CIMPA Summer School on Inverse Problems on its Application ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL QUE ORIGINA EL MODELO DE BLACK - SCHOLES

Transcripción

1 CIMPA Summer School on Inverse Problems on its Applications ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL QUE ORIGINA EL MODELO DE BLACK - SCHOLES 11 de enero de 2010

2 El modelo de Black -Scholes, permite la valoración de derivados financieros, el cual influye en la toma de decisiones financieras a nivel mundial. El inicio se da con el "movimiento Browniano", en el cual se afirma que el desplazamiento de una partícula entre dos instantes es independiente de las posiciones anteriores que haya tenido, y en el que se demuestra que la función de distribución f de la posición de la partícula satisface la ecuación f t = D 2 f x 2, (1) conocida como la ecuación de difusión, siendo x la variable espacial, t la variable temporal y D una constante, el cual posteriormente con algunos cambios representaría la solución a la ecuación de Black - Scholes. En 1973 Fisher Black y Myron Scholes, apoyados en el movimiento Browniano geométrico, crean el modelo de este estudio, el cual era la base de los movimientos de

3 los precios de las opciones, y trabajaron de la mano con el cálculo estocástico, el cual partió de la ecuación diferencial estocástica (2): donde S = precio del bien subyacente (spot price), µ = tasa promedio de rendimiento, σ = volatilidad, t = tiempo, dx = proceso estocástico ds = µsdt + σsdx, (2)

4 Luego de (2), mediante unos cambios adecuados se llega a la ecuación diferencial parcial (3): V t σ2 S 2 2 V V + rs rv = 0, (3) S 2 S donde V = f (S, t) es el valor de una opción sobre aquel activo subyacente y r es la tasa libre de riesgo.

5 Transformada de Mellin de la función f (S) M{f (S)} = F (z) = 0 f (S)S z 1 ds, (4)

6 Transformada inversa de Mellin de la función F (z) M 1 { F (z)} = f (S) = 1 α+i F (z)s z dz. (5) 2πi α i

7 Algunas propiedades y=f(s) M{f (S)} = Ŷ (z) 1. af 1 (S) + bf 2 (S) a F 1 (z) + b F 2 (z) 2. f (as), a > 0 a z F (z) 3. f (S) (z 1) F (z 1) 4. Sf (S) z F (z) 5. S 2 f (S) (z 2 + z) F (z) 6. f (n) (S) ( 1) n Γ(z) Γ(z n) F (z n) Cuadro: Propiedades de la Transformada de Mellin

8 . Introducción V V + rs t S σ2 S 2 2 V = rv (6) S 2 La condición inicial para una opción de venta, Put es V (S, T ) = f (S) = (E S) + = máx{e S, 0} (7) Tomando la T.M. a todos y cada uno de los términos de (6), con respecto a S y tomando a t fija, se tiene:

9 V = M{V (S, t)} = V (z, t), (8) M [V (S, t)] := V (z, t) = V, (9) [ ] dv M := d V dt dt, (10) [ M rs dv ] [ := rm S dv ] = rz ds ds V (z), (11) [ 1 M 2 σ2 S 2 d 2 ] V ds 2 := 1 [ 2 σ2 M S 2 d 2 ] V ds 2 = 1 2 σ2 (z 2 + z) V (z). (12)

10 Llegando a la ecuación diferencial: Sea Por lo tanto d V [ ( ) ] (z) 1 1 V (z) = 2 σ2 z σ2 r z r dt. (13) Q(z) = 1 ( ) 1 2 σ2 z σ2 r z r. (14) d V (z) V (z) = Q(z)dt. Luego al resolver por variables separables, se llega a la solución con 0 t T V (z) = V 0 e Q(z)(T t), (15)

11 Al tomar la T.M. a (7) se obtiene: V 0 = f (z), el cual corresponde a la transformada de Mellin de la condición inicial. Al reemplazar en (15), se llega a V (z) = f (z)e Q(z)(T t). (16) Al aplicar la definición expuesta en (4) se tiene que

12 f (z) = (E S) + S z 1 ds, = = 0 E 0 E 0 = E S z z (E S)S z 1 ds, (ES z 1 S z )ds, E 0 = E z+1 z(z + 1). S z+1 z + 1 E 0,

13 Al reemplazar en (16), se llega a: V (z) = E z+1 z(z + 1) e Q(z)(T t). (17) Luego al aplicar la transformada inversa de Mellin, según (5), se obtiene que: V (S, t) = 1 α+i E z+1 2πi α i z(z + 1) e Q(z)(T t) S z dz. (18)

14 Sea z = α + iω, lo cual implica que dz = idω, por lo tanto, si z = α + i, entonces ω = +, si z = α i, entonces ω =. Asignando a δ δ = α r σ 2. (19) Ahora al reemplazar en (18), se obtiene formalmente la solución integral de la ecuación diferencial parcial de Black - Scholes por medio de la transformada de Mellin para una opción Put.

15 donde V (S, t) = E 2π I (ω) = + [ ] E α ] σ 2 δ 2 (α+1)( 2 e[ 1 2 σ2 r) (T t) I (ω), (20) S [ ] E iω 1 S (α + iω)(α + iω + 1) e σ 2 2 (ω iδ)2 (T t) dω.

16 GRACIAS