PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS VECTORIALES

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Natividad San Martín Rojo
hace 6 años
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1 PRODUCTO TENSORIL DE ESPCIOS ECTORILES Poduco Teol El Fuo Poduco Teol 3 Poedde del Poduco Teol 4 Ále Teol de u Eco ecol 5 El Fuo Ále Teol Poduco Teol: Codeemo lo eco vecole oe el cueo comuvo K e χ l ceoí cuo oeo o lo e T dode T e u -eco vecol : T e u lccó mullel le ue T e oo oeo de l ceoí χ eoce odo momo del couo T T χ e u omomomo :T T l ue Decó : Se deom oduco Teol de lo -eco vecole u oeo cl T de l ceoí χ El eco vecol T e deom mé oduco eol de e deo o T T Decó euvlee l eo: U Poduco Teol de lo - eco vecole e u - eco vecol T uo co u lccó mullel L ; T l ue odo - eco vecol T od L ; T e cumle ue Hom T T úco l ue el áulo de l u e comuvo e dec Poocó : S T e u oduco eol de lo -eco vecole eoce e vec ue T ee T

2 Democó: Se T el ueco de T eeddo o L ; l ue e dode e e : T l dedd oe Po o ee u úco : T l ue o Pemullcdo o e eul: e o o e o Codedo el eudo dm: ee u úco omomomo l dedd :T T l ue Peo mé e: e o lo ue e lo ue mlc ue e e oeecv o lo ue T Poocó ucdd: S T T o oduco eole de lo -eco vecole ee u úco omomo :T T l ue o Democó: T e ee ue ee omomomo :T T :T T úco le ue Pueo ue L ; T L ; Oevdo ee eudo dm e ee ue ee u úco omomomo l dedd T :T T l ue Peo mé emo vo ue: T álomee oedímo ue T Y de m ue - e u omomo Poocó 3 eec: Ddo lo -eco vecole ee u oduco eol Democó:

3 Codeemo el -módulo le F oe el couo ue e evdeemee u -eco vecol Y e N el ueco vecol eeddo o lo elemeo del o uee: λ + λ Y e T F / N co l oeccó ul :F T Se : T mo o ue T e u oduco eol de λ emo ue e mullel: + λ [ λ + ] λ [ ] [ ] [ λ + λ ] 0 Po o e lccó mullel λ + λ + e T e u oduco eol: Se L E ; Como F e u -módulo le : F E l ue o [ λ + λ ] [ λ + ] λ [ ] [ ] λ + λ 0 Eo o dc ue N Ke lo ue mlc ue duce u omomomo :T E l ue o o lo ue e el uee dm e vec ue: o o o o 3 e úco: Se :T E culue omomomo de eco vecole ue o Como T ee T eoce culue elemeo de T uede ece como comcó lel de elemeo de : T λ 3

4 lo cul o dc ue λ λ Po o T e u oduco eol de lo eco vecole No: S T e el oduco eol de como l lccoe mullele o o ecv ue e ee o eemlo ue λ λ λ λ o dc ue o odemo dec co u ucouo de T L me o del elemeo e deo o Como ee T T uede ece: eeó ue o e úc E cul λ l ue { u } I { u } I o e de eecvmee u em de eedoe de eí: u u I { } 4

5 El Fuo Poduco Teol: Codeemo u ml de omomomo ee -eco vecole: : Se ee eoce u lccó Π : Codeemo l ceoí Γ cuo oeo o -l de -eco vecole cuo momo o lccoe del o eo Se mé Φ l ceoí cuo oeo o lo e dode e u -eco vecol mmo e : u lccó mullel ee -eco vecole l ue e oo oeo de Φ odo momo del couo { } Φ omomomo : e u L oecó Poduco Teol de -eco vecole o eme de u ucó T: Γ Φ ed o do ucoe: Fucó oeo: cd -l de l ceoí Γ le ce coeode u oduco eol: S e ue Fucó momo: T Π eoce o Π L ; eo mlc : : úco l ue o oπ Demo de eo: 5

6 T Π ue deomo de l om T E medo ue T e u uo de l ceoí Γ l ceoí Φ ueo ue e T : Γ Φ Π eoce: T Π o Π o T Π o T Π " " : El uo T e deom uo oduco eol S e e deom Fuo Poduco Teol -mo lo odemo dc o T 6

7 3 Poedde del Poduco Teol: Poocó 4 Se E + -eco vecole Eoce: Hom E L ; E * [ ] L Democó: ; Se l lccó eol Se ee ue: : Hom E o L ; E σ : ue e ue áclmee e u omomomo Pueo ue o óe: Qued í ded u lccó Hom E L ; E L ; E : E / o e clo ue el omomomo σ e u omomo como e eedí o E coecuec de í ce E Poocó 5: Se -eco vecole Eoce: Se Π ; ; u oduco eol coudo comdo decudmee e ee óde ée el ímolo Se ee ue ee u omomo: ; ; σ : Π llmdo omomo de ocvdd l ue e: σ ; ; : Π 3 Ee u úco omomo llmdo omomo de comuvdd l ue Democó: 7

8 8 Se l lccó lel : l ue K d d d E le codcoe ee u úco omomomo : o / : e el áulo eo Como e uecv e emomo P o ue e omomo codeemo ue me λ λ le ue λ λ λ λ λ λ λ Po o e moomomo U omeo áloo ue ue uí o lmemo o el co de 3 mé e cumle ue 3 3 ; ; Π Se ee: - L lccó 3 3 : l ue e vlmee mullel - L lccó 3 3 : l ue e vlmee mullel Eo mlc ue ee u omomomo úco 3 : l ue e - L lccó 3 3 : ded o c c c

9 9 e o odo lo dco u lccó lel - Como coecuec ee omomomo úco le ue emo ue : - E el eudo dm ee u olo omomomo dedd l ue Pue álomee codemo 3 e lu de 3 oedímo de m ue - e u omomo como e eedí demo P >3 comcoe d l o coded uí l democó e álo uue ovmee má loo 3 E áloo l co eo code el dm uee e dode e vec ue Poocó 6: S lo -eco vecole o decomole e um dec de eco ν ν M N Eoce e vec ue ν ν S Democó:

10 0 Se lo do omomomo de cluó : : uo co u oduco eol: : Po decó S e: F dode MN F e o Demo el omomomo S : omdo: F Codeemo l oeccoe ule: : : uo co u oduco eol : L lccó S : l ue e vlmee u omomomo mo o ue e el omomomo dedd oe Se Eoce: [ ] [ ] [ ] { } Como el couo { } ee e el omomomo dedd oe P o ue e el omomomo dedd oe S e β α β α N M mee ddo Eoce: [ ] [ ] [ ] β α β α β α Como { } ee S e el omomo dedd oe S o omomo l oocó ued od Coolo: Se e de lo -eco vecole eecvmee Eoce { } I u u e u e de Democó: Po l eo oocó e medo ue { } u u e u e de ue [ ] I u u Suóe el coolo ceo -

11 vmo ole Hcemo Po l oocó ecedee l ml { u u u } e u e S lcmo o el omomo de ocvdd oocó 5 eul medmee ue e u e de dm dm dm E medo ue E cul e oduco eol T eá: e { u } u e de u e del u { u u } R dode R vcoe - co eecó de lo elemeo

12 4 Ále Teol de u Eco ecol: L um dec T T e ovmee u eco vecol N-dudo 0 mo o e lo ue ue ue deedo ce oecó T e u ále eol del -eco vecol Se χ l ceoí cuo oeo o e dode e u -le ocv u e u omomomo de -eco vecole : e l ue e oo oeo de χ odo momo del couo { } χ e u omomomo de -ále : l ue Decó : U ále eol del -eco vecol e u oeo cl de l ceoí χ L -le ocv u T e deom mé ále eol de Decó euvlee l eo: U ále eol del -eco vecol e u -le ocv u T uo co u omomomo de -eco vecole τ : T l ue od -le ocv u T odo omomomo de -eco vecole τ : T e u olo omomomo de -le :T T T T τ τ Poocó 7: τ e u ále eol de eoce el couo {} S T T Democó: τ eed E álo l Poocó code M uále de T eedd o Poocó 8 ucdd: S τ T τ T o do ále eole de ee u úco omomo de -ále :T T l ue τ τ Democó: álo l Poocó

13 Poocó 9 eec: Ee u ále eol del -eco vecol Democó: L democó coe e u couccó ue emo oe el -eco vecol T - P ue T e u -ále ocv u e eco de e T u uev oecó o lccó TT T ue e lel ocv u ovecemo ello el omomo de ocvdd del oduco eol Poocó 5 Ee u úco omomo σ : T T T + l ue: σ + [ ] T Ee omomo o eme de u lccó lel : l ue: + : T T T ue e ocv ue: demá vlmee e vec ue Como T e: c l ue c T l lccó T T T ue ucmo deod mé o e: c c c c T Cocluó: u T + e u -ále N-dud ocv 3

14 τ l ue - Se : T τ T T mo τ T e u ále eol de Se o ue el oo oeo de l ceoí χ vmo demo ue ee u olo omomomo de -ále : T l ue ue τ : Demo El omomomo de eco vecole : uede mle u lccó -lel o Pueo ue T : ded e u oduco eol -mo de lo ue mlc ue ee u úco omomomo de eco vecole : T l ue o o l ue: c Codeemo l lccó : T l ue e cuml c c c T e ue vlmee ue eá e ded ue e u omomomo de -ále u l ue ue τ - 3 emo ue í dedo e úco S uee oo Hom T l ue τ deeí e: τ τ Como l ml { } N e u em de eedoe de T lo ue mlc ue o o e úco Qued í odo ue T τ e u ále eol de 4

15 5 El Fuo Ále Teol: Se Γ l ceoí cuo oeo o -eco vecole cuo momo o omomomo de -eco vecole Se Φ l ceoí cuo oeo o e dode : e u omomomo de -eco vecole u - eco vecol u -ále o l ue e oo oeo de Φ odo momo del couo { } Φ e u omomomo de -ále : L oecó ále eol o eme de u ucó T: Γ Φ ed o do ucoe: Fucó oeo: cd oeo de Γ dudc u ále eol τ T Φ Fucó momo: S Γ : eoce : T e u omomomo de -ále l ue τ Demo: τ { τ T τ T } Φ T E vl como ue l ucó T : Γ Φ e u uo E eeco : eoce: T T d d T T { τ T τ" T " } { τ T τ T } Φ Eo mlc ue T e u uo cove ue e llm Fuo Ále Teol 5

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