Capítulo 8 Transformada de Laplace.

Transcripción

1 Capítulo 8 Transformada de Laplace. La transformada de Laplace es informalmente una rotación en 90 de la transformada de Fourier y este capítulo está dedicado a ella. Su principal aplicación es a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y a los sistemas de e c u a c i o n e s d i f e re n c i a l e s. P e ro t a m b i é n estudiaremos algunos tipos sencillos de ecuaciones integrales.

2 Sección 1 Transformada de Laplace. Transformada Inversa. CONTENIDO. 1. Definición y propiedades básicas. 2. Transformada inversa. 3. Cálculo de integrales. La primera sección de este último capítulo trata sobre la transformada de Laplace y su inversión dejando para la siguiente su aplicación a las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales. En algún sentido esta sección es isomorfa a la primera sección del capítulo anterior y lo mismo ocurre con la siguiente. 167

3 Problemas. Por eso aplicando el segundo teorema de traslación obtenemos que 1) Hallar la transformada de Laplace de las funciones L{(t 2)e 3(t 2) H(t 2)} = 1 (s + 3) 2 e 2s. a) f(t) = te 3t H(t) b) g(t) = (t 2)e 3t+6 H(t 2) y graficar ambas funciones. Solución. a) Es trivial. Como la transformada de Laplace de t Galería 8.1. Las funciones del ejercicio. es 1 s 2 tenemos, usando el teorema de translación, que L{te 3t } = 1 (s + 3) 2. b) Notemos que esta función es precisamente la de la parte a) trasladada y comenzada desde el punto de abscisa t = 2 como vemos en la galería 8.1. La función de la parte a) y a continuación

4 2) Hallar la transformada de Laplace de f(t) = cos(t) 1 t y a partir de ella calcular la integral Solución. 0 cos(t) 1 e 2t dt. t Por lo tanto L { cos(t) 1 t } = s u u u du y calculando tenemos que la última integral es 1 2 ln(u2 + 1) ln(u) s = ln ( u u s ) de lo cual evaluando (límites incluidos) llegamos a que Por la propiedad de la transformada de Laplace de la división por t tenemos que L { cos(t) 1 t } = ln ( s s ). f(t) L{f(t)} = F(s) L { t } = En nuestro caso, como f(t) = cos(t) 1 tenemos que s F(u)du. Finalmente de la misma manera que la transformada de Fourier se usó para el cálculo de integrales lo mismo puede hacerse con la de Laplace. En efecto, 0 cos(t) 1 e 2t dt t F(s) = s s s. 169

5 no es otra cosa que la transformada de Laplace de la f u n c i ó n f(t) = cos(t) 1 p e ro e v a l u a d a e s t a t Solución. a) Las fracciones simples de la función transformada en s = 2, es decir F(s) = s + 1 s 2 + 5s cos(t) 1 t e 2t dt = ln ( s ) = ln ( 5 2 ). son de la forma s + 1 (s + 2)(s + 3) = A s B s + 2 pero sabemos, de la teoría de los residuos que precisamente 3) Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones A = Res z= 3 F(s) = 2 1 = 2 a) F(s) = s + 1 s 2 + 5s + 6 b) F(s) = s2 s + 1 s 2 (s 1) c) F(s) = s s 2 + 2s + 5. y análogamente Luego B = Res z= 2 F(s) = 1 1 = 1. F(s) = 2 s s

6 e invirtiendo obtenemos de lo cual, como C es el residuo de F(s) en s = 1 f(t) = 2e 3t e 2t. obtenemos F(s) = 1 s s + 1 s 1. b) Como ahora tenemos una raíz múltiple en en denominador las fracciones simples son de la forma F(s) = s2 s + 1 s 2 (s 1) = A s 2 + B s + C s 1. Nota : Plantear unas fracciones simples de la forma F(s) = s2 s + 1 s 2 (s 1) = A s 2 + B s 1 es incorrecto aún cuando en este caso hubiésemos A h o r a b i e n, s i l l a m a m o s ϕ(s) = s2 s + 1 s 1 tenido suerte ya que el término B s se anula. podemos escribir F(s) = s2 s + 1 s 2 (s 1) = ϕ(0) s 2 + ϕ (0) s + C s 1 c) Para este tercer caso de raíces complejas, puesto que no queremos que haya constantes complejas en los numeradores debemos completar es decir cuadrados en el denominador para obtener F(s) = 1 s s + C s 1 F(s) = s s 2 + 2s + 5 = s (s + 1)

7 y luego sumando y restando 1 en el numerador obtenemos F(s) = s (s + 1) = s + 1 (s + 1) (s + 1) de lo cual invirtiendo obtenemos aplicando el teorema de traslación que f(t) = cos(2t)e t 1 2 sen(2t)e t. 172

8 Sección 2 Ecuaciones Diferenciales. Sistemas. Ecuaciones Integrales. CONTENIDO 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 2. Sistemas de ecuaciones diferenciales. 3. Ecuaciones integrales. 4. Ecuación integral de Abel. 5. Problema de la tautócrona. En esta última sección estudiamos y aplicamos la transformada de Laplace a ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales y a algunos tipos sencillos de ecuaciones integrales. Nuevamente esta herramienta nos dará una comprensión mayor al tener interpretaciones geométricas y físicas dinámicas que se fijan y se impregnan en nuestra mente para siempre. 173

9 Problemas. Y(s)(s 2 + 4s + 4) = s2 + 7s + 18 s + 2 1) Resolver el problema de valor inicial siguiente y + 4y + 4y = 8e 2t y(0) = 1, y (0) = 1. es decir Y(s) = s 2 + 7s + 18 (s + 2)(s 2 + 4s + 4) = s2 + 7s (s + 2) 3 Solución. S e a L{y(t)} = Y(s). E n t o n c e s t o m a n d o l a transformada de Laplace a ambos miembros de a ecuación diferencial y considerando las condiciones iniciales tenemos [s 2 Y(s) s 1] + 4[sY(s) 1] + 4Y(s) = 8 s + 2. Operando obtenemos Y(s)(s 2 + 4s + 4) = 8 s s + 5 o sacando denominador común Descomponiendo en fracciones simples el miembro de la derecha obtenemos entonces Y(s) = 8 (s + 2) (s + 2) s + 2 de lo cual, tomando la transformada inversa obtenemos la solución y(t) = 4t 2 e 2t + 3te 2t + e 2t. 2) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales x (t) = x(t) y(t) { y (t) = 5x(t) 3y(t) 174

10 con las condiciones iniciales x(0) = 1, y (0) = 2. Solución. Para resolver este sistema observemos primero que evaluando ambos miembros de la segunda ecuación en t = 0 obtenemos de las condiciones iniciales (s 1)X(s) + Y(s) = 1 { 5X(s) + (s + 3)Y(s) = 1 o lo que es lo mismo, en forma matricial s 1 1 X(s) ( 5 s + 3) ( Y(s)) = 1 ( 1). Luego, aplicando la regla de Cramer, obtenemos es decir y (0) = 5x(0) 3y(0) 2 = 5.1 3y(0) y(0) = 1. X(s) = s + 3 s s + 3 Introduzcamos ahora las transformadas L{x(t)} = X(s) L{y(t)} = Y(s). Entonces, tomando transformada de Laplace a cada ecuación del sistema obtenemos o despejando sx(s) 1 = X(s) Y(s) { sy(s) 1 = 5X(s) 3Y(s) es decir, X(s) = s + 2 s 2 + 2s + 2. Completando cuadrados en el denominador obtenemos X(s) = s + 2 (s + 1)

11 es decir X(s) = (s + 1) + 1 (s + 1) = (s + 1) (s + 1) (s + 1) Galería 8.2. Imagen de la curva parametrizada por (x(t), y(t)). para x(t) Por lo tanto invirtiendo, obtenemos la solución x(t) = cos(t)e t + sen(t)e t. De la misma manera es decir Y(s) = s s s + 3 Nuestro punto se moverá a través del tiempo comenzando en el punto colorado (1,1) (hemos cambiado de escala el eje x) sobre la curva dibujada en negro. Se observa que al tender t el punto se acerca al origen... A continuación el campo vectorial. Y(s) = s + 4 (s + 1) = s + 1 (s + 1) (s + 1) de lo cual, invirtiendo obtenemos vectorial y(t) = cos(t)e t + 3sen(t)e t. Luego, la solución del sistema es la función 176

12 x(t) ( y(t)) = cos(t)e t + sen(t)e t ( cos(t)e t + 3sen(t)e t ) Movie 8.3. Solución del ejercicio en función del tiempo. resultado que puede escribirse así x(t) ( y(t)) = cos(t) + sen(t) e t ( cos(t) + 3sen(t)) En la galería 8.2. vemos claramente el significado físico de esta solución y en la movie 8.3. lo vemos dinámicamente. Se puede ver una solución on-line aquí. Una partícula en el punto (1,1) en el instante t = 0 se moverá en función del tiempo como se muestra en esta movie. 177

13 Capítulo 3 - Funciones armónicas.

14 Cambio de escala (Transformada de Fourier) Si la transformada de Fourier de f (t) es F(w) entonces la transformada de Fourier de la función f (at) es F{f (at)} = 1 a F ( w a ) a 0. Capítulo 7 - Transformada de Fourier. Capítulo 7 - Ecuaciones Diferenciales.

15 Conforme (Transformación) Informalmente una transformación conforme, es una función w = f (z) que localmente conserva los ángulos y las orientaciones. Teorema : w = f (z) es una transformación conforme en z 0 C si y sólo si es holomorfa en z 0 C y f (z 0 ) 0. Capítulo 2 - Funciones Elementales.

16 Conjunto abierto. Un conjunto A C es abierto si ( z o A)( δ > 0) : B(z 0, δ) A donde B(z 0, δ) = {z C : z z 0 < δ} denota la bola abierta con centro en z 0 y radio δ. Capítulo 1 - Topología del plano Complejo.

17 Conjunto acotado. Un conjunto A C se llama acotado si existe un δ > 0 tal que A B(0,δ). Capítulo 1 - Topología del plano Complejo.

18 Conjunto cerrado. Un conjunto F C se llama cerrado si su complemento F es abierto. Capítulo 1 - Topología del plano Complejo.

19 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una función derivable en z 0 = x 0 + iy 0. Entonces se satisfacen las igualdades u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) que se llaman ecuaciones de Cauchy-Riemann. Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Capítulo 2 - Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Capítulo 3 - Funciones armónicas.

20 Fórmula integral de Cauchy Sea f (z) una función holomorfa dentro y sobre una curva cerrada simple positivamente orientada C. Entonces f (z 0 ) = 1 2πi C f (z) z z 0 dz. Una generalización de esta fórmula es con las misma hipótesis f (n) (z 0 ) = n! 2πi C f (z) (z z 0 ) n+1 dz. Informalmente, estas fórmulas expresan los valores de una función holomorfa y de sus derivadas en el interior de una curva en términos de los valores de la función sobre la curva. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy.

21 Homográfica (función) Se dice que una función es homográfica si tiene la forma f (z) = az + b cz + d con ad bc 0. Una propiedad importante de las funciones homográficas es que siempre se las puede expresar en la forma f (z) = α + β γz + δ lo cual es útil para transformar recintos. Una función homográfica queda determinada por tres puntos del dominio con sus correspondientes imágenes. Capítulo 2 - Funciones Elementales.

22 Igualdad de Parseval La igualdad de Parseval para integrales de Fourier dice que si f L 2 entonces su transformada de Fourier F L 2 y además f (t) 2 dt = 1 2π F(w) 2 dw Capítulo 7 - Transformada de Fourier.

23 Inversión Se llama así a la función f (z) = 1 z. Una de las propiedades más importates de la misma es que si D = {(x, y) : a(x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0} entonces f (D) = {(u, v) : d(u 2 + v 2 ) + bu cv + a = 0}. Capítulo 2 - Funciones Elementales. Capítulo 2 - Funciones Elementales.

24 Potencial complejo Dada una fuerza (función) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) en cada punto (x, y) D R 2 interpretando con u(x, y) y v(x, y) las componentes de la fuerza en la dirección del eje x e y respectivamente, llamamos potencial complejo de f (z) a cualquier función Φ(z) tal que Φ (z) = f (z) o lo que es lo mismo Φ (z) = f (z). Capítulo 3 - Funciones armónicas.

25 Raíz cuadrada. Dado un número complejo z 0 = a + bi se define la raíz cuadrada de z 0 como el conjunto z 1/2 0 = {w C : w 2 = z 0 }. Dicho conjunto es explícitamente el siguiente : z 1/2 0 = { ± z + a 2 ± z a i 2 } donde tomaremos signos iguales si b 0 y distintos si b < 0. El símbolo x para x R + 0 se reserva para la único número real positivo y : y 2 = x. Capítulo 1 - Operaciones Algebraicas. Capítulo 4 - Funciones sin desarrollo en serie.

26 Segundo teorema de traslación Si L{f (t)} = F(s) entonces L{f (t a)h(t a)} = F(s)e as. Capítulo 8 - Transformada de Laplace.

27 Teorema de Dirichlet Sea f una función absolutamente integrable en ( π, π) - que se escribe f L 1 ( π, π) - suave a trozos salvo en una cantidad finita de puntos x 1, x 2,, x n donde hay discontinuidades de tipo salto finito, es decir, los límites lim f (x) = f (x i + ) y x x i + lim f (x) = f (xi x x i ) i = 1,2,, n (1) existen y son finitos. Entonces la serie de Fourier de f converge en los puntos de continuidad al valor de la función y en los de discontinuidad converge al promedio de los límites laterales (1), es decir : lim S n ( f )(x 0 ) = f (x 0 ) si f es continua en x 0 n y lim S n ( f )(x i ) = f (x+ i ) + f (x i ) n 2 si f es discontinua en x i Capítulo 6 - Desarrollo en serie de Fourier. Capítulo 6 - Desarrollo en serie de Fourier.

28 Teorema de inversión (Fourier) Sea f L 1 una función suave a trozos. Sea F(w) la transformada de Fourier de f. Entonces f (t+) + f (t ) 2 = 1 2π f (w)e iwt dw y por lo tanto, en los puntos de continuidad tenemos f (t) = 1 2π f (w)e iwt dw. Capítulo 7 - Transformada de Fourier.

29 Teorema de Liouville Si f (z) es una función holomorfa y acotada en todo el plano complejo C entonces f (z) es constante. (Teorema de Liouville, 1847) Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 4 - Desarrollos en Serie.

30 Teorema de translación Si L{f (t)} = F(s) entonces L{f (t)e at } = F(s a). Capítulo 8 - Transformada de Laplace. Capítulo 8 - Transformada de Laplace.

31 Teorema del módulo máximo Si f (z) es una función analítica no constante en un dominio abierto y conexo D entonces f (z) no alcanza un valor máximo sobre D. Esto es, no existe z 0 D tal que f (z) f (z 0 ). Una consecuencia importantísima del teorema del módulo máximo es que si una función f (z) es analítica en el interior de un conjunto compacto D y continua en el borde de D entonces el valor máximo de f (z) sobre D, que se alcanza siempre, se alcanza en la frontera, nunca en su interior. Capítulo 3 - Teorema de Cauchy. Capítulo 3 - Funciones armónicas.