método d Nwto rquir dos valuacios ucioals por paso la comparació o stá ta uilatralmt a avor dl método d Nwto como parc al pricipio; las trs itracios co st método rquiriro sis valuacios ucioals. Cico itracios co los métodos atriors tambié rquiriro sis valuacios. Si u problma diícil csita muchas itracios para covrgr l úmro d valuacios ucioals co l método d Nwto pud sr mucho mayor qu co los métodos d itració lial porqu Nwto simpr usa dos por itració mitras qu los otros sólo utiliza ua dspués dl primr paso aquél usa dos valuacios. Solució d sistmas d cuacios o lials 9/9

21 A cotiuació s prsta u platamito más ormal dl algoritmo dl método d Nwto idóo para implmtars u programa para computadora. ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON Dada y ua aproimació iicial p Etrada: aproimació iicial p ; tolracia TOL; máimo úmro d itracios N Salida: Solució aproimada p o msaj d alla Paso : i = Paso : Mitras i N hacr los pasos 6 Paso : p = p p / p //Calcular Pi Paso 4: Si p - p < TOL tocs Salida = p Trmiar //Procdimito trmiado satisactoriamt Paso 5: i = i + Paso 6: p = p //Actualizar p Paso 7: Salida = El método allo lugo d N itracios Trmiar //Procdimito trmiado NO satisactoriamt Cuado l método d Nwto s aplica a ucios poliomials hay técicas spcials qu acilita dicha aplicació. E alguos casos l método d Nwto o covrg. Empzado co uca s alcaza la raíz r porqu 6 y s ca u ciclo si i. Tambié obsrv qu si algua vz ha d alcazars l míimo o l máimo d la curva s disparará hasta l iiito. Casos l cual l método divrg: Solució d sistmas d cuacios o lials /9

22 Raícs compljas El método d Nwto ucioa co raícs compljas si s proporcioa u valor compljo para l valor iicial. A cotiuació s prsta u jmplo. Ejrcicio: Us l método d Nwto = E la igura s mustra la gráica d. Ti ua raíz ral aproimadamt = - mitras las otras dos raícs so compljas porqu ya o vulv a cruzars l j. Si l método d Nwto s iicia co = + i s usa sto a alta d coocimito sobr la raíz complja s obti las itracios sucsivas: i i i i i Dbido a qu las itracios cuarta y quita coicid hasta sis ciras sigiicativas s ti la crtza d cotar co ua stimació acptabl. Si s mpiza co u valor iicial ral por jmplo = - s obti covrgcia la raíz = igura Gráico d Ejrcicio: Cosidra la ució F l. Aproimar la raíz mdiat l método d Nwto ligido como puto iicial = a y ralizado dos itracios. Solució F F l l a ; l l.5648 l.567 Solució d sistmas d cuacios o lials /9

23 Diició d ord d covrgcia METODO DE LA SECANTE Otra dsvtaja dl método atrior s qu s csita sabr la drivada d la ució sta opració pud sr suprada co st método ya qu cosidra ua aproimació d la drivada a partir d la ució si csidad d drivar. Cosidrado ua aproimació d la drivada como: y rmplazado la cuació la órmula rcursiva d wto-raphso Itrprtació gráica. La dsvtaja d st método covrg más ltamt qu wto-raphso. Ua modiicació a st método s cosidrar u puto bastat crcao qu diira u h y calcular ua aproimació d la drivada obtido la siguit rlació: Solució d sistmas d cuacios o lials /9

24 Solució d sistmas d cuacios o lials /9 h h ' Para ctos d la aproimació s pud usar u h=^- Por lo qu la órmula d Nwto-Raphso quda modiicada a: h h SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES INTRODUCCION Cosidrmos ahora l problma d rsolvr u sistma d cuacios o lials d cuacios co variabls. Sa i : R R i. ucios o lials todas dirciabls. U sistma o lial s pud scribir d la orma: Si diimos F: R R por F= t tocs podmos scribir orma vctorial como: F= = Est sistma pud prstar múltipls solucios matmáticamt posibls y su rsolució umérica db proporcioar la solució ísicamt corrcta. Eist distitos métodos para la solució. EL METODO DEL PUNTO FIJO Aálogamt al caso uidimsioal l método itrativo dl puto ijo s bas la posibilidad d scribir l sistma d cuacios F= otro quivalt d la orma k k G Dod G : R R Qu s quivalt a: g g g Dod g g g so los compots d G Cosist tocs grar ua sucsió d putos R por mdio d la rlació d rcurrcia

25 k G k k a partir d u puto iicial. S prtd qu sta sucsió d putos R covrja para u puto ijo s d la ució G sto s tal qu s = Gs qu srá por tato solució dl sistma origial o sa tal qu Fs=. Para llo s dsarrolla l siguit algoritmo: uctio =sl_pijogtolma % Rsulv l sistma o lial =G usado la itració dl puto ijo % Los vctors y so vctors ila % la ucio G da u vctor columa [g...g]' % dtr cuado la orma dl cambio l vctor solució sa mor a la tolracia % la siguit aproimacio d solucio s _w=_old+y'; disp[ ]; _old=; itr=; whil itr<=ma y=valg_old _w=y'; di=orm_w-_old; disp[itr _w di]; i di<=tol =_w; disp'la itració dl puto ijo ha covrgido' rtur; ls _old=_w; d itr=itr+; d disp'la itració dl puto ijo o covrg' =_w; Ejrcicio : Solució: 5 Lo rscribimos d la orma g y g d la siguit mara: para llo laboramos ua ució Matlab: Solució d sistmas d cuacios o lials 4/9

26 uctio G=u =; =; G=[-.*^+.*+.5.*+.*^+.]; Y ialmt jcutamos los comados: >> = sl_pijo'u'[ ]. La itració dl puto ijo covrg = >> u as = Como pud vrs s ti ua prcisió d dígitos actos Ejrcicio : Cosidr l sistma o lial cos 8. si.6 Apliqu l método dl puto ijo para aproimar la solució ralic 5 itracios y scogr =.. -. t Solució Si d la i-ésima cuació s dspja i l sistma pud cambiars a u problma d puto ijo cos 6 si s obti la siguit prsió d rcurrcia k k k cos 6 k k k si.6. 9 k k k 6 Solució d sistmas d cuacios o lials 5/9

27 Partido d la stimació iicial... s obti los siguits rsultados k k k k EL METODO DE NEWTON RAPHSON Est método ti como vtaja ua rlativa simplicidad y ua rápida covrgcia pro ti l icovit qu su covrgcia úicamt s pud asgurar si los valors iicials d las icógitas stá lo suicitmt crca d la solució domiio d atracció d la solució. Para sistmas mal codicioados l método d Nwto pud prstar problmas d covrgcia. El método d Nwto para la solució d sistmas d cuacios s tambié ua gralizació dl método ya studiado para l caso uidimsioal. Cosidrmos uvamt l sistma d cuacios F= dod: F t co : R R i i Diimos la matriz jacobiaa d la ució F como: J F Sa ua aproimació iicial al sistma F=. Etocs usado l Torma d Taylor para ucios d varias variabls podmos scribir qu F F J F Diimos ahora la siguit aproimació como la solució d J s dcir F F J F F D sta orma cotiuamos así la vrsió para sistmas dl Método d Nwto dada por: k k J F k F k k dado Solució d sistmas d cuacios o lials 6/9

28 La implmtació dl método d Nwto para sistmas d cuacios o lials uctio [itr]= sl_rapsoptolitrma %NEWTON Mtodo d Nwto para sistmas o lials % Los datos d trada so % : ombr d la ució qu rprsta l sistma. % p: ombr d la ució qu calcula l Jacobiao. % : l puto iicial vctor columa. % tol: tolracia para l rror rlativo la solucio calculada % itrma: umro maimo d itracios qu s rpit las itracios i argi<4 tol=.-4; d i argi<5 itrma=; d =; orm=; ormz=i; itr=; whil ormz>tol*orm&itr<=itrma =val; p=valp; z=-p\; ormz=ormz; orm=orm; =+z; itr=itr+; d Esta ució s db ivocar co al mos trs argumtos. Si s omit alguo d los últimos dos argumtos la ució ti uos valors qu s asiga por omisió a stas variabls. Ejrcicio: Rsulva l siguit sistma d cuacios: y z g y z y h y z y z y z 5 y z s z 5 Solució: Para llo costruimos l Jacobiao: J y cos z Lugo dsarrollamos las ucios Matlab: uctio G=u G=[^-*+-+ ^+*-*-*-5 +-*+*si+5]; Solució d sistmas d cuacios o lials 7/9

29 uctio G=ju >> G=[*^- =sl_rapso'u''ju'[ - ]'^- - *^+ - -+*cos]; itr = 4 = >> u as =.- * S pud obsrvar qu s alcaza a la solució co ua bua prcisió solo 4 itracios. EL METODO DE LA SECANTE Como vimos para l caso ui-variado l método d la scat s similar al d Nwto d hcho alguos lo llama l método d Nwto-Raphso solo qu utiliza aproimacios Lials para l Jacobiao vz dl Jacobiao. Para llo cosidrmos l siguit algoritmo Matlab: i uctio = sl_scatutolmait; % dtr cuado la orma dl cambio l vctor solució sa mor a la tolracia dl = diagmaabs*-4-8; = lgth; or i=:mait = valu; or j=: J:j = -valu-dl:j/dljj; d; = -ivj*; i orm-<tol brak d = ; d i i>=mait sprit's alcazaro %itracios'mait d i Solució d sistmas d cuacios o lials 8/9