En esta unidad vamos a aprender el proceso inverso de derivar, que se llama integrar. 2, la función F(

Transcripción

1 . PRIMITIV DE UN FUNCIÓN E sa uidad vaos a aprdr l procso ivrso d drivar, qu s llaa igrar. Diició: Ua ució F diros qu s ua priiiva d ora ució dada, si la drivada d F s, s dcir: F s priiiva d F Ejplo : Dada ( ) 6, la ució F( ), s ua priiiva d, pus s pud vriicar ácil qu F'( ) 6 ( ) Ejplo : Dada ( ), ua priiiva s F ( ) l. Pro coo s pud obsrvar la priiiva o s úica, pus basa suar ua cosa (º) y sguios ido priiivas, coo F ( ) l 6, ó F ( ) l 4. Todas las priiivas vriica qu F k '( ) ( ) Coo vos ua ució pud r iiias priiivas, basa suar ua cosa dirciadora.. INTEGRL INDEFINID. PROPIEDDES Diició: S llaa igral idiida d ua ució al cojuo d odas las priiivas d, y s rprsa por: ( ) d F( ) C al qu F s ua priiiva d y C R. brviaos poido ( ) d F( ) C S l igral d () dircial d. C s l llaa cosa d igració. () s l llaa igrado. El síbolo sipr ha d ir acopañado dl acor d (dircial d ), cuyo sigiicado s idicar la variabl rspco a la cual s igra. Ejplo : Calcula cos d. Es obvio qu cos d s C Ejplo 4: Calcular d. Sabos qu arcg', lugo d arcg C Propidads d la igral idiida a) La igral dl produco d u º ral por ua ució s igual al º ral por la igral d la ució: k ( ) d k ( ) d (u acor uérico s pud rar dl sigo igral) b) La igral d la sua o dircia d ucios s igual a la sua o dircia d la igrals d dichas ucios: ( ) g( ) d ( ) d g ( ) d Ejplo : Calcular ( 6 ( 6 7s) d d d 7 7s) d (por la propidad b) d d sd 6 7sd (por la propidad a) 7( cos) C 7cos C

2 . INTEGRLES INMEDITS S llaa así porqu s obi dirca dl coociio d sus rspcivas drivadas y para llo os qu orizar la sigui abla. TIPO FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUEST EJEMPLO Cosa k d k C k '( ) d k ( ) C d C Pocial a a d C a a a ' d C a 4 ( ) ( ) d C 4 Logaríico d l C ' d l C d l C Epocial d C a a d C l a ' d C a a ' d C l a d C l So cos d s C (cos ) ' d s C (cos ) s d C Coso s d -cos C (s ) ' d cos C (s ) d cos C Tag ( ) g d g C cos d g C ( ) ' g d g C ' cos d g C cos d g C Coag ( cog ) cog d C s d cog C ( cog ) ' cog d C ' s d cog C C ( cog ) d cog rco so o arco coso d arcs C d arcos C ' ' d arcs C d arcos C d arcs C rco d arcg C ag ' d arcg C l d arcg (l ) C El ipo s rir a la ució solució, o al igrado. NOT: Es buo, si hay ipo, ralizar la coprobació, s dcir, drivar y vr qu sal l igrado.

3 Ejplo 6: Calcular las siguis igrals idiidas: a) I 4 d (d ipo pocial) C d 8 d (la ª igral s d ipo cosa y la ª la poos b) I d ora pocial) 8 d (opraos y sipliicaos) + 8 (aplicaos a la ª igral la órula d la pocial) El rsulado ial lo djaos co radicals pus l igrado así lo ra. Tabié s pud rar acor dl radical y la solució quda: I c) I d (os hos d dar cua qu l urador sá la drivada dl doiador ' y ocs s la ució copusa d la logaríica d) l. Sipr hos d por l valor absoluo las logaríicas pus u logario sólo i sido cuado su arguo s posiivo) d) I 6 d (prparaos u poco l igrado pus la drivada dl po () casi la os uliplicado a la pocial) 6 d (por la propidad a) d la igrals podos jugar co los acors uéricos a usro guso y coo os hac ala u, uliplicaos por dro d la igral y dividios por ura, qu os dja si variar la igral) 6 d (y ya podos aplicar la copusa d la pocial ' ) 6 cos ) I d (os daos cua d qu casi os la drivada d la raíz cuadrada para aplicar la copusa rigooérica, prparaos l igrado, sparado y uliplicado y dividido por ) cos d (ya s dl ipo cos ' d ) s ) I d d (s dl ipo arco so copusa) arcs (l) l l g) I d (parc dl ipo ag copusa, sólo os ala la drivada d, por so cos uliplicaos y dividios por ) d g cos + 8

4 MÉTODO DE INTEGRCIÓN POR PRTES Es éodo d igració s sul usar cuado l igrado i a dos ucios uliplicádos y sa ucios o i ucha rlació r si, y ua d llas, por si sola, s rlaiva ácil d igrar. u v du. S basa la sigui órula: dv u v - vcs s csario aplicar rirada l éodo d igració por pars. Ejplo 7: Calcular I l d Coo vos l igrado i a ua ució polióica () uliplicádos por u a ució logaríica (l). Tos qu lgir covi u y dv, l d u dv. Coo u s ha d lgir aqulla ácil d drivar (lgios l), y coo dv s ha d lgir ua par qu sa ácil d igrar (lgios ). u l (drivaos cada lado rspco a la variabl corrspodi y añadios l dircial) du d. sí os quda u l du d dv d (aquí igraos rspco a la variabl corrspodi) dv d v (aquí o añadios la cosa d igració). Ya sólo os quda susiuir la órula: I l d l d (opraos y sipliicaos) I l d I l d (hacos la igral idiaa qu quda y añadios ya la cosa d igració) I l C I l C 4 Ejrcicio:: Coprobar qu I l Ejplo 8: Calcular I d E s caso lgios dir al arior. u du d Susiuios I dv d dv d v d d I Ejplo : Calcular I arcg d E s caso por urza hay qu lgir d sa ara: u arcg du d du d dv d dv d v Susiuios: 4

5 I arcg d arcg d arcg d Vaos a calcular apar la igral qu os ha qudado y l daos obr J d J d (s idiaa d ipo logario copuso uliplicado y dividido por ) J d J l ( por qué o h puso valor absoluo? sipr s posiivo) Volvos a I y susiuios lo qu val J, qudádoos rsulo l probla: I arcg l( ) s d Ejplo 0: Calcular I Elgios sa opció: u s du cos d dv d dv d v hora susiuios: I s d s- cos d Nos sal ora igral siilar pro co cos: J cos d, qu la volvos a hacr por pars ligido d igual ara qu la prira vz (si lgios dir o sal): u cos du ( s) d dv d dv hora susiuios: J d v cos d cos - ( s) d Rducido os J bucl o ciclo, J cos cos s d Esa igral vulv a sr I, parc qu raos u I, pro si susiuios la prira prsió d I os: I s- J s- ( cos I) I s- cos I I s- cos I s- cos Qu lo podos djar sacado acor coú: I s- cos 4. MÉTODO DE INTEGRCIÓN DE FUNCIONES RCIONLES P( ) So d la ora d, dod P () y Q () so polioios ) Sólo os vaos a crar, sgú las oriacios d Slcividad, raccios racioals cuyo polioio doiador, Q (), sólo hay raícs rals. Lo priro a r cua s qu l grado dl urador P () ha d sr or qu l grado dl doiador Q (). Si o ura así, cuaos la divisió dádoos u coci C () y u rso R () y P( ) R( ) P( ) R( ) os qudaría así C () + ) ) d ) C ( ) d + d, dscopusa dos ) igrals y la sguda s racioal co l urador ya d or grado qu l doiador.

6 D ara gral, si a, a, a so las raícs dl doiador y cada ua co uliplicidad,,, s dcir, Q () p ( ) a ( ) a a ) (, ocs: P( ) ) a... a a... a... a a a a... a Vaos co jplos coo s aplica sa idigsa órula y obsrvaréis qu s uy ácil. Ejplo : Calcular I d 6 Vos qu l urador i grado y l doiador i grado, lugo o hos d hacr la divisió. Pasaos a calcular las raícs dl doiador, bi por Ruii o bi por la órula d la cuació d º grado 6 0. Hay dos raícs disias d uliplicidad. B sí os qu podos dscopor d la sigui ora l igrado +. 6 Opraos l ibro d la drcha hacido coú doiador y suado para calcular y B: ( ) B ( ) ( ) B ( ) Para calcular y B daos 6 ( ) ( ) valors a covi: Para ( ) B ( ) 4 ( ) 4 Para ( ) B ( ) B 6 Co so susiuios la igral: 4 I d 6 d 6 + d Ya so igrals logaríicas idiaas I 4l 6l Ejplo : Calcular I d Dado qu l urador i ayor grado qu l doiador hos d hacr la divisió d polioios coo sabos: 6

7 - 4 C() R() 6 6 sí os qu: I d d ( ) ( ) d + d 6 6 I + d. Esa úlia igral la oaos por J d y ya podos aplicar lo iso qu l jplo arior, pus ya os l doiador co ayor grado: 0. Hay dos raícs disias d uliplicidad. Dscopoos raccios sipls l igrado 6 B 6 ( ) B ( ) + 6 ( ) B ( ) ( ) ( ) Daos valors covi a X: Para - B ( ) B Para Susiuios J: 6 J d d ( ) d d l l Y volvido a I: I + l l Ejplo : Calcular I d Calculaos las raícs dl doiador (dscopoos acors) dia la Rgla d Ruii: Lugo os qu, qu os dic qu s ua raíz d uliplicidad 0 y - s ua raíz d uliplicidad. Pasaos - - a dscopor l igrado sgú la oría: 0 B C ( ) ( ) B ( ) C ( ) ( ) hora daos valors a covi: Para 0 B C 0 B Para - ( ) 0 B 0 C ( ) C Opraos suado co coú doiador ( ) ( ) B ( ) C ( ) 7

8 ( ) Para 0 Pasaos a susiuir I: I d d I l d l I I l l d d d l l. MÉTODO DE INTEGRCIÓN POR CMBIO DE VRIBLE O SUSTITUCIÓN Es éodo cosis prsar la ució igrado dada ució d ora variabl d odo qu la igral rsula sa ás ácil. Ua vz rsula ésa, hay qu dshacr l cabio para djar la variabl origial. Vaos a vrlo dia jplos, y ucha prácica s lo qu hac ala para ajar sa ora d igració. Ejplo 4: Calcular I cos s d Si os ijaos la ució so sá dro d ua raíz cuadrada, y adás os su drivada (qu s l coso) coo u acor dl igrado. (NOT: la igral la podos vr así s cos d ) Noral l cabio d variabl a ralizar s oar ua ució cuya drivada sa u acor dl igrado. E s caso hacos: s. D s cabio hos d sacar los dircials, y so s hac drivado l cabio qu hos lgido: cada ibro rspco d su variabl y poido su corrspodi dircial ' ' ( ) ( s) d cos d d cos d s Por ao os: d cos d Susiuios I: I C hora dshacos l cabio Ejplo : Calcular I s cos d d s y os quda: I I d I s I I d Esa s ua igral u poco coplicada d rsolvr, pro si lgios bi l cabio d variabl rsula ácil. Hacos l cabio dspjar la ució d Y ahora hacos dircials (. Vaos ahora a )' ' d d + 8

9 Rsuido: I d ; ; d d qu los usaos para la igral origial d (opraos u poco y agrupaos) I d I d 4 (sipliicaos ua ) I 4 4 d I 4 d d 4 4 I (*) 0 8 hora hos d dshacr l cabio, coo I 4 4 y susiuydo (*), os quda: 0 8 Ejplo : Calcular I d (a d slcividad d 00) E l a s rcoida hacr l cabio. Si d s cabio dirciaos obos d ( ) d qu o apora ada para la susiució, lugo sa dirciació la dschaos. Co, dspjaos la, oado logarios priaosl l l l y aquí s dod dirciaos d d Rsuido, os: ; d d y susiuios la igral pricipal: 0 I d d I d Nos quda ua igral racioal co raícs d ( ) uliplicidad qu so 0 y -. Dscopoos raccios sipls sgú l aparado ): 0 B 0 B ( ) 0 B ( ) ( ) ( ) ( ) Daos valors a para obr y B Para 0 0 B Para - 0 ( ) sí: I d d ( ) I 0 l 0 l Coo, dshacos l cabio y os quda: I 0 l 0 l Podos oprar u poco co las propidads d los logarios y dar u rsulado ás sipliicado: I 0 l I 0 l I 0 l ás lga. NOT: Es covi cuar la coprobació drivado y así pracicaos qu ala os hac. qu s ucho