5 Primitiva de una función

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1 Primiiva d ua fució y Ejrcicios rsulos EJERCICIOS PROPUESTOS Uiliza la abla d drivadas para calcular sas igrals: r r a) d + C r + + ( r, r ) b) d l + C c) d + C d) ( a >, a ) a a d + C la ) cos d s + C f) sd cos + C g) d arcs + C h) d arcg + C + Calcula las siguis igrals idfiidas + d C C a) s + cos + + cos b) c) + + d + C + + C d d + C + C + 6 Uidad Primiiva d ua fució

2 Calcula, cada caso, la fució f() qu vrifica las codicios dadas a) f f ' cos + y f cos d + cos + d s + + C Para calcular C uilizamos, f ( ) s+ + C C f s+ b) f () + y f() f d d arcg + C + Calculamos C, f() arcg + C C f arcg + c) f ' cos y la gráfica d f cora a la biscriz dl II cuadra l puo d abscisa f ( cos ) d s + C Sabmos qu f f( ) s + C C f s 6 Pruba qu F s y cos G so primiivas d f s ( ) E qué cosa s difrcia? (Rcurda qu s α sαcos α) Basará comprobar qu las drivadas d F y d G coicid co f E fco, so s así ya qu: F s cos s y s G s Para corar la cosa qu las difrcias rsamos ambas prsios: cos cos s cos + s F G s + s + 7 Ejrcicio rsulo Primiiva d ua fució Uidad

3 8 Calcula las siguis igrals idfiidas a) d d d + C ( )( + ) b) ( ) d d + d + + C + d + d + + C 9 c) d) ) f) ( ) s l d cos(l ) + C s s arcg s ds ds ( ) + C + + s ( ) 6s d d d arcs ( ) + C Halla las primiivas d las siguis fucios a) f (s )(cos ) b) g g( + ) (s )(cos ) d ( s )( cos ) d cos + C a) b) ( ) s + g + d d l cos( + ) + C cos( + ) Calcula las drivadas d f g y g cos, simplifícalas al máimo y plica qué obsrvas f ' s cos cos s cos g y g' s Sus drivadas so iguals, lugo so dos primiivas d h Como f g + C, mirado su valor cos f g + C + C mos qu Ejrcicio iracivo Ejrcicio rsulo Uidad Primiiva d ua fució

4 Obé las siguis igrals idfiidas a) ( + ) cos d f g' + cos s cos s + cos d + s ( cos ) + ( s ) + C s + cos + C b) arcgd f g' arcg + arcgd arcg d arcg l + + C c) arcs d f g' arc s + + d d d + d + d + d ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + + l + + l C l + + l C l + ( + ) + C + d) s d f g' s( ) cos( ) s s d cos + s + C Primiiva d ua fució Uidad

5 7 ) ( + ) s d f g' 7 + s 6 7 cos 8 s cos s cos s cos s d + s + ( cos ) 7 ( s ) + cos s + 8 ( cos ) 6 7 ( s ) + cos s + C cos s + C f) cos d f g' cos s 9 cos cos s cos 9 ( cos ) d + + d (s + cos ) Dspjado, cos d + C Halla la primiiva d f ( + ) s qu cumpla F () F + + s d f g' + + s + cos s cos + + s d + + cos + s + cos + C + + cos + + s + cos + C C C Lugo F + + cos + + s + cos Uidad Primiiva d ua fució

6 Drmia las siguis igrals idfiidas a) ld f g' l b) (l ) d ld l d l + C l + C 9 f g' f g' (l ) l l c) ( l) d ( l) ld ( l) l + d + C ( l) l + + C l d f g' f g' (l ) l l 9 ( l ) d (l ) ld ( l ) (l ) d ( l ) (l ) C d) (l ) d f g' (l ) l l l l d l d l + C ( l) 8 l + C 9 Primiiva d ua fució Uidad

7 ) ( ) d f g' ( ) d ( ) + C + C f) d f g' 8 6 d C C 6 Calcula, uilizado la fórmula d la igració por pars, ua primiiva F() d la fució f l qu cumpla F () f l g' 9 9 F() ( ) + C C y F ( l ) l d l d + C l + C l + C 7 a 9 Ejrcicios rsulos 6 Uidad Primiiva d ua fució

8 Calcula las siguis igrals idfiidas primiivas prvia dscomposició fraccios simpls a) b) c) d) ) d l + + C + d d + d l + l + C ( )( ) d d d d + d l l + C ( ) d d d d d l l + + C + ( )( + ) + d d + d d l + 9l + l + + C f) ( ) d + + d + d d + d + d ( )( + ) l + l l + + C Drmia las siguis igrals idfiidas a) d d d d + + l + + l + C ( ) ( ) ( ) + 8 d 8d b) d + arcg + l + + C c) d d + d l + d + d ( ) l + l + + arcg + C + d d d + d l + d + + ( + )( + ) d l + l + + arcg + C 6 + d) ) f) + ( 6) d d + d + d + d d d + l l arcg l C d d d + d ( + )( + ) + + d d + d + d ( ) l + arcg + l( + ) + arcg + C Primiiva d ua fució Uidad 7

9 y Ejrcicios rsulos Calcula las siguis igrals idfiidas a) + d +, d d ( ) d d b) ( )( ) d d ( 6) d + d l + + C + d, d d d d ( ) ( ) + 6 l + C d d d + d + l + + C + l + + C c) d d, d d d l l l d d d + d d + d + + arcg ( ) + C l + + arcg + C d) s cos d s, d cos d s + s cos d d d d l + + C s l s + + C s Drmia las siguis igrals idfiidas a) d + 6 d ; d 6 d d 6 6 ( ) d d 6 + d + 6 d arcg + C arcg + C b) d oma, d d d d d d d d + d + d + d ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + + l + + l C l + + l C l + ( + ) + C + 6 Ejrcicio iracivo 8 Uidad Primiiva d ua fució

10 7 Trasforma sas igrals oras poliómicas o racioals a) b) s cos d cos, d s d s cos d ( cos ) cos ( s ) d ( ) d s d cos s, d cos d c) s s s d cos d cos d d cos cos ( s ) ( ) d cos d g, d + d d cos 8 Trasforma poliómicas o racioals sas igrals: scos a) d + s s cos s s, d cos d d cos d d + s + s + b) s cos d d g, d s cos d d c) g d d g, d g d d + + ( ) 9 Uiliza las propidads d las drivadas y pruba l rcíproco dl orma d Liouvill, s dcir: g g la drivada d f co f y g fucios racioals, s R co R fució racioal F f( ) F' f'( ) + f( g ) '( ) f' + f( g ) ' g g g g Si f() y g() so fucios racioals, ocs, R f' + f( g ) ' pus la drivada d ua fució racioal s racioal y produco y suma d racioals s racioal Primiiva d ua fució Uidad 9

11 a Uilizado la o lmalidad d d, pruba qu o so lmals las primiivas: a) l d b) l d c) Idicació: po l a y b y c a d Llamado a) l d b) l d Llamado qu o s lmal d d d d d, l l qu o s lmal, d d d d d l l ( ) c) a d Llamado, qu o s lmal a a d d d d a 6 Ejrcicios rsulos EJERCICIOS Primiivas igral idfiida Propidads 7 Asocia a cada fució f() ua primiiva F() f() 6s (+ )cos(+ ) cos( + ) 6( + ) cos(+ ) 6cos(6 + ) F() s( + ) s( + ) s[ ( + ) ] s ( + ) f() 6s ( )cos( ) F() + + s ( + ) cos( + ) 6( ) cos s( + ) s( + ) + + 6cos(6 ) + s[ ( + ) ] 8 Compruba qu F arcs y G arccos so ambas primiivas d la misma fució D qué fució s raa? E qué cosa difir? F' y G', lugo so ambas primiivas d f Como F G s cosa, para vr qué s difrcia basa calcular F() G() arcs + arccos Uidad Primiiva d ua fució

12 9 Ua primiiva d cira fució f() s F + Ecura ora primiiva d f() cuya gráfica pas por l puo A(, ) Las primiivas d f() so d la forma G + + C Hacido mos: + + C C 6 La primiiva buscada s G Drmia, razoado la rspusa, si las fucios primiivas d ua misma fució s + cos F s y s G cos s so Drivado ambas fucios obmos: ( ) + + cos s s (s cos )cos s cos F' s s s scos cos s ( s )( ss cos cos ) s cos cos (cos s ) + G' cos s s cos s + s s ( cos s) Como sus drivadas so iguals, ambas so primiivas d la misma fució Dicha fució s f s Compruba qu: a) 6 s cos s b) + + d + + C Comprobamos qu, fcivam, ( s ( ) C) 6 s( ) cos( ) d + C Comprobamos qu, fcivam, ( ) C + c) a + b a + b a + b + C a Comprobamos qu, fcivam, ( a + b) a + b ( a + b) / + C + C a + b a a Primiiva d ua fució Uidad

13 Primiivas imdiaas Calcula las siguis primiivas imdiaas idicado d qué ipo so a) b) c) d) d Tipo: d Tipo: d Tipo: r + r 8 d + C d + C r + 8 a a d + C d d d + C la l r + r d + C y r + d l + C d d + d d + d + + C 7 l s+ cos d Tipo: cos d s + C y s d cos + C s + cos d s d + cos d cos + s + C ) d Tipo: d arcs + C d d d arcs + C f f f) d Tipo: f d + C d + C g) h) + d Tipo: + d Tipo: 6 ( ) + d arcg + C d d + d + arcg + C f ( f) arcs( d d ) + C 6 d arcs f + C Halla ua primiiva d + y + 6 d d + d + + C Lugo ua primiiva sría: f + 6 Drmia f() sabido qu: f ; f() ; f () ; f () ocs f + C, como f + ocs f + + C, como f f + + ocs Por ao, f + + f, s dduc qu C f, s dduc qu C f C, como f (), s dduc qu C Uidad Primiiva d ua fució

14 Calcula l( + ) d Comzamos llamado, d d l( + ) d ld + Esa igral s raliza por pars omado f l y f g' l g ld l d ( l ) + C + d C Así pus, l( ) ( )( l( ) ) 6 Halla la cuació d ua curva y f( ), sabido qu pasa por l puo (, ) y qu la pdi d la rca ag l puo d abscisa s + Sabmos f +, lugo f + + C y como La curva i cuació y f + f ocs C 7 D ua fució y f, >, s sab qu i por drivada Drmia la fució si, admás, s cumpl qu f y f a y dod a s ua cosa + a f d al( + ) + C + Susiuydo: f a l+ C C l + f a a l l( + ) La fució s f + log ( + ) + l 8 Halla ua fució F() qu vrifiqu qu F + + para + + ' F F F d C Como os pid ua fució, omado C mos F + + Primiiva d ua fució Uidad

15 9 D la fució f : (, + ) s sab qu f ( + ) y qu f a) Drmia f b) Halla la primiiva d f cuya gráfica pasa por l puo (, ) a) como f ocs ( + ) + f ( ) d + C f + C C + Lugo f + + b) F + d l C + l + + C C F l Calcula sas igrals g d g + C a) cos 9 b) + d ( + ) + C c) ( ) l l d + C + d) l d + C + ) d l + + C + f) 7 6 s s cos d + C 7 D odas las primiivas d la fució f g sc, halla la qu pasa por l puo P, g sc cos F d + C Como P,, ocs F + C C cos cos Lugo, F Uidad Primiiva d ua fució

16 Calcula la primiiva d la fució f qu s aula l puo d abscisa ( ) F d + C Como, mos qu ( ) + C + C C Lugo, ( ) F Calcula las igrals: a) ( ) d b) + ( ) d a) ( ) d d d + d ( + ) + C + + d + C b) ( ) Halla la fució F() al qu F(), y qu sa primiiva d la fució f + F d l( + ) + C + Como F(), ocs l + C C l Lugo, F l( + ) + l Calcula la igral + + ( + ) ( + ) d + + ( + ) ( + ) d + ( + ) d+ ( + ) ( + ) d ( + ) ( ) C Primiiva d ua fució Uidad

17 Igració por pars 6 Calcula: a) l( + ) d f g' l( + ) l ( + ) d ( + ) l( + ) d ( + ) l( + ) + C + b) arcg( + ) d arcg arcg arcg + d + d + d + d + ( + ) + + arcg( + ) l( + + ) + + C l c) d l l l+ d + d + C d) l d l d l d l + C ) (l ) d f g' (l ) (l ) (l ) d (l ) l d (l ) l + C f) + l d l l l l ( + )( ) d d + d + d d l d l d d l d + d l + l + l + ( + )( )l + + C 6 Uidad Primiiva d ua fució

18 7 Drmia la igral idfiida s d f g' s cos s cos 8 s cos s cos d C 8 Calcula co la abla auiliar d igrals sucsivas: a) 6 cos d f g' 6 cos 6 s cos s 6 cos 7 s 7 cos s 6 6 cos d 6cos ( + ) + s ( + 6 7) + C Primiiva d ua fució Uidad 7

19 7 7 b) d f g' d C a c) cosb d f cosb b s b g' a a b cosb a a a ( cos + s ) a a b b b a a a a cos b d cos b ( b s b) + ( b cos b) + C a a a a + b ( cos + s ) a b a b b b a a a a + cos b d cos b ( b s b) cos b d C + a a a a + b d) ( + + ) d f g' ( ) + + d + + C 8 Uidad Primiiva d ua fució

20 9 Drmia las fucios f : qu saisfac la codició d qu la pdi d la rca ag u puo gérico (, y ) d su gráfica vi dada por la prsió f d d ( ) + C 6 Sa f : (, ) dfiida por f l( ) Calcula la primiiva d f cuya gráfica pasa por l puo (, ) ( ) F l d l( ) d l( ) d + d ( )( + ) l( ) + d + d l( ) l + C ( + ) + Como pasa por (,) s i qu l+ C C y la fució s F l( ) l + + a 6 Calcula la sigui igral idfiida ( + + ) b c d fució d los parámros a, b y c a a a a a a + b + c d + b + c + b d + b + c + b + d a a a a a + b + c + b + + C a a a 6 Hallar la primiiva d f l cuya gráfica pasa por l puo A(, ) f g' l + ( ) l d l d l C l C 9 F() ( ) + C C Lugo ua primiiva sría F ( l ) 6 Uiliza la igració por pars para calcular la fució f() qu cumpl f () y f cos f cos d cos + s d cos + s cos d cos + s Dspjado mos f cos d + C f() + C C Lugo, f (cos + s + ) Primiiva d ua fució Uidad 9

21 Igració d fucios racioals A B 6 Ecura dos úmros rals A y B als qu: + + y calcula d A B + A ( ) + B ( + ) + E paricular, si hacmos obmos Y si hacmos, Lugo, A 9 A B B 9 d d 9 d l + l + C + 6 S cosidra las fucios rals f y g Calcula la fució f H d qu cumpl qu H() g f l 6 7 H d d + d + d C g Como H() + + l + C C La fució s H ( ) + + l Rsulv las siguis igrals qu da lugar a fucios ipo arco ag Para llo, primro dbs a rasformar las fraccios oras d la forma:, cuya igral s imdiaa + ( a + b) a d arcg( a + b) + C + + ( a b) a) + b) c) d) ) f) d arcg + C + d d arcg + C + d d arcg + C 9+ + d d arcg + C + ( ) + d d arcg( ) + C d d d arcg + C + + ( + ) Uidad Primiiva d ua fució

22 67 Calcula d d d d d d d + + ( )( + ) + l + l + + C 68 Halla la igral racioal d + d d d + d l + l + + C + ( )( + ) + 69 Calcula la igral idfiida d + d d d + d + d l + l + + C + ( + ) + 7 Drmia sas igrals corrspodis a los difrs casos d fucios racioals a) d 7 Esa igral s imdiaa d l 7 + C 7 b) + d Caso C Poliomio d º grado si raícs rals d d + C + + arcg c) d Caso A Raícs rals disias 6 6 d d d + d l + + l + C ( + )( ) d d) Caso D Raícs compljas d muliplicidad d d d + d d d + + ( + )( + ) arcg arcg + C Primiiva d ua fució Uidad

23 + d + ) Caso B Solo i raícs rals, alguas d llas iguals + + d d d + d + d l + l + C + ( + )( ) + ( ) f) d Caso C Poliomio d º grado si raícs rals + d d d l d ( + ) + + l d l arcg + C + + d g) + Caso D Raícs compljas d muliplicidad + + d 8 d + 8 d d + d + d + d ( ) ( + ) + l( + ) + arcg ( ) + l( + + ) + arcg ( + ) + C h) d + Caso A Raícs rals disias + + d d d + d l l + C + ( )( ) Igració por cambio d variabls 7 Calcula las siguis primiivas ralizado l cambio d variabl qu s idica a) d, + d d b) + + d d arcg + C arcg( ) + C d, + d d d d d d l C l C + + ( ) Uidad Primiiva d ua fució

24 7 Calcula la primiiva s(l ) d Hacmos l cambio d variabl d d ( s(l ) cos(l ) ) s l d sd s cosd s cos sd s(l ) cos(l ) s(l ) d s(l ) d + C 7 Sa la igral s( ) d : a) Rsuélvla mdia l cambio b) Calcula la cosa d igració para drmiar la primiiva qu pasa por l orig d coordadas a) d d s d sd cos cosd cos + s + C cos( ) + s( ) + C b) cos( ) + s( ) + C C cos s 7 Calcula las siguis primiivas a) d + d d ( + ) d d d d l + + C l + + C b) c) d) ) f) d + d d d d d arcg + C arcg( ) + C d d 6 d d d d d d l + + C C l d + + d d (( + ) ) ( ) + ( ) d d d d + C + C d ld d d d arcs + C arcs + C l l l arcs d arcs d d arcs d s d cos + cos d cos + s + C arcs + + C Primiiva d ua fució Uidad

25 7 Uiliza l cambio d variabl + para calcular la igral idfiida d + + d d d d d d d ( ) d + C ( + ) + + C Usado l cambio d variabl, calcula las siguis igrals idfiidas a) d ( )( + ) d d d d d d d d + + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( + ) ( + ) l l C l l C + + ( ) b) d d d d d d + d + l + C + l + C c) d Llamado d d : d d d d l l + l l + + C l + C + + d 77 Calcula ( l( + ) + ) ( l( + ) + ) l( + ) + d d d Para rsolvr la primra igral hacmos l cambio + d d y dspués la hacmos por pars La sguda la hacmos por pars dircam: l( + ) d + d ld + d l d l + C Dshacido l cambio d variabl obmos: ( l( ) + + ) d ( + )( l( + ) ) ( + ) + C 78 Usado l cambio d variabl, calcula + d d d + d d d + C + C Uidad Primiiva d ua fució

26 79 Calcula sc d (l cambio s llva a ua fució racioal) s cos d d cos d d d d + d + d + d cos sc ( ) + ( + ) ( ) l + l + C l s + l s + C + s + s d 8 Calcula (raliza l cambio ) d d d d d d d l + C l + C Igració d fucios rigooméricas 8 Dada la fució f cos cos : a) Halla su igral idfiida b) Cuál s la primiiva d f() qu pasa por,? a) Hacmos l cambio s cos d d ( cos cos ) cos ( cos ) s d d d + C b) s + C C La primiiva buscada s s F 8 Calcula sas dos igrals a) s d b) cos d a) Hacido l cambio cos s d d : d d d d + C + C s s s ( cos ) s cos cos b) Hacido l cambio s cos d d : cos d cos cos d ( s ) cos d ( ) d + C s s + C Primiiva d ua fució Uidad

27 8 Calcula las siguis igrals a) ( s cos ) d s d cos d Para calcular s d lo hacmos por pars: s d s cos + cos d s cos + ( s ) d s cos + s d s cos Dspjado, obmos s d + C Y por ao: ( s cos ) d s d cos d s cos s + C b) c) cos s d Hacmos l cambio s cos d d : 6 cos s cos s cos s s cos ( ) d d d d + d C s s s C cos d s Hacmos l cambio s cos d d : cos ( s ) cos s s s cos d) d s d d d d d + C s + C Hacmos l cambio d g cos ; s ; d ( ) + cos d l d d d + d + C s 8 8 co g g l g C 8 8 : 8 Halla sas igrals hacido l cambio g d Como + g d d d + y cos y + s + a) g + d d d arcg C arcg + C + cos d d b) d d + s d + g + arcg + C arcg + C Uidad Primiiva d ua fució

28 8 Busca u libro d º las fórmulas d las sumas y rsas d sos y cosos y mpléalas para calcular sas igrals: a) cos( ) s( ) d a b a+ b Usamos s cos sa sb a ( ) + ( ) 8 b ( ) ( ) cos(8 ) cos( ) cos s d s(8 ) d s d + + C 6 b) cos( + 6) cos( ) d Usamos cos a b cos a+ b a 6+ cosa + cosb b 8 s(6 + ) s( 8) cos + 6 cos d cos(6 + ) d + cos( 8) d + + C c) s( + ) s( + ) d Usamos s a b s a+ b a + 6 cos b cosa b + s( + ) s(+ 6) s + s + d cos( + ) d cos( + 6) d + C d) s( +)cos( + ) d Usamos s a b a+ b cos sa sb a + 6 b + cos( + 6) cos( + ) s + cos + d s( + 6) d s( + ) d + + C Igrals o lmals 86 Parido d qu lo so a) a d, a d b) l, o s lmal, dmusra qu las siguis igrals ampoco d c) l(l ) d a) Hacmos l cambio d d b) Hacmos l cambio d d d d l d d d c) Hacmos l cambio d d l(l ) d l d Ahora, igrado por pars, mos l(l ) d l d l d Primiiva d ua fució Uidad 7

29 87 Uilizado la abla d igració por pars dmusra qu Si omamos f y g () : d, o s lmal f g' Si omamos f y g : f g' l (l ) S obsrva qu ao d ua forma como d la ora s llga a sumas d ifiios sumados y, por ao, la igral s o lmal Acividads d sísis 88 Rsulv las siguis igrals por l méodo qu cras más covi a) + + d d + d d + d + + l + C b) s d Como s s s, s po cos y s d d, qudádoos: s d ( cos ) s d ( ) d + cos cos + cos + C c) ( ) d 7 7 Poido y d d, s i: ( ) d + C + C 7 7 d d d d) d + l + l + C ( ) ) + d Hacido + y d d, s i: 7 ( ) d + + C ( 8) C Uidad Primiiva d ua fució

30 d + d l + C f) g) g( a)s c ( a) d Hacido g( a) y a sc ( a) d d, s llga a h) l g d ( a ) + C a a a l( a+ ) l( a+ ) a + a d d a d d + a + a l( a+ ) a ( a) l( + a) + C l( + a) ( a ) ( a) + C d d d i) d d + ( )( 9) ( )( )( + ) + l + l l + + C j) s d f g' s( ) cos( ) s( ) s d cos + s + C 89 Rsulv sas igrals por l méodo más adcuado a) a+ a a+ a+ + + a a l d l d l l + C a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ l a Si a, l d d ( l ) + C b) cos( ) d cos( ) + s( ) cos( ) d cos( ) d cos( ) + s( ) + C 6 c) d Hacido y d d, s i: d ( + ) d + ( ) + ( ) + C l d) d S domia f l y g l + d l d l + C Primiiva d ua fució Uidad 9

31 ) d A + B C D ( A + B)( ) + C( + )( ) + D( + )( + ) + + ( + )( + )( ) + + D la igualdad ( A+ B)( ) + C( + )( ) + D( + )( + ), hacido: D D C C B C+ D B 6A+ B+ C+ D A Lugo la igral pdida s: d arcg l + + l + C f) l + d Como l + l( + ) l + d l( + ) d La igral s pud rsolvr hacido + y d d y s rasforma l d ( l ) ( l ) + d + + C Así qu la igral pdida s l ( + )( l ) g) ( + ) a b d Si, d + + l a b C a + b a Si, hacido a + b y ad d, s i qu: + ( + ) + ( a b) d d a b + C a a ( + ) h) d g( ) + C cos ( ) i) d + Hacido 6 y d 6 d, s i qu rsolvr 6 d Como ( + )( + + ) + ( ) la igral pdida s: 6 6 ( + + ) d + 6 d arcg l( + ) + C 7 s j) + d + s cos d co s C g k) d Como ( + ) Así pus d + C Uidad Primiiva d ua fució

32 l) m) d + A B A ( ) + B ( + ) ( + )( ) + ( + )( ) Como A ( ) + B ( + ) A, B por lo qu d l + l C + d d d l( 9) d l( + 9) arcg + C ) 9 d Hacido 9 y d d : 9 d d ( 9) + C s o) ( ) cos d Hacido s s y cosd d, s i qu: + C 9 9 s s ( ) cos d d ( ) p) cos cos d a b a+ b a Usamos cos cos cosa + cos b b q) r) cos cos d cos d + cos d s + s + C + d l d y sa úlima igral s rsulv como: ( + ) d d + + d l( ) + + d y, fialm, ( + ) + + d d d arcg + ( + ) Así pus, + d ( + ) ( + ) + d l + l( + + ) + arcg + C A B C D A ( + )( + ) + B ( + ) + C ( + ) ( + ) + D ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + A ( + )( + ) + B ( + ) + C ( + ) ( + ) + D ( + ) Si B Si D Si A + B + C + D Si s 8A + 9B + C + D Por ao, B, D, A + C 8; 8A + C, por lo qu A 9, C 9 y la igral pdida s: + ( + ) ( + ) d 9 l l C Primiiva d ua fució Uidad

33 s) ( + ) d ( + ) + + +, así qu ( + ) d C 7 ) l( + ) d + Poido + y d d, s i qu: + l( + ) d l d (l ) u) d ( l + ) + C + Oprado: + + Así pus d d C l v) w) + d Como, s i qu: d l( + + ) d l( ) arcg C + + d d d Llamado ; d d y s ; ds d s d + ds l ( + ) + l( s + ) + C l( + ) + l( + ) + C + + s ) y) z) + + d d + d ( + ) C d 6 Llamado d d : d d d d + l + l + + C l + l + + C d d d + l + + C Uidad Primiiva d ua fució

34 9 Sa la fució dfiida f : puo A(, ) u v por f ( ) Drmia la primiiva d f cuya gráfica pasa por l F d C C Como F( ) ( + ) + C C la fució buscada s ( + ) F 9 A parir d los daos, halla cada caso la fució f() a) f ( ) (, ) f() f ( ) ( ) d ( + )( ) d ( ) d C Como f() C, la fució buscada s f b) f ( ) ( ), f 9 f ( ) ( ) d ( ) d C 9 Como f() C C, la fució buscada s: 9 f Dada la fució l( + ) f + +, halla f d l( + ) l( + ) + d d + d l + l ( + ) + C Halla la igral idfiida + 7 d ( + )( ) d ( + )( ) ( )( ) ( ) d Dbmos igrar ua fució ració racioal por lo qu la scribimos como: A B C ( )( ) Rsolvido A+ B+ C A B C 6A+ B+ C 7 obmos A, B, C 8 y podmos scribir la igral como: d d + d + d l l + 8l + C ( ) ( ) ( ) ( + )( ) Primiiva d ua fució Uidad

35 9 Calcula las siguis igrals a) d c) ( ) d b) 6 8d d) + d (Pisa: d s calcula co l cambio s ) a) d d Hacido y d d, s i qu d d Poido ahora su y d cos udu s i: u s u cos u du ( arcs ) ( arcs ) C b) 6 8d Como 6 8 ( ), s i qu 6 8 d ( ) d Hacido y d d s i: d ( arcs + ) ( arcs ( ) + ( ) ( ) ) + C c) ( ) d Hacido y d d, s i qu: ( ) d d ( arcs + ) ( arcs ( ) + ( ) ( ) ) + C d) + d Como + ( ), s i qu + d ( ) d Hacido y d d, s i: d d ( arcs + ) arcs + + C Uidad Primiiva d ua fució

36 9 Escrib como igral d u coci d poliomios d y rsuélvla (haz l cambio s ) Poido s y d cos cos d, la igral dada s rasforma s d s Hacido sa úlima igral cos u y s d du, s i qu u A B C D A( + u)( u) + B( u) + C( u)( + u) + D( + u) ( u ) + u ( + u) u ( u) ( + u) ( u) u du, coci d poliomios ( u ) E la igualdad u A ( + u)( u) + B ( u) + C ( u)( + u) + D ( + u ), hacido: u D D u B B u A+ B+ C+ D A C u A+ B 9C+ 9D La igral srá: + u du l + u + l u + u l u ( u ) + u u u u Dshacido l cambio, s i: u cos u s + + u + cos + ( + ) u cos u u + u d du l ( u ) u u l + + C Lugo 96 a) Cuádo ua fució F() s ua primiiva d ora fució f()? b) Co l cambio d variabl, halla la primiiva d la fució f cuya gráfica pasa por l puo (, ) a) Cuado F () f() b) Llamado + y d d F d ( + ) d ( + ) d + + C ( ) + ( ) + C F Como F() ( ) + ( ) + C C y la fució s ( ) + ( ) Primiiva d ua fució Uidad

37 CUESTIONES 97 Obsrvado qu si F fg ocs F f ( g ) + f( g ) ( ), cura f() y g() los casos siguis y dcid quié s F(): F + a) y y f g F F cos s b) cos f yg yf cos F s + lcos c) f l yg s yf l s F + d) s cos s f yg yf s F + ) s cos cos s cos f yg yf cos F + l l f) + f l y g y F l 98 U sudia o maja l méodo d igració por pars y i qu calcular d Como l ha plicado qu odas las primiivas d f so d la forma F A + B co A y B úmros rals, s ha basado llo para rsolvr l problma Cómo lo hizo? Como F () db sr igual a, drivó F() y obuvo: F () A + A + B para odo Si obmos A+ B y si obmos A + B por lo qu A y B y la primiiva buscada s F 99 Qué curva pasa por (, 8) y cada puo (, y) d su gráfica la pdi d la ag s y? f La pdi d la ag l puo (, f()) s f () por lo qu () f f f Así pus f d f d + Lugo + C l f C f D Como f() D 8 D 8 La fució buscada s f 8 6 Uidad Primiiva d ua fució

38 Jusifica qu si d d + b + c ( + p) + q, ocs + p d arcg + C + b + c q q q d d d q q + + q q Como + p + q + p + p Llamado + p d d q q s i qu: q d + p d d arcg + C arcg C p q q q q q q Jusifica qu l d l l d y calcula l d l Llamado f l y g s i qu f Igrado por pars y g l l d l d l l d l d l l d l l l d l l + 6 l d l l + 6l 6+ C Sa f ua fució drivabl Al calcular f cos d s obi: cos s f d f sd Si f(), calcula f() Hmos igrado por pars llamado f() f() y g () cos Como g() g s la igral qudaría: fcos d fs f sd Así pus, f ( )s d s d y, por ao f por lo qu f + C Como qurmos qu f() + C + C C y la fució buscada s f + Primiiva d ua fució Uidad 7

39 Al calcular d, u sudia obsrva qu y como s la drivada d + +, s + dic qu d arcg + C Pro + d o ra arcg + C? Hay algú rror l + razoamio dl sudia? No, o hay igú rror l razoamio, lo qu ocurr s qu sas dos fucios solo difir la cosa y, por ao, ambas so primiivas d la fució f + PROBLEMAS s + cos La igral d s ua igral racioal s y cos por lo qu l cambio g la + s rsolvría Pro l cálculo s mucho más cómodo si s busca ua fució g() al qu g s + cos y s hac g y g d d Hazlo así Si g s+ cos, ocs g cos + s, por lo qu g s + Así pus la igral s cos d, s pud scribir como + s rasforma d Dscompoido fraccios simpls: g d g qu, co g y g d d, s A B A( ) + B( + ) + + A A s i qu A ( ) + B ( + ) y hacido B B y Lugo d + l + l l Así pus s + cos + s cos d l + C + s + cos s Halla d co u cambio d variabl ( + ) Si y d d, s i qu: d d d d arcg arcg + C + ( + ) Uidad Primiiva d ua fució

40 6 Calcula ua primiiva d la fució f d modo qu ( + ) l F() lim d d F d d l l C + Como l( + ) + F() lim lim lim, qurmos qu: + F() l + l + + C l + C C l Lugo F l l + l 7 Si para calcular f s d, dod f s ua cira fució drivabl, s aplica igració por pars, s obi: Sabido qu f(), cura la prsió d f f s d f cos + cos d s i qu Si f ( ) s d fcos + cos d Como f() + C C, lugo f + f, por lo qu f + C 8 E u am s ha pdido a los sudias qu rsulva la igral s cos d I Gma la rsolvió co l cambio d variabl u s II Frado uilizó l cambio d variabl u cos III Ivá lo hizo usado la fórmula s cos s Auqu los rs alumos diro rspusas disias, si mbargo, l profsor ls dijo qu los rs la había hcho bi Ecura las rs rspusas dadas y plica por qué odas ra corrcas si sr iguals Gma: u s du cos d s cos d u du u + C s + C Frado: u cos du s d s cos d u du u + C cos + C Ivá: s cos s s cos d s d cos + C Las rs rspusas so corrcas, pus difir solo ua cosa E fco, s cos +, cos cos + Primiiva d ua fució Uidad 9

41 9 U puo s muv lía rca co ua vlocidad dada por la fórmula v ( m/ s) Calcula l spacio rcorrido, (), cada isa, sabido qu () m Cuál s la vlocidad mdia r s y s? (Rcurda qu la vlocidad s la drivada dl spacio rspco dl impo) S sab qu () v() d ( ) d 6 + C Como () C ocs 6 + () () La vlocidad mdia s v m(, ) 7 m/s S rasplaa u árbol y s obsrva qu su asa d crcimio a los años s d ( ) + año Si a los años mdía m, cuáo mdía al sr rasplaado? mros por La asa d crcimio s la drivada d la fució qu mid la alura, lugo Como C() + + C C 6 6 C ( ) d C ( + ) Lugo C + C() Por ao, al sr rasplaado mdía m Calcula d ( ) a) Por fraccios simpls b) Mdia l cambio a) + + ( ) ( ) y dscompoido la fracció s i qu + ( ) ( ) Lugo d ( ) d d d + l + C ( ) ( ) b) Si s hac l cambio y d d s i: ( ) ( + ) d d d + + l ( ) + ( ) + l + C Obsrva qu ( ) + ( ) C Uidad Primiiva d ua fució

42 Ecura cada caso la fució y f() al qu: a) f f( ) y cora al j Y l puo d ordada b) f f + f y f () c) Su gráfica pasa por (, ) y f f + f ( ) f f, ocs ( l f ) Así pus, ( l ) a) Como f f d f d y por ao + l C f S i ocs qu + C f C y como s sab qu f s i qu C Lugo la fució buscada s f b) f f + f f ( + ) Así pus, ( + ) y por ao f f ( f ) ( ) l ( ) d f d + + C f ( + ) Lugo pud sr f ± l( + ) + C y como f(), ocs db sr f l( + ) + f f f ( ) + f + ( ), lugo ( ) ( ) arcg f f + c) Así pus, ( ) arcg d f d y por ao Como f() C Lugo la fució buscada s + C arcg ( f ) f g + C f g Halla l poliomio d grado dos P() al qu P (), P () y S pid corar l poliomio P a +, y al qu Si s dscompo l igrado fraccios simpls, s obi: P d sa ua fució racioal ( ) a + d sa ua fució racioal ( ) a + A B C D E a y para qu ( ) ( ) d sa ua fució racioal, dbría ocurrir qu ( ) A y D por lo qu la dscomposició omaría la forma: a + B C E B( ) + C( ) + E + + ( ) ( ) ( ) Así pus a + ( B + E) + ( B + C) + ( B C ) + C, co lo qu, idificado coficis, s i qu: C, B C, B + C a y B + E, s dcir, C, B, a, E Por ao, l poliomio pdido s P + La aclració d u móvil co raycoria rcilía vi dada por la gráfica sigui: Si s sab qu para, su posició ra () y su vlocidad iicial ambié ra v (), drmia las cuacios qu da la aclració, la vlocidad y la posició d dicho móvil para cualquir isa d impo Rcurda qu la aclració s la drivada d la vlocidad rspco dl impo A la visa d la gráfica, s dduc la cuació d la aclració s a () D s modo: v() a() d d + C Como v() C v() () v() d d + C Como () C () Primiiva d ua fució Uidad

43 PARA PROFUNDIZAR Dmusra las siguis fórmulas d rducció s d s cos + s d a) co par mayor qu s d s s d, qu llamado f s y g s, rsula sr: d s s cos s d cos s cos s ( s ) + d + d s cos + ( ) (s s ) Así pus, s d s cos ( ) s d + ( ) s d, s dcir: + + s d s cos ( ) s d s d s cos cos d cos s + cos d co par mayor qu b) D forma aáloga rsularía la fórmula pdida, pro podría sr más cómodo si s scrib: s d cos d s d y, llamado y d d, qudaría s d Lugo volvido al aparado a: + s cos s cos d s cos d Obsérvs qu sas fórmulas so válidas auqu o fura par La obsrvació d par i sido pus si fura impar sría mucho más cómodo hacr la igral dircam si acudir a igua fórmula d rducció ( + ) ( + ) ( + ) c) d + d S i qu ( ), por lo qu (+ ) d d d (+ ) (+ ) Para rsolvr d, sa f(), g () (+ ) (+ ) g() ( + ) D s modo: d (+ ) d ( + ) ( + + ) ( ) ( ) (+ ) d d + d ( ) ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) d ( + ) ( + ) ( + ) d d Uidad Primiiva d ua fució

44 6 Uilizado las fórmulas dducidas los aparados a) y b) dl jrcicio arior, obé: cos d cos s + cos d a) Fialm, como cos ( + cos ) susiuydo la úlima igral, s i qu: d + C 8 + s cos cos s + s d s 6 s cos + d 6 b) 6 Ahora s d s cos + s d Fialm, como s ( cos ), susiuydo la úlima igral, s i qu: 6 s s d s cos + s cos s s cos s cos + + C Obé d d dos formas difrs: a) Por pars, uilizado l méodo d la abla b) Uilizado qu d ( a + a + + a ) I( ) y obido los coficis a i por drivació a) f g 6 d 6 + C ( ) + C b) d ( a + a+ a + a + a + a) Drivado: ( a+ a+ a + a + a ) ( a + a+ a + a + a + a) d a a a a a a a a a ( ( ) ( ) ( ) ( ) a a ) Así pus, idificado coficis, s i qu: a, a, a, a 6, a, a d ( ) + C Primiiva d ua fució Uidad

45 8 Eprsa como igrals d cocis d poliomios las siguis igrals a) + d + b) + d a) Si y d d, s i d d d b) b) Si 6, s dcir, 6 ( ) 6 ( ocs: d 6 ( ) ( 6 ) ) 6 d d 6 ( ) 6 6 y, d s modo, s i c) Por ao, d 6 d, qu s ua igral coci d poliomios 6 6 ( ) 6 9 Dmusra qu las siguis igrals s pud rducir a igrals d cocis d poliomios a) d b) ( ) d c) ( ) d a) Si y d d, s i d d ( ) b) Hacido y d d, s i ( ) d ( ) d c) d d pus Así d d y hacido, s dcir, ( + ) + d d, s rasformaría ( + ) d, qu s u coci d poliomios ( + ) ( + ) y p Sa p y q úmros racioals Dmusra qu ( ) coci d poliomios si s cumpl algua d sas codicios: I p s ro II q s ro III p y q so o ros pro p+ q sí q d s pud por como igral d u p q E l jrcicio arior, s ha viso qu ( ) d co p y q racioals s podría por como coci d poliomios, al mos sos rs casos: p, q, p + q + E gral, procdido acam igual qu as, si coci d poliomios: E a, si q m, s oma p, q o p+ q, la igral dada s covir E c, si p m, s oma b s scrib p ( ) q como p+q m, y si q, s oma q Uidad Primiiva d ua fució

46 p q El mamáico ruso Tchbychff (8 89) probó qu las igrals ( ) d solo so lmals los rs casos ciados l jrcicio arior Uiliza s rsulado para dmosrar sas afirmacios: a) d o s lmal m b) ( ) c) d co y m ros posiivos s lmal si y solo si m o o m s d o s lmal p q d) s cos d sido p y q úmros racioals, solo s lmal cuado alguo d los dos s u ro impar o cuado p+ q s u ro par ) + d co ro posiivo, s lmal solo si, o Calcula la igral los rs casos f) sq d co q racioal s lmal solo si q s ro a) Basaría vr qu d o rspod a iguo d los casos ariors E fco, hacido y d d, s i d qu p, q y p+ q + 6 d, s dcir, ( ) d la b) Hacido y d d, s i ( ) ( ) md m d Así pus, si m o, s sá uo d los dos casos: a o b Si m, + y s sá l caso c m Si m, i i m c) Hacido s y so ros y su suma m + ampoco, si m y o so ambos igual a cos d d, la igral dada s rasforma : d d y i p i q so ros (p, q ), i p+ q p q p q d) Escribido s cos d s cos cos d y hacido s y cosd d q q Como cos s s i ( ) ( ) p q d p q d Si p o q s u ro impar, p Si p+ q s u ro par, rsula qu o q p s ro + q p + q sría ro Pro si i p i q s u ro impar, p i q s ro y si p + q o s u ro par p+ q Primiiva d ua fució Uidad

47 ) Hacido y q o s ro Si o, d d d d, s i ( + ) ( + ) s ro Si, s ro Si, o, y qu s ro solam si Si, s + d ( + ) d ( ) d + + C y hacido + y d d, s rasforma : Si, s + d y hacido + y d d, s rasforma : d + + C Si, s + d y hacido y d d, s rasforma : + d Poido ahora y dy cosudu gu y d du cos u cosu, rsula du du dy cos u s u y co y su Fialm como, y A + y + B y obi A B por lo qu + y + l l s u dy y y su A( y ) + B(+ y ), d la igualdad A ( y) + B ( + y ), s y Si gu s i qu + cos u, cos u, s u su su su su, por lo qu l l( + + ) + d l C Así pus, f) sq d Poido Hacido cos q q q s d s s d (s ) s d y s d d, s i q s q d ( ) d p Así pus, como ( ) q d s lmal solo cuado p, q o p+ q so ros, s i qu sa igral q q q q sría lmal solo si o sa ro, s dcir, o, s dcir q Noa: Obsérvs qu, cualquir caso, sa igral s rduc al aparado d, s q cos p d co p y allí s vio qu ra lmal cuado alguo ra ro impar, s caso q, o cuado la suma ra ro par, s caso q, s dcir, sq d s lmal solo si q 6 Uidad Primiiva d ua fució

48 AUTOEVALUACIÓN Compruba qué has aprdido Calcular las primiivas d f podría o sr muy cómodo si lo ias hacr dircam, pro si racioalizas prviam rsulará muy fácil Hazlo así Racioalizado s i ( + ) f + d ( ) + ( ) + d d d d C ( + ( ) ) + C Si f : (, + ) s la fució f ( l), cura la primiiva d f cuya gráfica pasa por l puo A (, ) Calculamos f d l d Llamado u l y v, s i qu l d l d l Así qu ( l ) d l l l C + Como la curva pdida pasa por (, ) rsula qu g( ) l + + C C y la primiiva buscada s Drmia f() sabido qu f s y qu f Para calcular s d, s cosruy la abla: f g' s cos s s d cos + s s d, por lo qu f s d ( cos + s ) + C Como f + C C Lugo f ( cos + s ) + s d ( cos + s ) d dod Primiiva d ua fució Uidad 7

49 Obé + + d Poido + y d d d, s i qu d d l ( + ) d C Dshacido l cambio, os llva a l( ) Calcula ( l l ) d l l l l l( ) Escribido la abla, s i qu: f l g' l ( ) d l + + d l C 9 6 Drmia la fució f : (, + ) qu vrifica qu f () l y cuya drivada sa la fució f Efcuado la divisió dada, mos qu + f así qu + f d ( ) Por l orma d dscomposició fraccios simpls, A( ) + B( ) + C + y hacido: + A B C + + ( ) así qu B C A B+ C A + d d + d + d l + + l ( + ) Lugo f + l l + C + l + C Como f () l, mos qu l + l + C C y f + l 7 Calcula odas las primiivas d s f cos s -cos s d cos d cos ( ) d d d Poido cos y s d d, s i qu: s Dshacido l cambio os llva a d cos cos + C cos 8 Uidad Primiiva d ua fució

50 8 Obsrva sas dos igrals: a) d l + C b) + + d l( ) C + Por qué la primra igral s prciso omar l valor absoluo y la sguda o? Porqu pud omar valors gaivos (por jmplo si ) miras qu + s simpr posiivo 9 Calcula d Escribido la abla: f g' 8 d + + C Rlacioa y cosa Elig la úica rspusa corrca cada caso Si F() s la primiiva d f 9 qu pasa por l orig, ocs: A B F arcs F 6 C F arcs D F () arcs F d + d d arcs C 9 9 Como pasa por l orig, F() C F () arcs La rspusa corrca s la D Primiiva d ua fució Uidad 9

51 Sa f ua fució drivabl, dfiida [, + ) qu cumpl la codició f( f ), sido f (8) Eocs: A + f f B f () C f lim D f Igrado por ambas pars Como f(8) C y f La rspusa corrca s la B f C f f d d s i qu + Sñala, cada caso, las rspusas corrcas Sa f ( + ) + I l irvalo (, + ) : A Para odo I, f + + B La fució F l + + l s primiiva d f I C Eis ua primiiva F d f I al qu F () D Eis ua primiiva F d f I al qu F () ( + ) + d + d ( ) + Aplicado l orma d dscomposició fraccios simpls: A + + B + A B + ( ) + ( ) + + igualado s i: + A + + B( ) y hacido: A A B B ( + ) F d l + l + + C + La rspusa corrca s la B Uidad Primiiva d ua fució

52 Sa f la fució dfiida por la fórmula f + y F la primiiva d f al qu F () : A F () B Si G :, co G F(g ), ocs GG ( ) C Sa H : (, + ) co H F + F + + Eocs H () D Para odo posiivo, H () F d arcg + C Como F() F() arcg + Si F () ocs F() arcg G arcg(g ) GG G ( ) Las rspusas corrcas so la A y B Las fucios primiivas d f 6 s cos so: A F s + C C F cos + C B F cos + C D F cos + C F ( ) 6s cos d 6 s cos d s d + C cos Aplicado la fórmula dl águlo miad s ± s llga a F cos+ C Las rspusas corrcas so la A y la C Sñala l dao icsario para cosar dv 6 La aclració d cira parícula vi dada por la prsió a + b + c cos( ) S pid la vlocidad, d v, y s dispo d los siguis daos: v () v v v( ) A Pud limiars l dao B Pud limiars l dao C Pud limiars l dao D Pud limiars l dao c v a + b + s + C v() C Co v y v ( ) s pud hallar a y b Por ao l dao icsario s Primiiva d ua fució Uidad

53 6 Igral dfiida Ejrcicio rsulo EJERCICIOS PROPUESTOS Obé, co l méodo viso, l ára dl rapcio limiado por la rca y +, l j X y las vricals y Calcula l ára goméricam y compara los rsulados S divid l irvalo [, ] subirvalos, cada uo d logiud S calcula la suma d las áras d los rcágulos obidos omado como bas la logiud d cada subirvalo y como alura la ordada dl rmo drcho S ( ) ( + ) S oma, como ára dl rcio, l úmro A lim S, s dcir, A lim + u Goméricam, l rapcio i alura y bass y 9 Su ára s A u, qu coicid co la obida co l méodo arior Obé ua fórmula para + + +, procdido como l jmplo y dsarrollado las pocias + cuaras d Sumado los primros mimbros y los sgudos mimbros, s obi: Lugo ( ) ( ) ( ) S dspja la suma d los primros cubos y s aplica las fórmulas ya coocidas: + 6( ) ( ) ( + ) + ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + + ) ( + ) + + Así pus, Uidad 6 Igral dfiida

54 Usa l rsulado dl jrcicio arior para calcular l ára limiada por la gráfica d f +, l j X y las rcas y Toma cada subirvalo como c i l rmo drcho S divid l irvalo [, ] subirvalos, cada uo d logiud S calcula la suma d las áras d los rcágulos obidos omado como bas la logiud d cada subirvalo y como alura la ordada dl rmo drcho S Aplicado la fórmula corada l jrcicio arior: ( + ) S El ára dl rcio s l úmro A lim S, s dcir, + + A + lim + u Ejrcicio rsulo 6 Sa f coiúa [, ] y g f + Si f ( ) d, calcula g d g() d (() f + ) d f () d + d + ( ( )) + 7 Si f ( ) d, f ( ) d y 8 f d, halla: a) f d b) f d c) f d a) b) c) 8 f f + f + 7 f f f 7 8 f f f 8 y 9 Ejrcicios rsulos Igral dfiida Uidad 6

55 Para la fució d la gráfica, halla su valor mdio y l valor c [, ] cuya iscia asgura l orma dl valor mdio S db corar l valor f ( c ), sido c l úmro dl irvalo [, ], qu cumpla + d f ( c)( ) + 9 Como + d s l ára d u rapcio d alura y bass y, su valor s + d Eocs, 9 f c f c, s l valor mdio d la fució dicho irvalo Por ao, si c f c +, dspjamos y cocluimos qu c Halla l valor mdio d las fucios g y h: a) b), qu cumpla g d g ( c)( ) S calcula sa igral hallado l ára d las rs rgios (u cuaro d círculo qu sá por cima dl j X; u riágulo qu sá por dbajo dl j X; u riágulo qu sá por cima dl j X) El ára dl cuaro d círculo s El ára dl riágulo qu sá por dbajo dl j X s Eso idica qu f d, ya qu al sar por dbajo dl j X, la igral s l opuso dl ára El ára dl a) S db corar l valor g c, sido c l úmro dl irvalo [ ] riágulo qu sá por cima dl j X s Co odo so: g d g d + g d + g d + Por ao, g c g c s l valor mdio d la fució dicho irvalo Como g c,, habrá dos valors d c: uo la circufrcia ( ) + g, s dcir, c +, d dod sacamos qu c, 9 Y l oro la rca y, s dcir, g( c) c,, c, c, Así pus, hay dos valors d c: c, 9 y c, b) El rcio limiado por la fució h y l j X, s dscompo rs pars: + + Dos rapcios, uo d ára S y oro d ára S 8 8 U cuadrado mos u smicírculo: S 8 Co odo so 8 h d h d + h d + h d Por ao, hc hc,99 Hay dos valors d c la circufrcia qu 8 corrspod a c, y c, Uidad 6 Igral dfiida

56 Calcula las siguis igrals dfiidas d c) a) ( ) d b) cos d d) s ( ) d ( ) a) ( ) d (obsrva qu la fució f s ua fució impar y como l irvalo d dfiició sá crado l orig, la igral ha d sr cro) cos s s s b) d [ ] c) 6 d d) ( ) ( ) cos cos cos s d + Drmia l valor d sas igrals a) b) d c) + d d) l d g d arcg a) [ ] d + b) d c) ( l l l ) ( l) d d) d ( ) g l cos l l + l l + l l Igral dfiida Uidad 6

57 Ejrcicio rsulo Calcula las drivadas d las siguis fucios co sos méodos: Calculado la igral y drivado Aplicado l orma fudamal dl cálculo a) g d b) g d c) g g a a da a) Igral y drivado: g d d g ' Torma fudamal dl cálculo: g d d g ' b) Igral y drivado: ( s) g gd l cos g l cos g' g cos Torma fudamal dl cálculo: g g d g ' g c) Igral y drivado: a a [ a ] g a da a da g ( a ) + g ' a a Torma fudamal dl cálculo: ' g a da a g 6 Halla las drivadas d las siguis fucios a) g d b) s + g d cos a) f ( cos( ) + cos( )), su drivada s: f ' s( ) + s( ) Tambié s pud calcular obsrvado qu g s ( ) f G G G s coiua y por llo:, dod ' Por ao, f ' G' ( ) G' ( )( ) s( ) + s( ) b) La fució G s s coiua g ( ) [ H ()] + H ( ) H ( ) h +, co ' ( ) ( ) + g' + H' + H' + H, por ao: 7 Ejrcicio iracivo 8 a Ejrcicios rsulos 6 Uidad 6 Igral dfiida

58 Calcula l ára d la rgió limiada por la gráfica d y, l j X y las rcas y + La fució s posiiva [ ] u, A d l( + ) ( l l) + Calcula l ára d la rgió fiia limiada por l j horizoal y la gráfica d y La fució s ua parábola cócava hacia arriba qu cora al j X los puos d abscisas y La rgió quda por dbajo dl j X u A d Dibuja l rcio crrado r las gráficas d las fucios y 6 y y calcula su ára La gráfica d f 6 ( 6) los puos A (, ) y B ( 6, ) s ua parábola cócava hacia arriba qu cora al j X La gráfica d y s ua rca crci qu pasa por l orig Los puos d cor r ambas gráficas s cura rsolvido la cuació 6, C 9, 7, s dcir, so los puos A y El rcio sá limiado supriorm por la rca ifriorm por la parábola y su ára s: A ( 6) d ( + 9) d +, u Calcula l ára d la rgió limiada por sas cuaro curvas: y +, y, y, y La gráfica d la curva y, qu o s ua fució, s pud obr dibujado sas dos gráficas: y y Por ao, la rgió s la qu s musra Los vérics d la rgió so los puos d irscció d las curvas qu s cora: A( 6, ) B(, ) C (, ) D (, ) La rgió qu sá a la izquirda dl j Y s u rapcio d alura y bass 6 y Su ára s A u Ora rgió sá limiada supriorm por y ifriorm por y La ora rgió sá limiada supriorm por y u A d, su ára la da la igral: ifriorm por y, su ára: ( ) u A A A A A d d u Igral dfiida Uidad 6 7

59 S cosidra l rcio dl plao limiado por la curva y + y por la curva y a) Dibuja l rcio b) Calcula l ára dl rcio a) La fució y + s ua parábola cócava hacia abajo qu cora al j X los puos A (,) y (, ) La fució C y s ua parábola cócava hacia arriba qu cora al j X los puos A (,) y (,) D Los puos d cor r ambas s cura rsolvido l sisma formado, B 6, por sus prsios y so A y b) El ára dl rcio s: ( ) ( ) 6 7 u A + d + d + 6 Dada la fució f plao crrada r sa curva y l j X +, halla los puos d cor co l j X y calcula l ára d la rgió dl Los puos d cor co l j X s cura rsolvido la cuació bicuadrada + y obmos úicam dos puos: A(,) y (,) B Como la fució s par y lim f +, ya podmos ralizar u sbozo d la gráfica y la rgió d la qu s habla Como la fució s par l ára pdida srá: u A + d +,9 7 Calcula l ára d la rgió crrada r las gráficas d f y Primro hay qu calcular los puos d cor d ambas fucios:, La rgió sá limiada r dos curvas: f por arriba y por dbajo; así pus, l ára pdida s: g g u 8 A d + + d y 9 Ejrcicios rsulos 8 Uidad 6 Igral dfiida

60 Halla la logiud d la caaria + y r y + + f ' L + f ' d d + + d d d u + + Por sr ua fució par L L Calcula la logiud d la llamada parábola smicúbica (auqu o lo s su gráfica s parc a ua parábola) y r y La drivada d la fució f s ' La logiud pdida s: f L + f d + d + d + d ' 9,7 u Sobr ua parícula a mros dl orig, acúa ua furza movrla dsd hasa m? (El rabajo s calcula como W F d ) F + (N) Qué rabajo raliza F al ( ) 8 J W F d + d + * Halla l volum dl sólido qu s forma al girar la rgió bajo la gráfica d y cos + [ ], V (+ cos ) d (+ cos ) d (+ cos ) d + cos + cos d + s + cos d y, por pars: cos ' f f s d cos g s g ' d cos d s cos + s d s cos + ( cos ) d s cos + cos d Dspjado s obi: + s cos cos d + C + s cos Por ao, V ( + cos ) d + s + u Igral dfiida Uidad 6 9

61 La població d Circuladia, ua ípica ciudad, dcrc coform os aljamos d su cro E fco, su r habias/km sido r la disacia al cro km dsidad d població s a) Cuál s l radio d la zoa habiada d la ciudad? b) Cuál s la població d la ciudad? a) Como la dsidad los cofis d la ciudad s, ocs ( r ), s dcir, r km b) i P lim ri rf ( ci) r ( r ) dr S calcula sa igral: + r r r ( r ) dr ( r r ) dr habias Ejrcicio iracivo 6 a Ejrcicios rsulos 6 Uidad 6 Igral dfiida

62 EJERCICIOS Ára bajo ua curva Halla l ára d la rgió sombrada uilizado los difrs méodos propusos los disios aparados Compruba qu simpr obis l mismo rsulado a) Dividido l irvalo [, ] subirvalos d logiud, omado como alura d cada rcágulo la ordada d su rmo drcho y calculado, fialm, l lími d la suma d las áras d los rcágulos cuado + b) Procdido como a, pro omado como alura d cada rcágulo la ordada d su rmo izquirdo c) Hallado ua primiiva F d la fució cuya gráfica s la rca oblicua qu limia la rgió y hallado F F d) Uilizado la fórmula qu os da l ára d u rapcio a) La cuació d la rca qu limia supriorm l rapcio s y S El ára dl rcio s: 7 7 A lim S lim u b) S ( ) A lim S lim + + u c) Ua primiiva d y + s F + A F F u d) La rgió sombrada s u rapcio d alura y bass y Su ára s + 7 A u Igral dfiida Uidad 6 6

63 6 Calcula l ára limiada por la curva y +, l j horizoal y las rcas vricals y S divid l irvalo [,] subirvalos, cada uo d logiud S calcula la suma d las áras d los rcágulos obidos omado como bas la logiud d cada subirvalo y como alura la ordada dl rmo drcho S ( ) Aplicado las fórmulas ya coocidas: ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) S + 8( ) ( )( 8 ) ( ) El ára dl rcio s: lim lim 8 8 A S s simérica rspco dl j Y y l irvalo [,] (Como la fució y podríamos habr calculado l ára r y y lugo hallar su dobl) u sá crado l cro, 7 Drmia l ára d la rgió limiada por la fució f, l j X y las rcas vricals y ( + ) Para llo, usa la prsió S divid l irvalo [, ] subirvalos, cada uo d logiud S calcula la suma d las áras d los rcágulos obidos omado como bas la logiud d cada subirvalo y como alura la ordada dl rmo drcho S ( + ) El ára dl rcio s: A + + lim S lim u Uidad 6 Igral dfiida

64 Igral dfiida Propidads 8 Esboza la gráfica d f [ ], y divid s irvalo subirvalos para probar qu: < d < ,,,6,8,,,6,8,, Obsrvado l dibujo s aprcia qu l ára bajo la curva s mayor qu la suma d las áras d los rcágulos ifriors y mor qu la suma d las áras d los rcágulos supriors Torma dl valor mdio Rgla d Barrow 9 Compruba si s cumpl las codicios para aplicar l orma dl valor mdio a la fució f ( ) l irvalo [, ] Si s así calcula l valor mdio d f dicho irvalo y la abscisa dl puo l qu s alcaza dicho valor Como f s ua fució poliómica, ocs s coiua, paricular, [, ] Aplicado l orma dl valor mdio, s busca c [,] al qu ( ) d f ( c )( ) ( ) 8 ( ) d, por ao, pro solo la sguda prc al irvalo [, ] 8 f c f c c c +, c, Calcula ua aproimació por cso y ora por dfco d l uilizado ua parició cico d subirvalos para calcular la igral dfiida Por dfco: S oma rcágulos d bas, y alura l rmo drcho Por cso: S oma rcágulos d bas, y alura l rmo izquirdo < d < ,,, 6, 8,,, 6, 8,, Oprado:,66 < l l l <,76 d Por ao,,6 6 < l <,7 6 Igral dfiida Uidad 6 6

65 La sigui rgió sá limiada supriorm por la gráfica d la fució y Halla la alura qu db r u rcágulo d bas para qu su ára sa igual a la d la rgió sombrada El ára d la rgió sombrada s d El orma dl valor mdio os asgura qu is u úmro c dl irvalo [, ] qu cumpl d f ( c)( ) Así pus, f ( c) f ( c) Por ao, l rcágulo d bas y alura i igual ára qu l d la rgió Drmia l valor d las siguis igrals dfiidas d d) a) ( + ) d g) + d cos d ) b) ( ) d f) c) s( ) d h) + d i) s d cos d 6 d + d + f) [ arcs ] a) b) s cos d g) d [ ] + arcg 7,8 c) ( ) ( ) cos s d, h) s d cos cos d) ) d, 8 i) l l6 ( l + ) l8 d, d 6 Uidad 6 Igral dfiida

66 Calcula las siguis igrals dfiidas a) arcg d d) d g) + d j) ( + + ) + d b) s d ) + + d h) + + d c) d f) + ( ) d i) + + d Igració por pars: f arcg a) arcg d, dg, df +, g Por ao, arcg d arcg d arcg d arcg + arcg + C + + arcg d arcg + arcg b) s d Igració por pars: f, dg s, df, g cos s d cos + cos d Para obr ahora cos, dg cos, df ( ) g s f, Por ao:, por lo qu d, s procd d la misma forma: s d cos + s s d cos + s + cos + C s d cos + s + cos d d l l l l l c) d ( ( )) C ( ) d) ) d Igració por pars: f, dg, df ( ), d d + C ( ) + C Por ao, d g + + / / + d + + C d l l l l,9, lugo f) ( ) + d d C d ( ) l l + + l + g) + 6 d ( + + ) + + h) l( d ),8 d i) ( ) arcg d d arcg + C d j) ( ) d d l + + C d l Igral dfiida Uidad 6 6

67 U profsor aprsurado pidió a sus alumos qu calculara la igral dfiida d Laila rabajó así: d 6 Y dspués razoó: soy sgura d qu hay algo mal porqu sé qu la fució f odo su domiio y por ao, la igral pdida, s posiiva d, o pud sr gaiva Dód sá l rror? La fució f o sá dfiida para, por lo qu o s coiua l irvalo (,) is la igral dfiida d, así, qu o Sabido qu,87 ; puds corar ora aproimació d l hacido ua parició cico subirvalos para calcular d Uiliza la igral arior y la rgla d Barrow para dmosrar qu lim l + S divid l irvalo [, ] subirvalos, cada uo d logiud S ,87 +,87 +,87 +,87 +,87, Por ora par, d l l l, l,67 Aálogam, s divid l irvalo [, ] subirvalos, cada uo d logiud: S lim + + l + lim ( ) lim ( ) l lim S d lim lim l 66 Uidad 6 Igral dfiida

68 Torma fudamal dl cálculo 6 Calcula la drivada d las siguis fucios a) f d c) f s d b) f d) cos + d f d s a) La igral d o s lmal, así qu o s pud calcular dicha igral para dspués drivarla, pro s g s coiua para > y l orma fudamal dl cálculo os asgura qu la drivada d s s f d s f ' d l, su drivada s f ' b) f [ l] ( l l ) ( l l ) d cos cos c) f [ l] l( cos ), su drivada ' d) La igral La fució s f g cos d o s lmal, así qu o s pud mplar l méodo d los dos aparados ariors + s coiua, así pus, f G G( + ) G g ao: ( ) + f ' G ' + G ', sido ' G, por 7 Calcula lim h + h + 8 d h Si s llama f + 8 y F( ) a ua primiiva suya, F' f + h + 8d F ( + h) F( h) F f + lim lim ' 8 h h h h, ocs, 8 Halla los puos d iflió d la fució g d Por l orma fudamal dl cálculo s sab qu la drivada d g d s ' drivada s g '', qu s aula si g y la sguda Admás, la sguda drivada s posiiva a la izquirda d (g s cócava hacia arriba) y s gaiva a la drcha d (g s cócava hacia abajo) Así pus s produc u cambio d curvaura, por ao, l puo A(, g ) A(, ) iflió d g( ) s u puo d Igral dfiida Uidad 6 67

69 f cos d 9 Calcula la drivada d la fució Por l orma fudamal dl cálculo s sab qu f ' cos 6 Halla la drivada d sas fucios a) f d c) f s b) f d d) f d + d a) Por l orma fudamal dl cálculo s sab qu f ' b) f s s s d 9 Su drivada s ' s c) Por las propidads d la igral dfiida s sab qu d) f Por ao, f ' f d d f d f ' + 6 Calcula la drivada d sas fucios a) f b) f d c) f ( + ) l d d) f ( + ) l s + d l ( + ) d l ( + ) La igral l o s lmal pro sí s sab qu la fució g ( + ) d l ( + ) s coiua a) Por l orma fudamal dl cálculo s sab qu f ' f d d l l b), así pus, f ' ( + ) + s c) f G G( s ) G, sido G' cos f ' G' s cos l s Por ao: + d) f G G( + ) G( ) ( + ), sido ( ) l ( + ) l l ( + ) ( + ) G' f ' G'+ G' l + l l + (( + ) + ) ( ) 68 Uidad 6 Igral dfiida

70 6 Sa F ( ) a) Calcula F' ( ) b) Es F'' l d co ua fució cosa? Jusifica u rspusa F l d l l + F' l + l l a) [ ] Por ao, b) F' l F'' l + l + No s ua fució cosa porqu su drivada o s ula s d dfiida para Halla los valors d los qu alcaza sus máimos y míimos rlaivos 6 Sa la fució F ( ) s F' Esa drivada s aula si s, s dcir, si + k co k,,, Máimo si k,,,, y míimo si k,,, 6 La fució F( ) sá dfiida por F ( ) d Halla los puos los qu s aula ' F La igral d o s lmal, así qu o s pud calcular dicha igral para dspués drivarla La fució s coiua, así pus, F G G( ) G g ao: ' ', sido ' ( ) G, por F G Dicha drivada s aula si 6 Sa F ( ) d Calcula F ' La fució g s coiua, así pus, F G G G, sido ' F' G' F' G, por ao: Igral dfiida Uidad 6 69

71 66 a) Calcula los rmos rlaivos y absoluos d la fució f : [ 7,] dada por f β f d 7 b) Sa β l puo l qu f alcaza su máimo absoluo Calcula a) f ' ( ) qu A(,9) s u máimo rlaivo y (,9) s aula si o si Aplicado l cririo d la sguda drivada s v B s u míimo rlaivo S compara los valors: f ( ) 9 f 9 f ( 7) Así pus, A(,9) s l máimo absoluo y ( 7,) b) Ya s ha calculado β C s l míimo absoluo d f 6 67 Si f ( ) d +, qué fució s c f? Cuáo val c? Sa g f ( ) d + ; ocs g' f c Por ora par, omado c, g( c) c +, d dod c f d + 68 Halla l puo dl irvalo [, ] l qu la fució alcaza su míimo + Como la fució g s coiua, s sab qu la drivada d f ( ) s f ' + Esa drivada s aula si y como a la izquirda d s gaiva y a su drcha s posiiva, l puo d abscisa s cura l míimo d la fució f ( ) 69 a) Si f s ua fució coiua, obé F' ( ) sido: F f + + d b) Si f y admás f ( ) d, halla la cuació d la rca ag a la gráfica d (, F ) F l puo a) Como la fució g f + + s coiua, l orma fudamal dl cálculo asgura qu la drivada d F( ) s F' f + + b) La cuació d la rca ag buscada s y F( ) F' ( ) S calcula ocs F y ' 9 F ( ) ( f ( ) + + ) d f () d + d + d f F' F : 9, s dcir, La rca ag s y ( ) 7 y 7 Uidad 6 Igral dfiida

72 7 Dada f ( + ), drmia l valor dl parámro a > para l qu a f d a d + a a, a, y como solo val la solució ( + ) a + + a + a posiiva, cocluimos qu a 7 Sa las fucios y g F + d, calcula F( g ) ' Como la fució f + s coiua, por l orma fudamal dl cálculo s i qu + Aplicado la rgla d la cada, ( ) F' ' F g F' g g' F' + 7 Calcula lim + d d Al prsars ua idrmiació dl ipo y sar las hipósis dl orma d L Hôpial, s aplica la oma d drivadas l lími y l orma fudamal dl cálculo: d lim lim lim lim d d + [ ] [ ] + Áras d rcios 7 Calcula l ára crrada r f 6 + y l j d abscisas para [,] 6 A d + + l l6 l u Igral dfiida Uidad 6 7

73 7 Dibuja la suprfici limiada por la rca y + y la parábola y + Halla su ára Los puos d cor d ambas fucios s obi rsolvido la cuació: Los puos d cor so A (, ) y (,) + + +, B La rgió sá comprdida r dos gráficas: la rca y + por cima y la parábola dbajo y + por 9 u El ára d la rgió s: ( ) A + + d + d + 7 Dibuja la gráfica d f l irvalo [,] y calcula su igral La gráfica d f ( ) s dibuja muy fácilm a parir d la d la fució g, si más qu rfljar su par gaiva rspco al j X Como la fució s posiiva y simérica rspco al j Y, y l irvalo sá crado l orig, s calcula la igral d sa forma: d + d + d u a + d 76 Halla l valor d a >, al qu ( ) ( a ) a a 9 + d + + a a a + + a 9 a Dscarado la solució qu o s posiiva, cocluimos qu a 9 7 Uidad 6 Igral dfiida

74 77 Halla l ára d la rgió comprdida r las parábolas y y + +, Los puos d cor so A(,) y B (,) La rgió sá comprdida r dos gráficas, y + sá por arriba y sá por dbajo Como ambas fucios so siméricas rspco dl j Y, l ára d la rgió s: u A + d + d + 78 Calcula l ára d la rgió limiada por las curvas y, y y las rcas y Las gráficas d las fucios s cora los puos O (,) y (,) La rgió sá formada por dos rozos: A A d + d + u 79 Calcula l ára limiada por la gráfica d la fució y l, l j X y la rca ag a dicha gráfica l puo La rca ag i por cuació y f f '( ), s dcir y El rcio sá formado por dos rgios Ua, limiada por la rca ag y l j X r y, s u riágulo d bas y alura, su ára s A El ára d la ora s: l A d l + El ára dl rcio s A A + A + u 8 *a) Dibuja l rcio limiado por las curvas d cuacios y s, y cos, y b) Calcula l ára dl rcio dl aparado arior a) El puo d cor d ambas fucios s cura rsolvido la cuació s cos, cuya úica solució l irvalo, s b) A ( ) d [ ] cos s s + cos [ ] A s cos d cos s + A A + A + u Igral dfiida Uidad 6 7

75 8 a) Rprsa las curvas d cuacios y + y b) Halla l ára dl rcio limiado por dichas curvas a) Los puos d cor s cura rsolvido la cuació + +, Los puos d cor so A (,) y (,) B b) El rcio sá limiado supriorm por la rca ifriorm por la parábola Su ára vi dada por l valor d la igral: ( ( ) ) u A + d + 8 Halla l ára qu cirra ua loma d f s Elgimos la ua loma qu qud por cima dl j X, por jmplo, la qu os coramos r y s [ cos ] cos cos u A d + 7 Uidad 6 Igral dfiida

76 8 S cosidra la fució f a + b < si si a) Calcula a y b para qu f sa coiua y drivabl b) Para los valors d a y b obidos l aparado arior, drmia l ára d la rgió acoada por la gráfica d f, l j horizoal y las rcas, a) Como irvi valors absoluos, dbmos prsar la fució dsglosado dichos valors absoluos: si f a + b si < < si Esá claro qu la fució s coiua l irior d los rs irvalos d dfiició S impo la codició d qu sa coiua los rmos d sos irvalos lim f lim lim f lim a b a b, lim f lim a b a b , cuació qu la arior + +, lim f + + lim, f a + b 6a + b Así pus, si a + b, s dcir, si 6a + b la fució srá coiua odo S impo ahora la codició d qu ambié sa drivabl La fució drivada para valors d disios d y s: lim f ' lim, + + f a + b, qu s la misma si < f ' a si < < si > lim f ' lim a a a a 6 (Muy impora: ahora hay qu comprobar qu s valor d a s l mismo qu hac qu isa f ' Si o fus l mismo, cocluiríamos qu f o s drivabl odo ), lim f ' lim a a lim f ' lim a a Para s valor d a, b a Así pus, si a y 6 b, la fució s coiua y drivabl odo f b) Como la fució f ( ) s posiiva odo, l ára pdida coicid co sa igral dfiida: si + si < < 6 si 7 A + d d u Igral dfiida Uidad 6 7

77 8 Halla l ára dl rcio limiado por la gráfica d la fució gráfica l máimo rlaivo f +, y la rca ag a dicha Rprsa gráficam la fució hallado los puos d cor co los js y los rmos rlaivos La fució f + ( ) cora al j Y l puo (,) X los puos O (, ) y A (, ) O y al j La drivada d la fució s B, 7 s u máimo y (, ) f ' + y s aula si o si A s u míimo La rca ag l máimo s y Para hallar los puos d cor d dicha 7 ag co la gráfica d la fució, s rsulv la cuació +, cuyas solucios so 7 El rcio sá limiado supriorm por la rca ifriorm por la cúbica ( ) A + d + + d u y 8 Sa las fucios f y g Las dos fucios s cora los puos A (, ) y (, ), halla l ára crrada por las gráficas d f, d g y d la rca B Dbmos hallar l ára dl rcio limiado supriorm por g ifriorm por f, r y El ára la da la igral: 8 7 u A d 86 Sa la fució dfiida por f + + a) Dibuja l rcio limiado por la gráfica d f y sus ags los puos d abscisa y b) Pruba qu l j d ordadas divid l rcio arior dos qu i igual ára a) La cuació d la ag l puo d abscisa ag l puo d abscisa b) Si <, l ára s: s y ( ) s y ( ) + ( ) u A d + + Si >, l ára s: ( ) + y la d la A d + d + u 76 Uidad 6 Igral dfiida

78 87 a) Halla l ára dl riágulo formado por l j X y las rcas ag y ormal a la curva abscisa y l puo d b) Halla l ára d la rgió limiada por la curva d cuació y y l j X para los valors a) La drivada d f s f ' La rca ag a f y f ( ) f '( )( + ), s dcir: y l puo d abscisa s La rca ormal s y f +, s dcir: f ' y + + Así pus, sas rcas cora al j d abscisas los puos d abscisas,, rspcivam, co lo qu la bas dl riágulo cusió s + y su alura + Su ára s u b) La rgió sá siuada por cima dl j X Su ára s l valor d la igral: u A d + 88 Calcular a > para qu l ára crrada por la gráfica d f s, l j y, y la rca a, sa a a s d [ cos ] cosa + cos cosa + cosa a + 89 Sa f : (, + ) la fució dada por f l( ) a) Esboza l rcio limiado por la gráfica d f, l j Y y la rca y Calcula los puos d cor d las gráficas b) Halla l ára dl rcio arior a) La gráfica d f l( + ) s la gráfica dl g l dsplazada hacia su izquirda ua uidad Su domiio s D( f ) (, + ), s simpr crci y i ua asíoa vrical Los puos d cor co y, s calcula rsolvido la cuació l( + ), s dcir +, El úico puo d cor s A (, ) b) El ára dl rcio pdido os lo da l valor d la igral [ l( + ) ] l( + ) d por pars: f l( + ), f ' +, g' ( ), g A d Calculmos primro l( + ) d l( + ) d l( + ) d l( + ) + l( + ) + + l C Por ao, l ára s: l ( l ) l u A + d Igral dfiida Uidad 6 77

79 9 Dada la fució f, calcula l ára d la rgió acoada crrada por su gráfica y l j X + y B (,) La fució cora al j X los puos A(,) A(,) El rcio sá por dbajo dl j X; admás la fució s simérica rspco dl j Y, así pus, l ára d la rgió vi dada por: A d + S calcula sa igral: 6 8 d 8arcg d d d C u + A d 8arcg 9 a) Halla la rca ag a la curva d cuació y l puo d abscisa b) Dibuja l rcio limiado por dicha rca ag y la curva dada y calcula l ára a) La drivada d cuació y s f ' La cuació d la rca ag s y f ( ) f ' ( ), s dcir, y b) Los puos d cor d la curva y y la rca y s obi rsolvido la cuació + : A(, ) y (, ) B so los puos d cor 7 ( ( )) 6 u A d Uidad 6 Igral dfiida

80 9 Sa f, calcula fució d l ára limiada por la parábola y la curda OM Sa N l puo d la parábola l qu la ag s paralla a dicha curda Dmusra qu sa cual sa l valor d, l ára dl sgmo parabólico s dl ára dl riágulo OMN El puo M i por coordadas M(, ) La rca ag l puo (, ) El puo N s N, parabólico i u ára d: Hallmos ahora l ára dl riágulo OMN, así pus, la pdi d OM s N i, pus, pdi, así pus, ' f, s dcir, y, por ao, La rca qu coi a OM i por cuació y, así pus, l sgmo u 6 A d Tomamos como bas l sgmo OM, cuya logiud s + + La alura, h, dl riágulo OMN mid h d( N, OM) d,, y + + El ára dl riágulo s: probar + A + u Así pus, 8 A A, d dod A A, como s quría Aplicacios d la igral 9 U móvil s dsplaza co la cuació d movimio spacio rcorrido l irvalo d impo [, ] y +, dod rprsa l impo Calcula l 6 6 S ( + ) d ( + ) u Igral dfiida Uidad 6 79

81 9 Esboza la gráfica d la fució y 9 + y halla la logiud d dicha curva r y 7 S prsa la fució d la curva d mara plícia, s dcir, dspjado y: y 9 y 9 Su drivada s y' 9 ( y ') 9, + ( y '), ( ') La logiud dl ramo d curva pdido s: y d d 9 9 L + y d 7 ( ') ( 9 ) 6 u 7 9 Dada f calcula la logiud dl arco d curva r y b dod b < Rprsa gráficam dicha fució, calcula goméricam la logiud d dicho arco y obsrva la igualdad d los rsulados obidos La drivada d la fució f s f ' La logiud pdida s: b L + f d + d + d d b b b b b b ' [ arcs ] arcs u La gráfica d la fució s ua smicircufrcia y la logiud dl arco pdido s jusam l arco qu corrspod al águlo β qu s prcisam l águlo cuyo so s b, s dcir, l arco so d b 8 Uidad 6 Igral dfiida

82 96 Calcula la logiud d los siguis arcos d curva: ( ) a) f [, 9 ] b) f + [, ] 6 a) La drivada d la fució f ( ) s f ' 6 9 La logiud pdida s 8 ( + ) L + f ' d + d d d 6 Esa úlima igral la calcularmos mdia u cambio d variabl: g, d g ' d d d d d ( ) d d d + d C Por ao, 9 ( ) d u L + b) La drivada d la fució f + s f ' 8 La logiud pdida s ( + ) ' 6 L + f d + d d d 9 d u Halla l volum dl coo qu s obi al girar alrddor dl j X la rgió comprdida r dicho j y l sgmo d la figura Compruba l rsulado S raa d hallar l volum dl sólido d rvolució qu s obi al girar y alrddor dl j X 6 S sab qu dicho volum s igual a: V d d u 6 El sólido qu s forma s u coo d radio y alura Su volum s: V u Igral dfiida Uidad 6 8

83 98 Calcula l volum dl curpo qu s obi al girar la rgió r l j X y la gráfica d y +, oro al j X y r las rcas y S raa d hallar l volum dl sólido d rvolució qu s obi al girar y + alrddor dl j X S sab qu dicho volum s igual a: V d d + + S calcula sa igral qu va a dar lugar a ua arco ag d d arcg + C arcg + C + + u + 8 El volum s: V d arcg ( arcg arcg) 99 Halla l volum gdrado por la rgió plaa dfiida por l j X, la curva d cuació Y y la rca al girar alrddor dl j X y, l j 6 6 u V d d + Calcula l volum dl sólido d rvolució qu s obi al girar alrddor dl j X l rcio limiado f l, y las rcas y,, por la gráfica d d d El volum os lo da la igral ( l ) ( l ) La igral ( l ) d la calculamos por pars: f ( l ) l, f ', g' ( ), g l l d l d l l d l l l l + ( l ) ( l ) ( l ) l,6 u V d d + 8 Uidad 6 Igral dfiida

84 La vlocidad d u móvil qu par dl orig vi m/s por la gráfica: a) Calcula la fució qu da l spacio rcorrido fució dl impo y sboza su gráfica b) Pruba qu l ára bajo la curva qu da la vlocidad coicid co l spacio oal rcorrido a) La fució spacio rcorrido s ua primiiva d la vlocidad, puso qu la vlocidad s la drivada dl spacio Obsrvado la gráfica, la fució vlocidad s coiua y sá dfiida a rozos por la sigui si < prsió: v si + si < Por ao, l spacio rcorrido srá: + A si < s + B si + + C si < Fala calcular los valors d los parámros A, B y C: Como s(), ocs, A Admás, por coiuidad:, lim s ( ) lim ( + B ) + B, f lim s lim + + Así pus, + B, s dcir, B ( + ), lim s lim B B lim s lim + + C + C, f Así pus, C C + La fució spacio rcorrido s: si < s si + si < cuya gráfica s: b) El spacio oal rcorrido s s ( ) 7 m El ára bajo la curva d la vlocidad s la d u rapcio d alura y bass y, s dcir, + A 7 u Igral dfiida Uidad 6 8

85 La dsidad d població mils d habias por km ua ciudad dpd d la disacia r f r r kilómros a su cro d acurdo a a) Cuáas prsoas viv a mos d km dl cro? b) Cuáas viv r y km dl cro? Primro calculamos la igral r dr 6 r dr f ( r) r r por pars: r f '( r ) g' ( r) g ( r) r dr r dr r + C ( r + ) + C r r r r r r r r 8 8, mils d habias, s dcir, 8 habias a) r dr ( r + ) r r 8 9, mils d habias, s dcir, 9 habias b) r dr ( r + ) r r Sísis Dada la fució ( ), co domiio : F d a) Calcula F' ( ), sudia l crcimio d F( ) y halla las abscisas d sus máimos y míimos rlaivos b) Calcula F'' ( ), sudia la cocavidad y covidad d F( ) y halla las abscisas d sus puos d iflió a) ( F' ) Esa drivada, F' ( ), s aula si o S sudia su sigo: (, ) (, ) (, + ) Sigo d F ' + + Comporamio d F Crci Dcrci Crci Máimo rlaivo Míimo rlaivo b) La drivada sguda d F s ( F'' ), qu s aula si,, : (, ) (,) (, ) (, ) Sigo d F '' + + Cócava Cócava Cócava Cócava Comporamio d F hacia arriba hacia abajo Hacia arriba hacia abajo Puos d iflió,, Calcula l valor d la igral s d - - s d s d + s d cos s + cos + s 8 Uidad 6 Igral dfiida

86 Dada la fució y, calcula l ára crrada por la curva, l j d abscisas y las rcas + prpdiculars al j X qu pasa por l máimo y l míimo d la fució dada La drivada d la fució s f ' ( + ), qu s aula si, Esudiado l sigo d la drivada: A, s míimo y B, s máimo El rcio sá comprdido r y La fució s simérica rspco dl orig Por ao, l ára pdida s igual a: A d l + l l l l + u 6 Sa F cos si < si d si > a) Pruba qu F s coiua b) Esudia si is F' ( ) si y si F s drivabl c) Esudia la coiuidad d F' ( ) a) El úico puo problmáico sría ; F lim F d lim lim lim Fialm, como b) Si <, F' s Si >, F' aulars l domiador F, F s coiua, qu is por raars d dos fucios drivabls y o Para sudiar si F s drivabl s calcula las drivadas larals, <, F cos + h ( d h h h F h F ) h h h h h F ' lim lim lim lim h h h Así pus, F s drivabl y F ' F ' s pus si Igral dfiida Uidad 6 8

87 s si < si Por u lado, ' d si > c) F' F s coiua { } d lim F ' lim lim lim ( ) y lim F ' lim s S sudia la coiuidad d F ' F ', rsula qu F ' s coiua y, por ao, s coiua 7 a) Ecura ua primiiva d f b) Calcula l ára dl rcio limiado por la gráfica d la fució f ( ), l j X y las rcas y a) Dbmos dscompor fraccios simpls la fució racioal dada: ( ) + B( + ) 6 6 A B A Si, obmos qu A Si, obmos qu B Por ao: 6 f l l 8 d + d C b) Como la fució f ( ) s gaiva l irvalo (, ), l rcio s halla por dbajo dl j d abscisas y su l l l l l u ára os la da la igral: A d 8 La curva y divid al cuadrado d vérics V, V, V y Dibújalos y halla l ára dl rcio mayor,,, V, dos rcios La abscisa dl puo d irscció d la parábola y l sgmo V V s Por ao, l ára dl rcio d la izquirda vi dada por la igral: ( ),7 u A d El ára dl rcio d la drcha s A A,7,86 u Co lo cual, l rcio mayor s l d la drcha 86 Uidad 6 Igral dfiida

88 9 Calcula l valor d a, a >, para qu l ára d la rgió plaa crrada r la parábola y y la rca y a sa igual a d uidads d suprfici El ára os la da la igral ( ) a a a A a d a a a a a a a a, y como ha d sr igual a, cocluimos qu a a Calcula l volum dl paraboloid d rvolució qu s obi al girar la rgió comprdida r la parábola y y l j horizoal, alrddor dl j X dsd hasa S sab qu dicho volum s igual a: u V d d CUESTIONES Cuál s l valor d s d? + ( ) f s ( + ) 7 s ua fució impar pus s( ) s (( ) + ) ( + ) 7 7 f f, así qu s 7 d + ( ) f d Sa f : [,] coiua y al qu f ( ) d S pud asgurar qu is b y c [,] als qu b, c y f ( b) f ( c) rspusa? Jusifica la Por l orma dl valor mdio s sab qu: A) Eis u úmro c dl irvalo [, ] qu cumpl f ( ) d f ( c )( ) f ( c ) B) Eis u úmro b dl irvalo [, ] qu cumpl f d f ( b) ( ( ) ) f ( b) Como ambas igrals so iguals, s cocluy qu, fco, is b y c [,] co b, c y f ( b) f ( c) Igral dfiida Uidad 6 87

89 Qué úmro s mayor, s d o s d? E l irvalo [, ], s s posiivo y como s, mos qu s s Por ora par, dicho irvalo,, así qu s s por lo qu s s s d d, d hcho s sricam mor pus la fució f s coiua [, ], f idéicam ula por lo qu s s s d >, s dcir, s s d > d, y o s Dmusra la igualdad ( ) b f d b f b d Para llo, raliza l cambio b S uiliza l orma d susiució igrals dfiidas llamado g b y ocs b f ( b b g b b b ) d f ( g ( )) g '( )) d f () d f ( ) d f ( ) d f ( ) d g b g' Razoa si so ciras o o las siguis afirmacios b c c a) + f d f d f d a b a b b b b) f g d f d g d a a a b, ocs a b a c) Si f d b d) Si f d y a b b b f > para odo, ocs a b ) + + f g d f d g d a a a a) Es vrdadra Es la propidad 6 d la igral dfiida b) Es falsa Por jmplo, c) Es falsa Por jmplo, d d d d d) Es vrdadra Si la fució s posiiva [ ab, ], pud sr cro si a b ) Es vrdadra Es la propidad d la igral dfiida b f d mid l ára bajo la curva, así pus, sa ára solo a 88 Uidad 6 Igral dfiida

90 a a 6 Sa f: [ aa, ] co a >, coiua y al qu f ( ) d a) Es csariam f ( ) para odo d [ aa, ]? a a b) Es csariam f d? Y f ( ) d a a a d a c) Calcula ( f + )? Supogamos qu f sa ua fució impar, por jmplo, f y a Así pus a) Ciram o s csario, qu como acabamos d vr, por jmplo, f b) Obviam ampoco pus usro caso f ( ) d s l ára sombrada qu obviam o s cro a Tampoco f ( ) d E usro caso a f, a f d d a por lo qu d vulv a sr l ára rayada, obviam o cro a a a a a a a a c) ( f ) d f d d 7 Para calcular d, u amigo sugir qu pogas cos L harías caso? Co amigos así o hac fala migos, pus si sá [,], s imposibl qu así qu, o sa, o saría [,] cos ya qu cos 8 Para calcular l d, si o s quir igrar por pars, s pud uilizar l dibujo d la drcha Jusifica sa afirmació y calcula dicha igral Como las fucios y, y l so ivrsas la ua d la ora, sus gráficas so siméricas rspco d la biscriz dl primr cuadra por lo qu las áras sombradas so iguals, así qu: l d d Igral dfiida Uidad 6 89

91 9 Eis s lim? Dicho lími prsa ua idrmiació dl ipo por lo qu, aplicado l orma d L Hôpial: s d s s s lim lim lim lim Sa f : [,], igrabl y al qu para [, ] s f d? ; ;, y,7 pud sr l valor d f d f d d Como ( + ) f +, s i qu ( + ) ( + ) 8 8 f d Es dcir, + Cuáls d r los úmros ; por lo qu solo, y, podría sr l valor d la igral PROBLEMAS Halla l volum dl sólido formado al girar oro al j X la rgió bajo la gráfica d y s l irvalo [, ]? s [ cos ] u V f d d Drmia l volum grado al girar rspco al j d abscisas la rgió acoada por las gráficas d y g las fucios f Ambas gráficas s cora los puos O (,) y (, ) La rca va por arriba y la parábola por dbajo El volum pdido lo da la igral: A 6 ( ) u V d d d Calcula f ( ) d sido f s E l irvalo [, ], si s, 6 6, sido gaiva l rso I s d s d + s d + s d s d + s d + s d + cos + + cos + + cos Uidad 6 Igral dfiida

92 La fució ρ + s( +, ), da la dsidad d cochs ( cochs por km) los primros km d ua auovía, sido la disacia kilómros al comizo d la misma Calcula l úmro oal d cochs los km ρ d + s +, d 6 d + s +, d d S cambia d variabl: +,, d d +,d d +, s +, d s( ) d s( ) d ; f, g' s, f '( ), cos cos s s d + cos( ) d + 8 +, cos +, s +, s +, d + 8 cochs +, cos +, s +, ( + s +, ) d ( ) cos g La aclració m/s d u móvil co movimio rcilío vi dada fució dl impo por la a cos m y prsió ( + ) Si la posició y la vlocidad d la parícula ra v m/s, rspcivam, drmia: a) La fució qu da la vlocidad dl móvil fució d b) La fució qu da la posició dl móvil fució d a) La vlocidad s la igral d la aclració, así pus: v ( ) a( ) d cos( + ) d cos( + ) d s ( + ) + C Como sabmos qu v, ya podmos calcular la cosa C: La fució vlocidad s v ( ) v s( + ) + C C s s + + s b) La posició s la igral d la vlocidad, así pus: ( ) v ( ) d s( + ) + s d cos( + ) + s + C Como sabmos qu, ya podmos calcular la cosa C: La fució posició s cos( + ) + s + C C + cos cos + + s + + cos Igral dfiida Uidad 6 9

93 6 U objo s muv sobr ua rca dbido a la acció d ua furza F qu dpd d su posició a lo largo d dicha rca la forma, F El rabajo ralizado por F al movr l objo dsd a hasa b s W a b F d a) Calcula l rabajo para ir dsd hasa b) Drmia si la furza G ( + ) raliza más o mos rabajo qu F( ) para l mismo dsplazamio a) El rabajo s W d J b) Al sr ambas furzas posiivas [, ], s pud idificar los rabajos co las áras qu cirra las furzas bajo llas Como G < F ( + ) ( ) s cocluy qu l rabajo d la furza G( ) s mor qu l d F( ) [, ], ya qu l domiador d G( ) s mayor qu l d F( ), 7 Para sudiar la capacidad d mmorizar d u iño s usa l sigui modlo: si s su dad años, ocs dicha capacidad vi dada por: f + l co Calcula l valor mdio d la capacidad d mmorizar d u iño r su primr y su rcr cumplaños El orma dl valor mdio os asgura qu is u úmro c dl irvalo [, ] qu cumpl ( + l ) d f ( c )( ) El valor f c srá l valor mdio pdido S calcula, pus, l valor d la igral y lugo s halla f ( c ) : Esa úlima igral s calcula por pars: l, f ', g', f + l d d + l d + l d g Eocs: l d l d l l + l + l ( + l ) + l 7,89 7,89,9 ( ) d d f ( c) f ( c) s l valor mdio d la capacidad d mmorizar d u iño r su primr y rcr cumplaños 9 Uidad 6 Igral dfiida

94 8 Sa f su ára ( ) si l si > Dibuja l rcio acoado por la gráfica d f ( ) y la rca y, y drmia La parábola g ( ) y l logarimo h l s cora l puo (, ) sá formado por dos rcios A y l rcio, como s aprcia, u Calculmos sus áras: ( ) A d + d + ( l ) ( l ) [ l ] u A d El ára dl rcio s + u Rcurda qu la igral dl logarimo priao s calcula por pars: I l d u l du d I l d l C ( l ) C + + dv d v d a a 9 Si f ( ) d, srá ocs f ( ) d a a jmplo Es falso: basa qu f sa impar para qu f ( ) d Por jmplo f a a a a a a, por lo qu f d d? Si s ciro, pruébalo, si s falso cofírmalo co u Igral dfiida Uidad 6 9

95 a) Sa g ua fució drivabl qu cumpl g ( 6) g d Calcula ( ) ' b) Sa f coiua y al qu Calcula f ( ) f u du a) Calculamos la igral ( ) ' g d por pars: 6 d f, f '( ), g' g', g g ( ) ' ( ) g d g g d 6 g d Por ao, la igral dfiida pdida s: ( ) g d ( ) g g d g g b) Para calcular ' 6 6 f d mplamos l orma d susiució igrals dfiidas: b Si f y g ' so coiuas, ocs f ( g ( )) g '( g b ) d f ( ) d a g( a) Así pus: f d f d f d f d Sa g ( ) f ( ) d co f, dfiida [ ],, dada la figura a) Ti g algú máimo o míimos rlaivos? Dód sá? b) E qué valors d alcaza g l máimo y l míimo absoluos? c) E qué irvalo s la gráfica d g cócava hacia arriba? d) Esboza la gráfica d g Al sr g' f, s v qu ' a) E los puos d abscisa,, 9, g' g si,,, 7, 9 pasa d sr posiiva a gaiva, lugo g pasa d sr crci a dcrci, s dcir, s raa d máimos rlaivos E los puos d abscisa, 7, g' ( ) pasa d sr gaiva a posiiva, así qu llos g( ) prsa míimos rlaivos b) S sudia l valor d g y y los puos dl irior los qu s aula la drivada g g f ( ) d ; g >, g < g, g( ) < g, g( 7) < g pus g( 7) < g( ), g( 9) g( ) < g( 9) y Así pus, l máimo absoluo d g s alcaza Aálogam, s v qu l míimo s alcaza c) g'' ( ) > si f '( ) > y so ocurr (, ) ( 6,8 ) d) 9 Uidad 6 Igral dfiida

96 P d Drmia u poliomio P( ) d sgudo grado sabido qu P P y qu P a + b + c co a Por ora par, P c P a + b + c, s dcir, a + b y c a + b + d, s dcir: a 8 + b +, Por ao, si a + b y a + b 6, s i qu a, a, 6 P + b, y E la figura s musra la par posiiva d la gráfica d y Ecura la cuació d ua rca vrical para qu l ára d la zoa sombrada sa d 9 u a d 9, s dcir: 9, pus las oras solucios o sá [, ] La rca buscada s a a a 9, a 6a + 7, ( a )( a a 9), a, PARA PROFUNDIZAR Sa g : ua fució coiua al qu si, g Calcula g, sudia la coiuidad d f y obé ' f y sa f g d Como g s coiua, s i qu g g lim lim f s coiua pus s drivabl ya qu g s coiua y, al sr, s i qu: f g g + g ( + ) f ' ( g( ) )( ) + g g( ) + g + Sa f ua fució coiua y posiiva l irvalo [, ] Halla razoadam l úmro d raícs (, ) d la fució F ( ) f ( ) d f ( ) d La fució F( ) s coiua [, ] (pus s drivabl), sido posiiva [, ] Aálogam, F f f f > Así pus, F i al mos ua raíz (, ) S sudia F' ( ) : F f f f ' > Así pus, como F' ( ) uca s hac cro pus f s F f f f <,, s dsprd qu F o pud r más d ua raíz dicho irvalo por lo qu, juo al argumo arior, s cocluy qu solo i ua raíz Igral dfiida Uidad 6 9

97 6 La figura musra u smicírculo d radio, diámro horizoal AB y rcas ags A y B A qué disacia dl diámro db colocars la rca horizoal MN para miimizar l ára sombrada? Hazlo d dos formas: miimizado ua fució igral y miimizado ua fució qu dpda d α S oma u sisma d js prpdiculars co orig l cro dl smicírculo, cuya cuació sría: y Sa y k la cuació d la rca MN y s scrib l ára sombrada fució d k k A d k k + k k d k k k d + d + k k k f k Para obr l míimo valor d f ( ), co [,] k, s calcula su drivada rspco d k ( k) ( k) k k k f '( k) k + k + k + k + k k k k k k Así pus, ' f k si k, Así pus, la rca MN s db siuar a ua disacia d para s valor d k, f alcaza l míimo absoluo k dl diámro AB S compruba, posriorm, qu S rsulv ahora l problma si uilizar l cálculo igral, como idica l uciado El ára sombrada s: α + cosα α sα cosα+ sα α+ sα sα cosα f α f '( α ) [ + cosα cos α ] si cosα cosα+, s dcir, cos α cosα Así pus, cosα,cosα co α, cos α s α cosα+, s dcir, S oa qu l valor S compruba qu cosα corrspod al valor d cosα corrspod fcivam al míimo absoluo k obido por l procdimio arior Si cosα, α y f, 7, f, + f +, 6 Así pus, l míimo valor corrspod a α o k 96 Uidad 6 Igral dfiida

98 7 a) Escrib s d érmios d s d (Haz u s y dv s d igra por pars) b) Uiliza l aparado arior para dmosrar: s d s c) Si s u impar posiivo, pruba la fórmula d Wallis: d ( ) 6 s d 7 a) s s cos s cos s cos s ( s ) d + d + d s cos + s d s d + ( ) + s d s cos s d s d s cos s d b) -, s dcir, s d s cos + s d s d s d c) s d s d, s dcir: Rirado, si s u ro posiivo impar: s d s d s s d d Igral dfiida Uidad 6 97

99 8 Sa f : dfiida por f ( ) a) Calcula I f d Para cada, sa I d b) Dmusra qu si [, ], ocs c) Calcula ro J d y pruba qu si, ocs I+ + I d) Por igració por pars dmusra qu I + + Dduc qu I o s u úmro ) Sa k! I, scrib k + fució d k y pruba qu k s u úmro ro para odo f) Uilizado c) y d) pruba qu! k + I o s u ro g) Dmusra qu l úmro s irracioal a) I d + d b) Si [, ],, así qu c) I Por ao, si, s I, I Lugo I o s u úmro ro + + d) + ( + ) + ( + ) I d + d I ) Por iducció: Si, k I ( )! Supoido qu k s ro s dmusra para k + [ ] k +! I +! + I + +! I + + k + s ro f) Como, sgú c), I o s ro co, sigu qu! k + I o s ro co g) Si! o s ro, s irracioal pus, caso corario, sría ro a, s omaría b y! b! a ( b! ) a b b 98 Uidad 6 Igral dfiida

100 Auovaluació Compruba qué has aprdido E la parábola qu corrspod a la fució f + a, sido a u úmro ral, las ags los puos d abscisas y pasa por l orig d coordadas Obé a y calcula l ára dl rcio limiado por la gráfica d f y dichas ags Los puos d abscisas y i ordada + a Las rcas ags dichos puos so y ( + a) ( ) y ( a) ( ) Al pasar por O (,), la primra, por jmplo, s ( a) +, a Así pus, la parábola s y + y os pid l ára dl rcio sombrado Ára sombrada ( ) ( ) + d u + + Calcula l valor dl ára limiada por la curva y, l j X y las rcas y U sbozo d la rgió d la qu os pid l ára sría la sombrada Así qu l ára pdida s d ( ) + B( + ) A B A Lugo A( ) B( ) + + Por ao, si B A por lo qu: 6 d l l l6 l l l l u Obé l ára dl rcio acoado limiado por las gráficas d f y g El rcio dl qu s pid l ára s l sombrado Así pus, las coordadas d los puos d cor so las solucios d los sismas: y + y + y + y + qu so y, rspcivam, por lo qu l ára pdida srá: ( ) ( + + d d + + d + + ) d u Igral dfiida Uidad 6 99

101 Dibuja l rcio limiado por las gráficas d las fucios y, y y 8 y calcula su ára y A: y A, y 8 y Ára dl riágulo OCA: 7 8 Ára rgió ACB ; B: B(, ) u ; C, d + + u 8 8 Así qu l ára dl rcio sombrado s 7 + u 8 8 Halla l ára dl rcio limiado por la gráfica d la fució gráfica l máimo rlaivo f + y la rca ag a dicha ± 6 f ' + si, 6 f '' 6, f '' < por lo qu l máimo rlaivo s Nos pid l ára d la rgió sombrada P, f f 7 + y B : y 7 Rsolvmos la cuació + Sabmos qu ua solució s , así qu facorizamos como +, por lo qu 9 B, y l ára pdida s: ( ) + d 7 + u 7 6 Si I cos d y igrals J s d, compruba qu J + I cos+, y calcula dspués las J I s I cos d s + s d s + J f g' J s d cos cos d cos + I f g I s+ J J cos+ I, dbmos probar qu I + J cos+ y fcivam, I J s I J s I + J cos+ ( ª cuació) ( ª cuació), s cos + por ao, I ( + ), J ( s cos ) Uidad 6 Igral dfiida

102 7 Ecura l valor d c para qu la rca c divida al ára d la rgió bajo la gráfica d f r y dos rgios, als qu l ára d la d la izquirda sa l dobl dl ára d la d la drcha Hay qu hallar c para qu c d d, s dcir: c c + +, así qu c + + c c c, c c + c c c, o sa: 7 7 c 7 c 7 c c c c c ± y como c >, la solució s c Calcula los puos dod s aula la drivada d la fució + f + d + f ' + si +, s dcir, + y 9 Calcula l volum dl curpo grado la roació alrddor dl j X d la suprfici limiada por la curva y s co y l j V s d ( cos ) d s u Rlacioa y cosa Elig la úica rspusa corrca cada caso Si f ( ) g d y g, ocs ( g f) ' s igual a: A B C D 8 La solució s D ( g f)' g' f f ', g', f g g d ; f g d g + g d g + g d g d g + g d ( ) d d [ ] [ ] + g + g + + Por ora par, ' g f, co lo qu f ' 8 g' f Así pus, ( g f) 8 ' Igral dfiida Uidad 6

103 Sobr la igral s d podmos afirmar: A Val C Val B No is, pus y s o s igrabl D Es cos + cos La solució s C [ ] [ ] s d s d + s d s d s d cos + cos Sa f ua fució dfiida l irvalo abiro (, ) co drivada sguda coiua Si f i rmos locals los puos y, d la igral '' I f d, podmos asgurar qu: A I f f B I f f C I f ' f ' D I ' f f ' La solució s B I f '' d f ' f ' f ' f f ' ( ) f ' ( ) ( f ( ) f ( )) Al r f rmos locals y, s i f ' f ' por lo qu I f f Sñala, cada caso, las rspusas corrcas Sa I cos ( ) d y s ( ) J d A I > B I + J C I D I J cos d La rspusa A s vrdadra pus las fucios coiuas f cos ( ) y g s l irvalo [, ] La rspusa B s falsa porqu I + J d I d d La rspusa C s vrdadra porqu cos ( cos s ) cos( ) La rspusa D s vrdadra porqu I J d d so o gaivas Uidad 6 Igral dfiida

104 Sa f la fució dfiida [, ] cuya rprsació gráfica s la d la figura A f d C B f d f d f d f d f d D El valor mdio d f [ ], s ifrior a f d La rspusa A s vrdadra pus f d > La rspusa B s falsa, pus f d > f d y f d < f d La rspusa C s falsa pus f d f d f d + f d f d f d La rspusa D s vrdadra ya qu f d mor qu f d >, por lo qu < f d <, por lo qu l valor mdio d f [ ], s Elig la rlació corrca r las dos afirmacios dadas 6 *Sa f ua fució coiua [ a, b ] b f ( ) d f ( ) [ a, b ] a A B, pro / C pro / D y s cluy r sí La solució s C Si f ( ) [ ab, ], s f d a b, por lo qu Obviam /, como lo jusifica cualquir fució cuya gráfica sa como la dl jrcicio, s dcir, simérica rspco dl puo mdio dl irvalo ab, [ ] Sñala l dao icsario para cosar 7 Para calcular f 8 d os da sos daos: f ( ) s priódica d priodo f ( ) s ua fució par f para < A Pud limiars l dao C Pud limiars l dao B Pud limiars l dao D No pud limiars igú dao La solució s D Los daos, y so los rs csarios para sabr cómo s la fució [,8 ] Así pus o pud limiars igú dao Igral dfiida Uidad 6

105 PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Dada la fució: si f si < a) Pruba qu f() s coiua l irvalo [, ] y drivabl l irvalo (, ) b) Esudia si la fució s crci o dcrci los irvalos (, ) y (, ) a) S sudia la coiuidad d la fució l irvalo [, ], a sólo l puo, ya qu coiua {} y h s coiua Como lim f lim f lim f, f() s coiua dicho irvalo + La drivabilidad s sudia l puo si f '() < < si < < Como lim f ' lim f ' lim f ', f() s drivabl l irvalo dado + g s b) El domiio so odos los rals, ya qu l domiador o s aula para igú valor d Para sudiar l crcimio y dcrcimio d la fució s iguala la primra drivada a cro:, o is si < < f ' si < Lugo o i máimos o míimos ya qu l úico puo l qu pudira habrlos,, coicid co l rmo absoluo d la fució Rsulv: f' f Por ao, la fució s sricam dcrci ya qu la drivada s simpr gaiva odo l irvalo a + b a) Sa f la fució dfiida como f para a Calcula a y b para qu la gráfica d f pas por l a puo (, ) y ga ua asíoa oblicua co pdi b) lim a+ b a) La fució pasa por l puo (, ): f() a+ b a 6 a+ b 6 a Como m, pdi d la asíoa oblicua, s i qu: f() a + b a + b a m lim lim lim a a a Por lo ao a+ b 6 + b 6 b La fució s: f b) ( ) ( ) + + lim lim + + ( ) ( ) lim ( ) Bloqu I Aálisis

106 Sa h() : a) Eucia l orma d Bolzao b) Drmia los rmos rlaivos y sudia la moooía d h c) Uiliza l orma d Bolzao para probar qu la cuació h() i acam dos solucios rals a) Si f s ua fució ral y coiua u irvalo crrado [a, b] y, admás, sigo f(a) sigo f(b), ocs is al mos u (, ) c ab al qu f(c) b) S iguala la primra drivada a cro: h' 6 ( ) Esos valors so los cadidaos a rmos Para sudiar la moooía d la fució h' + h Por lo qu s dcrci, y crci, h 9 ''() h ''() h '' > Para mos u puo d iflió, y para u míimo c) Rsolvr la cuació s quival a hallar los puos d cor d h() co l j X Para llo, aplicamos l orma d Bolzao Tido cua qu la fució s coiua odos los rals, buscamos valors para los qu la fució i sigo disio y vamos acoado: h( ) ( ) ( ) > h () < h () < h( ) ( ) ( ) > h () < h () > Por lo ao podmos rsumir: h( ) > h() > c (, ) al qu h(c ) c (, ) al qu h(c ) h() < h() < Es imposibl qu haya más solucios si admos a la moooía d la fució Dadas las fucios f y g para : a) Esboza l rcio limiado por las gráficas d f y g idicado sus puos d cor b) Calcula l ára dl rcio a) f() s ua rca y g, s ua hipérbola d I y III cuadra Para vr los puos d cor s iguala f() y g(), s dcir,, d dod + b) Rsolvido la cuació obmos y A [ f g] d l l u Bloqu I Aálisis

107 Calcula las siguis igrals, plicado l méodo d rsolució: a) cos d b) d ( )( ) a) S aplica l méodo d igració por pars: udv u v vdu u du d dv cos d v cos d s cos d s s d s + cos + C 9 d d d b), qu s pud dscompor fraccios simpls: ( )( ) ( ) ( ) A B C A( ) + B( ) + C + + ( ) ( ) ( ) A( ) + B( ) + C Para mos qu A Para mos qu C Para mos qu A + B + C, y susiuydo los valors A y C, B Por ao, la igral quda: ( + ) d l l l + l ( ) ( ) 6 6 Bloqu I Aálisis

108 P S quir obr l lími lim Q daos: PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS dod P() y Q() so fucios poliómicas S da los siguis P() Q() El rso d dividir Q() r ( + ) s El rso d dividir P() r ( + ) s El rso d dividir Q() r ( + ) s Cuál s l dao icsario para cosar y, por llo, pud limiars? A Pud limiars l dao C Pud limiars l dao B Pud limiars l dao D Pud limiars l dao P P ( + ) + lim lim Q id Q( + ) + Solució D A la visa d la gráfica d la sigui fució, cuál o cuáls d las siguis afirmacios so ciras?: A Ti ua discoiuidad viabl B Ti ua discoiuidad d salo ifiio C Ti ua discoiuidad d salo fiio 9 D Es coiua por la drcha y por la izquirda Solució: (B, C) S dsa cosruir u parallpípdo rcagular d 9 L d volum d al forma qu u lado d la bas sa l dobl qu l oro Las logiuds d sus lados para qu l ára oal d sus 6 caras sa míima so: A dm, h dm C cm, h cm B dm, h dm D cm, h cm 9 Para rlacioar las variabls s uiliza la fórmula dl volum: V Ab h h h 9 h Por ao, l ára quda: 7 7 A() + 6h E igualado la primra drivada a cro: A'() dm A' + A Como dm h dm Solució: A + Bloqu I Aálisis 7

109 Para qu la fució f ( ) a + b + c pas por l orig d coordadas y ga u míimo l puo (, ) los valors d a, b y c i qu sr: A a, b,c C a, b, c B a, b,c D Es caso o pud ocurrir Si f() pasa por l orig d coordadas ocs f() c, ocs f a + b Por oro lado, sabmos qu la fució pasa por l puo (, ) y qu admás és s u míimo: f() a+ b a+ b f ' a + b f '() a + b, ocs a+ b Y rsolvido l sisma: a, b a Por lo ao la fució srá f() Solució: B Lorzo, qu o sab drivar, dic qu las fucios f() y g() so primiivas d ua misma fució Sñala cuál o cuáls d las siguis opcios vrifica las afirmacios d Lorzo A f() +, g() + + B f() l( + ), g() l( + ) C f() s cos 8 cos, g() cos s + cos D f() arcg, g() arcg Dos fucios so primiivas d ua misma fució sólo si difir ua cosa A g() B g() l ( + ) C g() f() cos + s + f(), lugo A s vrdadra + l + l( + ) l + f() y B s vrdadra cos ( cos ) por lo qu C s falsa D f() g() arcg + arcg, co lo qu D s vrdadra Solució: A, B y D 8 Bloqu I Aálisis

110 6 El ára d la rgió limiada por la gráfica d la fució f las rcas vricals y s: A B La gráfica d la fució s: s si [,), l j d abscisas y si [,] C D 8 Obsrvado la gráfica d la fució, l ára pdida s: 8 ( ) d + ( ) d + + u Bloqu I Aálisis 9

111 El solucioario d Mamáicas II d º d Bachillrao forma par dl Proyco Ediorial d Educació d SM E su ralizació ha paricipado l sigui quipo: Auoría Frado Alcaid, Joaquí Hrádz, María Moro, Esba Srrao, Vic Rivièr, José Migul Gómz Edició Frado d Blas, Oiaa García, Frado García, Aruro García Corrcció ciífica Jua Jsús Doair Corrcció Javir Lópz Ilusració Jua Aoio Rocafor, Barolomé Sguí Disño d cubira iriors Esudio SM Rsposabl d proyco Aruro García Coordiació diorial d Mamáicas Josfia Arévalo Dircció d Ar dl proyco Mario Dqul Dircció diorial Aída Moya Cualquir forma d rproducció, disribució, comuicació pública o rasformació d sa obra solo pud sr ralizada co la auorizació d sus iulars, salvo cpció prvisa por la ly Diríjas a CEDRO (Cro Español d d Drchos Rprográficos, wwwcdroorg) si csia foocopiar o scaar algú fragmo d sa obra SM Imprso la UE / Prid i EU