Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Mar del Plata

Transcripción

1 Dprmo d Mmáic Fculd d Igirí Uivridd Nciol d Mr dl Pl Mmáic Avzd hp:://www3..ffii..mdp.du.r/mvzd mvzd@ffii..mdp.du.r 6

2 Coido INRODUCCIÓN...3 EMAS DE VARIABLE COMPLEJA...9 ANÁLISIS EN EL DOMINIO EMPORAL /REAL.3 ANÁLISIS EN EL DOMINIO RANSFORMADO 9 APÉNDICE 73 ABLAS 8

3 m d Vribl Complj INRODUCCIÓN Eo pu d cádr i l filidd d guir l lumo l udio d lo difr m d l igur. No db coidrr úico mril pr l udio d lo coido imprido, io qu db r complmdo co l bibliogrfí dlld l pági igui. Pr comprdr i dificuld lo coido, rquir r coocimio y hbilidd l rolució d jrcicio d lo igui m: Álgbr d úmro compljo. opologí dl plo compljo. Fucio d vribl complj. Codicio cri y ufici d Cuchy-Rim. Fucio líic. Fucio rmóic. Fmili d curv orogol. Igrl curvilí d u fució complj. Lo lumo dbrá lr, iguido l croogrm, lo m rlciodo co l cl igui. Dur l orí, lo profor drrollrá lo m, rlizrá jmplo y xplicrá lo uvo cocpo fudmádolo co l dmorcio má impor, clrrá l dud prd igrrá lo coocimio. Lo rpobl d l prácic xplicrá diio ipo d jrcicio igrdor y drá coul d lo lumo. S rcomid iir l cl óric y prácic y qu rlizrá xpliccio cocpul cri pr l comprió d lo diio m. 3

4 m d Vribl Complj Igr d l cádr: iulr: Dr. Glori Froii Auxilir: - Ig. Crlo Chiuro - Dr. Gbril Mio - Dr. Frdo Oro - Sr. Frcico Prz Objivo grl d l igur Fmilirizr l lumo co l vocbulrio dcudo pr prmiirl u myor comprió d lo coido imprido l igur uuri d é. Cpcir l lumo pr profudizr lo m d curdo co l cidd d cd pcilidd. Rlcior lo difr cocpo, fi d logrr u mjo igrl d lo mimo y plr iucio uv. Régim d promoció: L vlució d l igur lo lrgo dl curdo rlizrá l igui ici: xám prcil órico prácico qu rá clificdo l cl d puo y u probció corrpodrá u o d 5 o má puo. L uci u prcil igific cro como o. Smirio co Mlb, qu dbrá rlizr d cd prcil. Srá d ici obligori, ido é l codició idipbl pr podr rdir l prcil corrpodi. Rcuprorio qu pud uilizr pr rmplzr l o d u prcil dprobdo. Cumplid p l lumo podrá r: PROMOCIONADO: Si l um d lo do prcil probdo d 4 puo como míimo, i hbr hcho uo dl rcuprorio. HABILIADO: Si l um d lo do prcil d puo como míimo. E co podrá probr l igur ridido u xm OALIZADOR pr l cul i r poibilidd. L o fil dl lumo l igur rul d l o obid l olizdor y lo prcil. DESAPROBADO: Si o cumpl co l codicio rior. E co l lumo dbrá rcurr l mri. 4

5 m d Vribl Complj Progrm líico I Vribl Complj I- rformció Igrció. Iroducció y rpo. rformció Coform. Igrl l cmpo compljo. orm d Cuchy-Gour. Cocuci. Fórmul d l igrl d Cuchy y d l Drivd d l igrl d Cuchy. I- Sri d poci. Polo y riduo. Sri d ylor. Sri d Lur. Méodo prácico. Drrollo ri. Covrgci. Dfiició d riduo. Sigulridd ild: dfiició y clificció. Fórmul pr l cálculo d riduo. orm d lo riduo. II Aálii d ñl y im l domiio mporl /rl. II- Clificció y propidd d Sñl Aálii d ñl l domiio dl impo. Sñl priódic y o priódic. Sñl d rgí y d poci. ipo d ñl. Fució impulo. Fució impulo como lími d or fució. Fució impulo dplzd. Propidd. II- Sim lil ivri l impo. Aálii d im lil. Dfiició d im lil. Fució oprciol dl im. Solució d cucio difrcil l domiio dl impo. Solució riori y prm d u im bl. Apliccio im lil. II-3 Covolució. Cálculo y propidd d l igrl d covolució. Cálculo d l rpu l impulo. Rpu fucio xpocil. Ebilidd d u im. Rlció r l rpu l cló y l rpu l impulo. II-4 Vribl d do. Modldo d im lil mdi vribl d do. Cocpo d do. Obció dl modlo d vribl d do pr im d u rd, u lid d impo coiuo. Modlo d l gud form cóic. Dfiició d mriz d rició. Solució d cucio d do l domiio mporl. Cálculo d l mriz d rició. Ebilidd. III Aálii d ñl y im l domiio rformdo. III- Sri d Fourir Sim orogol d fucio. Fucio cciolm coiu. Vcor y ñl. Sri d Fourir d u fució rliv u im oroorml. Aproximció cudráic. Cofici d Fourir. Ididd d Prvl. Sri rigooméric y xpocil d Fourir. Simrí d l form d od. Igrció y difrcició d l ri d Fourir. Epcro d frcuci dicr. Dfiició. Epcro d mpliud y d f. Propidd. Epcro d poci. Rpu d u im lil u fució priódic. 5

6 m d Vribl Complj III- rformd igrl d Fourir Form rigooméric d l igrl d Fourir. Covrgci d l igrl d Fourir. rformd d Fourir. Lilidd d l rformd. Propidd. Form o y coo d l igrl d Fourir. rformd o y coo. rformd ivr d Fourir. Propidd. Covolució. III-3 rformd d Lplc Dfiició uilrl d l rformd d Lplc. orm d xici. Covrgci. Propidd. rformd ivr. Propidd. Méodo pr clculrl. Apliccio. Fució d rfrci. Aálii d l bilidd d u im. Digrm d bloqu l impo y l frcuci complj. Aálii y olució dl modlo vribl d do mdi l rformd d Lplc. Propidd d l mriz d rició d lo do. Rlció co l fució d rfrci. Ebilidd. rformcio d mjz. rformció por lo uovcor. Bibliogrfí E.KREYSZING: Mmáic vzd pr Igirí. Ed. Limu. R.V.CHURCHILL; J.W.BROWN: Vribl complj y pliccio. Ed. Mc Grw Hill. M.R.SPIEGEL: Vribl complj. Sri Schum. Ed. Mc Grw Hill. R.A.GABEL, R.A. ROBERS: Sñl y Sim lil. Ed. Limu S.A. C.D.MC GILLEN, H.R.COOPER: Coiuo d Dicr Sigl d Sym Alyi. Ed.Hol-Rihr d Wio. R.V.CHURCHILL: Sri d Fourir y problm d cooro. Ed. Mc Grw Hill. H.R.HSU: Aálii d Fourir. Fodo ducivo irmrico S.A. M.R.SPIEGEL: rformd d Lplc. Sri Schum. Mc Grw Hill. A.PAPOULIS: h Fourir Igrl d i Aplicio. Mc Grw Hill. M.R.SPIEGEL: Aálii d Fourir. Sri Schum. Ed. Mc Grw Hill. OPPENHEIN WILLSKY: Sñl y Sim. Pric Hll. C.L.PHILLIPS - J.M.PARR: Sigl, Sym, d rform. Pric Hll. hp:// igl 6

7 m d Vribl Complj Croogrm Curd Sm Acividd m drrollr Rolució d guí Rviió d cocpo d vribl complj. Fucio Alíic. Cro y Sigulridd. rformcio. orm d Cuchy-Gour. Rolució d guí Prácic dmoriv Cocuci. Fórmul d l igrl d Cuchy y d l drivd d l igrl d Cuchy. Riduo orm d riduo. Sri, polo y riduo. Sri d Lur. Méodo prácico 3 Rolució d guí Prcilio 4 Rolució d guí Smirio 5 Rolució d guí Prácic dmoriv 6 Rolució d guí Prácic dmoriv 3 7 Rolució d guí Smirio 8 Rolució d guí 9 Rolució d guí Rolució d guí Smirio 3 Rolució d guí Fórmul pr l cálculo d riduo: impl y múlipl. Aálii d ñl. Clificció. Sñl d rgí y poci. Sñl cul y icudl. Simrí. Comprió y dilció. Fució rmp. Ecló uirio. Pulo.Fució impulo. Sim lil. Dfiició. Propidd y Clificció. Digrm Bloqu. Rolució d cucio difrcil. Dcompoició d l rpu ol. Rpu l Impulo. Covolució impo coiuo. Propidd. Ejmplo. Ebilidd d u im BIBO. Cálculo d l rpu l impulo. Rlció r l rpu l cló y l rpu l impulo. Rpu prm ñl xpocil complj. Modldo d im lil vribl d do. Mriz d rició. Dfiició y propidd y cálculo d A. Vribl d do: olució l domiio mporl. rformcio d Smjz. Cl d Rpo. Primr prcil Orogolidd d fucio. Dducció d lo cofici d Fourir. Sri d Fourir grlizd. Error cudráico mdio. Ididd d Prvl. Sri xpocil y rigooméric d Fourir. Covrgci. orm d Dirichl. Ejmplo: r d pulo rcgulr, di d irr, r d impulo, c. Rpu prm d u im lil u rd priódic. Simrí. Epcro dicro d frcuci. Propidd. Epcro dicro d poci. rformd d Fourir d ñl d rgí. Dfiició. Epcro d f y d mpliud. orm d l igrl d Fourir.. d Fourir d lgu ñl: pulo rcgulr, xpocil uilrl y rigulr. Propidd d l. d Fourir: Simrí. Lilidd. Ecl. Covolució. 7

8 m d Vribl Complj Rolució d guí 3 Rolució d guí 4 Rolució d guí Smirio 4 5 Rolució d guí Dplzmio. Difrcició igrció. Epcro d Ergí rmiió d ñl rvé d Sim lil. Filro.. d Fourir d ñl d poci.. d Fourir d ñl cul:. d Fourir o y coo... d Fourir d fucio priódic. rformd uilrl d Lplc. Codicio ufici d xici. Rgió d covrgci. Pr rformdo. Rlció co l rformd d Fourir. Propidd d l rformd d Lplc. Lilidd. Ecl. rlció. Covolució. Dplzmio. Difrcició igrció. orm dl vlor iicil y dl vlor fil. rformd d Ivr d Lplc. Rolució d cucio difrcil.. Aplicció Sim Lil. Fució d rfrci. Ebilidd. Digrm bloqu l vribl. Ejmplo. Solució mdi rformd d Lplc. Rpu riori y ciori. Aplicció d l rformd d Lplc l modldo vribl d do. Rlció co l Fució d rfrci. Ebilidd dl im. rformcio d mjz. rformció d lo uovlor. Rpo 6 Sgudo Prcil Rcuprorio 8

9 m d Vribl Complj EMAS DE VARIABLE COMPLEJA Gráfico d l fució fz=z -z--j /z ++j. L colorció rpr l rgumo d l fució, mi qu l brillo rpr l módulo. 9

10 m d Vribl Complj INRODUCCIÓN FUNCIONES ANALÍICAS L fució w = fz, dfiid pr lo úmro compljo z=x+jy líic u puo ddo z D i l mim drivbl o l propio puo z como u ciro oro dl mimo. E codició cri uqu o ufici pr l drivbilidd d ipo d fucio qu vrifiqu l Codicio d Cuchy-Rim C-R, do cucio difrcil prcil báic l álii d fucio complj d vribl complj. Rcordmo l codicio d C-R pr fz =ux,y+jvx,y : ux v y ; v x uy. E codició cri y ufici pr qu u fució fz coiu drivbl u puo x,y, qu vrifiqu l codicio d C-R y qu l drivd prcil d u y v coiu puo. Sigulridd : z u igulridd d fz, i fz líic lgú puo d ciro oro d z, pro o lo l propio puo z Dcimo qu u fució r, i líic odo l plo z ifiio. Por jmplo, u poliomio u fució r. U fució rciol, coci r poliomio, líic lvo lo vlor d z l qu l poliomio dl domidor cro; o vlor rá puo igulr d fz. z z... f z m m b z b z... b m m Sigulridd ild: Si xi ciro oro d u puo igulr l cul f líic, xcpo l propio puo, oc z z d u fució f, odo u puo igulr ildo d f. Or form d dfiirl l igui: f z i u igulridd ild z = líic u oro rducido d z. ipo d igulridd ild: clificmo l igulridd como polo, igulridd cil o igulridd vibl. Como drmir l urlz d u igulridd I Si lim fz oc dcimo qu fz i u polo z = z. zz Pr qu u puo z u polo d ord m d fz, crio y ufici qu fz pud φz xprr d l form: fz co φz m y φz líic z. z z m Similrm, podmo dcir qu z rá u polo d ord m i limz z.fz k, k zz zz II Si lim fz o xi oc z = z u igulridd cil d l fució. III Si lim fz L zz oc z = z u igulridd vibl. z i

11 m d Vribl Complj Ejrcicio: Alizr lo ipo d igulridd lo puo idicdo z fz z z R. Sigulridd vibl z f z z 3 z R. Polo d gudo ord. z 3 f z z z R. Sigulridd vibl 4 z f z z R. Sigulridd cil co z 5 f z z 7 z R. Polo d quio ord CEROS DE UNA FUNCIÓN Supogmo qu l fz líic l puo. El puo fz d ord i cumpl l igui codicio: z z llm cro d l fució Si = l puo f z ; f z ;...;f z ; f z u cro impl. z U puo u cro d ord d l fz, qu líic l puo ciro oro d puo vrific l iguldd: z z z z, dod z líic z y z f z Ejrcicio Drmir lo cro d l igui fucio y corr l ord d lo mimo. f z z 3 f z Rpu: z Rpu: z = u cro d rcr ord z = kj u cro impl RANSFORMACIÓNO MAPEO CONFORME z, i y ólo i, Dfiició: U fució w = fz líic y o co rform u domiio D dl plo z oro domiio fd dl plo w. E lo puo lo qu f z u plicció d ipo po u impor propidd d r coform, lo qu igific qu i do curv culquir cor u puo d D, u imág fd cor formdo l mimo águlo qu qull. E cd puo z d u domiio dod f líic y f z l rformció w = fz coform. z w C C C * C * C * Fig.: Curv C y C Fig.: Imág d l curv C *, C *, rpcivm bjo u mpo coform.

12 m d Vribl Complj S dcrib coiució lguo jmplo d rformcio coform. rformció lil Form grl: w = Az + B; A y B co complj. Si w = z + B pr A= u x B u jv x jy B jb o l coordd d rformció v y B Rpr u rlció, i l modificció d l form, i orició, i mño d l figur. b Si w = Az, rbjdo coordd polr, obmo: w Az R. r R r j j j. Rpr u roció gú rgumo d A y u mgificció corcció o dilció d l figur gú: A RSi A hy dilció ; i A hy corcció. c w = Az + B pr B Rpr u combició d roció co mgificció y rlció. Ejmplo : Si quiir corr l img d l igui rgió: x ; y, mdi w = +jz + -j rribrí l igui cocluio: Roció gú rg+j = Mgificció gú: rlció gú -j 4 j ; dilció rformció ivr Form grl: w o z. z w Excpo pr z =, w = lo qu o i img blc u corrpodci uo uo E polr: j j r r Exi u imrí rpco l j rl y dmá u ivrió rpco d l circufrci d rdio r =, o : Si r > < ; i r < >.

13 m d Vribl Complj E cri: o bi, pr z w w z x u x jy x y u jv., x jy x jy y v x y pud cribir: x u u v ; v y u v Eudimo l rformció ivr d u fmili d circufrci y rc Si, b, c, d R, l cució d u fmili d circufrci o rc dpdido d o = l plo z : x +y + bx + cy + d = Si plic l rformció ivr lo puo qu cumpl co l iguldd d rrib, mo qu l plo w corrpod : u v bu c v d, u v u v u v y oprdo obi qu d u +v + bu cv + =. Lugo, como l rgió x +y + bx + cy + d = l plo z ruló d u +v + bu cv + = l plo w, cocluy qu l rgió rformd rul mbié u fmili d circufrci o rc. Ejmplo: rformr x +y - 4x + y = mdi l rformció ivr. Rpu: v = -u +. 3 Hllr líic y gráficm mdi l rformció ivr, l img d l rgió ryd: z j j/ 3

14 m d Vribl Complj u Rpu: u v u v El puo dl ifiio U plicció d l rformd ivr qu prmi corr l img dl puo dl ifiio Noció: z = Idic qu l img d w = bjo l rformció w = Alíicm coidr z z pu i z, oc z. Uilizdo uiució implific l r l cálculo d lími. El puo dl ifiio rcib l ombr d puo impropio llmdo. El plo compljo má l puo ifiio, rcib l ombr d plo compljo xdido, i puo llm plo compljo fiio. z Ejmplo 4: rformr l puo z = mdi: 4z w. Rpu: w = 4 z rformció bilil o lil frcciori u homográfic Form grl: z b w, d - bc,, b, c,d :co complj cz d L rformcio d ipo rform circufrci y rc circufrci y rc. Obrvr qu cudo c, l form grl pud cribir, rlizdo l diviió d lo d b bc d poliomio, como: c w.. c cz d c c cz d Hcido: z= cz+d A y bc d z B, rul: w. z C z c c L cucio A,B y C rpr r rformcio uciv qu dcompo l rformció bilil. L primr y l rcr o d ipo lil y l gud ivr. Hy ólo u rformció bilil qu rform r puo diio ddo: z, z, z3, oro r puo diio w, w, w3, rpcivm. Dich rformció vi dd por l fórmul: w w w w3 z z z z3 w w w w z z z z 3 3 Dmorció: Supogmo u puo z i dl plo Z cuy img 4 w i :

15 m d Vribl Complj Aálogm pr l puo z j : z b i wi cz i d w j z cz j j b d Si rmo mb xprio y oprmo obi qu: z i b z j b d bc zi z j wi wj cz d cz d cz d cz d i j i j. Ahor, rlizdo procdimio pr, cribir: d bc z z ww cz d cz d w w 3 ww w 3 " w w i " d bc z z3 cz d cz d 3 d bc z z3 cz d cz d d bc z z w cz d cz d 3 " w w " 3, " w w " 3 y " w w " pud Lugo, rlizdo l coci r l produco d l do primr xprio y l produco d l do úlim, obi l rlció bucd: w w w w3 z z z z3 w w w w z z z z 3 3. mbié, i rcrib l cució dl igui modo: w w w z z = w w w z z z w 3 z 3 z 3 w fácil obrvr qu: * Si z = z oc l gudo mimbro y w = w * Si z = z3 oc l primr mimbro y w = w3 * Si z = z oc w ww w 3 = w w 3 w w, d dod: w w-w3 = w w-w3, por lo o: w = w, z3 mbié pud rbjr co l puo dl ifiio mdi uiucio dcud co l po l lími. S domi puo dobl o fijo qul cuy img w rpr l mimo úmro. L rformció i como máximo do puo dobl rprdo por l ríc z, z b obid l cució: w hcido z = w cz d 5

16 m d Vribl Complj Ejmplo: 5 Ecorr l rformció qu mp: z =, z =, z3 = - lo puo zj w = j, w =, w 3 =. Rpu: w z z j v 6 Mdi w, rformr x>, y>. Rpu: z j u v 7 Hllr l rformció bilil dl círculo z <5 l círculo w <, d l modo qu lo puo z = -5, z = 4+3j, z3 = 5 rform lo puo w = -, w = j, w3 =. z 5 Rpu: w z INEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO U igrl d lí o curvilí qull igrl cuy fució vlud obr u curv, por jmplo, l curv C qu v d A B. E igrl u grlizció d l dfiició d l igrl dfiid rl. y Si mbrgo u irprció o cill como l d l B igrl dfiid dl cálculo lml ár bjo l curv dcrip por l igrdo. L curv C llm rycori d igrció. C Ejmplo prácico d u uilizció pud r: A - l cálculo d l logiud d u curv l pcio, - l cálculo dl volum d u objo dcrio por u curv, objo dl qu po u fució cmpo clr qu dcrib u volum lo lrgo d l curv, 3- l cálculo dl rbjo qu rliz pr movr lgú objo lo lrgo d u rycori ido cu cmpo d furz dcrio por cmpo vcoril qu cú obr l mimo. x Rcordmo l orm d Gr l plo igrl curvilí rl, qu d l rlció r u igrl d lí lrddor d u curv crrd impl C y u igrl dobl obr l rgió pl R limid por C: S fucio Px,y y Qx,y y u primr drivd prcil fucio coiu od u rgió crrd R, coiuid por odo lo puo irior u cooro crrdo C, juo Q P co l cooro mimo, oc: Pdx Qdy dxdy. x y C R jy C rcorr ido poiivo ihorrio. E l co d u curv crrd do dimio, l igrl C curvilí llm mbié igrl d cooro. R x 6

17 m d Vribl Complj Igrl d lí complj Coidrmo u fució fz = ux,y +j vx,y l cul líic odo lo puo irior y obr u cooro crrdo C, y l qu igrl curvilí: fzdz C f z coiu llí. S quir vlur l E fácil vr qu l igrl d lí complj pud xprr érmio d igrl d lí rl, fució d u compo. Si uiuy fz = ux,y +j vx,y y dz = dx +j dy l igrl y opr, rul: C f zdz C ux, ydx C vx, ydy j C vx, ydx C ux, ydy EOREMA DE CAUCHY-GOURSA S fz u fució líic u domiio implm coxo D. Eoc, ddo u cooro crrdo impl C coido D, mo: fzdz =. C Dmorció Como: C f zdz ux, ydx vx, ydy j vx, ydx ux, ydy. C C C C Eoc como fz líic, u y v y u drivd prcil d primr ord o coiu l mim rgió. Dd l propidd d u y v, poibl plicr l orm d Gr*. Eoc, l gudo mimbro modific como, v u u v f zdz dxdy j dxdy. x y x y C R R Como cumpl l codicio d Cuchy-Rim, gudo mimbro ul y rul: fzdz. C 7 u v v u, x y x y oc l E dmorció, bd l orm d Gr, xig qu f z coiu R y qu d lo corrio o podrímo plicr dicho orm. Cuchy obuvo 84 por primr vz ruldo, vliédo d u fórmul quivl y qu Gr o hbí ú xplicido u orm. Or dmorció, mo rriciv, fu formuld fi dl iglo XIX por Gour, qu o rquir qu f z coiu. E dduccio cooc como orm d Cuchy-Gour, o vc úicm como orm igrl d Cuchy. z Ejmplo: Probr qu dz pr od rycori crrd. C

18 m d Vribl Complj Cocuci dl orm d Cuchy-Gour Cocuci Supogmo fz líic u rgió comprdid r do curv C y C, dcir, u domiio doblm coxo, oc d pud probr qu: C fzdz C fzdz Dmorció: U domiio doblm coxo rform implm coxo co u cor AB, y oc pud plicr l orm d Cuchy-Gour: C A B C B A Obrv qu C y C á rcorrido ido corrio. B C A C Admá, como: d quí qu: B A A C C B, y C C, podmo cribir:, mb rcorrid l mimo ido. C B A C B A, Si grlizmo pr u domiio muliplm coxo, Cj j =,,3,... : C C C C... 3 C Cocuci : Pricipio d l idpdci d l rycori Si fz líic u domio implm coxo D, i ommo do puo A y B culquir coido D, y do curv C y C, mbié coid dicho domiio, pud dducir qu: ABC f zdz AB C f zdz Lugo, l igrl o dpd dl cmio r A y B. E or cocuci dl orm d Cuchy-Gour, y qu i primo d A por C y volvmo A por C y l curv crrd l llmmo C *, ido C * = C+-C bido qu l igrl obr C *, rul: * C C C, gú l codicio dd :, oc: y ABC BAC BAC ABC ABC * C ABC Obrvmo qu l igrl o dpd dl cmio io d lo xrmo. C A C B 8

19 m d Vribl Complj Ejrcicio: Pr z= -j y z= +j, clcul z z f z dz, pr fz = z jy - x Igrl dfiid: U igrl dfiid pud clculr por l icrmo qu ufr l igrl idfiid, como l co d igrl rl: f zdz F F, dod lo cmio d igrció á coido u domiio implm coxo, l qu fz líic. FÓRMULA DE LA INEGRAL DE CAUCHY S g líic y uívoc u domio implm coxo odo lo puo irior y obr u cooro crrdo C; i z culquir puo irior C i gz gz j z z C dz, dod l igrl om ido poiivo lrddor d C. L fórmul mur qu l vlor d l fució, qu líic u rgió, á drmido od l rgió por u vlor obr l cooro. Dmorció: S C u circufrci co cro l qu z z r y r lo uficim pquño pr qu C irior C. g z L fució líic odo lo puo irior y obr C, xcpo l puo. z z Por lo o l igrl lrddor dl cooro d l rgió ulr r C y C cro, y gú l primr cocuci dl orm d Cuchy-Gour: g z g z dz dz z z, dod mb igrl om ido poiivo. z z C C z z Uilizdo u rificio l gudo mimbro: C g z dz z z Eoc: C g z g z g z dz z z C g z dz g z g z dz g z dz z z z z C C z z Alizmo cd u d l igrl I y II. I II 9 A C C r z z

20 m d Vribl Complj S j j jθ dz r j z z r y dz r jdθ, oc I: d j j z z r C j. Pr II: S om l vlor boluo y i cu qu g coiu, / g z g z pr z z. z, oc: E priculr z z r, irior C. C g z g z z z dz C g z g z z z dz r C dz r r Puo qu l úmro pud r pquño como d, l vlor boluo d l igrl mbié pud hcr rbirrim pquño. Rducir quivl implm rducir l rdio d C. g z gz Rmplzdo A, rul: dz g z. j gz z z dz j z z Ejrcicio: z 8 Clculr : dz z C C lo lrgo dl círculo d rdio co cro, pr: = R. j c = - R. -j b = R. j d = j R. co z 9 Clcul dz, dod C l cooro z C rigulr mordo l figur. co z b Clcul dz, dod C z C l mimo cooro qu l prdo. Rcoidr l fució dl Ej 8 y Clcul l igrl lo lrgo dl círculo d rdio co cro. b Coidr hor l curv C como - pro pr igrr l fució c Clcul C z 4 z dz z z z 3 - R. jy C x z z z. Fórmul d l drivd d l igrl d Cuchy Si l fució gz líic u rcio D y u fror C, oc pr culquir úmro url vrific l fórmul:

21 m d Vribl Complj g! gz z dod z D, j z z dz C z C S pud dmorr prido d l fórmul d l igrl d Cuchy y drivdo rpco d ; cudo llg rir l proco y por iducció llg lo qu qurí dmorr y cocluir: Si u fució g líic u puo oc u drivd d odo lo órd g, g,...; o mbié líic qul puo. z g' z Ejrcicio: Clculr z dz 3 z C z ; R. 4 j ; b Clculr C z ch z j dz ; 3 R.. z z RESIDUOS Dfiició: S fz u fució líic u cooro crrdo C, implm coxo y odo puo dl irior d C, lvo. S domi riduo d l fució fz u igulridd ild z = z z l úmro dfiido por: z R f z f z dz z j od fució i u riduo cd uo d u puo igulr ildo. Si mbrgo, l vlor dl riduo pud r cro. z Obrvr qu i z u polo impl, fz, z R f z lim z z fz oc zz z z y i z u polo múlipl fz C z z, y z z m z Por l. d l Igrl d Cuchy. m z R f z. z m! Má dl dmorrá qu i z u polo impl d fz, y i Pz f z, Pz y Qz líic y Pz ; Qz y Q z, Qz oc l riduo mbié R zz z Pz fz. Q z z Ejrcicio : Drmir l riduo d l igui fució igulridd. R: R fz 3 z. z z 3 f z u z

22 m d Vribl Complj EOREMA DE LOS RESIDUOS El orm d lo riduo cocuci dirc dl orm d l igrl d Cuchy y form pr fudml d l orí mmáic d Aálii Compljo. S C u curv crrd l plo compljo l qu l fució fz líic l irior d C y obr C, xcpo u úmro fiio d puo igulr ildo z,z,......zm irior C. Si k,k,......km rpr lo riduo f qullo puo i qu: C fzdz j m R fz zz i i Dmorció: Ecrrmo cd uo d lo puo igulr zi u círculo Ci co rdio pquño pr qu qud prdo odo o m círculo y C. Eoc fz líic l domiio muliplm coxo limido por C, C,...,Cm y obr l fror. D curdo co l igrl d Cuchy u d l Cocuci cocluy qu: f z dz f z dz f z dz... f z dz C C C Como: f z dz j. k ; f z dz j.k ;... f z dz j.k m, oc: C C C m k... km j. R f z zz i i f z dz j. k. C m C m C3 C z z3 C Cm z zm C Ejrcicio 3: Rolvr l igui igrl plicdo l orm d lo riduo. 3 3z dz dz R. j ; b z z 9, R. 3 z z 4 C z C z j 3 c C z 4 dz, R. - j h z

23 m d Vribl Complj SERIES. POLOS Y RESIDUOS Rvimo prvim lo igui m: Sri d poci U ri d poci z = u ri ifii d l form: c z c c z c z... c z.... dod z l vribl; c, c,...,c o lo cofici y u co qu rcib l ombr d cro d l ri. E priculr i =, obi u ri d poci z : c z L rgió d covrgci drmi co u círculo d cro y rdio R, l qu z R l ri covrg y i z R divrg. El círculo z R llm círculo d covrgci y u rdio rcib l ombr d rdio d covrgci. c El rdio clcul, por mdio d lo cofici d l ri, L lim y gú l fórmul c d Cuchy-Hdmrd: R. L Si L = R = l ri covrg pr odo z. Si L = R = l ri covrg z = Ejrcicio 4: z Rpu: R = y z ; b z Rpu: R = y z Sri d ylor S fz líic odo lo puo irior u circufrci C co cro z y rdio R. E cd puo z irior C: f z f fz fz f z z z z z... z z R.!! Lugo, l ri ifii covrg fz i R cudo. L covrgci á grizd i f líic l irior d C. L RC dfiid impr u rgió bir. El rdio R l dici dd l puo z h l puo igulr d f qu é má próximo z, y qu l fució líic odo lo puo irior C. 3

24 m d Vribl Complj Ejrcicio 5 Drmir l rdio d covrgci d l ri d ylor pr f z ido z = j z Rpu:. b Drrollr f z Solució pr l icio b : z 3 poci d z- Si rbj lgbricm co fz pud cribir qu: fz z z Ahor, rcoddo l ri goméric pr q= z z z covrgci d l ri fz pr. Aí, pudo corr l ri d ylor bucd: fz z R l form I l vlor d z, válid pr z. I Drrollo ri má uilizdo: Sri biomil: z z, Co priculr: - z - z... z ; dod,! 3 z, z ó z z z z 3 z, z ó z z z z m mm z mm m z -3 z mz..., z! 3! z z, z! z 3 co z, z! z z 4, z! 4

25 m d Vribl Complj Si u fució f o líic z, o podmo plicr l orm d ylor puo. No ob, much vc poibl hllr u rprció d fz form d u ri qu coi o poci poiiv como giv d z-z. E l domid SERIE DE LAUREN orm S fz u fució líic l illo r z z r crdo z. S C culquir cmio crrdo impl, orido poiivm, qu rod z y á coido domiio ulr. Eoc, cd puo z d rgió, fz á rprd por u ri covrg d poci poiiv y giv d, llmd SERIE DE LAUREN: z - z b fz z z r z z r z z dod: j fz dz... z z,,,... C C jy C r C z z r x b fz j z z C dz,, E grl, obdrmo lo cofici d l ri d Lur por méodo prácico y o por l fórmul y 3. Ejmplo: Drroll f z / z 3 ri d Lur poci d z- y drmi l domiio l qu l ri covrg fz. Obrvcio: I El drrollo crib co frcuci como fz f z A z z, dod : A dz,,,... j z z C. Llmmo zo irmdi lo puo d l rgió r z z r, lo qu l ri coi o poci poiiv como giv. 5

26 m d Vribl Complj II E l co qu f líic odo puo obr C irior ll, xcpo z, l rdio r pud omr rbirrim pquño. Aí l drrollo válido cudo z z r. L llmrmo zo crc. III Si f líic odo lo puo irior y obr C, l igrl obr C dfiid l c3 igul cro por. d C-G y l ri rduc u ri d ylor. y l igrdo fució líic z. IV E priculr b f z válido z z z z r. L llmrmo zo lj. Obrvmo qu fur d l coro circulr, fz podrá rprr por u ri qu i olo u d l umori d. L ri d Lur d u fució líic dd fz u illo d covrgci úic. Si mbrgo fz pud r difr ri d Lur do illo dl mimo cro. U ri pocil rpr u fució líic odo puo irior u círculo d covrgci. Ejrcicio: 6 Hllr od l ri d Lur d f z co cro z z z Rpu: f z z válid z b f z válid z z z c f z vlid z z 7 Ecorr od l ri d Lur d f z co cro z =. z z Rpu: f z válid z z b f z. z válid z z z =. 6

27 m d Vribl Complj SINGULARIDADES y RESIDUOS DE UNA FUNCIÓN y LA SERIE DE LAUREN Cudo z u puo igulr ildo d f, xi u úmro poiivo r l qu l fució líic cd puo z pr l cul z z r y domiio l fució á rprd por l ri d Lur: b fz z z z z A l úlim ri l llm pr pricipl d fz l oro d. ipo d igulridd ild. Rlció co l ri d Lur. Dcimo qu u fució i u polo d ord m l puo z z, i l pr pricipl d u drrollo d Lur lrddor dl puo igulr coi h u úmro fiio m d érmio. Eoc, como pud obrvr l xprio 3, lo cofici,b,..., o odo ulo. Por coigui u drrollo d Lur : bm m fz z z Si m = l polo impl. b z z z b z z z b m- m..., m- m z z z z b b m b Dcimo qu l puo u puo igulr cil d l fució, i l pr pricipl coi u úmro ifiio d érmio. c Si l Sri d Lur crc d pr pricipl, y l fució o líic pud hcr líic uilizdo u dcud dfiició d l mim, oc l puo u puo igulr vibl. z pro z S hbí vio qu l urlz d u igulridd podí drmir lizdo l lími: I Si fz i u polo z = z oc lim fz. mbié pud firmr qu zz pr qu u puo u polo d ord m d fz, crio y ufici qu II Si z fz pud xprr d l form: φz fz co φz m y φz z z líic z. A lim fz o xi oc z = z u igulridd cil d l fució. zz III Si lim fz L zz oc z = z u igulridd vibl. Ahor mo codicio d probr l propidd I l qu rul dl igui m orm: z u polo d ord m d fz i y ólo i: limz z.fz k, k, xi, fiio y o ulo. zz 7

28 m d Vribl Complj m Dmorció: S, φz z z.fz z z r dfiid u oro rducido d y líic. Suiuydo fz por u drrollo d Lur, coidrdo l xici d u polo, rulrá qu: Si z z m m B z z z b b z z... b z z,b z z oc z bm m m. Eoc B válid odo oro d puo. Por r B u ri d poci covrg, l fució cocuci pud cribir: m z limz z.fz puo qu xi y dduc qu: bm zz RESIDUOS. Rlció co l Sri d Lur Rcordmo l dfiició: b m m z y l propio z líic z z. E lim f z S fz u fució líic u cooro crrdo C, implm coxo y odo puo dl irior d C, lvo. Eoc l riduo d fz, á dfiido por: z R zz f z Obrvr qu d curdo l dfiicio d lo cofici l drrollo d Lur, pg. 5, gú 3 dirmo qu R f z b. zz j C f z dz Eoc l riduo d u fució fz l puo igulr ildo l poci z z l drrollo d Lur. z, z z, l cofici d od fució i u riduo cd uo d u puo igulr ildo. L ri d Lur lrddor dl puo rpr l fució odo u oro dl puo, xcpo l propio puo. Ejrcicio 8 Drmir l riduo d cd u d l igui fucio u rpciv igulridd. z z 3 f z R. 3 z z f z R. z 3 f z z R. - 8

29 m d Vribl Complj FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE RESIDUOS Cudo o dipo d l Sri d Lur, poibl drmir l vlor d u riduo, prir d difr fórmul, l myorí d l cul y h prdo cpíulo. S pr u brv rum y lgu dduccio ir lo qu igu. A Pr polo impl A- Como limz z zz m.fz b m b z z, i m = oc limz z.fz Dmorció: Al r z = u polo impl, l ri d Lur corrpodi d l form: b fz z z z z co z z r, b. Si muliplicmo mbo mimbro por z- z, rul: Aplicdo lími obmo qu: z zz. fz z z b R fz b limz z fz zz zz Pz A- Si f z, Pz y Qz líic Qz Pz oc l riduo d l form: b. Q z z y z ; Qz y Q z, P Dmorció : Si Qz líic z = oc plicdo l rgl A- rul: Pz R f z lim z z. z z z z Qz z z Qz Q z z z! Qz y Q z, por lo o : z pud drrollr ri d ylor, Sbmo qu... Rf z z z z z lim z z. z z Q z Q z Pz z z! R fz b Pz Q z zz... y pdo l lími : B Pr polo d ord uprior S fz u fució qu i u polo d ord m oc b m y l drrollo d l ri d Lur d l form: bm bm- b fz... z z... m m- z z z z z z 9

30 m d Vribl Complj Si muliplic mbo mimbro por z qu domimo z obi: z z m y coruy u fució uxilir líic m m m z z z.f z b m b m z z... bz z z z... I Pro I l drrollo d ylor d dod lo cofici vi ddo por l z z z m z m fórmul: z z z z z... z z... II m! I y II rpr l mimo drrollo, qu úico; cocuci, comprdo cofici, rul: m z m b ; co z z z.fz m! C Pr igulridd cil No hy fórmul pr l cálculo d lo riduo d l fució puo igulr cil. S vlú impr cordo l Sri d Lur. Ejrcicio 9 Drmir l riduo d cd u d l igui fucio u rpciv igulridd. f z R. z 4 R f z zz 9 j j 4, R f z R f z, R f z zz3 4 zz4 4 3z f z R. R f z 4, R f z z z z z 3 3 f z z. R. R f z z z zz 9 j 4 4 4, 3 j 4 3

31 Aálii l domiio mporl ANÁLISIS DE SEÑALES y SISEMAS EN EL DOMINO EMPORAL / rl 3

32 Aálii l domiio mporl ANÁLISIS DE SEÑALES EN EL DOMINIO EMPORAL Iroducció U ñl l brcció d u cidd mdibl, y rá í rprd por u fució d u o má vribl idpdi. Pud mbié irprr u ñl como u prurbció cmbio u do qu xprim u mdio. Lo rlv d u ñl qu cmbio pud dplzr. Sgú l urlz dl cmbio poibl diiguir difr domiio d propgció. U ñl pud xprr difr domiio; cudo xpr l domiio dl impo hbl d propgció y plic, l mo proximdm, lo cocpo d l cimáic. Admá d domiio pud hbr oro, como l domiio dl pcio, l d l frcuci c. E vid qu u ñl i como u d u propidd rlv l cpcidd d comuicr y /o rmiir iformció. L iformció qu o rfrimo podrí r mbié l rpu d u im u olicició. L prurbcio pud r d difr ídol, por jmplo, l ñl d rdio o prurbcio lcromgéic qu propg l pcio. E co r d u do d ió lécric dl mdio qu propg. L ñl cúic o prurbcio d prió qu propg u mdio mril. L ñl lgráfic o prurbcio lécric qu propg rvé d u coducor c. S podrí firmr qu l mudo modro á rplo d ñl, l myor pr d ll o poibl prcibirl co lo rcpor d qu á dodo l Hombr form url y much, ú cpd co yud crd por l iviv dl r humo, ci r lizd pr obr iformció úil d ll. D o r l álii d ñl. E dicipli u cojuo d id y rcuro qu prmi l irprció d l ñl url o rificil qu iud uro uivro. Lo rcuro o d do ipo, uo qu modific l ñl pr u irprció y oro qu l om y l po d form qu rul vid u pricipl crcríic. E curo drmo u iroducció l primr pr d écic, dcir, prdrmo lizr ñl pr obr d ll l iformció qu o ir. Dd impo muy iguo lo r humo h mpldo ñl d difr ipo pr comuicr cocimio impor o dr voc d lrm. Como jmplo podmo cir: Hc lumioo qu mplb lo grigo y romo pr fi milir Sñl d humo rdiciolm mpld por idio pr vir mj. Sñl cúic d mbor pr comuicr iio d difícil cco Sñl producid por fro pr guí d brco y comuicció d oici. A fi dl iglo diciéi, Iglrr mpló u im d fro pr lrr obr l proximidd d l rmd Epñol, époc cuñó l érmio d ñl pr dor u igo o oici prcpibl por l oído o l vi, did dvrir, rmiir u iformció o comuicr lgu oici. E l ño 86, l im d máforo dl grigo: pordor d ñl b Iglrr prfcciodo, qu r poibl rmiir u ñl dd Plymouh Lodr obido u cofirmció olo r miuo. E l ño 85, 3

33 Aálii l domiio mporl Mor ivó u código l qu juo l ivció dl légrfo produjo u gr vc l comuiccio o dd l puo d vi d u rpidz como l d u cofibilidd. L ñl d rdr comiz r plicd dur l gud gurr mudil pr dcr vio y lrr obr l poibilidd d bombrdo. El or, ivdo por Lgvi 97 prmiió plicr ñl cúic lo im d dcció d ubmrio. E ñl, rvi u porció dl pcio, cuy codicio cmbi d form zro prurbádol impidido, vc, qu cumpl co lo objivo pr lo qu furo grd. E circuci hizo qu drrollr l orí d ñl dd l puo d vi d u grció, mjordo l lcróic ocid pr hcr l ñl má robu y dd l puo d vi d l dcció, drrolló l hrrmi díic pr bucr l crcríic rlv d l iformció qu llgb lrd lo im d dcció. E l ár d l comuiccio, l miió d l orí d ñl cumpl múlipl propóio: db mjorr u grció pr hcrl imu l prurbcio dl mdio, fcilir u rcuprció icluo hcr qu l rmiió d é má coómic. Pr fíico igiro l ñl i dmá u propóio o mo impor qu lo rior. E much oporuidd plicmo ñl pr udir u fómo d l urlz. E co lo rlv qu l ñl modificd por l fómo qu udi y quí l éfi o hc vir qu l ñl diorio io qu l diorió d é origid por l fómo rlv qu o ir udir. Eoc, rul d gr imporci r iformció crc dl mcimo d diorió d l ñl grd. E úlimo co i u igificdo coidrblm má grl qu lo rior y u ñl pud r u proycil cuy rycori lr por l prci d u obáculo, o u modificció l mpliud y l coido d frcuci d u od qu hc icidir obr u zo fcd por u fómo drmido, como u urbulci, por jmplo. Pr fi d ivigció l ñl l grmo mdi dipoiivo qu rform l fómo d iré io lécric. U im qu rform ñl d u ipo or llm u rducor.hy o rducor como l irccio qu gobir u cpcidd d rformció, í mo rducor lécro-diámico u bu jmplo d o o lo prl d l rdio, mgéico, lcro mgéico, pizolécrico, rmo-lécrico, c. L ñl, dd l puo d vi mporl pud dividir coiu y dicr, y mb pud r priódic o o priódic. E curo o ocuprmo d ñl coiu. E l próxim cció dcribimo l ñl priódic y u pricipl crcríic, l myorí d l cul o o fmilir: príodo, mpliud, form d od. mbié coidrrmo ñl o-priódic, má ligd vo o rpiivo; o o fácil d dcribir, i mbrgo, bádo l form qu é dplig l impo, poibl dr lgu d u má impor crcríic. 33

34 Aálii l domiio mporl Dcripció d ñl Sñl priódic: U ñl priódic, qull qu rpi í mim, cd ciro irvlo d impo príodo. Aí, l Príodo d l ñl l impo qu rd l ñl y u drivd dquirir l mimo vlor. Nur cpcidd d lizr ñl v coidrblm forlcid i l xprmo como rlcio mmáic, í podmo bficiro d l poci d dicipli pr l álii d u propidd. Cudo o poibl, fcili igificivm l obció d l iformció qu l ñl coi. Como u primr jmplo coidrmo lgu d l propidd lml d l ñl priódic. Si u ñl pud xprr como u fució priódic dl impo y u príodo, cumpl lo igui orm: Si fx priódic co príodo ; fx=fx+, dmá m mbié u príodo d l mim fució fx=fx+m, co m=,,3... Dmorció: S: f x + m = f x+ = fx co m =, oc, i m=: f x f x f x f x, i m= fx+=f{x+[-] }+=fx+[-] =f{x+[-] }++...c. b Si fx priódic y i príodo ; oc fx i priodo Dmorció: S: gx = fx E vid qu gx priódic, oc, upogmo qu l priodo d gx, lugo, gx=g x+ y fx= f x+,lugo fx=fx+, oc l príodo d fx por o: = m = m. c Si gx priódic d príodo y fx priódic d príodo, oc i xi u vlor = =b, co /b u úmro rciol, u uv fució yx dfiid como l um d l rior, yx= fx+gx, rá priódic, d príodo. Sñl o priódic: U ñl o priódic o priódic, qull pr l cul o xi u qu ifg l codició f=f+,. Hy ñl o priódic dfiid pr irvlo fiio d, y or o-priódic dfiid. S lizrá má dl qu l primr pud rprr érmio d ñl priódic. 34

35 Aálii l domiio mporl Vlor mdio E cir oporuidd rul muy úil dcribir l ñl, priódic o o, mdi u úmro limido d prámro qu rflj mgiud má fácil d irprr dd l puo d vi fíico, lo qu á rlciodo má bi co l propidd qu l fucio i promdio. Ejmplo d o li coiució: Vlor mdio o vlor promdio, mgiud qu muy fmilir u form dicr: N f, dod l vlor d cd mur d l ñl, y N l úmro d mur d l N i x i f xi ñl. Cudo r d u ñl coiu xprió rform l bi coocid xprió pr l vlor mdio d u ñl coiu fx dfiid x b, f b l qu cocpulm idéic l rior,. b f xd x, Cudo quir hcr u udio d l vricio d u ñl l impo, poibl qu u vlor mdio ul por cu d l flucucio, co má covi mplr l llmdo vlor RMS d l ñl, igl qu igific vlor cudráico mdio roo m qur. El vlor RMS d u ñl f i por xprió: mbié pud irr l vlor boluo promdio d l mgiud d u ñl, idéico cocpulm l rior, qu á ddo por: f d f d Sñl d rgí v. Sñl d poci Rcordmo qu i f u ñl dfiid,, u rgí dfi: Pr l ñl f dfiid,, dcimo qu u rgí : Eoc, u ñl i rgí fii i u ñl d rgí. 35 E f d.. L E lim f d.b L L E Ejrcicio: Clculr l rgí d l ñl:. E co, crcrizrmo f como, f ; R: E i b b, b

36 Aálii l domiio mporl Rcordmo qu i f u ñl l irvlo,, o i priódic d príodo, oc l poci mdi d f dfi, rpcivm, como : Pm f d Pm f Por oro ldo, ir mbié crcrizr cir ñl como ñl d poci. Dirmo qu l ñl f, dfiid, u ñl d poci i:, U ñl d rgí o d poci L L d. lim f d L L,, pro o mb l mimo impo. Pud probr mbié qu od ñl priódic impr u ñl d poci, y qu od ñl cod, d l llmd pulo, impr d rgí. Hy ñl qu o prc igu d l fmili rior, qu o l d poci ifii Cudo =. Ejrcicio: Probr qu l ñl f co poci., o u ñl d rgí i d Cul v. Aicul v. Nocul L ñl cul o ñl qu i vlor ulo l impo givo, y l ñl icul i vlor cro l impo poiivo. L ñl o-cul o ñl co vlor diio d cro pr impo poiivo y givo Figur. U ñl cul U ñl o-cul U ñl icul 36 Figur

37 Aálii l domiio mporl Pr v. Impr U ñl pr culquir ñl f qu ifc f =f. L ñl pr pud dcr fácilm por qu o iméric l j vricl. U ñl impr, u ñl qu ifc l rlció f = f Figur. U ñl pr b U ñl impr Figur E ir obrvr qu culquir ñl i u dcompoició pr-impr. S pud dmorr qu culquir ñl pud cribir como l um d u ñl pr y u impr. Pr dmorr o, o mo má qu xmir l igui cució: f= ½[ f +f ] + ½[ f f ]. Al muliplicr y umr xprió, dmormo qu lo xplicdo riorm ciro. mbié pud obrvr qu = ½[ f +f ] ifc u fució pr, y qu o= ½[ f f ] ifc u fució impr Figur 3. Ejmplo : E ñl rá dcompu udo l dcompoició Pr-Impr 37

38 Aálii l domiio mporl Figur 3 Sñl como fucio cciolm coiu U fució f obr [,b] dic cciolm coiu [,b] i coiu odo l irvlo xcpo u úmro fiio d puo d dicoiuidd d primr pci o co lo fiio. f 3 b Pr l fucio xi lo lími por izquird y por drch l irvlo [,b], dcir: f lim f ; fb lim f y dmá xi lo lími por drch y por - b izquird cd puo d dicoiuidd co lo fiio. Q[,b]: pcio d fucio 38

39 Aálii l domiio mporl cciolm coiu [,b] y Q [,b] imboliz l pcio d fucio cciolm coiu [,b], difrcibl co coiuidd por rmo [,b]. Oprció d Comprió v. Dilció Alizr l rlció d u ñl f co or, obid prir d l rior mdi l rlció fb pr lo igui co b>, <b<, y b=-. IPOS DE SEÑALES Rmp uiri r Dfiició: r, Fució rmp Si quir u pdi dii d, ólo crio muliplicr por u co; por j., i b >, oc: br b, r- Pr l fució rmp uiri, cumpl: b br r i b > + Fució rmp r, Fució cló uirio E fució llm mbié fució d Hviid, y dfi como:, u, D l dfiició d rmp uiri, urg qu : u Fució d Hviid 39

40 Aálii l domiio mporl i i dr d dr d dr d u, Por oro ldo i bucmo u cló d lo diio d, b co muliplicr por u C, co C u; por jmplo i C > oc: Cu., Ejmplo:,, C, u u 3 Cu,,, u u u C C - Udo combicio d fucio rmp y cló, poibl rprr diio ipo d pulo: Pulo rcgulr d cho "", crdo "/", do como: Pud coidrr como l um d do ñl d ipo cló: P = u+[-u-] P u -u- P-/ - Alíicm: * Si < u = ; u- = - / ; * Si < u =; u- = - / ; * Si u=; u- = - / P P P P 4 -/ /

41 Pulo rcgulr d cho "", crdo "", Aálogm, l pulo crdo cro pud xprr como: P u u Aálii l domiio mporl P Pulo rigulr d cho "b", crdo "", pud cribir: / b b b, b b b -b b Rmp fii Ejrcicio: x,,, x Rmp fii Vrificr líicm qu l rmp fii pud xprr: x = r - r- Grficr l form d od qu rul d coidrr:x= -r++ r - r- u-3 Fució ic i c L fució = l Propidd lim, y qu = u igulridd vibl d. lim i c y lim i c, pu: lim lim lim lim i c, D l mim form liz pr l co: Si,. Lo cro d l ic o lo k, k Z. k, k Z. k y como i c i c lo cro d i c o lo k, k Z 4

42 Aálii l domiio mporl 3. L fució ic pr i c i c, i Si = ; ic = ic- =, lugo : ic-=ic 4. D l dfiició urg qu: ic coiu = L gráfic d ic : ic ic g= Ejrcicio: Ecorr lo cro d l fució ic3. Fució impulo uirio: ó Fució DELA-DIRAC E fució db rr como u fució grlizd, pu o pud dfiir u vlor puo puo como l co d u fució ordiri, y l ul llmr DISRIBUCIÓN DELA DE DIRAC. Dfiició: L fució Dl-Dirc, pud dfiir prir d u cho "", crdo l orig: P,, El ár ocid l pulo, culquir l vlor d. pulo d lo mpliud "/" y P / -/ / como: lim P, Pud pr, iuiivm, qu i u cho ifiim pquño y u lo ifiim grd, co ár uiri. Obrvr mbié qu l dfiició dd pud xprr o olo b u pulo rcgulr, io mbié co or fució culquir. Podrí xprr oc, co l mimo cocpo qu, dl igui modo: Or lim b f b b impr qu f l qu d 4 f. form d dfiir mdi l igui rlcio:

43 Aálii l domiio mporl o b lim d Su rprció gráfic : dfiid,, Propidd:. Si f coiu = oc: f = f.b Si f coiu = - oc: f- = f-. Si f coiu = oc: f d f.b Si f coiu = - oc: f d f - 3 Uilizdo l rmp fii d pdi /: y qu l lim f u, probr qu: f, d lim f d u Prub: Como,, y coidrdo qu poibl ircmbir l d d ord d l drivd co l lími, qud, Alizr l igui firmció: d u. Ejrcicio: Probr co propidd qu:. co. A d u d 43

44 Aálii l domiio mporl Fució impulo dplzd S l pulo d lo "/", cho "", crdo = /, P., El ár ocid y pud dfiir: lim P. Su gráfic l d l Figur: A A- Propidd d l, d l - y d k : Si f coiu = oc: f = f Si f coiu = - oc: f- = f- 3 Si f coiu = oc: f d f 4 Si f coiu = - oc: f d f - 5 Si f coiu f f b g i b 6 g. d g coiu ; i b 7 f d k d,co 8 9 k r d d u y u f k,co d u d i d i d d 4 Ejrcicio: Probr qu: d. b 44

45 Aálii l domiio mporl 45 Obrvr qu: od ñl x pud xprr como u coiuo d impulo podrdo Sgú l propidd 3 x x hcmo x x Si igrmo mbo mimbro: d x d x D quí: d x d x Film, podmo xprr: d x x A Lugo, como dijo, l ñl x qudó xprd A como u coiuo d impulo podrdo.

46 Aálii l domiio mporl SISEMAS DINÁMICOS Sim d upió d uomóvil. Modlo implificdo Chi dl uomóvil y+y Ror Amorigudor x ECUACIÓN DIFERENCIAL: Sim mcáico rociol orqu moriz m Vlocidd gulr Irci J Rozmio B orqu ri r u: orqu moriz m y: vlocidd gulr v: orqu ri r Sim clfcció olr Bomb Pl olr w: rdició u: vlocidd d l bomb Bomb Almcdor y: mprur dl lmcdor v: vio, mprur 46

47 Aálii l domiio mporl Aálii d im E grl, llmmo im l brcció d lgo u proco, u mcimo, u circuio, c. qu om u ñl d rd, opr obr ll, y produc u ñl d lid. E or plbr, u im blc u rlció r u rd y u lid. U jmplo d u im u uo, dod l rd pud r l poició dl clrdor y l lid l vlocidd dl uo. Oro jmplo pud r u cámr d foo dod l ñl d rd l luz qu r l l, y l lid l foogrfí. Lo im o crim á rrigido im fíico. Pud r biológico, coómico, compuciol, iformáico, ocil, c. Alguo jmplo rlciodo co Igirí ilur l pági rior. Sñl d rd SISEMA Sñl d lid Prurbcio Lo im á fcdo por ímulo xro. L ñl xr qu pud r mipuld o uulm llmd rd, mir qu l qu o pud r mipuld o llmd prurbcio. Crcríic d Sim. Co o i mmori 4. Lil y o lil.. cul y o cul 5. Ivri o vri l impo 3. D impo coiuo o dicro 6. Ebl o ibl. Sim Diámico y Sim Eáico U im l cul l lid l i dpd xcluivm d l rd i llmdo Sim Eáico o i mmori. E corpoició, u Sim Diámico uo l cul l lid l i dpd mbié d vlor pdo y/o fuuro d l rd, dmá dl vlor. S lo llm mbié im co mmori. Sim Cul y No cul U im cul i u rpu u rd o dpd d vlor fuuro d rd y/o vlor fuuro d lid. U im qu o vrific propidd llmdo o cul. E priculr u im dic icul i u rpu u rd dpd xcluivm d vlor fuuro d rd y/o vlor fuuro d lid Sim impo Coiuo y impo Dicro U im u Sim impo Coiuo i opr obr ñl dfiid u irvlo coiuo d impo y produc como rpu, ñl mbié coiu l 47

48 Aálii l domiio mporl impo. Por or pr, i l im proc ñl qu á dfiid úicm i priculr d impo grlm quipcido, l im llmdo Sim impo Dicro. Pr idicr l vlor d ñl lo i d impo k u l oció xk o xk. Lilidd y Ecioridd Lilidd: U im lil i vrific l Pricipio d Suprpoició, o pr rd como pr codicio iicil. E pricipio dfiirá má dl. U im qu o vrific l pricipio d Suprpoició domi o lil. Ecioridd: U im ciorio i u lid impr l mim cd vz qu plic l mim rd pr l mim codicio iicil, i imporr l i qu pliqu l rd. E or plbr, l im o cmbi co l impo, ivri. Rprció d u im U im rprrá qumáicm como u cj co ñl d rd x, x,...x y ñl d lid y, y,...y, como pud vr l qum: x x x SISEMA MIMO y y y L rd xi, i=,,... y l lid yj, j =,,... rá grl ñl d impo, dcir: culquir vribl fíic qu vrí co l impo. E curo lizrá im d u rd y u lid, i prurbcio xr x SISEMA SISO y El álii d im pud dividir r pco: El drrollo d u modlo mmáico propido pr l problm fíico qu r. E pr db obr l cucio d movimio, codicio d fror o iicil, vlor d prámro, c. Dpué d obr u modlo propido, rulv l cucio rul pr corr l olució. Pr llo, pud plicr divro méodo. Lugo, l olució dl modlo mmáico rlcio o irpr fució dl problm fíico. E vid qu lo dcripo l primr rcudro db r xco qu prmi hcr prdiccio igificiv cocri l im fíico. 48

49 Aálii l domiio mporl ANÁLISIS DE SISEMAS LINEALES U cl d im o lo lil. El álii d im lil impor priciplm por u uilidd, pu uqu u im fíico uc complm lil, cir ár d plicció, u modlo lil pud ur co frcuci form propid. Admá, xi u gr cidd d orí mmáic qu prmi lizr l im. Por l corrio, lo im o lil rquir álii priculr, dcir, cd im o lil db udir como u co úico. No hy méodo grl i olucio grl. Como igiro, o ólo ir l álii, io mbié l íi d im o l diño d im qu coiuy l pr criv d l igirí. D quí qu, como or cividd criv, pr bordr l diño d im primro db prdr lizrlo. Pricipio d Suprpoició U im lil i ifc l pricipio d uprpoició, qu glob l propidd d homogidd cldo y diividd. Si pr l rd x obi l lid y, y pr l rd x obi y, culquir l co, oc dcimo qu cumpl l propidd d homogidd, dcir: Si x y x y Admá, db cumplir l propidd d diividd: Si x x y y x x y y Amb propoicio pud combir l igui cució pricipio d uprpoició: x c x c y c y c,c, c. c Pr rprr l rformció d rd lid form fuciol pud rmplzr l flch por l oció: y=l[x], dod L rpr u rformció lil, dcir: c x c x c Lx c Lx L ; c,c, rl. *Ejrcicio: 49

50 Aálii l domiio mporl S u im co rlció d rd-lid dd por l cució lil: y x b, probr i l im lil. L x 3x 4 b Idm rior, pro l rlció á dd por: Ivrici l impo Lo im ivri l impo modl mdi cucio difrcil co cofici co. U crcrizció cill d lo im ivri l impo i dplzdo l impo l ñl d rd: Si x y oc, x y pr culquir y. Mmori l impo Si l lid pr culquir impo dpd ólo d l rd l mimo impo, l im llm "i mmori", o mbié, ciorio. Si l lid l impo o k dpd d lo vlor d rd corrpodi ciro irvlo -,, oc l im "i mmori" d logiud. mbié lo llm im diámico. Ej.: El im formdo por u cpcior co l rd dfiid como l corri qu circul por l mimo, i mmori d durció ifii, y qu: v i d idic c qu l lid dpd d l rd odo l irvlo,. Sim LI Modlo d u im diámico Lil ivri l impo Cudo l fució d rd x y l fució d lid y d u im diámico á rlciod por u cució difrcil lil ordiri cofici co EDO, oc pud probr qu im lil, ivri l impo y co mmori SLI. Pr im d u ol rd-lid, l cució grl pud r: d y d d y d y 5 m d x d x m d x... y b b b b m m m... m d d d d d dod, x :fució d xcició dl im o fució d rd, y : fució d rpu dl im o fució d lid. Si do lo igui oprdor : como: D d d ; y d D l c. A pud cribir d x A

51 Aálii l domiio mporl m m D D... D y b D b D... b D b x d dod rul: m m m m bm D bmd... b D b B D y x x H D x D D... D A D B D dod, H D A D HD l llm fució oprciol dl im y u oprdor qu opr obr l fució d rd pr producir l fució d lid. E u im lil lo cofici y b o idpdi d l fució d rpu. E u im ivri l impo dicho cofici o co. Film l cució difrcil, cri form oprciol : B D A D y B D x y x, por lo o y H D x A D Rprció d Sim LI uilizdo digrm d bloqu U propidd impor d lo im dcripo por cucio difrcil lil co cofici co qu pud rprr fácilm mdi ircoxio d digrm d bloqu d oprcio lml. E lo igui gráfico obrvmo lo lmo báico pr l rprció digrm d bloqu d im: u umdor; b muliplicció por u cofici; c u difrcidor; d u igrdor x + x x+ x b x x c x D dx d d x xτd τ - L combició d o lmo prmi l rprció d culquir EDO. Por jmplo, l cució difrcil igui: 5

52 Aálii l domiio mporl dy d y bx rcribiédol primro como : igui digrm: x y dy b x, podmo coruir mbié l d b/ + y - / dy d D Obrvr qu i lugr rcribir l cució dpjdo y, lo hcmo dpjdo dy dy/d, obi bx y. Eoc, l mim EDO pud rprr d uilizdo u igrdor, d l igui form: x dy b + d - - y Lo im d myor ord rpr co l ircoxió d lo qum rior. 5

53 Aálii l domiio mporl Ejmplo: modlo fíico qu corrpod im lil ivri co mmori, d gudo ord Nombr Equm Ecució VAR COEF Dcripció x y b c Modlo Sim d do. Ord x y y' ' by' cy x x y b c Erd Slid Cofici y Cofici y Cofici y Elcricidd Circuio Sri Li' Ri C id u Lq'' Rq' q u C Elcricidd Circuio Prllo Cu' u ud i R L u i u i/q L L R /R /C /C ió Corri/crg Iducci Rici /cpcidd Corri ió Iducci /rici /cpcidd Mcáic Vibrcio Logiudil mx' ' cx' kx f f x m c k Furz Exci Dplzmio M C.Amorigum C. láic Mcáic Vibrcio orió c Pr xci Dplzmio gulr Momo d irci C.Amorigum Mcáic Vibrcio orió Jx' ' cx' x f f x c C. Eláic oriol Furz Exci Dplzmio Momo d irci C.Amorigum Acúic Rodor d Hlmoz MV' ' RV' V P C P V M R /C C. Eláic oriol Prió xrior Volum d dplzmio Cof. d irci cúic Rici cúic /cpcidd cúic 53

54 Aálii l domiio mporl Méodo d rolució Coidrmo u cució difrcil ordiri co cofici co dod l ldo drcho d l cució o coi drivd, dcir: d d y d y dy... y x A d d Ecri form oprciol: D D... D y x o má rducid: AD[y] = x dod AD l oprdor: A D D D... D El primr méodo, propo corr l olució d A como formd por do compo: y = y h + y p HOMOGÉNEA, o NAURAL y h NO HOMOGÉNEA O PARICULAR, d do bl, yp. L olució homogé qu coiuy l form riori d l olució compl cudo l im bl y cul como vrá má dl obi d l cució homogé corrpodi A, dcir: AD[y h ] = B y l olució form grl pr cofici co : y h c y c y... c y C dod l fucio y,...y dpd d l ríc d l cució crcríic ocid: f r r r... r, D y lo cofici,..., o lo mimo qu lo dl oprdor AD. y y l i i Si D i "" ríc dii, l fucio y i, i=,,... o olució homogé : y h r r r c c...c E i r ii Si l ríc o o od dii, l fucio yi omrá divr form dpdido d l muliplicidd d l ríc d D: Pr cd ríz rl "r" l fució : r 54

55 Aálii l domiio mporl Pr cd ríz rl "r" d muliplicidd "k", l fucio o : r, r,... k- r 3 Pr cd pr compljo impl d ríc ± jb, l fucio pud cribir como +jb, y -jb, o má covim como: cob y b y oc, ríc coribuy l rpu homogé co: b c b c co, dod c y c o rl. 4 Pr cd pr compljo impl d ríc ± bj d muliplicidd "k", l fucio o: co k k b, b, cob, b;...; cob, b Cudo l co ci, i=,,..; o pcific, yh cooc como fució olució. Ejrcicio: Vrificr qu y h olució d l cució homogé: AD[y h ]= r r Supor qu y h c c...c. r Pr drmir lo vlor d l co c i co i=,,... uiliz l codicio iicil o d fror dl problm, plicd l olució compl: y = y h + y p = c y c y... c y + y p L form d l olució priculr u poco má complicd d corr. Exi vrio méodo. Uo d llo l d lo cofici idrmido, ormlm coidrdo lo curo d Aálii Mmáico. Rcurd méodo rolvido l igui jmplo cillo: Ejrcicio: Supog l cució difrcil d primr ord, y' y x. Vrifiqu qu pr y= y x =3, l olució y = Ejrcicio: Dd l igui cucio difrcil, hllr l y h : 3 d y d y dy - 4 4y, Rpu: y 3 h c c c3 d d d 3 d y d y dy - 4 8y y 3 h c c c3 d d d 3 d y d y dy 3 - y y 3 h c c co c3 d d d, Rpu:, Rpu: 55

56 Aálii l domiio mporl Méodo dl oprdor uldor S coidr hor oro méodo, l domido méodo dl oprdor uldor LA, qu prmi corr l olució compl, y. El procdimio rquir, como primr po, corr u oprdor qu ul l fució priculr dd, x l cució A. Eoc, ddo x corr LA, l qu LA[x]=. LA impr pud corr i x olució d u cució homogé co cofici co. Por jmplo, i: x, rá LA = D-. b x Acob Bb c x Acob Bb, rá: LA =D +b., rá LA =D +b.d- U vz hlldo LA, plic mbo mimbro d l cució compl origil. Hcido éo obi or cució homogé. Por jmplo, upog qu quir rolvr l cució: AD[y] = x, oc, LA{ AD[ [y]}= LA[x] = I l qu pud rolvr por l méodo dlido prvim pr u cució homogé. Eoc, l fució olució qu propo : y c y c y...c y c y c y...c y p p p p * L primr fucio * ifc AD[ [y]= ; dicho érmio umrá cro y lo úico érmio dl gudo mimbro rá ** qu provi d l fució priculr d xcició rd. Si igul cofici d érmio mj mbo mimbro d l cució, poibl drmir lo y obr l olució forzd. Por lo vio, méodo o c pr crio propor u form pr l olució priculr. Sí crio, por l corrio, corr l form dl oprdor uldor. Ejmplo: Coidr l cució difrcil, AD [ ** pr pr y D y E co, culm, l oprdor uldor D. Aí, l cució homogé rolvr rá d curo ord, dd por: D y D, l qu podrí cribir mbié como 4 d y d 4 d y d. 56

57 Aálii l domiio mporl L cució crcríic corrpodi r r, cuy ríc o j y j pr cd fcor, ruldo ríc d muliplicidd dobl. Eoc, l fució olució : y c co c c co c. p p Si uiuy fució l cució origil, obi l igui, D c co c c co c p p Oprmo oc dl igui modo:. D c co c D c co c p p * ** El primr érmio porqu corrpod l form d l olució homogé d l cució origil. Co l gudo érmio, I, oprmo igulmo cofici. L drivd gud qu prc I o: I D c co c co p p ; D c c co p p ; uiuydo y oprdo qud, I c c co. Eoc rá, c /, c. p p p p L olució compl : y c co c / co II Lo cofici qu fl drmir dpd d l codicio iicil. Supogmo qu lo do o: y, y'. Suiuimo II y obmo: y c y' y' c c c c / c co / / co Lugo, l olució compl pr codicio iicil y rd dd : co / / co y 57

58 Aálii l domiio mporl Dcompoició d l rpu ol: El álii rlizdo, o llv podr cocluir qu, l olució mmáic d l EDO érmio dl im y dl ímulo d rd x, á formd por do compo, qu domimo yh yp, l qu l olució y = yh + yp. Si mbrgo, pr l álii d im lil xi or form úil d dcompor l rpu ol. x L y Sim co rgí iicil b x L yf Sim i rgí iicil y x= L co rgí iicil lmcd y l E dcompoició implic prr l rpu provocd por l rgí iicil lmcd, d l rpu dbid l rd dl im. L olució d fu libr, y l, obi co u ñl d rd igul cro, y dpd dl im y d u codicio iicil. Srá u olució d l cució difrcil homogé y coiuy, pr, l olució riori d l rpu dl im. b L olució forzd, yf, cocuci o dl im como d l ñl d rd. E olució comprd l olució d do bl por u ldo, pro mbié icluy u riorio, y pr hllrl rulv l cució difrcil o homogé coidrdo qu iicilm l im o i rgí d igú ipo dcir, cod. iicil ul. y f l Lugo, y y dod y f y f... y f ; y A D y pr y y ; y y ;...; y l l l y l. Brá vr qu y=y l im origil, y pr llo vr qu l do fucio ifc l mim cució difrcil. Pro, i mbrgo, podrá obrvr qu yf yp; yh y l E l igui jrcicio clrmo ú má o cocpo. 58