Bienvenidos al Maravilloso mundo de los Principia. Philosophiae naturalis Principia mathematica DERIVADAS

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo 00 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-) Fecha de publicación: Bienvenidos al Maravilloso mundo de los Principia Contenido Tercer Parcial Philosophiae naturalis Principia mathematica DERIVADAS Contenidos Recta tangente al gráfico de una función Velocidad y aceleración Derivada Diferenciabilidad y continuidad Derivada de la suma, resta, multiplicación y cociente de funciones Derivada de funciones polinómicas, racionales y trigonométricas Regla de la cadena y derivadas de orden superior Derivación implícita Derivada de la función inversa Derivadas de las funciones trigonométricas inversa Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz Las dos semillas de uno de los arboles más grandes de la historia Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia - y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis Abordo el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida En sus primeras investigaciones

2 Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la Geometría Analítica de Descartes Sobre Leibniz y el principio de la razón suficiente: El principio de razón suficiente, enunciado en su forma más acabada por Gottfried Leibniz en su Teodicea, afirma que no se produce ningún hecho sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo De ese modo, sostiene que los eventos considerados azarosos o contingentes parecen tales porque no disponemos de un conocimiento acabado de las causas que lo motivaron Una de las consecuencias generales para la física del principio de razón suficiente fue condensada por Leibniz en forma de aforismo: "En el mejor de los mundos posibles la naturaleza no da saltos y nada sucede de golpe", lo cual vincula dicho principio con el problema del continuo y de la infinita divisibilidad de la materia Newton vs Leibniz Ambos científicos protagonizaron una dura polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática Sin embargo esta lucha no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados Hoy se consideran a ambos como padres del cálculo de forma independiente, como características por ejemplo podemos decir que la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos Tomado de Wiki Ejercicios a resolver en la práctica Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f, entonces su velocidad instantánea en el instante t 0 es f ( t0 + t) f ( t) v lim v pro lim t 0 t 0 t siempre que el límite eista (sea un número real) I Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con la ecuación de movimiento s f (t), ds donde s se mide en metros y t en segundos Encuentra, por definición, la velocidad v ( t) dt cuando t Si f ( t) t t

3 II a) Dada f (, indica el dominio de la función f, halla la derivada por definición e indica el dominio de la función derivada b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, calcula f '(, no se requiere simplificar el resultado cos a) f ( + 8 π b) f ( sec sen + c) ( cos ( + ) e) 0 [ ] f d) f ( sen ( + )( + f ( tan f) cos arctan ( + ) f ( + Sean f y g son dos funciones reales de variable real derivables en R En cada caso, Halla f en función de g a) ( + ) g f ( + + b) f ( g ( + ) cos( Sean f y g dos funciones reales de variable real que satisfacen f ( ), f ' (), g ( ) g '() Sea h la función real de variable real definida por + f ( h( Halla h '() g( Sea f una función que satisface, f '( ), '( ) f '( 0) 0, sea ( f( g( ) gráfica se muestra Halla, si eisten, h '( ), h '( ) y h '( ) f y h, donde g es la función cuya

4 + si < Dada la función real de variable real definida como f ( + a si <, donde a, b b c+ 7 si y c son constantes, halla los valores de a, b y c para que f sea continua en y derivable en dy En cada caso, halla, suponiendo que las ecuaciones dadas definen implícitamente una d función real derivable f tal que y f ( a) 0y y 7 + b) ( ) sen y y 7 Halla la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación ( y ) ( y ) punto de coordenadas (,) 8 La función f :[, ) R definida como f ( ( ) +, admite inversa + en el a) Grafica la función f b) Halla el dominio de c) Calcula ( ) () ' f f sin hallar una epresión para f 9 Supón que y+ y define una función f derivable tal que y f (, demuestra que 0 y '' ( y 0 Halla los valores de a, b y c para que la curva de ecuación y a + b+ c A (,) y la recta tangente en (, ) B sea y pase por el punto

5 Ejercicios propuestos I a Dada f ( +, indica el dominio de la función f, halla la derivada por definición e indica el dominio de la función derivada b Determina el punto, si eiste, de la gráfica de f ( + en el cual la recta tangente es paralela a la recta L de ecuación y + 0 II Un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta con desplazamiento s (t) tiene velocidad ds dv v ( t) dt y aceleración a ( t) dt, cuando esas derivadas eisten El objeto está avanzando si v( t) > 0 y retrocediendo si v( t) < 0 y está estacionario si v( t) 0, está aumentando su velocidad si a ( t) > 0 y disminuyendo su velocidad si a ( t) < 0 Con base en estos conceptos resuelva el siguiente problema El desplazamiento de un objeto que se mueve en línea recta en un tiempo t, donde s se mide en metros y t en segundos, está dado por s ( t) t t + t+ a) Halla la velocidad del objeto y analiza el movimiento entre los tiempos t 0 y t 7 b) Halla la distancia total recorrida por el objeto entre los tiempos t 0 y t 7 c) Halla la aceleración del objeto y determina cuando el objeto está aumentando o disminuyendo su velocidad entre los tiempos t 0 y t 7 Cuál de las gráficas que se muestran a continuación corresponde a la gráfica de f si f (? a) b) c) d)

6 Refleiona Cómo hallas la derivada de la suma de funciones elementales? Cómo hallas la derivada de la diferencia de funciones elementales? Cómo hallas la derivada del producto de dos funciones elementales? Cómo hallas la derivada del cociente de dos funciones elementales? Halla f '( 7 a) f ( ( + + sen( ) Si f ( +, verifica que ( + tan b) f ( 7 sec f ( + ) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( + en el punto de abscisa 7 Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f ( en el punto de ordenada Refleiona Qué orden sigues para hallar la derivada de una función compuesta? Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, calcula f '(, no se requiere simplificar el resultado d) ( sen ( f e) f ( sen( cos π) +

7 f) ( sen( cos f ( g) f ( ( ) Determina, si eisten, los puntos de la gráfica de f ( sen en el cual la recta tangente es paralela al eje 8 Sean f y g son dos funciones reales de variable real derivables en R En cada caso, Halla f en función de g a) ( g( + ) f b) g( f ( c) f ( cos g ( + g( ) + ( ) 9 Sean f y g dos funciones reales y derivables Calcula k () y k '() ( g( )) k ( f y f ( ), g ( ), f '() y g ' () 0 Sean g y h dos funciones reales y derivables Si ( y) g( h( y) ) f '() y g ' (), determina h ' () suponiendo que f y f ( ), g ( ), h ( ), Determina los puntos, si eisten, de la gráfica de paralela a la recta L de ecuación y + 0 f ( en el cual la recta tangente es Halla, si eisten, los puntos de la gráfica en que la recta tangente a la gráfica de la función f, definida por f ( + es perpendicular a la recta de L ecuación + y Sea si f ( Es la función f derivable en? Justifica tu respuesta + si > Sea ( ) sen f ( si 0 si Es f derivable en? Justifica tu respuesta Dada f ( a + b+ c halla a, b y c para que la recta tangente a la gráfica en el punto (, ) P sea paralela a la recta de ecuación y y la gráfica de la función interseque al eje y en el punto de ordenada Halla los valores de a, b y c para que la curva de ecuación y a + b+ c (, 0) A y que sea tangente a la recta y en el punto de abcisa pase por el punto 7

8 7 Dada + b, f ( a, si si <, halla a y b para que la función f sea derivable en R dy 8 Halla, suponiendo que la ecuación d y y define implícitamente una función real derivable f tal que y f ( 9 Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real halla f '( sen( f b) f ( arctan a) ( arcos( 7) 0 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y + y cos ( + sen ( en el punto ( π, ) P Demuestra que la recta tangente a la gráfica de la ecuación + y es ortogonal a la recta L que pasa por P y el (, 0) 0 Dada la función f :[, ] R definida como f ( ( + ) a) Grafica la función f b) A partir de la gráfica de la función dada decide si la función f admite inversa c) Halla el dominio de f d) Calcula ( ) ( ) ' f sin hallar una epresión para f en el punto P (, ) y Demuestra que la ecuación de la recta tangente a la elipse de ecuación +, en el b a punto P ( 0, y 0) es 0 y y0 + b a Usa el problema anterior para hallar la ecuación de la recta tangente a la elipse de ecuación + y, en el punto P (, ) 8

9 Respuestas de los ejercicios propuestos Dom + h+ + f, f '( lim h h I) a) [, + ), 0 + ( ) b) En el punto, la recta tangente es paralela a la recta dada II) a) v ( t) t 0t+ ( t )( t ) Para 0 < t < : Para t v t) : Para < t < : Para t v t) : Para < 7 9 b) m c) a ( t) 0t 0 Para 0 < a Para a t) Para < 7 a v( t) > 0 ( 0 v( t) < 0 ( 0 < t v ( t) > 0 : < t : ( t) < 0 t : ( 0 < t : ( t) > 0, en consecuencia el objeto avanza, en consecuencia el objeto retrocede, en consecuencia el objeto avanza >, en consecuencia el objeto está disminuyendo su velocidad, en consecuencia el objeto aumentando su velocidad Dom (, + ), f ) a ) a) f '( sen() ( 7 sec ( + 7 sec ( + tan ( 7 sec tan ) b) f ' ( ( 7 sec ) y 0 ) y + 0 ) d) cos ( f '( e) f ( cos( cos + π) sen ( ) sen ( f) f '( ( + ) cos sen( ( ( sen( sen( ) cos( cos ( sen ( ( + ) 9

10 g) '( ) ( ) ( ) f ( + ) π π 7) En los puntos de la forma + kπ, y + kπ, - con 8) a) '( g '( + ) f b) '( c) '( sen g ( + g( ) ( + ) g '( f ( + ) k Z, g( ( ) g ( + g( ) g '( + g( ) ( g '( ) f + k, '() 9) ( ) ) +, y ) No, () () k 0) h '(), ) P (, ) y ( ) P, f + f ) Si ) a, b, c, b y c, b ) a 7) a 8) f + ( ) b) f 7 9) a) '( 0 arcos( 7) 0) y + + π 0 ' ( dy d y y cos( + sen ( ) a) b) Si c) [, ] d) y ) 8 0

11 Halla el error Sea f (, Para hallar f '() se calcula primero f ( ) 9 y luego se deriva f (), es decir, f '() 0 La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f '( f ( en el punto (,8) es Si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto P ( a, f ( a) ) es f '( a) a entonces la pendiente de la recta normal en el punto P es a + La derivada del producto es el producto de las derivadas f ( f ( f ( f ( si f ( f ( ) + si > Toda función continua es derivable La pendiente de la recta normal a la gráfica de f en el punto (, f ( a) ) Si g( h ( entonces g '( h '( ( ) ( ) ( ) f ( cos + f ' ( + sen cos ( + sen ( + f ( f ( tan f f ' ( '( ( sec tan f ( sec( ) f '( tan sec( ) tan a es f ( a) f ( + h) f ( f ( a+ h) f ( a) f '( a) lim lim h 0 h h 0 h El dominio de la función derivada es igual al dominio de la función La pendiente de la recta de ecuación y + 0 es m

12 TOMO I: Ejercicios Etras: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y + en el punto de abscisa Halla la función derivada de las siguientes funciones: Calcula f ( en cada caso: Calcula la función derivada de: + f( sen Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa Determina los puntos de tangente horizontal de la función: f( + 7 Calcula f '(), utilizando la definición de derivada, siendo: f ( + 8 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f ( - +, que es paralela a la recta + y Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f ( - + que son paralelas a la recta y ( a) f + b) f sen a) f b) f ( ) ( + ( sen Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en Halla la derivada de la función f (, en 0 -, utilizando la definición de derivada: f ( +

13 Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva y + eje de abscisas en el punto de corte con el d y En cada caso, determine d d y : d y a) y + b) f ( + c) ( ) f ( + d) t f ( t) t + e) + f ( f) f ( t) t t + t+ TOMO II:

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15 TOMO III: Practica elaborada por la Prof: Aida Montezuma Ampliada por Prof Antonio Di Teodoro 00 (Basada en prácticas anteriores de la USB-Matemáticas), en Especial las prácticas de la Profa Diasparra Maikol Formato doc->pdf