CAPITULO 3.- Representaciones de Fourier para señales.

Transcripción

1 CAPIULO 3.- Rprsacios Fourir para sñals. 3. Iroucció. 3. Sñals prióicas impo iscro: la sri Fourir impo iscro. 3.3 Sñals prióicas impo coiuo: la sri Fourir. 3.4 Sñals o prióicas impo iscro: la rasformaa Fourir impo iscro 3.5 Sñals o prióicas impo coiuo: la rasformaa Fourir Propias las rprsacios Fourir 3. Iroucció. Aálisis Fourir : Rprsació sñals uiliao sois complas Sois complas rspusa frcucia sismas LI { } arg. τ τ τ frcucia rsp h compla soial { } arg h

2 Emplo Circuio RC : Rspusa frcucia h RC RC u, RC RC RC RC RC arg arca RC { } ψ Figur 3.4 p. 98 a Gral igfucio Ψ or Ψ a igvalu λ. b Compl siusoial igfucio a igvalu. c Compl siusoial igfucio a igvalu. λψ ψ λψ Fució caracrísica Problma valors Fució propia caracrísicos ψ { ψ } λψ Vcor caracrísico A A λ Valor caracrísico Valor propio λ Valor caracrísico λ M a M a

3 Rprsacios Fourir para cuaro class sñals Propia impo Coiua Discra Prióica Sri Fourir FS Sri Fourir impo iscro DFS o prióica rasformaa Fourir F rasformaa Fourir impo iscro DF Sñals prióicas: rprsacios mia las sris Fourir DFS : Prioo fuamal : FS : Prioo fuamal : 3

4 4 3. Sñals prióicas impo iscro: la sri Fourir impo iscro DFS. { } arg Rprsació l omiio la frcucia Espcro magiu Espcro fas : DFS,,...,,..., : valuar compuaora úicas, : par DFS Problma Uilic la fiició los coficis la DFS para valuar la rprsació DFS para la sñal : cos , 7 8 8, { oros

5 Problma 3. Ecorar la rprsació l omiio la frcucia la sñal scria la figura 5 -- : simría impar 5, / s4 5,3 5 5, 5 s 5, { },53,76 5 { s 5 } s 5, s4 5,3 5 5,53,76 Problma 3. co.,3,53,76,76,,76,76,3,53 5

6 6 Emplo 3.5 Ivrsa DFS Drmi la sñal l omiio l impo a parir los coficis DFS scrios la figura : 9, / cos cos Sñals prióicas impo coiuo: la sri Fourir a FS pocial FS : Prioo fuamal : FS { } arg Rprsació l omiio la frcucia Espcro magiu Espcro fas FS pocial, : par FS

7 Emplo 3.9 Cálculo irco coficis FS Drmi los coficis FS para la sñal scria la figura : Emplo 3. Ivrsa FS Ecur la sñal l omiio l impo corrspoi a los coficis FS : Supoio qu l prioo fuamal s / l 3 5 4cos / l / l l 7

8 Emplo 3.3 FS para ua oa cuaraa Drmi la rprsació FS la oa cuaraa scria la figura : / / s s s, s lim / sc, Emplo 3.3 co. La rgía la rprsació FS sa isribuia u acho irvalo frcucias El primr cruc por cro : //4 //6 8 //64 3 //4 //6, 5 5 Al crcr / la rgía //64 caa prioo la sñal oa cuaraa s cocra alror u srcho irvalo impo. 8

9 3.3 Co basa frcucia l aálisis Fourir aparc la forma fucioal : sc u s u u sc sc u, El máimo la fució s la uia u El cruc por cro ocurr los valors ros u Lóbulo pricipal la fució sc : par la fució r los crucs por cro u u- Lóbulos larals : rso lóbulos 3.3 Sñals prióicas impo coiuo: la sri Fourir b FS rigoomérica si B m m m m m m B cos m m m B,, ocs m mcos m 9

10 3.3 Sñals prióicas impo coiuo: la sri Fourir b FS rigoomérica { } cos, cos s A B B s A B B pocial : Emplo 3.3 FS rigoomérica para ua oa cuaraa cos ˆ cos / cos, B B s A s B B 4 / /

11 Figur 3.5b-3 p. 6 b J 3. c J 7. J 9. J Sñals o prióicas impo iscro: La rasformaa Fourir impo iscro DF D mara iuiiva ucirmos DF a parir DFS, scribio ua sñal o prióica como l lími ua sñal prióica cuo prioo s acrca a ifiio. DF Rprsació l omiio la frcucia Si uració ifiia, ha sr absoluam sumabl para qu isa la DF : Si o s absoluam sumabl, pro i rgia fiia, la DF covrg u sio rror cuaráico mio, pro o covrg puualm < La sñal scaló uiario u o cumpl las coicios ariors <

12 Emplo 3.7 Scucia pocial Ecur la DF la scucia α u α u α α si α s ral : arg α cos α cos αs α s αs { } arca impar α cos α α α cos, α < par Figur 3.9 p.3 Emplo 3.7 co. h DF of a poial sigal α u. a Magiu spcrum for α.5. b Phas spcrum for α.5. c Magiu spcrum for α.9. Phas spcrum for α.9.

13 Emplo 3.9 Fució sc impo iscro p, < W {, W < < W W W lim s W W W s W sc sá spcificaa sólo para : < < W W s W, Emplo 3. DF l impulso uiario : δ δ δ DF Emplo 3. Ivrsa DF l spcro impulso uiario : δ δ δ, δ, < < DF < < uiliao la propia filrao la fució impulso δ 3

14 3.5 Sñals o prióicas impo coiuo : La rasformaa Fourir F F rprsació l omiio la frcucia La covrgcia puual sá garaiaa oos los valors cpo aqullos corrspois a iscoiuias si saisfac las CODICIOES DE DIRICLE : para sñals o prióicas.- s absoluam igrabl..- i u úmro fiio máimos, míimos iscoiuias locals oo irvalo fiio. 3.- l amaño caa iscoiuia s fiio. La fució scaló o s absoluam igrabl < Emplo 3.5 Pulso rcagular Cosir l pulso rcagular scrio la figura fiio como :, Ecur la F {, > El pulso rcagular s absoluam igrabl, simpr qu lim s s sc arg { } { s, s, > s, < 4

15 Emplo 3.5 co. s Si o auma sñal s isprsa l orig l omiio Si /o ismiu sñal s isprsa l orig l omiio Emplo 3.7 Impulso uiario Ecur la F δ o saisfac las coicios Dirichl, a psar llo δ F δ < < Emplo 3.8 Ivrsa F u spcro impulso Ecur la ivrsa F δ δ F δ 5

16 3.6 Propias las rprsacios Fourir 3.6. Prioricia 3.6. Lialia 3.6. Simría Sñals rals imagiarias 3.6. Simría Pars impars Corrimio l impo Corrimio frcucia Escalamio Difrciació igració, sumaoria if Covolució moulació Filrao. Moulació frcucia Rlació Parsval Dualia 3.6. Prouco impo-acho baa abla impo Coiua Discra Prióica, Sri Fourir prioo Sri Fourir impo Discr. prioo Discra o prióica, raformaa Fourir raf. Fourir impo Discr Prioricia i prioo Coiua, o prióica, Prióica, Frcucia 6

17 3.6. Lialia a b a by a b a b a b F FS a by DF DFS a by a by 3.6. Simría Sñals rals imagiarias puras a Ral Rprsació Forma compla Forma rcagular F FS DF R{ } R{ } Im Im * * * DFS R Im R Im R Im { } { } { } R{ } { } Im{ } { } R{ } { Im{ } { } R{ } { } Im{ } 7

18 3.6.co. Simría Sñals rals imagiarias puras b Imagiaria pura Rprsació Forma compla F FS DF * * * DFS R Im R Im R Im R Im Forma rcagular { } R{ } { } Im{ } { } R{ } { } Im{ } { } R{ } { Im{ } { } R{ } { } Im{ } 3.6.co Simría Pars impars c valors rals simría impar * * τ * * τ τ La úica mara qu la coició * s cumpla s qu sa ral. * valors rals simría par * * τ * τ τ Lugo para qu *- csariam s imagiario puro. 8

19 Corrimio l impo DFS DF FS F Corrimio frcucia DFS DF FS F Γ Γ γ γ

20 3.6.4 Escalamio : F F a F a a a Rproucir a vlocia más ala a>, comprimimos sñal impo. E l omiio la frcucia s pa, más aguos. Emplo 3.48 Escalamio a u pulso rcagular, Cosir l pulso rcagular fiio como : {, > vr mplo 3.5 Su raformaa Fourir s : s Si. Calcular la rasformaa Fourir /., < {, >, < {, > Y s s

21 Figur 3.7 p. 3 Applicaio of h F scalig propr i Eampl a Origial im sigal. b Origial F. c Scal im sigal /. Scal F Y Escalamio : FS si i prioo fuamal, i prioo fuamal /a a FS a FS a La opració scalamio cambia simplm l spaciamio armóico a a

22 3.6.4 Escalamio : DF, DFS p, p p > pria iformació, a mos qu p p DF / p p DFS p p Problma 3.8 Daa la sñal la figura :, a mos qu p 3 p p a Dmosrar qu la DF p s : b D la DF w prop. scalamio, calcul la DF f c Si s prióica, p s prióica /p mosrar : p

23 3 Problma 3.8 co. ' ' p l p p p p p p l p l p p p a r r pr p p p pr suma r impar.9,,.9.9 { DF DF F impar par w f W u w b c Frcucia Coiua, Discra Prióica, Discra o prióica, Coiua o prióica, Prióica, impo prioo Sri Fourir raformaa Fourir Sri Fourir impo Discr. raf. Fourir impo Discr. prioo i prioo

24 3.6.5 Difrciació igració, sumaoria ifrcia Difrciació l impo F: F o prióica : La ifrciació sru cualquir compo c : FS: Prióica : FS El valor promio la sñal ifrciaa sa cro : Difrciació igració, sumaoria ifrcia co. Difrciació frcucia F: F o prióica : La ifrciació o s aplica a caias valor iscro: FS, DFS DF: DF o prióica : 4

25 Difrciació igració, sumaoria ifrcia co. Sumaorio ifrcia DF δ Igració τ τ DF Y δ < <, DF Y δ τ τ F Difrciació igració, sumaoria ifrcia rsum DF δ δ τ τ F F FS F DF

26 Covolució moulació Covolució sñals o prióicas * * τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Y h Y h h h h F * DF DF DF Y h h Covolució moulació co. Moulació, sñals o prióicas * η η υ υ η υ Y F θ θ θ prióica covolució Y DF DF DF

27 Covolució moulació co. Covolució, sñals prióicas / Y FS τ τ τ m DFS m m Y / / Y DFS K Moulació, sñals prióicas m FS m m Y * * / Covolució moulació rsum FS DFS DFS * FS * DF h * h F Covolució Moulació * F DF

28 Filrao. Moulació l omiio la frcucia * Y Y Y h iv F Filros : pasa baa, pasa ala, pasa baa aua baa Y B log B log Espcro rgía : c c c c c Y B B B B B log 3 log log log * iv DF Y Y h Figur 3.53 p. 63 Frquc rspos of ial coiuous- lf pal a iscrim righ pal filrs. a Low-pass characrisic. b igh-pass characrisic. c Ba-pass characrisic.

29 Figur 3.54 p. 64 RC circui wih ipu a oupus c a R. hc u RC R RC hr δ RC C RC u Dibuar la rspusa frcucia ambos sismas C RC R RC RC Figur 3.55a&c p. 65 RC circui magiu rsposs as a fucio of ormali frquc RC. a Frquc rspos of h ssm b Frquc rspos of h ssm corrspoig o C, liar scal. corrspoig o R, liar scal. c Frquc rspos of h ssm Frquc rspos of h ssm corrspoig o C, B scal. corrspoig o R, B scal, show o h rag from B o 5 B. 9

30 Figur 3.55b& p Rlació Parsval La rgía o pocia s cosrva l rprsació Fourir Ergía ua sñal o prióica : E * : orma rgía Raligh ormaliao por spcro rgía la sñal Ergía : sñals o prióicas l omiio l impo Pocia : sñals prióicas l omiio l impo sobr u prioo ormaliao 3

31 3.6.8 Rlació Parsval co. F FS DF DFS impo Coiua Discra Prióica, Sri Fourir prioo Sri Fourir impo Discr. prioo Discra o prióica, raformaa Fourir raf. Fourir impo Discr. i prioo Coiua, o prióica, Prióica, Frcucia 3

32 3.6.9 Dualia F δ < < Dualia F F δ Figur 3.73 p. 37 Duali of rcagular pulss a sic fucios. 3

33 3.6.9 Dualia rsum F F F f F F f DFS / DFS DFS / DF FS DF FS 3.6. Prouco impo-acho baa Acho baa : coio frcucia sigificaiva la sñal? frcucia a la cual l spcro magiu s / vcs su valor pico. Si sá craa l orig s paso baas : Duració ua sñal Acho baa B w B w B w pricipio icriumbr 33

34 Problma 3.48 Calcul los coficis l DFS la sñal : Por ispcció Problma 3.49 Dao los coficis l sarrollo DFS, grar la sñal Por ispcció 34

35 Problma 3.5 Calcul los coficis l FS la sñal : Por ispcció Problma 3.5 Dao los coficis l sarrollo FS, grar la sñal 35

36 Problma 3.5 Calcular la DF la sñal : Problma 3.5 co. 36

37 Problma 3.53 Calcular la la ivrsa a c Problma 3.54 Calcular la F la sñal : 37

38 Problma 3.55 Calcular la ivrsa F a b impo Coiua Discra Prióica, Sri Fourir prioo Sri Fourir impo Discr. prioo Discra o prióica, raformaa Fourir raf. Fourir impo Discr. i prioo Coiua, o prióica, Prióica, Frcucia 38

39 Problma 3.57a Calcular la sñal l omiio l impo a parir su rprsació l omiio la frcucia. Prioo fuamal l omiio l impo iscro o prióico FS prióico coiuo Problma 3.58b Calcular la sñal l omiio l impo a parir su rprsació l omiio la frcucia. iscro prióico DFS /5 iscro prióico 39

40 Problma 3.58c Calcular la sñal l omiio l impo a parir su rprsació l omiio la frcucia. coiuo o prióico D coiuo o prióico Problma 3.58 Uilic la abla rasformaas las propias para calcular la F 4

41 Problma 3.6 Uilic la abla rasformaas las propias para calcular la DF Problma 3.68b Drmi la rspusa frcucia la rspusa al impulso para l sisma fiio por la sigui cuació ifrcial : 4

42 Problma 3.68c Drmi la rspusa frcucia la rspusa al impulso para l sisma fiio por la sigui cuació ifrcial : Problma 3.73 Uiliar la scomposició fraccios simpls para calcular la rasformaa ivrsa Fourir : 4

43 Problma 3.74 Uiliar la scomposició fraccios simpls para calcular la rasformaa ivrsa Fourir impo iscro : 43