SEÑALES Y SISTEMAS I TABLAS. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

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Eva Agüero Márquez
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1 SEÑALES Y SISEMAS I ABLAS Dpo. orí d l Sñl y Comuiccios

2 POPIEDADES DE LA ASFOMADA DE LAPLACE Propidd Sñl rsformd OC ( ) ( ) ( ) s () ( s) ( s) Lilidd () + b ( ) ( s) b ( s) Dsplzmio l impo ( ) Dsplzmio l domiio s s ( ) Escldo l impo ( ) Cojugció ( ) + Al mos s () s s ( s ) Vrsió dsplzd d ( s dcir, s sá l OC si s-s sá ) s * * ( s * ) Covolució () ( ) ( s) ( s) Difrcició l domiio dl impo. d ( ) d Difrcició l domiio s ( ) Igrció l domiio dl OC scld (s dcir, s sá l OC si s/ sá ) Al mos s() s Al mos d ds s impo. ( τ) dτ () () s s Al mos { {} s } > orms dl vlor iicil y fil. Si () pr < y () o coi impulsos o fucios sigulrs d ord suprior, ocs ( + ) Lims( s) Lim ( ) Lims( s) s

3 ASFOMADA DE LAPLACE DE FUCIOES ELEMEALES SEÑAL ASFOMADA OC δ() odo s u () s ( ) u s ( ) ( ) () u! u! () ( ) α u s +α ( ) α s +α u! ( ) ( ) α α () u ( ) u! ( ) {} s > {} s < {} s > s {} s < s ( s +α) ( s +α) δ s [ cosω u () [ s ω u () α [ cosω u() α [ sω u() u () d δ d () () u() * * u() u vcs s s +ω ω s + ω s + α ( s α) + + ω ω ( α) s + + ω s s {} s > α {} s < α {} s > α {} s < α Pr odo s {} s > {} s > {} s > α {} s > α Pr odo s {s} >

4 POPIEDADES DE LA SEIE COIUA DE FOUIE Propidd Sñl Priódic Coficis d l sri Obció d coficis () y() Priódics d priodo y frcuci fudml ω jω () () Lilidd ( ) B y( ) Dsplzmio l impo ( ) Dsplzmio frcuci ω ( ) b jω () Sñl pr () cos( ω ) () Sñl impr () s( ω ) j A + A + B b j ω jm Cojugció * ( ) M Ivrsió d impo ( ) Esclmio l impo ( ), α > Covolució priódic ( τ) y( τ) Muliplicció ( ) y( ) Difrcició d( ) α (Priódic d priodo /α) dτ b d p pb jω Igrció () τ dτ (d vlor fiio y priódic solo si ) jω Simrí cojugd pr sñls rls. ( ) Sñl rl I ϕ m p [ [ [ I [ [ ϕ[ Sñl rl y pr () rl y pr rl y pr Sñl rl impr () rl impr imgiri impr lció d Prsvl pr sñls priódics P m [ () () d m d d d

5 COEFICIEES DEL DESAOLLO E SEIE DE FOUIE DE SEÑALES COIUAS SEÑAL PEIÓDICA COEFICIEES + jω () () j ω cosω ;, s ω ;, j () ;, () δ( ) Od cudrd priódic m τ () A ( τ chur dl pulso) m ó A, < τ (), τ < < y ( + ) () s A ( ω τ / ) π Aτ ωτ si c Od rigulr priódic m τ () A ( τ chur dl pulso) m Aτ ωτ si c m τ () A cosω p Aτ ω ω si c p τ ω + ω τ A + si c p τ

6 Ecucios ASFOMADA DE FOUIE E IEMPO COIUO POPIEDADES Propidd Sñl rsformd d Fourir () y () (ω) Y ω d () ( ω) ( ) j ω ω ( ω) ( ) () Pr ( ω) ( ) () Impr ( ω) j ( ) Lilidd () + b y() (ω) + b Y(ω) Dsplzmio l impo (- ) ( ) j ω ω Dsplzmio frcuci () j ω (ω-ω ) Cojugció * () * (-ω) Ivrsió d impo (-) (-ω) Escldo d impo y frcuci () ω jω d cosω d Covolució () y() (ω) Y(ω) Muliplicció () y() [ ( ω) Y( ω) Difrcició l impo d () d jω ( ω ) Igrció () τ dτ ω + π δ ω jω Simrí cojugd pr sñls rls Simrí pr sñls rls y prs Simrí pr sñls rls y prs Dscomposició pr impr d sñls rls lció d Prsvl pr sñls o priódics ( ) ( ) ( ) sω d ( ω) ( ω) [ ( ω) [ ( ω) m [ ( ω) Im [ ( ω) ( ω) ( ω) [ ( ω) ϕ[ ( ω) () Sñl rl I ϕ ( ω) ( ) [ ω () Sñl rl y pr ( ω) [ ( ) ω ϕ[ ( ω) ± π () Sñl rl impr ( ) ( ) ω Im[ ω ( ω) ji [ ( ) m ω π ϕ[ ( ω) ± p I () Pr{ ( ) } [ ( ) rl { ( ω) } () Imp{ () } [ ( ) rl jim{ ( ω) } f ( ) G( ω) DUALIDAD G ( ) f( ω) E[ () () d ( ω) dω

7 EJEMPLOS DE ASFOMADAS DE FOUIE DE SEÑALES COIUAS SEÑAL ASFOMADA jω () π δ( ω ω ) () A A δ( ω) () A j ω Aδ( ω ω ) () A cos ω π A[ δ( ω ω ) + δ( ω + ω ) () A s ω A[ δ ( ω ω ) δ( ω + ω ) π j Pulso rcgulr ( ) A ( chur dl pulso) τ τ () ó A,, < τ > τ ( ω) A s ω ( ωτ ) ωτ Aτsi c Pulso rigulr ( ω) Aτsic τ () A ( τ chur dl pulso) () δ( ) δ ω s W π () ( ω),, ωτ ω < W ω > W () A δ() A () A δ(- ) j A ω jω u() + πδ( ω) + j ω () u(), {} > () u(), {} > ()! ( ) u (), {} > ( + jω) ( + jω)

8 Eprsió POPIEDADES DE LA ASFOMADA z Propidd Sñl rsformd z OC [ ( z) z [ [ [ () () z () z [ Lilidd [ + b [ ( z) b ( z) [ z ( z) Dsplzmio l impo Escldo l domiio z z j Ivrsió l impo [ [ [ [ Epsió l impo ( )[ ( ) ω jω z z + Al mos l irscció d y ( z ) z ( z) ( z ) [ r, r, r pr lgú ro r Cojugció [ Covolució [ * [, cpo pr l posibl dició o suprsió dl orig z Vrsió scld d (s dcir, l cojuo d puos{ z} pr z ivrid (s dcir, - l cojuo d puos z -, dod z sá ( z ) * * ( z * ) ( z) ( z) Primr difrci [ [ Acumulció Difrcició l domiio z ( z ) ( z) [ s dcir, l cojuo d puos z dod z sá Al mos l irscció d y Al mos l irscció d y z > ( z) Al mos l irscció d y z > ( z ) [ d ( z) z dz orm dl vlor iicil Si [ pr <, ocs, Lim z [ ( ) z

9 ABLA DE ASFOMADAS z FECUEES Scuci [ rsformd z (z) OC δ [ odo z δ [ m m z u u [ [ z z Pr odo z cpo (si m > ) o ifiio (si m < ) z > z < u[ z z > u [ z z < u[ u [ [ cos( Ω ) u[ [ s ( Ω ) u[ z z z ( z ) z ( z ) z > z < z > z cosω cosω + z z sω z > cosω + z [ r cos( Ω ) u[ [ r cos Ω z [ r cos Ω z + r z [ r s ( Ω ) u[ [ r s Ω z [ r cos Ω z + r z z > r z > r

10 SEIES DE FOUIE E IEMPO DISCEO Propidd Sñl priódic Cofici [ y[ Priódics co priodo y frcuci fudml Ω / b Ecucios j [ [ Lilidd A [ B [ Dsplzmio d impo [ Dsplzmio frcuci [ Cojugció [ Ivrsió l impo [ Escldo l impo Covolució priódic A + Bb + j π jm Muliplicció [ y[ M [ m, muliplo d m ( m )[, rso d vlors (priódic d priodo m) Primr difrci [ [ Sum coscuiv Simrí cojugd pr sñls rls. [ l [ [ y[ [ r y[ r z r Priódics d priodo j m (viss como priódics d priodo m) b r r b r ( ) j( ) [ (d vlor fiio y priódic sólo si ) j( ) ( ) Im ϕ [ [ [ Im[ ϕ Sñls rls y prs [ EAL y PA rl y pr Sñls rls imprs [ EAL IMPA imgiri impr Dscomposició pr impr p [ Pr{ [ } [ [ rl [ d sñls rls [ Im pr{ [ } [ [ rl jim I [ lció d Prsvl pr sñls priódics P m [

11 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIEES DEL DESAOLLO E SEIE DE FOUIE DE SEÑALES DISCEAS SEÑAL COEFICIEES j j Ω cosω s Ω [ [ δ( ) Od cudrd priódic,, < [ y [ + [ m () Ω, m, m ±, m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic m () Ω /, ± m, ± m ±, ± m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic m () Ω / j, m, m ±, m ±, / j, m, m ±, m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic,, ±, ±, co oro vlor s s +, [( )( + ) [( ), ±, ±,,, ±, ±,

12 Ecució ASFOMADA DE FOUIE E IEMPO DISCEO Propidd Sñl rsformd Sñl priódic [ ( Ω) y[ Y( Ω) j [ ( Ω) Ω dω ( Ω) [ j [ ( Ω) Priódics d priodo jω (sñl priódic, ) δ( Ω ) Sñl priódic [ [ + (sñl priódic) ( Ω ) Lilidd [ + b y[ ( Ω) + b Y( Ω) Dsplzmio l [ jω ( ) impo Dsplzmio frcuci Ω [ j Ω ( Ω Ω ) Cojugció [ ( Ω) Ivrsió impo [ ( Ω) Epsió impo [, ( )[ muliplo d ( Ω), rso d vlors Covolució [ y[ ( Ω) Y( Ω) Muliplicció [ y [ ( θ ) Y ( Ω θ ) [ [ π π Difrcició impo jω ( ) ( Ω) Acumulció Difrcició frcuci Simrí cojugd pr sñls rls Simrí pr sñls rls prs Simrí pr sñls rls imprs Dscomposició pr impr d sñls rls m [ m ( Ω) jω [ d( Ω) [ EAL j dω + π dθ ( ) δ( Ω ) ( Ω) ( Ω) [ ( Ω) [ ( Ω) [ ( Ω) Im[ ( Ω) ( Ω) ( Ω) Im ϕ( Ω) ϕ( Ω) [ EAL y PA ( Ω) rl y pr [ EAL IMPA ( Ω) imgiri pur impr I [ Pr{ [ } [ [ rl [ ( Ω) [ Im pr{ [ } [ [ rl j Im[ ( Ω) p lció d Prsvl pr sñls priódics E [ ( Ω) dω DUALIDAD F [ ( Ω) [ [ ( Ω)

13 EJEMPLOS DE ASFOMADA DE FOUIE DE SEÑALES DISCEAS SEÑAL COEFICIEES j π δ Ω j Ω π δ( Ω Ω ) Ω π δ( Ω Ω π) + δ( Ω + Ω ) [ cos Ω δ( Ω Ω ) δ( Ω + Ω ) [ s [ π δ( Ω ) π j [ δ( ) δ Ω [ u < [,, > jω s [ Ω ( + ) s ( Ω ) s W π W si c π W π < W < π, Ω W ( Ω ) ( Ω) priódic d priodo, W Ω π δ [ u [ [ δ j ( + ) u[ < ( + r )! ( r )!! u [ < Ω jω + jω ( ) jω ( ) r πδ ( Ω )

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