6.- Señales digitales

Transcripción

1 EAL - #3-6.- Señales digiales Dado un mensaje digial (p.ej. ) exisen diversos méodos para ransmiirlo como una señal elécrica (señal digial), algunos de los mas comunes, suponiendo ransmisión sincrónica, se indican a coninuación: T Mensaje digial Bipolar NRZ Bipolar RZ AMI Diferencial Mancheser Insanes de muesreo Cada uno de los méodos iene sus venajas y desvenajas. Es función del sisema de ransmisión digial reproducir en el exremo recepor una secuencia idénica a la ransmiida, evenualmene defasada en iempo. Cada uno de los elemenos ransmiidos consiuye un i y el número de is ransmiidos en un segundo la velocidad de ransmisión, medida en aud o is por segundo (ps). Como se verá mas adelane, cada elemeno de la señal digial puede represenar a mas de un i del mensaje digial. Usual uilizar aud para la velocidad de la señal y ps para el mensaje. Para la recuperación de la señal digial, se dee definir un méodo de deección de la información ransmiida mediane la señal digial. Un esquema usual es el de muesreo y decisión que en su versión mas simple consise en: a) Tomar una muesra de la señal digial en un insane apropiado (p.ej. el cenro de cada elemeno). ) Comparar su valor con algún umral conveniene

2 c) Decidir si la muesra esá por encima o por deajo del umral y, según el resulado, asignar al i reciido el valor o y, evenualmene, generar una señal elécrica. Umral enrada señal digial salida muesreador Decision reardo Generador de pulsos Recuperación de reloj (R) Noar lo siguiene: a) En el exremo recepor, hace fala conocer el iempo de duración de cada i (T ) y la velocidad de señalización (R =/T ). ) Se dee uicar el cenro o la posición mas adecuada para leer la muesra c) En la señal reciida, el valor de inerés de ampliud es únicamene el correspondiene al insane de la muesra. Los méodos indicados hasa ahora ransmien i por i, es decir, un elemeno del mensaje digial se ransforma en un elemeno de la señal digial, amos con la misma duración. Es posile generar una señal digial en que, cada elemeno represene una deerminada secuencia de is del mensaje digial. En ése caso, la señal digial no será inaria. T T Señal cuaernaria unipolar NRZ En la figura de arria, se codifican los is del mensaje de a dos y se asigna a cada elemeno de la señal digial un valor de ampliud diferene para cada una de las cuaro secuencias posiles (,,, ). En general, si se codifican n elemenos del mensaje digial, harán fala n niveles de la señal digial. Cada uno de esos niveles puede durar hasa nt segundos sin que se produzca disorsión inersimólica, es decir que la velocidad de ransmisión se puede reducir a R = [aud]. nt.

3 EAL - # Disorsión inersimólica Exise disorsión inersimólica cuando pare de la señal correspondiene a un deerminado i se difunde a is adyacenes, evenualmene capaz de generar errores. Si se adopa, para la señal digial, un pulso p() para represenar cada elemeno del mensaje digial, una señal de M is de duración puede ponerse como: x() = a. p(. T) = p()* a. δ (. T) p(), pulso represenaivo x(), señal digial M=8 donde varía de a M y cada valor a puede omar únicamene el valor + o - (se supone ransmisión ipolar, si fuera unipolar, sería o ). En el ejemplo de arria, M=8 y el mensaje es, es decir que a =, a =, a 3 =- a 4 =, a 5 =-, a 6 =-, a 7 = y a 8 =-. Si se oman muesras de x() en el cenro de cada i, es decir en =,T,T..., se iene que, una muesra genérica en algún insane mt, donde m es enero y m M vale: xmt (. ) = a. pmt (. T. ) = a. p(( m ). T) = a. p( ) + a. p(( m ). T) m para odo, excepo = m Noar que (m-) es siempre un número enero, posiivo o negaivo. Para ener disorsión inersimólica nula, el segundo érmino iene que ser igual a. Ello se consigue si: (a) p() es limiado en iempo a no mas de T seg. de duración y p() iene valor no nulo (el caso de la figura) y () p() es no nulo y p() es nulo a múliplos + o - de T 6..- Ancho de anda ocupado por la señal digial Si la señal x() es ransmiida a ravés de un filro pasa ajos con función de ransferencia H(f). El especro de la salida (respuesa) será: R( f) = X( f). H( f) Si: x () = p ()* a. δ ( T. ) = p ()*() i

4 Se iene que: X( f) = P( f). I( f) y R( f) = P( f). I( f). H( f) Donde P(f) y H(f) son funciones conocidas e I(f) dependerá de los coeficienes a del mensaje digial. Si se define un filro pasa ajos ideal cuya caracerísica de ransferencia sea: H( f) = rec f R Pf ( ). (, ) es decir ransmisión limiada en ancho de anda enre -R/ y R/, el especro de la respuesa será: R( f) = I( f). rec( f, R ), y en dominio de iempo, a ravés de su ransformada inversa: sen( π. R.) sen( π. R.) r () = i ()* = a. δ ( T. )* π. R. π. R. como R =/T, se ve que r() oma en los insanes mt el valor correspondiene al érmino a únicamene, m siendo la disorsión inersimólica nula. Suponer un mensaje digial, codificado en forma ipolar NRZ y p()=rec(,t ): T 3T T 4T 5T La función de ransferencia del filro será : H(f) -/T /T f La respuesa, en dominio de iempo será : sen( π. R. ) r () = a. δ ( T. )*, que es la convolución de: π. R. -3T -T -T T T 3T con:

5 EAL - #3-5 T T 3T 5T 4T que da como resulado a la forma de onda sen(x)/x rasladada a las posiciones de los impulsos y muliplicada por el área de cada uno de ellos.: T T 3T 4T 5T 6T 7T Noar que, en los insanes de muesreo, la única conriución a la señal de salida es la correspondiene al dígio generado en ese insane, las conriuciones de odos los demás es cero. Oviamene la respuesa que es la suma de las señales individuales, esá disorsionada pero maniene los valores originales en los insanes de muesreo. T 3T T 4T 5T La respuesa al impulso (normalizada para T =) del filro H(f) es:.5 π f jπ f ().. h = e df sin( π f ).5.5 h( ) La respuesa al impulso h() se anula a múliplos de T. Puede demosrarse que, en general, no exise disorsión

6 inersimólica si una señal digial se ransmie a ravés de filros que cumplen con esa caracerísica. Lo anerior indica que una señal digial de R aud puede ser ransmiida, sin perder información, en un ancho de anda de R / Hz + (ancho de anda de Nyquis) uilizando un filro adecuado. Además, el ancho de anda R / Hz es el valor mínimo (eórico) adecuado para la ransmisión sin disorsión. Eso surge de la siguiene consideración: Suponer una secuencia......, que puede considerarse, desde el puno de visa de ocupación de ancho de anda, como el caso mas desfavorale de un sisema de ransmisión digial. Suponiendo, como anes, ransmisión ipolar NRZ y p()=rec(,t ), su especro será : R =/T -/T -/T /T /T f R Si se filra la señal con un filro recangular ideal que enga ransmisión consane enre R f y + f [Hz] con f, el resulado será de dos impulsos en ±R /, que en dominio de iempo represena una señal armónica de frecuencia R / Hz, es decir que maniene la información digial mienras que si se reduce el ancho de anda del filro a anda R / es el mínimo admisile. R + f y R f [Hz], no exise salida. Eso sugiere que el ancho de En la prácica, se oma el ancho de anda necesario para ransmiir una señal digial de R ps enre,5r y R [Hz], usualmene,75.r. Respuesa al impulso (aplicado en =) de algunos filros reales: m 4.m 6.m 8.m.m Por orden a parir de =: Gaussiano, Buerworh(orden 6), Cheychev (Orden 6, ripple db), odos con

7 EAL - #3-7 frecuencia de core de 3dB de 5 Hz. Noar que, para una señal de R= [aud], salvo el Gaussiano, inroducirían disorsión inersimólica, mayor en el Cheychev que en el Buerworh Señales digiales en presencia de ruido TX x() Señal digial ransmiida Canal (inroduce ruido) x()+n() Señal digial reciida RX La señal digial x() después de ser ransmiida por el canal, es reciida sumada a una señal de ruido n(). Señal original:.5 x ( ) Señal reciida (señal original + ruido):.5 x ( ) n( ) Suposiciones simplificaorias: a) El número de unos y ceros ransmiidos durane un iempo largo (>>T ) es igual (igual proailidad de ocurrencia). ) La señal de ruido inroducida n() es gaussiana con componene media (coninua) nula. c) Méodo de deección: una muesra por i, poserior decisión según la muesra omada esé por encima o deajo del umral. Si en un mensaje digial suficienemene largo de N is, N e de ellos se recien con error, se define la proailidad de error según P e =N e /N. Un i esá en error si se ransmie un y se recie un o, se ransmie un y se recie un. Pe = P. Pe+ P. Pe en la ecuación anerior: P = Proailidad de ransmisión de un P e = Proailidad que, haiéndose ransmiido un, el recepor recie un.

8 P = Proailidad de ransmisión de un P e = Proailidad que, haiéndose ransmiido un, el recepor recie un Si P =P =.5, la ecuación de arria queda: Pe =.( Pe + Pe) Si se supone ransmisión ipolar NRZ, donde un se ransmie como una ensión +A vol y un como -A vol y el umral de decisión del deecor es vol, como la función de densidad de proailidad de n() es gaussiana, se iene que:.4 p ( x) p ( x). 3 3 x P e P e Un ransmiido (x()=a) esará en error si en el insane de muesreo x()+n() < y un ransmiido (x()=-a) esará en error si en el insane de muesreo x()+n() >. En érminos esadísicos: P e = P( n < -A) y P e = P(n > A) A Por simería de la curva gaussiana, esos valores son iguales: Pe = Pe = Q σ A Es decir que: Pe = Q σ Como ejemplo, si A=5 vol y el valor eficaz de la señal de ruido es de vol, enonces F P Q A e = H G I K J F 5 = Q H G I K J = Q( 5. ) = 6. 3 σ Cada is que se ransmian, 6 se reciirán con error, un valor demasiado alo para la mayoría de las aplicaciones. Normalmene, son necesarias asas de error inferiores a -4. Es común en sisemas de comunicaciones digiales especificar la asa o proailidad de error en érminos de la energía promedio por i ransmiido E vs. la densidad especral de ruido n. E, para ransmisión inaria, Energ. por"" ransmiido+ Energ. por"" ransmiido esá definido como E = E Energía prom. por i ransmiido : E = A. T y A= T. En el caso viso, se iene que:

9 EAL - #3-9 El valor eficaz de la señal de ruido, suponiendo que se uiliza el mínimo ancho de anda (eórico) para la R ransmisión de la señal digial, es σ = n. B= n. = n.. T donde n es la densidad de poencia (frecuencias posiivas) de la señal de ruido y T la duración de cada i. La proailidad de error queda: P Q A e Q σ = F H G I K J = F H G Si la ransmisión huiera sido unipolar NRZ: ransmiido represenado por una ensión +A vol y ransmiido por vol, es fácil demosrar que (suponiendo umral de decisión en A/): = F H G I K J = F H G P Q A Q E e.σ n Noar la mejor perfomance del méodo ipolar NRZ. A igualdad de energía por i ransmiido y densidad de ruido, endrá una menor asa de error Transmisión de señales analógicas en forma digial Si se iene una señal analógica x() limiada en ancho de anda a +/-B Hz, puede ransmiirse sin disorsión mediane muesras periódicas de x() si el iempo enre muesras es inferior a /B seg (Teorema de Nyquis) La señal x m () puede ransmiirse direcamene (PAM) o cada pulso codificarse en forma analógica (PWM, PPM) o digial (PCM) Modulación de Pulsos Codificados (PCM) La ransmisión de una señal PAM es analógica pues se dee preservar a lo largo del canal de comunicación las ampliudes de los pulsos de muesra. Un sisema PCM codifica cada muesra en una serie de unos y ceros que se ransmien en el inervalo enre ellas. Para poder codificar cada muesra con un valor inario se dee: a) disponer un T p suficienemene pequeño para que la muesra represene el valor insanáneo de la señal x() en el momeno de la muesra y ) asimilar la muesra oenida al valor mas próximo de un conjuno de valores fijos, que dependerá del número de dígios disponiles para la codificación. Eso inroduce un error (error de cuanificación) que será inversamene proporcional al número de is disponiles, además impone ora limiación a la señal x(): dee ser acoada en sus valores de ensión. Si se supone que x() esá limiada en ancho de anda a +/-B Hz y en ensión a +V máx y -V mín vols. Se dispone para la codificación de las muesras de M is.. E n I KJ I KJ Con M is pueden codificarse N = M valores diferenes, eso significa que el inervalo enre +V máx y -V mín puede dividirse en N segmenos. El mecanismo de cuanización decide que, si una muesra esá denro de alguno de esos segmenos, se asigna a la muesra el valor inario correspondiene. (caso mas simple de cuanificación lineal).

10 señal analógica V máx V=(V máx -V mín )/N N segmenos enre V máx y V mín, cada una de ellas, idenificada por un número inario de M is N= M Cualquier muesra que caiga denro de esos límies, se V mín codifica con el número de segmeno () Ejemplo para M=3, N= 3 =8 No. inario a ransmiir Valor analógico asignado a la muesra cuando sea decodificada (valor medio de cada segmeno) Vmáx=v.75v.5v.5v -.5v -.5v -.75v Vmín=-v =.875v =.65v =.35v =.5v = -.5v = -.35v = -.65v = -.875v V=/8=.5v Si una muesra deerminada vale p.ej..4v será codificada y reconsruida como de.5v, lo mismo que una de.5v, ec. x() Cualquier muesra que esé enre esos límies, se codifica como Vmáx. Vmín. Insanes de muesreo Codificación de las muesras

11 EAL - #3 - Señal digial a ransmiir (ipolar NRZ) En el exremo recepor, un conversor D/A ransforma el grupo de is correspondiene a cada muesra en un pulso de ampliud correspondiene al valor inario de la muesra y se regenera, aproximadamene, la señal PAM original. Un poserior filrado recupera la señal original x(). La diferencia enre las muesras originales y las reconsruidas puede omarse, a los efecos del análisis del error de cuanificación, como una señal de ruido que alera el mensaje original. Las muesras decodificadas se consideran muesras exacas de una señal x c () = x() + ε(), donde ε() es el llamado ruido de cuanificación y x c () es una señal que únicamene oma los valores discreos del cuanizador. Diagrama en loques de un sisema PCM Transmisor PCM - Banda de Base FPB (BHz) Limiador (Vmax/Vmin) Conversor A/D FPB (R/Hz) Enrada x() Salida PCM m() Recepor PCM - Banda de Base Enrada PCM Conversor D/A FPB (BHz) Salida x() Cloc Gráfico para x()=sen(πhz.) y x c (), cuanificación a 8 niveles (M=3)

12 u 5.u 75.u.m Error de cuanificación:.3 65.m. -65.m u 5.u 75.u.m Idem que anes con 3 niveles de cuanificación (M=5) u 5.u 75.u.m Error de cuanificación, noar disminución de ampliud con respeco a M= u 5.u 75.u.m Caracerísicas del ruido (error) de cuanificación: a) El especro es mucho mayor que B Hz

13 EAL - #3-3 Especros del ruido de cuanificación con 8 y 3 niveles (escala ver. En db): ) En la recuperación de la señal, no es eliminale oalmene por filrado pasa ajos. Sore odo cuando la frecuencia de muesreo es próxima a la mínima. Si f. B, la poencia oal del ruido de cuanificación pasa por el filro pasa ajos aunque el ancho de anda de ése sea mucho menor (folding). c) Suponiendo cuanización uniforme (pasos de vol), el valor cuadráico medio vale eficaz: ε RMS =, 887. s ε RMS = y el valor d) Con cuanificación uniforme, la disorsión por cuanificación puede ser severa en períodos cuando la señal es de aja ampliud (solución: cuanificación no uniforme, valores de proporcionales a la ampliud de la señal p.ej.).