La transformada de Laplace en economía
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- Emilio Quintero Gómez
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1 c d Ecoomí Año 8 Núm 5 L rformd d Lplc coomí écor Lomlí y Briz Rmbo * Smrio E cd vz má frc q coomí ilic écic y méodo mmáico q oriilm riro como rp problm fíico U modoloí q d comúm pr problm d iirí l d l rformd irl E brv ríclo dimo d ll l rformd d Lplc Lo q hc úil rformd l irprció rl q i como l vlor pr d fljo d fcivo Clificció JEL: C6 Irodcció S f : [ 8 R fció U rformd irl rlció d l form F K f d dod l fció f rfo rmd or fció F por mdio d irl L fció F cooc como l rformd d f y l fció K l krl d l rformció Clrm l rformd podrí o iir L rformd irl iliz pr covrir lú problm q ivolcr l fció f oro problm ocio má cillo q ivolcr F Adiciolm o hrrmi mm úil pr l rolció d l ccio difrcil L rformd d Lplc [f] rformd irl dod l krl á ddo por - d mr q * Profor dl Dprmo Acdémico d Mmáic ITAM Si l domiio d f R oc l lími ifrior podrí mbié r impropio y r - 8 como l co d l rformd d Forir Nombrd í hoor dl mmáico frcé dl ilo XVIII Pirr S Lplc
2 4 c d Ecoomí [ f ] F f d D modo l rformd d Lplc d fció f i irprció coómic vid: [f] l vlor pr d fljo f dr l priodo [ 8 y co d dco il E obrvció f hch 986 por S Br vé Br [986] q dcó rformd hrrmi pr clclr l vlor pr d fljo d fcivo Or pliccio fiz y crí pd vr DSchppr T y oovr [99] y [994] Plr [] Di [] y Brozwicz [] Ejmplo S f = oc d E irl i impr y cdo > y l irr por pr obi D form mj 3 i f= N? {} mo q y irl i pr > omdo l vlor! d Ejmplo S f = oc i pr od > y á dd por d 3 L prb pd rlizr fácilm por idcció
3 L rformd d Lplc coomí 5 Dl mimo modo q válid pr od > - Ejmplo 3 S c rycori d como y c l ilidd q driv dl mimo oc c c l vlor pr d l ilidd cmld [8 dcodo L ilidd d l rformd d Lplc pr l olció d ccio difrcil driv d l ii propidd: df f f d dod f fció difrcibl [8 L dmorció mm cill ilizdo l dfiició d l rformd irció por pr Adiciolm l rformd d Lplc oprdor lil co lo cl cmpl: d f b f b pr clqir f y fcio y b R Film l ició f F iyciv d mr q pd dfiir l rformd d Lplc ivr d l fció F como - [F]=f E rformd ivr po mbié l propidd d lilidd Ejmplo 4 S k rycori pr l cpil Si l cpil dprci d oc l rycori d ivri ó br á dd por dk I k d
4 6 c d Ecoomí Spomo q l d dco il r por lo o omdo l rformd d Lplc d l ivrió y ilizdo l propidd y mo dk [I]r = r d [k ]r; r [k]r -?k + [k]r r [ k ]r -?k Eo o d l rlció r l vlor pr d l ivrió br [I]r y l dl cpil [k]r mbo dcodo l r Ejmplo 5 Coidrmo l fció F Cómo clclmo - [F]? Ncimo fció f d l form q f Rcordmo dl Ejmplo q d qí q l problm pd rolvr odo q 3 3 y por lo o F Solció d ccio difrcil No cocrrmo hor l olció d ccio difrcil dl ipo
5 L rformd d Lplc coomí 7 d d 3 dod fció difrcibl y clqir fció cy rformd d Lplc i Si pmo como l crvo d cpil l impo oc l cció 3 implm l cció d ivrió dl Ejmplo 4 co = I Tommo l rformd d Lplc d 3 pr obr d d d qí ilizdo mo 4 y dpjdo []: 5 Obrvmo q l rformd d Lplc covir l cció difrcil d fljo dd por 3 cció lbric d crvo rprd por l cció 4 Tommo hor l rformd ivr - d l prió 5 pr obr L cció 6 o proporcio l vlor d cd i ddo vlor iicil L form plíci d l olció dpd d l fció l co má impl cdo = co d mr q l olció dd por 6 qd como
6 8 c d Ecoomí = L olció rl d 6 pd corr d l ii mr Nomo q i = - oc vr jmplo i q []=/+ pr odo co lo cl Ei propidd d l rformd ivr 4 q dic q por lo o d d 8 I L cció 8 i irprció coómic imdi Pr ilrr o pmo como l crvo d cpil q dprci d y como l ivrió br Eoc 8 dic q l crvo d cpil l impo coi d do pr: l primr lo q qd dl cpil iicil omdo c l dprcició rprd por l érmio I y l d coi l ivrió cmld l priodo [ ] co corrpodi dprcició rprd por II 3 L fció dl d Dirc E vid q h l momo l rformd d Lplc o má q or écic pr l rolció d ccio difrcil Si mbro poplridd obr odo problm d iirí rdic q o prmi II 4 A propidd l cooc como l propidd d l covolció E rl dfi l covolció ß d do fcio y ß como d L prió 7 o dic q l rformd ivr covir prodco covolcio Vé Edwrd y Py [] y Nl S y Sidr [] pr myor dll
7 L rformd d Lplc coomí 9 rolvr ccio l cl l érmio idpdi pd r mm ml pordo E l co d l cció 3 l érmio podrí o r fció coi lo cl rpr mjor l rlidd co lo cl l fció rí difrcibl por pdzo L fcio q vmo lizr o fcio dl ipo l cpo lo irvlo o i d impo prdrmido L fció má impl d ipo l fció cló o fció d viid É dfi pr clqir como i: i i E fácil vr q rformd d Lplc á dd por U vri d fció l ii: / i d or mr Aimimo omdo l lími cdo dfi lim i i A úlim fció l cooc como l fció dl d Dirc Llmmo fció d implo clqir fció q ob como combició lil d dl d Dirc L fcio dcri rrib ilr l ráfic Fcio y ráfic y y
8 c d Ecoomí y = / y = +
9 L rformd d Lplc coomí ráfic coició Fcio y y y y = Iiivm d fció l cpo = po pr l cl om vlor ifiio Podmo imir q fció rpr hock o implo = lo í como mrillzo dcr lécric o porqé o ci o pérdid iprd d cpil rprd por i d ivrió ifii A pr d q prc brdo dd l po d vi mmáico dfiir l fció d Dirc l plicció d l rformd d Lplc l covir fció mjbl como v mo coició Propoició 3 L rformd d Lplc d d á dd por Dmorció: Ddo = y? > clclmo primro [ ] como i: d d
10 c d Ecoomí Aimimo mo q [ ]=lim [ ] y por lo o? lim lim d d co lo cl cocly l dmorció Obrvmo q i ido por dd l lilidd d pr d q l irprció d lo rbi qé iific -vc lo ifiio? L Tbl mr l rformd d Lplc y por lo o mbié l rformd ivr d l fcio com Tod ll pd dmorr ilizdo l dfiició d l rformd Tbl Trformd d Lplc com co b b b b b! F f =L f F = co b b b b b! F f =L f F =
11 L rformd d Lplc coomí 3 4 Implo d ivrió L fció dl d Dirc pd plicr iúmro d problm pr lo cl qrmo modlr implo óo Tommo por jmplo l ii cció d ivrió: k dcir l ivrió l cpo l i = pr l cl ifiim rd o bi hy implo d ivrió = L olció cció á dd por 6 co = y por lo o k k k k L ráfic mr l compormio d k dod l cpil om dicrm l vlor k+ l i = ráfic Cmbio dicro l cpil cdo = k k + k El jmplo rior pd rlizr omdo l ii cció: k T dcir lo implo d ivrió rliz = T L cció rlv il q rrib obiédo k k T
12 4 c d Ecoomí L ráfic 3 mr l compormio d k pr co Podmo mbié omr c l dprcició dl cpil y coidrr l cció k k E cció d l form 3 y olció á dd vm por 6 como i: k k k El compormio d k cdo k = = 3 y = 4 mr l ráfic 4 ráfic 3 Cmbio dicro l cpil = T k k + T k + k + k Lo jmplo rior podrí dpr fácilm l co d l ivrió civo co fljo d dividdo D y libr d rio r L cció pr l vlor dl civo á dd por D r q vz má l cció 3 co = -r y = -D E cció pd irprr como codició d o rbirj: cd i qivl ivrir l cidd r dimo comprdo C obido cidd r o bi rlizr l ivrió obido lo dividdo D má l cmbio l vlor dl civo / Lo dividdo pd modlr como T
13 L rformd d Lplc coomí 5 fcio d implo É clrm mjor proimció d l rlidd q l prlo como fcio coi ráfic 4 k Trycori d k Coclio E ríclo rlizmo brv poició d l rformd d Lplc y irp rció coómic E rl podmo dcir q lo coomi ior l ici d rformd y lo rio pricipl d l mim dcooc lo cocpo coómico E ició h mido l rformd ljd dl coomi profiol ido ilizd úicm como hrrmi pr l rolció d l ccio difrcil fiz L dfiició mim d l rformd d Lplc como l vlor pr d fljo l covir cdido rl pr l irprció y rolció d lo problm coomí El mdo coómico l o r bi rprdo por fcio coi co lo cl l fcio d implo o d r yd pr l modlció d ciro fómo L rformd d Lplc o prmi miplr lo fljo dicoio coviriédolo crvo coio
14 6 c d Ecoomí E rbjo mr má d q l modlció coómic d vo ido écic mmáic y coocid Podmo dcir q l coomí o impl ri d l mmáic io q l riqc proporciodo irprcio dro d ámbio diio l d l cici báic 6 Rfrci Brozwicz J Sochic ordr bd o h Lplc rform d ifiily diviibl diribio Si Probb L Vol 5 Núm pp -9 Br S 986 Lplc rform pr vl rl Jorl of Fic Vol 44 Núm pp Di M Lplc rform ordri of cril qii Irc: Mhmic d Ecoomic Vol 9 pp 83- DSchppr A T M y oovr M 994 A lyicl ivrio of Lplc rform rld o ii cri Irc: Mhmic d Ecoomic Vol 4 pp DSchppr A T M y oovr M 99 Th Lplc rform of ii cri wih poil im diribio Irc: Mhmic d Ecoomic Vol pp 9-94 Edwrd C y Py D Eccio difrcil Pro d Nl K Sff E y Sidr A Eccio difrcil Pro Plr A Prici dobl brrir opio i Lplc rform Fic Soch Vol 4 Núm pp 95-4
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