SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO HOMOGÉNEO. De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:

Transcripción

1 Mri: Cálclo III Uidd III: Eccio dircil d gdo ord Nro. d pág.: Libro: Eccio dircil co pliccio Aor: Zill Di G.... SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO HOMOGÉNEO L orm grl d cció : b c Pr rolvrl, db hllr l olcio d l cció crcríic: b c D crdo l rlz d l olcio, obi r co: Co :, ríc rl dii. L olció d l EDO : C C Co :, ríc rl igl. L olció d l EDO : C Co : i, i, ríc complj cojgd. L olció d l EDO : C olció complj C C C co C olció rl Vmo q cd o d o co xi pcio d olcio, rl d l combició lil d do cio. El cojo d do cio cooc como b d olcio d l EDO homogé. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO NO HOMOGÉNEO L orm grl d cció : b c Pr rolvrl, db hllr primro l olció d l cció homogé ocid:

2 b c l olció d l orm: c *, dod c l olció d l homogé ocid, * olció priclr dl problm o homogéo q obi prir d méodo dcdo vr má bjo. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS E méodo plic cdo l ció combició lil d prodco iio d cio l q drivd d l mimo ipo d ció. So ll: poliomio ció xpocil h combicio lil ddco Pr rolvrl, ció d prb q combició lil dl mimo ipo d cio, co coici drmirá rmplzádol l EDO. El co má grl : h p co q dod h, p, q poliomio d grdo. L ció d prb grl : h * k k k co l l l, dod k, l o lo coici drmir. Si h + i ríz d l homogé ocid lo q ocrr cdo ció d prb olció dl problm homogéo, * db mliplicr por. SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS E méodo má grl, válido cdo lo coici d l EDO o co, io cio. E co l olció priclr om l orm: * v v

3 dod v v obi dl im: v v v v dod o l cio d l b d olcio d l EDO homogé ocid. E cio db r lilm idpdi, pr lo cl db cmplir co l codició: W Eo, drmi Wrokio o db r idéicm lo.

4 Mri: Cálclo III Uidd IV: Eccio dircil d gdo ord Nro. d pág.: 4 Libro: Eccio dircil co pliccio Aor: Zill Di G SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES S h vio m rior cómo rolvr lg ccio lil d º ord: l d coici co lg d coici vribl, como l d Elr o qll d l q cooc olció priclr d l corrpodi homogé. Pro, grl, o h vio cómo rolvr l ccio lil co coici vribl, lg d l cl prc ligd impor problm d l Fíic, como l ccio d Lgdr, Hrmi, Air, Bl, c. q o d coici poliómico. Admá, l ccio h hor vi, grlm i olcio xprbl érmio d º iio d cio lml poliomio, xpocil, rigooméric, c., o ivr d é. Or vc, ú bido rolvr l cció, hbí q xprr l olció por mdio d igrl. Pro grl, l olcio o pd xprr ácilm. E crio por o, bcr oro modo d xprr l olcio d ccio lil d º ord, q propici vz vo méodo d rolció d l mim. E m dirá méodo d rolció bdo l rprció d olcio mdi ri d poci. Y lo do igi, mdi ri d Frobi.. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO S v coidrr l co d l cció dircil lil homogé d º ord : 4

5 P x Q x R x ó orm cóic : p x q x Diicio. Q x U po x llm po ordirio d o i l cio p x P x R x q x o líic x dcir, i px qx i drrollo ri d P x Tlor oro x co rdio rpcivo d covrgci R R o lo Si Px, Qx, Rx o poliomio, oc x po ordirio d i ólo i Px ido o impliicbl. Si x o po ordirio, llm po iglr d l cció ó. Sgú l dio d l ccio dircil lil homogé, l impl coiidd d px qx oro I d x, ici pr grizr l xici d do olcio lilm idpdi d l cció dicho oro, í como pr grizr l xici icidd d olció dl problm d vlor iicil diido por l codicio: x =, x = b co x I Pro i dmá x po ordirio d ó, l px qx o ólo o coi I, io líic. Y cb prgr oc i l olcio d l cció hrdrá dich propidd. Por o, i x po ordirio d, rg l prg igi: Exi olcio líic d oro d x, dcir, olcio d l orm : x x x x... x x... E co irmivo : 5

6 Cómo obi lo coici? Dód covrg l ri? E impor podr rpodr prg, p rí brdo ir bcr olcio d l orm, i o xi. Si xi I, pd dmá drivr érmio érmio I. L rp prg l d l igi orm, q rá cido, pro o dmordo. Torm: Si x po ordirio d ó oc l olció grl d ciro oro d x pd cribir l orm vz : x x x x ido, c rbirri x, x líic oro I d x, lilm idpdi I. El rdio d covrgci d l ri x x l mo grd como l míimo d lo rdio d covrgci d lo drrollo ri d px qx oro x dcir, l mo igl l dici d x l po iglr má próximo d l cció, dicho po rl o compljo Lo coici d l ri obi érmio d, ido l ri géric x x, í como lo drrollo d px qx i Px, Qx, Rx o o poliomio procdido por coici idrmido. Obrvcio: L ri olció pd covrgr co rdio mor q l idicdo l orm. 6

7 b Si l po ordirio x, pd impliicr l ocio rlddo x l orig, mdi l cmbio x - x =. c Sgú l orm d xici icidd, cd olció á drmid d mr úic por lo vlor x x, dcir por. Por o, odo lo coici obi érmio d. d El méodo pr rolvr cció compl : p x q x h x, ido x po ordirio hx líic x, álogo. E co, mbié h q drrollr hx ri d poci oro x, d procdr por coici idrmido. Tmbié podrí rolvr primr lgr l cció homogé cr lgo por vrició d co, o por rdcció d ord. E clro q podrí r méodo mj pr ccio dircil lil, d primr ord. 7

8 Mri: Cálclo III Uidd V: Eccio dircil d gdo ord Nro. d pág.: 4 Libro: Eccio dircil co pliccio Aor: Zill Di G TRANSFORMADA DE LAPLACE. Diició: S ció diid [,. L rormd d Lplc d, dod por L{ }, di como: L{ } d Dich rormd xi i covrg pr lgú vlor d. El domiio d o odo lo vlor d pr lo cl l igrl xi. L igrl impropi á diid por d lim T T d : Simpr q l lími xi.. Codicio ici pr q xi l rormd: Si ci coi : coi por gmo [, cod # iio d dicoiidd # iio d máximo míimo b Si d ord xpocil, dcir, i xi co poiiv T M l q M, pr odo T. Iiivm l cio d ord xpocil o pd crcr vlor bolo má rápidm q cdo crc. M Fcio cod, l como o co o d ord xpocil. xrmo irior d odo lo : bci d covrgci Si d l ord xpocil oc xi rormd d Lplc pr 8

9 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES L{ }! b co b h b coh b,,,... b b b b b b! b b b b PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE. Lilidd: Si L } L } oc { { L{ c c } cl{ } cl{ } c c Ejmplo: L{ 4 co 5 } Ecl: 9

10 L{ }, oc L{ } /. Trormd d l drivd: L{ } L{ 4. Trormd d l igrl: L{ d d 5. Primr Torm d Trlció: Sí L{ }, oc L{ } Ejmplo: L{ co } 4 6. Sgdo orm d Trlció: Si L{ }, oc - L{ } - L{ } L{ } Ejmplo: L { } d d 7. L{ } d 8. Si priódic T=príodo, oc:

11 T T d L. } { Trormd d Lplc d cio o priódic ] [ ] [ L } { Apliccio ccio dircil d coici co. Rolvr: } { } { L