Capítulo 3 Transmisión banda base

Transcripción

1 Capíulo 3 Transmisión banda base El primer paso esencial en procesamieno digial de señales, formaeo, hace a la señal origen o fuene compaible con el procesamieno digial. En el ransmisor, el formaeo es una ransformación uno a uno de información fuene a símbolos digiales (en el recepor el formaeo es una ransformación inversa). La codificación fuene es un caso especial de formaeo cuando exise reducción de redundancia en los daos (compresión). Nosoros rabajaremos en ese capiulo con formaeo y ransmisión banda base y poseriormene, en el capiulo 6, con el caso especial de una descripción eficiene de la información fuene (codificación fuene). Una señal cuyo especro se exiende a parir de cero (o cercano a cero) hasa un valor finio, usualmene menor que algunos megaherz, es llamada señal banda base o paso bajas. Tal denominación será ácia siempre que nos refiramos a la información, mensaje o daos, ya que las señales de la nauraleza son esencialmene banda base (voz, audio, video, daos, señales de ransducores). Para la ransmisión de señales en banda base en un sisema digial de comunicaciones, la información es formaeada de manera que ésa sea represenada por símbolos digiales. Después, se asignan formas de onda compaibles con el canal de comunicaciones que represenan los símbolos. Enonces las formas de onda pueden ransmiirse ravés de canales de comunicaciones banda base (par renzado, cable coaxial o fibra ópica). 3.. SISTEMAS BANDA BASE La figura 3. presena un sisema de comunicaciones digiales en banda base, realzando el proceso de formaeo. Los daos en forma digial omien la eapa de formaeo. La información exual es ransformada en dígios binarios mediane el codificador. La información analógica es formaeada uilizando res eapas separadas: muesreo, cuanización y codificación. En los res casos de información el resulado del formaeo es una secuencia de dígios binarios llamados símbolos. Enonces los símbolos esan lisos para ser ransmiidos asignándoles previamene una forma de onda compaible con el canal de comunicaciones banda base. El proceso se lleva a cabo mediane el codificador de forma de onda ambién conocido como modulador banda base. Para canales banda base (conducores de cobre o fibra ópica) la forma de onda compaible son los pulsos. La salida del codificador de forma de onda consise en una secuencia de pulsos con una caracerísica que corresponde a los símbolos a ser ransmiidos. Después de la ransmisión a ravés del canal de comunicaciones, las formas de onda son deecadas para esimar los dígios ransmiidos, y el paso final, formaeo inverso, recupera un esimado de la información fuene. de 54

2 Digial Texual Formaeo Analógica Muesreo Cuanización Codificador Codificador de forma de onda Transmisor Información fuene Formaeo Señal PAM Señal PCM Dígios binarios (símbolos) Formas de onda (pulsos) Canal de comunicaciones Analógica Filro paso bajas Decodificador Deecor de forma de onda Recepor Texual Digial Figura 3.. Sisema digial de comunicaciones en banda base. 3.. FORMATEO DE INFORMACION TEXTUAL (CODIFICACION DE CARACTERES Si la información consise de exo alfanumérico, esos caraceres deberán ser codificados con uno de varios formaos esándar. Ejemplos de ales esándares son: el código ASCII (American Sandard Code for Informaion), el código EBCDIC (Exended Binary Coded Decimal Inerchange Code), códigos Baudo y Hollerih. La abla 3. muesra el formao ASCII. El número de bi significa el orden de la ransmisión en serie, en donde el bi con número es el primer elemeno a ser ransmiido. Enonces, la codificación de caraceres es la eapa que ransforma exo en dígios binarios (bis). Algunas veces la codificación de caraceres es modificada para cumplir con necesidades especificas. Por ejemplo, el código ASCII puede ser modificado al agregar un bi para propósios de deección de errores. Oras veces, el código ASCII puede ser runcado a 6 bis que proporciona un conjuno reducido con capacidad de 64 caraceres Mensajes, caraceres y símbolos En la información exual esa incluida una secuencia de caraceres alfanuméricos. Cuando se ransmien digialmene los caraceres primero son codificados en una secuencia de bis, llamada cadena de bis o señal banda base. Los grupos de k bis pueden combinarse para formar nuevos dígios o símbolos, a parir de un conjuno finio de símbolos o alfabeo de M= k símbolos. Un sisema uilizando un conjuno de símbolos de amaño M es referido como un sisema M-ario. El valor de k o M represena una elección inicial imporane en el diseño de un sisema digial de comunicaciones. Para k=, el sisema es llamado binario, el amaño del conjuno de símbolos es M=, y el codificador de forma de onda uiliza una de dos formas de onda diferenes para represenar el binario uno y la ora forma de onda para represenar el binario cero. Para ese caso especial, el símbolo y el bi son los mismos. Para k=, el sisema es conocido como cuaernario o 4-ario (M=4). Para cada duración del símbolo, el codificador de forma de onda usa una de cuaro diferenes formas de onda que represenan el símbolo. La parición de la secuencia de bis de mensaje es deerminada por el amaño del conjuno de símbolos, M. El siguiene ejemplo puede ayudar a clarificar la relación enre los érminos mensaje, carácer, símbolo, bi y forma de onda digial. de 54

3 5 Bis NUL DEL P p SOH DC A Q a q STX DC B R b r ETX DC3 # 3 C S c s EOT DC4 % 4 D T d ENQ NAK $ 5 E U e u ACK SYN & 6 F V f v BEL ETB 7 G W g w BS CAN ( 8 H X h x HT EM ) 9 I Y i y LF SUB * : J Z j z VT ESC + ; K [ k { FF FS, < L \ l CR GS - = M ] m } SO RS. > N ^ n ~ SI US /? O - o DEL Tabla 3.. Código ASCII Ejemplo de mensajes, caraceres y símbolos La figura 3. muesra un ejemplo de parición de la cadena de bis, basado en la especificación del sisema por los valores de k y M. El mensaje exual en la figura es la palabra THINK. Uilizando el código ASCII de 6 bis (Tabla 3. números de bi a 6) proporciona una cadena de 3 bis. En la figura 3.a, el amaño del conjuno de símbolos, M, ha sido elegido como 8 (cada símbolo represena un dígio 8-ario). Por lo ano, los bis son paricionados en grupos de res (k=log8); los números resulanes represenan símbolos ocales a ser ransmiidos. El codificador de forma de onda debe ener un reperorio de ocho formas de onda, s i (), en donde i=,..., 8, para represenar los símbolos posibles, cada uno de los cuales deberá ransmiirse durane una duración del símbolo. El renglón final de la figura 3.a lisa las formas de onda que el codificador de forma de onda asignará para ransmiir el mensaje exual THINK. En la figura 3.b, el amaño del conjuno de símbolos, M, se ha elegido que sea 3 (cada símbolo represena un dígio 3-ario). Enonces, los bis son omados en grupos de 5 a la vez, y el grupo resulane de 6 números represena los seis símbolos 3-arios a ransmiir. Noe que no hay necesidad de que coincidan los bordes de los símbolos y de los caraceres. El primer símbolo represena 5/6 del primer carácer T y 4/6 del siguiene carácer, H, ec. El sisema ve los caraceres como una cadena de dígios a ser ransmiida; sólo el usuario final (o el usuario de una máquina de eleipo) le da significado a la secuencia final de bis recibidos. En al caso 3-ario, el codificador de forma de onda requiere un reperorio de 3 formas de onda diferenes, s i (), en donde i=,..., 3, una para cada posible símbolo que debe ransmiirse. El renglón final de la figura 3.b lisa las 6 formas de onda que el codificador de forma de onda 3-ario asignará para ransmiir el mensaje exual THINK. 3 de 54

4 Mensaje (exo): T H I N K Codificación de carácer (6 bis ASCII): Dígios 8-arios (símbolos): Formas de onda 8-arias: s () s () s () s 4() s 4() s 4() s 3() s 4() s 6() s 4() Mensaje (exo): T H I N K Codificación de carácer (6 bis ASCII): (a) Dígios 3-arios (símbolos): Formas de onda 3-arias: s 5() s () s 4() s 7() s 5() s () (b) Figura 3.. Mensajes, caraceres y símbolos. (a) ejemplo 8-ario. (b) ejemplo 3-ario FORMATEO DE INFORMACIÓN ANALÓGICA Si la información es analógica, ésa no puede codificarse direcamene como en el caso de la información exual; la información debe ransformarse primero a una forma digial, discrea en iempo y ampliud. El proceso de ransformar una forma de onda analógica a un formao compaible con el sisema digial de comunicaciones empieza con el muesreo de la señal analógica, para discreizarla en el iempo, para producir una forma de onda modulada en ampliud (señal PAM). Poseriormene, las muesras discreas en el iempo pero coninuas en ampliud se cuanizan para discreizar la ampliud y producir una señal de pulsos codificados (señal PCM) Muesreo El enlace enre una forma de onda y su versión muesreada es lo que se conoce como el proceso de muesreo. Ese proceso es implemenado de diferenes formas pero la más popular es la operación muesreo y reención. En al operación, un inerrupor y un mecanismo de almacenamieno (por ejemplo un ransisor y un capacior) forman una secuencia de muesras de la enrada coninua en el iempo. La salida del proceso de muesreo es conocida como pulso modulado en ampliud (PAM) ya que los inervalos sucesivos de salida pueden ser descrios como una secuencia de pulsos cuyas ampliudes esan derivadas de la forma analógica de enrada. La forma analógica original puede recuperarse aproximadamene a parir de la señal PAM mediane un filro paso bajas. Una preguna imporane es: Que an cercanamene se puede aproximar una señal PAM a la forma de onda analógica original? Esa preguna puede conesarse al revisar el eorema del muesreo, que dice: Una señal limiada en ancho de banda sin componenes especrales arriba de f m herz puede ser deerminada en forma única por valores de muesras en inervalos uniformes de T s segundos, en donde Ts (3.) fm 4 de 54

5 Esa inecuación ambién es conocida como el eorema del muesreo uniforme. Dicho en oras palabras, el límie superior en T s puede expresarse en érminos de la asa de muesreo, denominada f s =/T s. La resricción, especificada en érminos de la asa de muesreo, es conocida como el crierio de Nyquis. La desigualdad es fs fm La asa de muesreo f s = f m es conocida ambién como la asa de Nyquis. El crierio de Nyquis es una condición eórica suficiene para permiir que la señal analógica original sea compleamene reconsruida a parir de un conjuno de muesras discreas en el iempo uniformemene espaciadas. En las siguienes dos secciones se demosrará el eorema del muesreo Muesreo impulsional En esa sección demosraremos la validez del eorema del muesreo uilizando la propiedad de muliplicación en el iempo, convolución en la frecuencia. Examinemos primero el caso de un muesreo ideal con una secuencia de funciones impulso uniarios. Asuma que la señal analógica de la figura 3.3, x() iene ransformada de Fourier, X(f) limiada en frecuencia a fm herz. Como se muesra en la figura 3.3, el proceso de muesreo se puede ver como el produco en el iempo de x() con un ren de impulsos x δ () (3.) n= x δ( ) = δ ( nts) en donde T s es el periodo de muesreo y δ() es la función impulso o dela de Dirac. Elijamos T s =(/)f m, de manera que se saisfaga el crierio de Nyquis. x() F (3.3) X(f) -fm fm f x δ () F X δ (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs fs fs 3fs f x s () F X s (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs -fm fm fs fs 3fs f Figura 3.3. Muesreo impulsional. 5 de 54

6 La propiedad de desplazamieno de la función impulso demuesra que x()δ(- )=x( )δ(- ) (3.4) Uilizando ésa propiedad, podemos ver que x s (), la versión muesreada de x(), esa dada por n= x s( ) = x( ) xδ ( ) = x( ) δ ( nts) n= x s( ) = x( nts) δ ( nts) (3.5) Uilizando la propiedad de muliplicación en el iempo convolución en la frecuencia, el produco en el dominio del iempo x()x δ () de la ecuación 3.5 se ransforma a la convolución en el dominio de la frecuencia X(f)*X δ (f), en donde X δ (f) es la ransformada de Fourier del ren de impulsos x δ () X δ ( f ) = δ ( f nfs) (3.6) T s n= en donde f s =(/T s ) es la frecuencia de muesreo. Noe que la ransformada de Fourier de un ren de impulsos es oro ren de impulsos. La figura 3.3 muesra el ren de impulsos en el iempo x δ () y su ransformada de Fourier X δ (f). La convolución con la función impulso simplemene desplaza la función original, de la siguiene manera X(f)*δ(f-nf s )=X(f-nf s ) (3.7) Enonces podemos resolver X s (f) el especro de la forma de onda muesreada como X = = s( f ) X ( f )* Xδ( f ) X ( f ) * δ ( f nfs) Ts n= X s( f ) = X ( f nfs) (3.8) T s n= Por lo ano concluimos que denro del ancho de banda original, el especro X s (f) de la señal de muesras x s () es, omando en cuena el facor de escala (/T s ), exacamene el mismo que para x(). Adicionalmene, el especro es periódico cada f s herz. La propiedad de desplazamieno de un impulso hace que la convolución de un ren de impulsos con ora función sea fácil de visualizar. Los impulsos acúan como funciones de muesreo. Enonces, la convolución puede desarrollarse gráficamene al barrer el ren de impulsos, X δ () de la figura 3.3, por la ransformada X(f). Ese muesreo de X(f) en cada paso del barrido replica X(f) en cada posición frecuencial del ren de impulsos, resulando en X s (f), mosrado en la figura 3.3. Cuando la asa de muesreo es elegida, como lo ha sido en ese ejemplo, al que f s =f m, cada réplica especral esa separada de sus vecinos por un banda de frecuencia de f s herz, y la forma de onda analógica original puede recuperarse eóricamene mediane un filro paso bajas ideal. Sin embargo, en la realidad se requieren de filros con bordes no vericales. Es claro que si f s >f m, las replicas se separarán como se muesra en la figura 3.4a, haciendo fácil de implemenar la operación de filrado. La figura 3.4a muesra en línea puneada la respuesa ípica de un filro paso bajas real uilizado 6 de 54

7 para recuperar la forma de onda analógica original. Cuando la asa de muesreo se reduce al que f s <f m, las replicas se solapan, como se muesra en la figura 3.4b, y se pierde la información en las frecuencias solapadas. Ese fenómeno, el resulado de sub-muesrear (muesrear a una asa muy baja), es conocido como aliasing. La asa de Nyquis, f s =f m, es la asa limie a la cual ocurre el aliasing; para eviar el aliasing, se debe saisfacer el crierio de Nyquis, f s f m. X s (f) -fs -fs -fm fm fs fs f (a) X s (f) -fs -fs -fm fm fs fs f (b) Figura 3.4. Especros para varias asas de muesreo. (a) f s >f m. (b) f s <f m Muesreo naural Aquí demosraremos la validez del eorema de muesreo uilizando la propiedad de desplazamieno en frecuencia de la ransformada de Fourier. No obsane que el muesreo ideal es un modelo conveniene, una forma más prácica de implemenar el muesreo de una señal analógica limiada en ancho de banda, x(), es muliplicarla por un ren de pulsos x p (), como se muesra en la figura 3.5. Cada pulso en x p () iene un ancho del pulso en esado alo T, y ampliud /T. La muliplicación por x p () se puede ver como la aperura y cierre de un inerrupor mecánico o elecrónico. Como se vio aneriormene, la frecuencia de muesreo es f s, y su recíproco, el periodo enre muesras, designado T s. Los daos de muesras (señal PAM), x s (), de la figura 3.5 x s ()=x()x p () (3.9) El muesreo aquí es conocido como muesreo naural, ya que la pare ala de cada pulso en la secuencia x s () reiene la forma de su segmeno correspondiene a la señal analógica original durane el inervalo del pulso. Adicionalmene, podemos expresar el ren de pulsos periódico, x p (), mediane su expansión en serie de Fourier como n= j πnfs xp( ) = Cne (3.) En donde la asa de muesreo, f s =(/T s ), se elige igual a f m, de manera que se cumple el crierio de Nyquis en el límie. Es fácil demosrar que (ver sección A.., Sklar) 7 de 54

8 en donde nt Cn = sinc Ts Ts x() sen(π x) sinc ( x) = πx F X(f) -fm fm f x p () F X p (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs fs fs 3fs f x s () F X s (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts Figura 3.5. Muesreo naural. La envolvene del especro de magniud del ren de pulsos, mosrada en la figura 3.5 como una línea disconinua, iene la caracerísica de una onda sinc. Combinando las ecuaciones 3.9 y 3., podemos expresar x s () como -3fs -fs -fs -fm fm fs fs 3fs f n= jπnfs xs( ) = x( ) Cne (3.) La ransformada, X s (f), de la señal PAM muesreada se obiene aplicando la ransformada de Fourier de x s () como sigue = j πnfs Xs( f ) F x( ) Cne (3.) n= En ése caso, el operador Fourier se aplica a funciones con variable independiene, de manera que los coeficienes C n pueden salir del operador, ya que no dependen de. De esa forma 8 de 54

9 X s( f ) CnF n= { } j π nf s x( ) e = (3.3) Uilizando la siguiene propiedad de Translación en la frecuencia del análisis de Fourier enemos finalmene F j πnf { x( ) e } = X ( f f ) Xs( f ) = CnX ( f nfs) (3.4) n= De forma similar al caso de muesreo impulsional, la ecuación 3.4 y la figura 3.5 muesran que X s (f) es una réplica de X(f), periódicamene represenada en frecuencia cada f s herz. En el caso de muesreo naural, no obsane, observamos que X s (f) esa alerada por los coeficienes de la serie de Fourier del ren de pulsos, comparada conra el valor consane que se obiene del muesreo impulsional. Es saisfacorio noar que en el límie, conforme el ancho del pulso T se acerca a cero, los cruces por cero de la envolvene sinc ienden a infinio, y la ecuación 3.4 converge a la ecuación Muesreo y reención Muesreo y reención es el méodo más simple y popular para muesrear una señal analógica en banda base. Ese méodo puede ser descrio por la convolución del ren de impulsos, x()x δ (), mosrada en la figura 3.3, con un pulso uniario recangular, p(), con ancho del pulso T s. Esa convolución en el iempo resula en una secuencia de ope plano, x s () x s ()=p()*[x()x δ ()] x = s( ) p( ) * x( ) δ ( nts) (3.5) n= La ransformada de Fourier, X s (f), de la convolución en la ecuación (3.5) es el produco en el dominio de la frecuencia enre la ransformada P(f) del pulso recangular y el especro periódico de la figura 3.3 = X s( f ) P( f ) F x( ) δ ( nts) n= = X s( f ) P( f ) X ( f )* δ ( f nfs) Ts n= en donde X f ) = P( f ) X ( f nf ) (3.6) Ts s( s P(f)=T s sinc(ft s ) 9 de 54

10 El efeco de al operación de muliplicación resula en un especro similar en apariencia al presenado para el muesreo naural, figura 3.5. El efeco más obvio de la operación de reención es la significane aenuación de las réplicas de ala frecuencia (compare las figuras 3.3 y 3.5), que es el efeco deseado. Usualmene se requiere de una eapa adicional de pos-filrado para complear el proceso de filrado, aenuando las componenes especrales residuales localizadas en múliplos de la asa de muesreo. Un efeco secundario de la operación de reención es la ganancia especral no uniforme, P(f), aplicada al especro banda base original, que se muesra en la ecuación 3.6. El pos-filrado puede compensar ea aenuación al incorporar la función inversa de P(f) Aliasing La figura 3.6 es una visa deallada del primer cuadrane del especro de la señal banda base y una de las réplicas en el especro periódico. Esa figura ilusra el aliasing en el dominio del iempo. La figura 3.6b muesra las áreas solapadas enre réplicas adyacenes debidas al efeco de submuesrear. Las componenes especrales solapadas represenan información ambigua que no puede ser recuperada en forma sencilla. En general, la ambigüedad no puede ser resuela enre la banda de frecuencias de (f s -f m ) a fm. X(f) fm fs f (a) X s (f) Componenes alias fs-fm fm fs fs+fm f fs/ (b) Figura 3.6. Aliasing en el dominio de la frecuencia. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. La figura 3.7 muesra que una asa de muesreo más ala, f s, puede eliminar el aliasing al separar las réplicas especrales; el especro resulane en la figura 3.7b corresponde al caso presenado en la figura 3.4a. X(f) fm fs f s f (a) de 54

11 X s (f) fs-fm fm f s-fm fs f s fs+fm f s+fm f f s/ (b) Figura 3.7. Una asa de muesreo más ala elimina el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. Las figuras 3.8 y 3.9 muesran dos formas de eliminar el aliasing al usar filros ani-aliasing. En la figura 3.8 la señal analógica es pre-filrada de manera que el nuevo ancho de banda en banda base, f m, sea reducido a f s / o menor. Por lo ano la figura 3.8b no muesra componenes de aliasing, ya que f s >f' m. La eliminación de las componenes especrales sensibles al aliasing es una buena prácica en ingeniería. Cuando la esrucura de la señal en banda base es bien conocida, los érminos sensibles al aliasing pueden ser eliminados anes del muesreo, mediane un filrado paso bajas de la señal en banda base. X(f) f m fm fs f X s (f) (a) fs-fm fm fs fs+f m fs+fm f f m fs/ fs-f m (b) Figura 3.8. Los filros con caída abrupa eliminan el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. En la figura 3.9 los componenes sensibles al aliasing son removidos al pos-filrar después del muesreo; la frecuencia de core del filro, f m, remueve los componenes sensibles al aliasing; f m necesia ser menor que (f s -f m ). Noe que las écnicas de filrado para eliminar las porciones sensibles al aliasing de los especros en las figuras 3.8 y 3.9 resulan en la pérdida parcial de información. Por al razón, la selección de la asa de muesreo, la frecuencia de core, y el ipo de filro esan relacionados con el ancho de banda en banda base. de 54

12 X(f) fm fs f X s (f) (a) fs-fm fm fs fs+fm f f m fs/ (b) Figura 3.9. El pos-filrado elimina el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. Los filros realizables requieren de un ancho de banda no cero, para la ransición enre la banda de paso y la aenuación de core requerida. A al banda de ransición se le llama ancho de ransición. Para minimizar la asa de muesreo, desearíamos que el filro ani-aliasing uviera un ancho de banda de ransición pequeño. El coso y complejidad del filro crecen para anchos de banda de ransición esrechos, de manera que se requiere esablecer un compromiso enre el coso de los filros con anchos de banda esrechos y el coso de alas asas de muesreo, ya que las alas asas de muesreo requieren mas capacidades de almacenamieno y anchos de banda de ransmisión amplios. En muchos sisemas la respuesa a al dilema ha sido hacer el ancho de banda de ransición un o % del ancho de banda en banda base. Si opamos por el % de ancho de banda de ransición para el filro ani-aliasing, enonces enemos una versión para ingenieros para la asa de muesreo de Nyquis f s.f m (.7) La figura 3. muesra el efeco del aliasing en el dominio del iempo. Los insanes de muesreo de la senoide en línea coninua han sido elegidos de manera que la señal es sub-muesreada. Noe que la ambigüedad resulane (pocas muesras para represenar la senoide) nos permie dibujar ora senoide compleamene diferene (línea no coninua) al seguir los punos sub-muesreados. Señal Insanes de muesreo Señal a una frecuencia alias Figura 3.. Aliasing en el dominio del iempo. de 54

13 Inerface de señal para un sisema digial Examinemos cuaro formas en las que podemos describir la información analógica. La figura 3. ilusra las elecciones. La referencia es la forma de onda original en banda base, figura 3.a. La figura 3.b represena una versión muesreada de la señal original, conocida como daos muesreados nauralmene o señal PAM (Modulación por Ampliud del Pulso). No obsane, al señal es incompaible con un sisema de comunicaciones digial, ya que es coninua en ampliud y un sisema digial raa con un número finio de símbolos. La figura 3.c ilusra las muesras cuanizadas, es decir, cada pulso es expresado como un nivel a parir de un conjuno finio de niveles. En ese caso, a cada subnivel le es asignado un símbolo de un alfabeo finio. Los pulsos de la figura 3.c son conocidos como muesras cuanizadas; al formao es la elección obvia para un sisema digial de comunicaciones ya que la señal es represenada por ampliudes discreas. El formao de la figura 3.d es consruido a parir de la salida de un circuio de muesreo y reención. cuando los valores de las muesras son discreas, al formao puede ser uilizado por un sisema digial. En odos los casos mencionados, la señal analógica original puede ser aproximadamene reconsruida a parir de las muesras cuanizadas. No obsane, la fidelidad de la reconsrucción puede mejorarse al incremenar el número de niveles de cuanización (requiriéndose un mayor ancho de banda del sisema de comunicaciones). x () x () (a) x 3 () (b) x 4 () (c) (d) Figura 3.. Señales de daos. (a) Información original. (b) Daos muesreados nauralmene. (c) Muesras cuanizadas. (d) Muesreo y reención Fuenes de degradación La señal analógica regenerada a parir de los pulsos muesreados, cuanizados y ransmiidos coniene degradación proveniene de diferenes fuenes. Las fuenes de degradación esán relacionadas a () Efecos de muesreo y cuanización, y () Efecos del canal, que son descrias a coninuación. 3 de 54

14 Efecos del muesreo y cuanización Ruido de cuanización. La disorsión inherene a la cuanización es el error de redondeo o runcamieno. El proceso de cuanizar una señal PAM involucra la pérdida de información original. Esa disorsión, inroducida por la necesidad de aproximar la información analógica mediane muesras cuanizadas, es conocida como ruido de cuanización; la canidad de al ruido es inversamene proporcional al número de niveles de cuanización. Esa relación señal a ruido de cuanización es raada con mayor dealle en la sección Sauración del cuanizador. El cuanizador (o converidor analógico a digial) uiliza L niveles para la area de aproximar el rango coninuo de enrada a un conjuno finio de salida. El rango de enrada para el cual la diferencia enre la enrada y la salida es pequeña se llama rango de operación del converidor. Si la enrada excede al rango, la diferencia enre la enrada y la salida se hace grande, y enonces se dice que el converidor esá operando en sauración. Enonces los errores de sauración pueden ser superiores al ruido de cuanización. Generalmene, la sauración es eviada al usar circuios con Conrol Auomáico de Ganancia (AGC), que efecivamene evia que señales con ampliud ala sauren el converidor. Agiación del emporizador. Nuesro análisis del eorema del muesreo predice la reconsrucción precisa de señales basado en muesras uniformemene espaciadas. Si exise un ligero desplazamieno aleaorio (agiación) en la posición de la muesra, el muesreo no es del odo uniforme. No obsane, la reconsrucción exaca es aún posible si se conoce exacamene la posición de las muesras. El efeco de la agiación es equivalene a la modulación en frecuencia. En ese caso, se induce una conribución especral debida a la agiación, con propiedades similares al ruido de cuanización. La agiación del emporizador puede conrolarse al inroducir volajes de alimenación aislados y referencias de iempo alamene esables Efecos del canal Ruido en el canal. El ruido érmico en los disposiivos elecrónicos, las señales de inerferencia de oros sisemas y las inerferencias de oros disposiivos exernos al sisema de comunicaciones pueden ocasionar errores en la reconsrucción de los pulsos que poran la información original. Tales errores inducidos por el canal pueden degradar la calidad de la señal reconsruida, como se vio en el capiulo. Si el ruido en el canal es pequeño, no habrá problemas en la reconsrucción de la señal. En ese caso, el ruido del canal es insignificane comparado con el ruido de cuanización. Por ora pare, si el ruido en el canal es lo suficienemene grande para afecar la habilidad de deecar pulsos, la señal reconsruida sólo será una aproximación de la señal original. Inerferencia iner-símbolo. En comunicaciones banda base, el canal es limiado en ancho de banda con caracerísicas paso bajas, como se puede demosrar en las prácicas y del Laboraorio de Comunicaciones Digiales. En al siuación, un canal limiado en ancho de banda esparce la forma de onda de los pulsos. Cuando el ancho de banda del canal es mucho mayor al ancho de banda de los pulsos, el esparcimieno de los pulsos será pequeño. Por ora pare, cuando el ancho de banda del canal es cercano al ancho de banda de los pulsos, el esparcimieno de los pulsos excede la duración del pulso y origina que los pulsos adyacenes se solapen. Tal solapamieno es conocido como Inerferencia Iner-Símbolo (ISI). Al igual que ora fuene de degradación, la ISI ocasiona errores en la deección; ésa es paricularmene insidiosa ya que el aumeno de la poencia de la señal no mejora el desempeño del sisema de comunicaciones. En ése senido, únicamene el incremeno del ancho de banda del canal, o la reducción del ancho de banda de los pulsos pueden mejorar el desempeño del sisema. Los dealles de la ISI pueden observarse en el desarrollo de las prácicas a 3 del Laboraorio de Comunicaciones Digiales. 4 de 54

15 Relación señal a ruido para pulsos cuanizados La figura 3. muesra un cuanizador de L niveles para una señal analógica con excursión de volaje V pp =V p -(-V p )=V p vols. Los pulsos cuanizados oman valores posiivos y negaivos, como lo muesra la figura 3.. El amaño del paso enre niveles de cuanización, conocido como inervalo cuaníl, es q vols. Cuando los niveles de cuanización esan disribuidos uniformemene en el rango compleo, el cuanizador es conocido como cuanizador uniforme o lineal. Cada valor de la muesra de la señal analógica es aproximado con un pulso cuanizado; la aproximación resula en un error no mayor a q/ en la dirección posiiva o (q/) en la dirección negaiva. La degradación de la señal debida a la cuanización esa, por lo ano, limiada a la miad del inervalo cuanil, ±(q/) V p q=v pp /L V p -q/ V p -3q/ 5q/ 3q/ q vols... Valores cuanizados q/ -q/ L niveles V pp -3q/ -5q/ -V p +3q/... -V p +q/ -V p Figura 3.. Niveles de cuanización. Una figura de mério úil para el cuanizador uniforme es la varianza del cuanizador σ (error cuadráico medio asumiendo media cero). Si asumimos que el error de cuanización, e, iene disribución de probabilidad uniforme en un inervalo cuanil de ancho q, y media cero E(e)=, como el mosrado en la figura 3.3, enemos que /q p(e) E(e)= -q/ q/ e Figura 3.3. Esadísica del error de cuanización. 5 de 54

16 q / q σ = ( e E( e)) p( e) de = e de = (3.8) q / q La varianza, σ, corresponde a la poencia promedio del ruido de cuanización. La poencia de pico de la señal analógica (normalizada a una carga resisiva de ohm) puede expresarse como V Vpp Lq L q P = = Vp = = = (3.9) R 4 Las ecuaciones 3.8 y 3.9 pueden combinarse para en la siguiene relación señal a ruido de cuanización S N q P = σ L q / 4 q / = = 3 L (3.) De la ecuación 3. se puede ver que la relación señal a ruido de cuanización,(s/n) q, mejora para un número de niveles de cuanización, L, grande. En el límie (conforme L ), la señal cuanizada se acerca a la señal original, y la relación señal a ruido de cuanización es muy grande Cuanización La Modulación por el Código del Pulso, PCM, es el nombre dado a una clase de señal banda base obenida de cuanizar señales PAM al codificar cada muesra cuanizada en una palabra digial. La información analógica original es muesreada y cuanizada en uno de L niveles; enonces cada muesra cuanizada es codificada digialmene en una palabra de código l-bi (l=log L). Para ransmisión banda base, los bis de palabras de código se ransforman en formas de onda de pulsos Cuanización uniforme Las caracerísicas esenciales de PCM se muesran en la figura 3.3. Asuma que la excursión analógica de la señal x() esá limiada a ±4V. El inervalo cuaníl o amaño del paso es V uniforme para odos los niveles de cuanización. Enonces se uilizan 8 niveles de cuanización localizados en 3.5, -.5,..., 3.5V. A cada nivel de cuanización se le asigna un número de código desde (H) hasa 7 (H). La ordenada de la figura 3.4 coniene los niveles de cuanización y sus correspondienes números de código. A cada muesra de la señal analógica se le asigna el nivel de cuanización más cercano al valor de la muesra. La abscisa de la figura 3.4 muesra cuaro represenaciones de x(): Los valores del muesreo naural, los valores de las muesras cuanizadas, los números de código, y la secuencia PCM. Noe que en la figura 3.4 cada muesra es represenada por una palabra de código de 3 bis L= l, 8= 3. 6 de 54

17 Número de código Nivel de cuanización x() Valor del muesreo naural Valor de la muesra cuanizada Número de código Secuencia PCM Esadísica de las señales de voz Figura 3.4. Cuanizador uniforme. La comunicación de señales de voz es un área de ala especialización e imporancia en comunicaciones digiales. La voz humana es caracerizada por propiedades esadísicas únicas; una de ales propiedades es ilusrada en la figura 3.5. La abscisa represena las magniudes de la señal de voz, normalizadas al valor cuadráico medio (rms) de ales magniudes a ravés de un canal ípico de comunicaciones, y la ordenada es su probabilidad. Para la mayoría de los canales de comunicación de voz, los volúmenes bajos predominan; 5% del iempo, el volaje que caraceriza la energía de la voz es menor que ¼ del valor rms. Las ampliudes grandes son relaivamene raras; sólo el 5% del iempo la señal de voz excede el valor rms...8 Probabilidad Magniud de la señal de voz normalizada Figura 3.5. Esadísica de la señal de voz. Hemos viso, de la ecuación 3.8, que el ruido de cuanización depende del amaño del paso (inervalo cuanil). También hemos viso que en la cuanización uniforme el amaño del paso es uniforme. Tal sisema puede ser derrochador para señales de voz; muchos de los pasos de 7 de 54

18 cuanización serán raramene uilizados. En un sisema que usa niveles de cuanización igualmene espaciados, el ruido de cuanización es el mismo para odas las magniudes de señal. Por lo ano, con cuanización uniforme, la relación señal a ruido (SNR) es más pobre para señales de bajo nivel que para las de alo nivel. Una cuanización no uniforme puede proporcionar cuanización fina para las señales débiles (mas probables) y cuanización burda para señales alas (menos probables). Enonces en el caso de cuanización no uniforme, el ruido de cuanización puede hacerse proporcional al amaño de la señal. El efeco es mejorar la SNR al reducir el ruido para las señales débiles predominanes, a expensas de incremenar el ruido para las señales alas que raramene ocurren. La figura 3.6 compara la cuanización uniforme y no uniforme para una señal débil y una fuere. De la figura es nooria la mejora en el SNR que proporciona la cuanización no uniforme para señales débiles Cuanización uniforme Cuanización no uniforme Figura 3.6. Cuanización uniforme y no uniforme. La cuanización no uniforme para hacer que la SNR para odas las señales denro de un rango de enrada. Para las señales de voz, el rango de enrada ípico para una señal de enrada es 4 decibeles (db), en donde el decibel es definido en érminos de poencias P Número de db = log (3.) P Con un cuanizador uniforme, las señales débiles experimenarán una relación señal a ruido 4 db más pobre que aquella para señales fueres. La écnica elefónica esándar para manejar un rango grande de niveles posibles en la señal de enrada es usar un cuanizador con compresión logarimica en lugar de uno uniforme. Con al compresor no uniforme la SNR de salida es independiene de la disribución de niveles en la señal de enrada Cuanización no uniforme Una manera de conseguir la cuanización no uniforme es uilizar una caracerísicas de cuanización no uniforme, como la mosrada en la figura 3.7a. Más comúnmene, la cuanización no uniforme se consigue al disorsionar la señal original con una caracerísica de compresión logarímica, como se muesra en la figura 3.7b, y enonces usar un cuanizador uniforme. Para señales de magniud pequeña la caracerísica de compresión iene una pendiene más grande que para aquellas de magniud grande. Enonces un cambio dado para magniudes pequeñas llevará al cuanizador uniforme a ravés de mas pasos que el mismo cambio para magniudes grandes. La 8 de 54

19 caracerísica de compresión efecivamene cambia la disribución de las magniudes en la señal de enrada de manera que no exise preponderancia de magniudes bajas de señal a la salida del compresor. Después de la compresión, la señal disorsionada es usada como enrada a un cuanizador uniforme, mosrado en la figura 3.7c. En el recepor, una caracerísica inversa de compresión, llamada expansión, se aplica de manera que la ransmisión en conjuno no resule disorsionada. El par de procesamieno (compresión y expansión) es conocido como compansión. Salida Enrada (a) Salida Compresión Salida Sin compresión Enrada Enrada (b) (c) Figura 3.7. Cuanización. (a) Caracerísica para un cuanizador no uniforme. (b) Caracerísica de compresión. (c) Caracerísica para un cuanizador uniforme Caracerísicas de compansión Los primeros sisemas PCM se implemenaron con funciones logarímicas suaves de compresión. Hoy en día, la mayoría de los sisemas PCM usan pedazos de aproximaciones lineales a la caracerísica de compresión logarímica. En América del nore se uiliza la siguiene caracerísica de compresión llamada ley µ en donde [ + µ ( x / xmax) ] log e y = ymax sgn x (3.) log e( + µ ) + sgn x = para x para x < 9 de 54

20 y en donde µ es una consane posiiva, x y y represenan los volajes de enrada y salida respecivamene, y x max y y max son las excursiones posiivas máximas de los volajes de enrada y salida respecivamene. Tal caracerísica de compresión es mosrada en la figura 3.8a para diversos valores de µ. El valor esándar de µ es 55. Noe que µ= corresponde a una amplificación lineal (cuanización uniforme). Ora caracerísica de compresión, usada principalmene en Europa, es la ley A, definida como A( x / xmax) x ymax sgn x < + log ea xmax A y = (3.3) + log e( A( x / xmax)) x max y sgn x < < + log ea A xmax En donde A es una consane posiiva. La caracerísica de compresión de la ley A se muesra en la figura 3.8b para diversos valores de A. El valor esándar para A es Salida, y /ymax µ=5.5 µ = µ = Enrada, x /xmax (a) Salida, y /ymax A=87.5 A=5.5.4 A= Enrada, x /xmax (b) Figura 3.8. Caracerísicas de compresión. (a) Ley µ. (b) Ley A. Para graficar la ley µ en Malab» x=:.:;» y=leymu(x,.);» y=leymu(x,);» y5=leymu(x,5);» plo(x, y, x, y, x, y5) en donde funcion h=leymu(x, mu); h=log(+(mu*x)); h=log(+mu); h=h/h; de 54

21 Para graficar la ley A en Malab x=:.:; for i=: y(i)=leya(x(i),); y5(i)=leya(x(i),5); y876(i)=leya(x(i),87.6); end plo(x, y, x, y5, x, y876) funcion h=leya(x, a); aux=/a; if(x<=.) h=; elseif(x>aux) h=(+log(a*x))/(+log(a)); else h=(a*x)/(+log(a)); end 3.4. TRANSMISIÓN BANDA BASE La ransmisión banda base consise en la codificación de formas de onda de la figura Codificación de forma de onda Es necesario represenar los dígios binarios PCM mediane pulsos en el senido de ransmiirlos por un canal banda base. Tal represenación se observa en la figura 3.9. Las ranuras de iempo para la palabra de código se muesran en la pare ala de la figura 3.9, en donde la palabra de código es una represenación de 4 bis para cada muesra cuanizada. Debajo de la secuencia de dígios binarios, cada uno de ellos es represenado por una señal elécrica. Enonces, una secuencia de pulsos elécricos puede uilizarse para ransmiir la información del flujo de bis PCM, y por lo ano la información en las muesras cuanizadas del mensaje original. En el recepor, se debe hacer una decisión acerca de la forma elécrica que se ransmiió. Se demosrará en la sección 3.5 que la probabilidad de deecar correcamene la presencia de un pulso depende de la energía del pulso (área debajo del pulso). Por lo ano exise una venaja en hacer el ancho del pulso an amplio como sea posible. Si incremenamos el ancho del pulso hasa el máximo posible (igual a la duración del bi, T), maximizamos la energía y disminuimos la probabilidad de error en la deección Formas de onda PCM La figura 3.9 ilusra las formas de onda PCM más comunes. Las diversas formas de onda se clasifican en los siguienes grupos:. No reorno a cero (NRZ). Reorno a cero (RZ) 3. Codificadas en fase 4. Mulinivel de 54

22 No reorno a cero (NRZ) El formao NRZ es probablemene el grupo más comúnmene uilizado. Ése puede ser subdividido en los siguienes subgrupos: NRZ-L (L de nivel) NRZ-L se uiliza exensivamene en la lógica digial. Un binario uno se represena con un nivel alo de volaje y un binario cero con un nivel bajo de volaje. NRZ-M (M de marca) NRZ-M es uilizado principalmene en grabación sobre cina magnéica. Un binario uno se represena con un cambio en nivel de volaje y un cero es represenado sin cambio de nivel. NRZ-S (S de espacio) NRZ es el complemeno de NRZ-M, es decir, un binario uno se represena sin cambio en nivel de volaje y un cero se represena mediane un cambio de nivel. Reorno a cero (RZ) El formao RZ encuenra aplicación en la grabación magnéica de daos. La subdivisión de RZ es la siguiene: RZ unipolar En RZ unipolar, un binario uno se represena mediane un pulso de ancho la miad del inervalo del bi, y un cero es represenado por la ausencia de pulso. RZ bipolar En RZ bipolar los unos y ceros binarios se represenan con niveles de polaridad opuesos. RZ-AMI En RZ-AMI los unos se represenan con niveles de polaridad alernados, y los ceros se represenan por la ausencia de pulso. Codificados en fase La aplicación principal de al subgrupo es en comunicaciones fibra ópica. El grupo de códigos codificados en fase se subclasifican de la siguiene forma: Bi-φ-L (Bifásico Nivel) Bi-φ-M (Bifásico Marca) Un binario uno se codifica con un nivel alo en la primera miad del inervalo del bi y un nivel bajo en la segunda miad del inervalo del bi. Un binario cero se codifica con un nivel bajo en la primera miad del inervalo del bi y un nivel alo en la segunda miad del inervalo del bi. Con ése código siempre exise una ransición al principio de cada inervalo del bi. Un binario uno se codifica con una segunda ransición una miad de inervalo del bi después. Un binario cero se codifica con ausencia de segunda ransición. Bi-φ-S (Bifásico Espacio) También con ése código siempre exise una ransición al principio de cada inervalo del bi. Un binario uno se codifica con ausencia de segunda ransición. Un binario cero se codifica con una segunda ransición una miad de inervalo del bi después. Mulinivel Los códigos mulinivel serán examinados en la sección Caracerísicas deseables en la codificación de forma de onda de 54

23 Uno se podría pregunar Por qué exisen anas formas de onda PCM? Exisen en realidad anas aplicaciones únicas que requieren al variedad de formas de onda para represenar los dígios? La razón para la gran selección esa relacionada a las diferencias del desempeño que caraceriza a cada forma de onda. En la elección de un código para una aplicación paricular, algunos de los parámeros a examinar son los siguienes: Palabra de código T NRZ-L NRZ-M NRZ-S RZ unipolar RZ bipolar RZ-AMI Bi-φ-L Bi-φ-M Bi-φ-S +V -V +V -V +V -V +V -V +V -V +V -V +V -V +V -V +V -V Figura 3.9. Formas de onda PCM.. Componene de DC. Eliminando la energía de DC del especro de poencia de la señal habilia al sisema para el acoplamieno de alerna. Los sisemas magnéicos de grabación, o los sisemas con acoplamieno inducivo, ienen poca sensibilidad a componenes especrales de muy baja frecuencia. Por lo ano las frecuencias bajas se pierden. 3 de 54

24 . Auo-sincronía. Un sisema digial de comunicaciones requiere sincronía de bi. Algunos esquemas de codificación ienen sincronía inherene o caracerísicas que auxilian a la exracción de la señal de reloj. Por ejemplo, la codificación Bi-φ-L iene ransiciones a la miad de cada inervalo del bi no imporando si el dígio binario es uno o cero. Tal ransición garanizada proporciona un medio de sincronía. 3. Deección de errores. Algunos esquemas, no revisados aquí, proporcionan los medios para la deección de errores sin la necesidad de inroducir redundancia. 4. Compresión del ancho de banda. Algunos esquemas, como la codificación mulinivel, incremenan la eficiencia de la uilización del ancho de banda al permiir la reducción del ancho de banda requerido para una asa de ransmisión deerminada; enonces exise más información ransmiida por unidad de ancho de banda. 5. Codificación diferencial. Esa écnica es úil debido a que permie que la polaridad de las formas de onda codificadas pueda ser inverida sin afecar la deección de daos. En los sisemas de comunicaciones en donde las formas de onda experimenan inversión, esa resula ser una gran venaja. 6. Inmunidad al ruido. Los diversos ipos de forma de onda PCM pueden ser caracerizados por su probabilidad de bi erróneo versus la relación señal a ruido. Algunos esquemas son más inmunes que oros. Por ejemplo, los esquemas NRZ son mejores en ése aspeco que los RZ. 7. Disipación de poencia. En algunos sisemas en donde no se cuena con una fuene de energía ilimiada o que se requiere opimizar el uso de la energía se requiere que el esquema de codificación PCM haga uso eficiene de al recurso. Por ejemplo, los esquemas RZ son mejores en ése aspeco que los NRZ Caracerísicas especrales de las formas de onda PCM La figura 3. muesra las caracerísicas de la formas PCM más populares. La figura es la gráfica de la densidad especral de poencia en (W/Hz) conra el ancho de banda normalizado. La caracerísica especral de las formas de onda PCM esablece el ancho de banda requerido del sisema e indica que an eficiene puede ser usado. Las caracerísica que es observada fácilmene en la figura 3. es la disribución paso bajas de la energía de la señal. El méodo más eficiene en la adminisración del ancho de banda es la codificación NRZ. El menos eficiene es el Bi-φ. Densidad especral (W/Hz) NRZ RZ Bi-φ.5.8 ft, Ancho de banda normalizado Figura 3.. Densidad especral de las formas de onda PCM DETECCIÓN DE SEÑALES BINARIAS EN RUIDO GAUSIANO Una vez que los símbolos digiales se han ransformado en formas de onda elécricas PCM, ésas pueden ser ransmiidas por el canal. Durane un inervalo deerminado de símbolo, T, un sisema 4 de 54

25 binario ransmiirá una de dos formas de onda, denominadas s () y s (). La señal ransmiida en un inervalo de símbolo (, T) es represenado por s i ()= s () T para el bibario s () T para el bibario La señal recibida r() es represenada por r()=s i ()+n() i=, ; T (3.4) en donde n() es un proceso de ruido adiivo Gausiano con media cero (AWGN). La figura 3. muesra las dos eapas separadas del proceso de deección. s i () n() + r() Eapa Filro lineal h() Eapa Umbral de comparación H z() z(t) z( T ) > γ < si ˆ ( ) H Figura 3.. Las eapas básicas en la deección de señales. La primera eapa consise en reducir la forma de onda recibida, r(), en un número real, z(=t). Esa operación puede implemenarse por un filro lineal seguido de un muesreo, como se muesra en el bloque de la figura 3., o de forma ópima por un filro acoplado o correlador, que será descrio en secciones subsecuenes. La señal de salida al filro lineal es z()=a i ()+n o () en donde a i () es la componene de señal y n o () es la componene del ruido. Las condiciones iniciales del filro lineal son puesas a cero jusamene anes del arribo de cada nuevo símbolo. Al final de la duración del símbolo, T, la salida del bloque proporciona la muesra z(t), llamada en ocasiones la prueba esadísica. Hemos asumido que el ruido de enrada es un proceso Gausiano, y hemos propueso que el filro es lineal. Una operación lineal sobre un proceso Gausiano producirá un segundo proceso Gausiano. Enonces la señal de salida al filro es Gausiana. Si el filro no fuera lineal, la salida no sería Gausiana y el análisis siguiene no aplicaría. La salida del bloque, muesra a =T, es z(t)=a i (T)+n o (T) (3.5) en donde a i (T) es la componene de señal de z(t) y n o () es la componene del ruido. Para acorar la noaciones, la ecuación 3.5 puede ser escria como z=a i +n o La componene de ruido, n o, es una variable aleaoria Gausiana con media cero, y por lo ano z es una variable aleaoria Gausiana con media a o a dependiendo de cual dígio binario fue enviado 5 de 54

26 o. Las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de la variable aleaoria, n o, puede expresarse como no p( no) = exp (3.6) σo π σo en donde σ o es la varianza del ruido. Como consecuencia de las ecuaciones 3.5 y 3.6 las funciones de probabilidad condicional, p(z s ) y p(z s ), pueden expresarse como z a p( z s) = exp σo π σo (3.7) z a p( z s) = exp σo π σo (3.8) Esas pdf condicionales se ilusran en la figura 3.. La pdf condicional de la pare derecha, p(z s ), ilusra la densidad de probabilidad de la salida del deecor, z(t), dado que se ransmiió s (). De forma similar, la pdf condicional de la pare izquierda, p(z s ), ilusra la densidad de probabilidad de la salida del deecor, z(t), dado que se ransmiió s (). La abscisa, z(t), represena el rango compleo de valores de muesras de salida posibles del bloque de la figura 3.. Probabilidad Probabilidad de s Probabilidad de s p(z s ) p(z s ) p p a z a (T) a γ o z(t) Figura 3.. Funciones de densidad de probabilidad condicionales. La segunda eapa en el proceso de deección de señales consise en comparar la prueba esadísica, z(t), conra un nivel de umbral, γ, en el bloque de la figura 3., en el senido de esimar cuál señal, s () s (), ha sido ransmiida. La operación de filrado en el bloque no depende del crierio de decisión en el bloque. Enonces la elección de cómo implemenar el bloque puede ser independiene de una esraegia de decisión paricular (elección de umbral, γ). Una vez que una forma de onda recibida, r(), se ransforma en un número z(t), la forma acual de la señal no es imporane; odas las formas de onda que son ransformadas al mismo valor de z(t) son idénicas para los propósios de deección. Nosoros veremos en la sección que el filro acoplado en el bloque de la figura 3. ransforma odas las señales de igual energía a un mismo puno, z(t). Por lo ano, la energía de la señal (no su forma) es el parámero imporane en el proceso de deección. Enonces el análisis de la deección de señales banda base es la misma que para señales paso banda. El paso final en el bloque es realizar la decisión 6 de 54

27 H > z( T) γ < H (3.9) en donde H y H son dos hipóesis posibles (binarias), Elegir H es equivalene a decidir que la señal s () fue enviada, y elegir H es equivalene a decidir que la señal s () fue enviada. La inecuación en 3.9 indica que la hipóesis H es elegida si z(t)>γ, y la hipóesis H es elegida si z(t)<γ. Si z(t)=γ la decisión es arbiraria Esrucura del recepor de máxima probabilidad Un crierio popular para elegir el nivel de umbral, γ, para la decisión binaria esa basado en la minimización de la probabilidad de error. El cálculo para al valor de error mínimo, γ=γ o, comienza al formar una expresión de inecuación enre la relación de funciones de densidad de probabilidad condicionales, p(z s ) p(z s ), y las probabilidades a priori de las formas de onda, P(s ) P(s ). La pdf condicional p(z s i ) es conocida como la probabilidad de s i. Enonces al formulación, conocida como la prueba de relaciones de probabilidad, se puede expresar como (ver sección.) H p( z s) > p( z s) < H P( s) P( s) (3.3) La regla para minimizar la probabilidad de error en la ecuación 3.3 especifica que debemos elegir la hipóesis H si la relación de probabilidades es mayor que la relación de las probabilidades a priori. En la sección..3 se demuesra que si P(s )=P(s ), y si las probabilidades p(z s i ) son siméricas, la susiución de las ecuaciones 3.7 y 3.8 en 3.3 proporciona H z( T) > + a a = γo < H (3.3) En donde a es la componene de z(t) cuando s () es enviada, y a es la componene de z(t) cuando s () es enviada. El nivel de umbral, γ o, represena el umbral ópimo para minimizar la probabilidad de realizar una decisión incorreca para ese imporane caso especial. A al esraegia se le conoce como el crierio de mínimo error. Para señales igualmene probables, el umbral ópimo, γ o, pasa a ravés de la inersección de las funciones de probabilidad de la figura 3.. Enonces al seguir la ecuación 3.3, la eapa de decisión efecivamene selecciona la hipóesis que corresponde a la señal con máxima probabilidad. Por ejemplo, dado un valor arbirario a la salida del deecor, z a (T), para el cual no hay probabilidad no cero de que z a (T) perenezca a cualquier clase de señal s () o s (), uno puede pensar de la prueba de probabilidad como una comparación de valores de probabilidad p(z s ) y p(z s ).La señal correspondiene a la máxima pdf es seleccionada como la más probable que ha sido ransmiida. En oras palabras, el deecor elige s () si 7 de 54

28 p(z s )>p(z s ) (3.3) De ora forma, el deecor selecciona s (). Al deecor que minimiza la probabilidad de error (para el caso de señales ransmiidas igualmene probables) es ambién conocido como deecor de máxima probabilidad. La figura 3. ilusra que la ecuación 3.3 es sólo una forma basada en el senido común para realizar una decisión cuando exise un conocimieno esadísico de las clases de señal. Dado el valor de salida del deecor, z a (T), podemos ver en la figura 3. que z a (T) inerseca la probabilidad de s () en el valor p, y ambién inerseca la probabilidad s () en el valor p. Cuál es la decisión más razonable de hacer para el deecor? Para ese caso, elegir la clase s (), la cual iene la mayor probabilidad, es la selección mas razonable. Si ése fuera un ejemplo de M niveles en lugar de binario, exisirían un oal de M funciones de probabilidad represenando M clases de señales a las cuales una señal recibida pereneciere. La decisión de máxima probabilidad sería enonces elegir la clase que uviera la mayor probabilidad de odas la M funciones de probabilidad. Refiérase al capíulo para una revisión de la eoría de la decisión Probabilidad de bi erróneo Para el ejemplo binario de la figura 3., exisen dos formas en las cuales un error pueda ocurrir. Un error, e, puede ocurrir cuando s () es enviada, y el ruido en el canal resula en una señal de salida del recepor, z(t), siendo menor que γ o. La probabilidad de al ocurrencia es P γ o ( e s ) = P ( H s ) = p ( z s ) dz (3.33) Eso es ilusrado por el área sombreada de la figura 3. a la izquierda de γ o. Similarmene, un error puede ocurrir cuando s () es enviado, y el ruido en el canal resula en z(t) mayor que γ o. La probabilidad de al ocurrencia es P ( e s ) = P( H s = ) p( z s γo ) dz (3.34) La probabilidad de un error es la suma de las probabilidades de odas las maneras en que un error puede ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de un bi erróneo, P B, como sigue B = P( e, si i= P ) (3.35) Combinando las ecuaciones 3.33 a 3.35, se puede escribir o en forma equivalene = P( e s) P( s) P( e s) P( s) (3.36a) PB + P B =P(H s )P(s )+ P(H s )P(s ) (3.36b) Eso es, dado que la señal s () se ransmie, un error se comee si se decide por la hipóesis H ; o dado que la señal s () se ransmie, un error resula si se elige por H. Para el caso en donde las probabilidades a priori son iguales, es decir, P(s )=P(s )=/. P B =½P(H s )+½P(H s ) (3.37) 8 de 54

29 Y debido a la simería de las pdf s P B =P(H s )=P(H s ) (3.38) La probabilidad de un bi erróneo, P B, es numéricamene igual al área debajo de la cola de cualquier función de probabilidad, p(z s ) o p(z s ), cayendo en el lado incorreco del umbral. Por lo ano podemos calcular P B al inegrar p(z s ) enre los límies - y γ o, o como se muesra abajo, al inegrar p(z s ) enre los límies γ o y P B = z= γo= ( a+ a)/ p( z s) dz (3.39) en donde γo = + a a es el umbral ópimo de la ecuación 3.3. Reemplazando la probabilidad p(z s ) con su forma Gausiana equivalene de la ecuación 3.8, enemos P = z a dz = o= a a o o exp γ ( ) / σ π σ B z + en donde σ o es la varianza del ruido a la salida del correlador. Haciendo el cambio de variable (3.4) z a u = ; z = uσ o + a ; dz = σodu σo y cambiando la variable del límie inferior de la inegral a + a a z u = σ σ σ σ La ecuación 3.4 se puede escribir como a γo a a a = = = o o o o = u a a PB exp du = Q (3.4) u= ( a a ) / σo π σo en donde Q(x), llamada la función de error complemenario o función de co-error, es un símbolo comúnmene usado para la probabilidad debajo de la cola de la disribución Gausiana. Esa es definida como Q( x) = π x u exp du (3.4) Noe que la función de co-error es definida de diversas maneras (vea el capíulo ); sin embargo, odas las definiciones son en esencia equivalenes. Q(x) no puede ser evaluada en forma cerrada. Esa se presena en la figura.8. Una aproximación para Q(x), valida para x>3 es 9 de 54

30 x Q( x) exp (3.43) x π Hemos opimizado (en el senido de minimizar P B ) el nivel de umbral, γ o, pero no hemos opimizado el filro lineal del bloque de la figura 3.; a coninuación opimizaremos al filro al maximizar el argumeno de Q(x) en la ecuación El filro acoplado El filro acoplado es un filro lineal diseñado para proporcionar la máxima relación señal a ruido a su salida para una forma de onda ransmiida. Considere que la señal conocida, s i (), más un proceso AWGN, n(), es la enrada al filro lineal invariane con el iempo seguido de un muesreador, como en la figura 3.3. r()=s i ()+n() h() z()=a i ()+n o () z(t)=a i (T)+n o (T) Figura 3.3. Filro acoplado. En el iempo =T, la salida del recepor, z(t), consise de la componene de señal, a i (), y la componene de ruido, n o (). La respuesa al impulso del filro acoplado, h(), es al que maximiza la relación señal a ruido S N T a = σ i o (3.44) en donde σ o es la varianza del ruido (poencia promedio del ruido). Por lo ano, el objeivo es enconrar h() que maximize la ecuación Separando la componene de señal s i () h() a i () S i (f) H(f) A i (f) Figura 3.4. Filro acoplado (componene de señal). En la frecuencia, A i (f)= H(f)S i (f). En el iempo, a i ()=s i () h(), en donde denoa la inegral de convolución. Por lo ano { A f } = I { A f H f } = i( ) i( ) ( ) jπf = I H f Si f e df ai( ) ( ) ( ) (3.45) en donde H(f) es la función de ransferencia del filro acoplado y S i (f) es la ransformada de Fourier de la componene de señal. Separando la componene del ruido 3 de 54

31 n() h() n o () G n (f) H(f) G no (f) Figura 3.5. Filro acoplado (componene de ruido). En donde G no (f)=g n (f) H(f), es el especro de densidad de poencia de un proceso aleaorio (ver demosración --3 Proakis). Por lo ano, si G n (f)=½n o es la densidad de poencia del proceso aleaorio de enrada, enonces la varianza del ruido es la poencia promedio del ruido a la salida σ o No = Pno = Gno( f ) df = Gn( f ) H ( f ) df = H ( f ) df Susiuyendo 3.45 y 3.46 en 3.44 (3.46) S N T = H ( f ) Si( f ) e N o H ( f ) jπft df df (3.47) De 3.47, deseamos enconrar la función de ransferencia, H(f), que maximize la relación señal a ruido, (S/N) T, usando la siguiene inecuación de Schwarz La igualdad de 3.48 se obiene si x) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) f ( dx (3.48) Haciendo f (x)=kf * (x), k=consane, * indica el complejo conjugado f (x)=h(f) Obenemos H ( f ) Si( f ) e Susiuyendo 3.49 en 3.47 jπft S N df T f (x)=s(f)e jµft H ( f ) H ( f ) N o df df H ( f ) S( f ) Si( f ) df df df (3.49) S Si( f ) df N No T Escribiendo 3.5 de ora forma y cuando la igualdad se cumple (3.5) 3 de 54

32 S E max = N T No (3.5) en donde E es la energía de la señal de enrada s i () y se define como E = Si( f ) df (3.5) Por lo ano, la máxima relación (S/N) T depende de la energía de la señal de enrada, E, y de la densidad de poencia especral del ruido, ½N o, y no del ipo paricular de la forma de onda usada en s i (). La igualdad en la ecuación 3.5 sólo es posible cuando la función de ransferencia cumple con la condición de Scwarz, es decir f (x)=kf * (x) f (x)=h(f) f (x)=s(f)e jµft H(f)=kS * (f)e -jµft (3.53) Realizando la ransformación inversa de 3.53 * jπft { ks ( f ) e } h( ) = I (3.54) uilizando la propiedad de desplazamieno en el iempo x() X(f) x(- o ) X(f)e -jπfo ks( T ) T h ( ) = (3.55) de ora forma Enonces las ecuaciones 3.53 y 3.55 son la función de ransferencia y la respuesa al impulso que producen la máxima relación señal a ruido. Finalmene, el filro lineal de la figura 3. se puede implemenar sobre la base de esas ecuaciones Realización del filro acoplado como correlador El érmino filro acoplado es usado como sinónimo de inegrador de produco, o correlador. La ecuación 3.55 y la figura 3.6 ilusran una propiedad básica del filro acoplado: La respuesa al impulso del filro es una versión reardada de la imagen espejo (roada en el eje =) de la forma de onda original. Por lo ano, si la forma de onda original es s(), su imagen espejo es s(-), y la imagen espejo reardada T segundos es s(t-). La salida, z(), del filro causal puede ser descria en el dominio del iempo como la convolución de la forma de onda recibida, r(), conra la respuesa al impulso del filro, es decir 3 de 54

33 s() s(-) h()=s(t-) Forma de onda original T T Señal imagen de la forma de onda T Respuesa al impulso del filro Figura 3.6. Caracerísicas del filro acoplado. z( ) = r( ) h( ) = r( τ ) h( τ ) dτ (3.56) Susiuyendo la ecuación 3.55 en 3.56 y normalizando la consane arbiraria k de 3.55 a k=, obenemos z( ) = r( τ ) s[ T ( τ )] dτ z( ) = r( τ ) s( T + τ ) dτ (3.57) Cuando =T, la ecuación 3.57 se puede escribir como z( T ) = T r( τ ) s( τ ) dτ (3.58) La operación de la ecuación 3.58, la inegral del produco de la señal recibida r(), conra una réplica de la forma de onda ransmiida, s(), sobre un inervalo de duración del símbolo, T, es conocida como la correlación de r() con s(). Considere que una señal recibida, r(), es correlacionada con cada señal prooipo, s i () (i=,..., M), uilizando un banco de M correladores. La señal s i () cuya inegral de produco o correlación con r() proporcione la máxima salida z i (T) es la señal que acopla r() mejor que odas las oras s j (), j i. Se uilizará subsecuenemene esa caracerísica de correlación para el deecor ópimo de señales. Es imporane noar que las salidas del correlador y del filro acoplado son las mismas únicamene en el iempo =T. Para una señal senoidal de enrada, la salida del correlador, z(), es aproximadamene una rampa lineal para T. Sin embargo, la salida del filro acoplado es aproximadamene una señal senoidal modulada por una rampa lineal para T. Tal comparación se muesra en la figura 3.7. Las similiudes y diferencias enre el filro acoplado (ecuación 3.56) y el correlador (ecuación 3.58) son: Con el correlador, simplemene se muliplican dos funciones y se inegran (cálculo del área bajo la curva del produco). De esa forma se calcula que an cercanamene dos formas de onda se emparejan la una a la ora en un periodo de iempo. Con la convolución del filro acoplado, se deslizan dos funciones pasando una sobre ora y se calcula una secuencia de correlaciones (una para cada paso en el deslizamieno). El filro acoplado, uilizado como demodulador, sólo uiliza la correlación echa en la duración del símbolo, T. Dado que las salidas del filro acoplado y del correlador son idénicas en iempo =T, las funciones del filro acoplado y del correlador de la figura 3.8, pueden usarse indisinamene. 33 de 54

34 z(t) Salida del correlador T Salida del filro acoplado Figura 3.7. Comparación enre el filro acoplado y el correlador. r()=s i ()+n() h(t-) Acoplar a s ()-s () (a) z(t) s ()-s () r()=s i ()+n() T z(t) (b) Figura 3.8. Equivalencia para el filro lineal. (a) Filro acoplado. (b) Correlador Aplicación del filro acoplado En la ecuación 3.4 enconramos que el umbral de decisión ópimo resula en una probabilidad de bi erróneo P B a a = Q σo Enconrar el umbral ópimo aisladamene no es suficiene para opimizar el proceso de deección. Para minimizar P B, necesiamos ambién seleccionar un filro ópimo que maximize el argumeno de Q(x) y por lo ano minimize P B. Enonces necesiamos deerminar el filro lineal que maximize a a σo 34 de 54

35 o de forma equivalene ( a a) o σ (3.59) en donde (a -a ) es la diferencia de los componenes de señal a la salida del filro, en el iempo =T, y la diferencia al cuadrado de las señales es la poencia insanánea de la señal de diferencia. En la sección describimos el filro que maximiza la relación señal a ruido de salida del filro, es decir, el filro acoplado. Considere un filro que esa emparejado a la señal de diferencia de enrada [s ()-s ()]. De las ecuaciones 3.44 y 3.5, la relación de la poencia insananea de la señal a la poencia promedio del ruido, (S/N) T, en el iempo =T de salida de ese filro acoplado es S ( a a) Ed = = (3.6) N T σo No en donde N o / es la densidad especral de poencia bilaeral del ruido a la enrada del filro, y E d es la energía de la diferencia de señales a la enrada del filro E d T = [ s ( ) s( ) ] d (3.6) Enonces, uilizando las ecuaciones 3.4 y 3.6, enemos P B = Q Ed N o (3.6) Probabilidad de bi erróneo para señales unipolares La figura 3.9 ilusra el ejemplo de una forma de onda banda base uilizada para ransmisión unipolar en donde s ()=A T para el binario s ()= T para el binario s i () (3.63) A T T 3T 4T 5T r() A=s ()-s () T z(t) z( T ) H > γo < H si ˆ ( ) Figura 3.9. Deección unipolar. 35 de 54

36 En donde A> es la ampliud de la señal s (). Asuma que la señal bipolar más el proceso AWGN esan presenes a la enrada del filro acoplado, con inervalo de muesreo =T. El correlador usado para la deección de al señal se muesra en la figura 3.9. El correlador muliplica e inegra la señal que llega, r(), con la diferencia de las señales prooipo [s ()-s ()]=A, y después de la duración del símbolo, T, compara el resulado, z(t), con el umbral, γ o. Cuando r()=s ()+n(), la componene de señal, a (T), de z(t) es calculada, uilizando la ecuación 3.58, para resular en T a ( ) = E{ z( T)} = E A + An( ) d = A T en donde E{.} es el operador valor esperado. La ecuación anerior resula de E{n()}=. En forma similar, cuando r()=s ()+n(), enonces a (T)=. Por lo ano el umbral ópimo es γ a T o = = a Si la salida del correlador, z(t), es mayor que γ o, se declara que la señal recibida perenece a la clase de señal s (); de ora forma, se declara que perenece a s (). La energía de la señal de diferencias, de la ecuación 3.6, es E d =A T. Enonces el desempeño de la probabilidad de bi erróneo a la salida se obiene de la ecuación 3.6 de la siguiene manera A P B = Q Ed N o A T = = Q Q o N en donde E b =½A T es la poencia promedio por bi. E N b o (3.64) Probabilidad de bi erróneo para señales bipolares La figura 3.3 ilusra el ejemplo de una forma de onda banda base uilizada para ransmisión bipolar en donde s ()=+A T para el binario s ()=-A T para el binario (3.65) 36 de 54

37 A s i () T T -A 3T 4T 5T A=s () r() -A=s () T T + - z( T) H > γo < H si ˆ ( ) z (T) z (T) Figura 3.3. Deección bipolar. Las formas de onda binarias que son opuesas en polaridad, ales como el par bipolar anerior en donde s ()=-s (), son conocidas como señales anipodales. Un recepor basado en correlador para ese ipo de señales anipodales puede ser implemenado como se muesra en la figura 3.3. Un correlador muliplica e inegra la señal que llega r() con el prooipo de señal s (); el segundo correlador muliplica e inegra r() con s (). Las salidas de los correladores son designadas como z i (T) (i=, ). El valor real en el espacio de decisión, z(t), esa formado por la diferencia de salidas del correlador, como sigue z(t)=z (T)-z (T) (3.66) y la decisión es realizada de acuerdo con la ecuación 3.3. Para señales anipodales, a =a ; y por lo ano, γ o =. Enonces si la prueba esadísica, z(t), es posiiva, se declara que la señal recibida perenece al ipo de forma de onda s (), y si es negaiva, se declara que perenece a s (). La energía de la señal de diferencias es E d =(A) T. Enonces el desempeño de la probabilidad de bi erróneo a la salida se obiene de la ecuación 3.6 de la siguiene manera A T Eb PB = Q = Q (3.67) o N No en donde E b =A T es la poencia promedio por bi. La figura 3.3 muesra la gráfica de P B conra E b /N o obenida a parir del siguiene conjuno de insrucciones en MaLab x=-.:.:5; x=x/; for i=: 6 x(i)=^x(i); q(i)=.5*erfc(sqr(x(i))/sqr()); q(i)=.5*erfc(sqr(*x(i))/sqr()); end semilogy(x, q, x, q); 37 de 54

38 Caso uniipolar -5 PB - Caso bipolar Relación señal a ruido E b /N o (db) Figura 3.3. Desempeño de la probabilidad de bi erróneo para señales unipolares y bipolares. Al examinar las dos curvas de la figura 3.3, podemos observar un desempeño mejorado en 3dB para las señales bipolares en comparación con las unipolares. Ese diferencia podría haberse predicho por la diferencia del facor en el coeficiene de E b en la ecuación 3.67 comparado con la ecuación En el capiulo 4 veremos que el desempeño en error para las señales paso bandas anipodales (deección coherene binaria para señales moduladas en fase) es el mismo que para la deección de señales banda base anipodales (recepción con filro acoplado). También, veremos que el desempeño en error para señales paso banda orogonales (deección coherene binaria para señales moduladas en frecuencia) es la misma que para señales banda base unipolares (recepción con filro acoplado) TRANSMISIÓN BANDA BASE MULTINIVEL El ancho de banda requerido del sisema para señales binarias PCM puede ser muy grande Que se puede hacer para reducir el ancho de banda requerido? Una posibilidad es uilizar señales mulinivel. Considere un flujo de bis PCM con asa de ransmisión R bis por segundo. En lugar de ransmiir una forma de onda para cada bi, primero se paricionan los daos en grupos de k bis. Enonces se uilizan M= k niveles de pulsos para la ransmisión. Cada forma de onda de pulso ahora represena un símbolo de k bis en un flujo de símbolos de asa de ransmisión R/k símbolos por segundo. Enonces las señales mulinivel, en donde M>, pueden ser uilizadas para reducir el número de símbolos ransmiidos por segundo, y por lo ano para reducir los requerimienos de ancho de banda del canal. Exise algún precio que pagar por al reducción en el ancho de banda? Por supueso que si! Eso es discuido a coninuación. Considere la area que el deecor debe desempeñar; ese necesia disinguir enre los diversos niveles de cada pulso. Puede el recepor disinguir enre los ocho niveles posibles de un pulso ocal an fácilmene como puede disinguir enre los dos niveles posibles de un pulso binario, como se muesra en la figura 3.3? La ransmisión de un pulso con 8 niveles (comparado conra niveles) requiere una canidad grande de energía para un desempeño equivalene en la deección (recuerde que la canidad de energía deermina que an fielmene una señal puede ser deecada). Para una igual poencia promedio en los pulsos binarios y ocales, es más sencillo deecar pulsos binarios ya 38 de 54

39 que el deecor iene más energía de señal por nivel para hacer una decisión que en los pulsos ocales. Qué precio paga el diseñador si elige una forma de onda binaria PCM que sea más fácil de deecar en lugar de una PCM con 8 niveles? El diseñador paga el precio de requerir un ancho de banda res veces mayor para una asa de ransmisión específica, comparado con los pulsos ocales, ya que cada pulso ocal puede reemplazar res pulsos binarios. Uno podría pregunarse: Por qué no usar pulsos binarios con la misma duración del bi que en el caso de pulsos ocales? Para algunos casos, eso puede ser apropiado, pero no para la mayoría de los sisemas de comunicaciones. Tal incremeno en el reardo de la información puede ser inolerable Las noicias de las seis de la arde son a las seis de la arde! T NRZ-L +V -V Mulinivel M=8, k= Figura 3.3. Codificación mulinivel, M=8, k= Tamaño de la palabra de código PCM Cuános bis se deben asignar a una muesra analógica? Para canales digiales de elefonía, cada muesra de voz PCM es codificada uilizando 8 bis, proporcionando 8 o 56 niveles por muesra. La elección en el número de niveles, o bis por muesra, depende de que ana disorsión se esa dispueso a olerar con el formao PCM. Es úil desarrollar una expresión general enre el número requerido de bis por muesra analógica (el amaño de la palabra de código PCM) y la disorsión de cuanización permisible. Dejemos que la magniud del error de disorsión por cuanización, e, sea especificado a no exceder una fracción, p, del volaje pico a pico del volaje analógico, V pp, de la siguiene forma e pv pp (3.68) Dado que el error no puede ser mayor que q/, en donde q es el inervalo cuaníl, podemos escribir (ver figura 3.) e max = q Vpp = L (3.69) 39 de 54

40 en donde L es el número de niveles de cuanización, Enonces Vpp L pv pp (3.7) l = L (niveles) (3.7) p l log (bis) (3.7) p Es imporane hacer noar que no debemos confundir la idea de bis por palabra PCM, designada por l en la ecuación 3.7, con el concepo de ransmisión mulinivel de k bis por símbolo. El siguiene ejemplo clarifica la siuación. Ejemplo. Niveles de cuanización y codificación mulinivel La información en una forma de onda analógica, con frecuencia máxima de f m =3kHz, será ransmiida en un sisema PCM mulinivel, en donde el número de niveles de pulsos es M=6. La disorsión de cuanización se especifica a no exceder el ±% del volaje pico a pico de la señal analógica. (a) Cuál es el mínimo número de bis/muesra, o bis/palabra PCM, que debe ser usada en el sisema PCM? (b) Cuál es la mínima asa de muesreo, y cuál es la asa de ransmisión resulane? (c) Cuál es la asa de ransmisión PCM en símbolos/s? En ése ejemplo enemos dos ipos de niveles: el número de niveles de cuanización para cumplir con el requerimieno de disorsión, y los 6 niveles PCM de los pulsos mulinivel. Solución (a) Uilizando la ecuación 3.7, calculamos l log = log (bis) (.) Por lo ano, se deben usar l=6 bis/muesra para cubrir los requerimienos. (b) Uilizando el crierio de muesreo de Nyquis, la asa mínima de muesreo es f s =f m =(3)=6 muesras/s. Del inciso (a), cada muesra dará origen a una palabra PCM compuesa de 6 bis. Por lo ano, la asa de ransmisión R=lf s =6(6)=36 bis/s. (c) Ya que los pulsos mulinivel serán usados con M= k =6 niveles, k=log 6=4 bis/símbolo. Por lo ano, el flujo de bis será paricionado en grupos de 4 bis para formar nuevos dígios PCM de 6 niveles, y la asa resulane de ransmisión de símbolos es R s =(R/k)=(36/4)=9 símbolos/s INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS (ISI) La figura 3.33a resala los aspecos fundamenales de un sisema digial en banda base; exisen reacancias elécricas a ravés del sisema en el ransmisor, el recepor y el canal. Los pulsos a la enrada pueden considerarse como impulsos (para fines analíicos), o, en un caso real, como 4 de 54

41 muesras de ope plano. En cualquier caso, ésos son filrados por el ransmisor por un filro paso bajas con el objeo de confinarlos a un ancho de banda deseado. Las reacancias del canal pueden ocasionar variaciones en ampliud y fase que disorsionan la forma de onda original de los pulsos. El filro recepor, conocido como ecualizador, debe ser configurado para compensar la disorsión causada por el ransmisor y el canal. En un sisema binario NRZ-L, el deecor hace decisiones de símbolo al compara los pulsos bipolares recibidos con un umbral; por ejemplo, el deecor decide que un binario uno fue enviado si el pulso recibido es posiivo, y que un cero binario fue enviado si se recibe un pulso negaivo. La figura 3.33b ilusra un modelo conveniene para el sisema de la figura 3.33a, englobando odos los efecos de filrado en un sisema equivalene con función de ransferencia H(f) H(f)=H (f)h c (f)h r (f) (3.73) x x =kt x k T T Filro de ransmisión T T Canal Filro de recepción Deecor xˆ k x 3 ruido (a) x k x x T T H(f) h() T T =kt Deecor xˆ k x 3 ruido (b) Figura Inerferencia enre símbolos. (a) Sisema banda base. (b) Modelo equivalene. En donde H (f) caraceriza el filro de ransmisión, H c (f) el modelo de filro para el canal banda base, y H r (f) el filro de ecualización en el recepor. La caracerísica H(f), enonces, represena la función de ransferencia compuesa debido al filrado en cadena de diversas localidades, ransmisor-canalrecepor. Debido a los efecos de filrado en el sisema, los pulsos recibidos se solapan uno sobre oro como se muesra en la figura 3.33b; la cola de un pulso se sumerge en los inervalos de símbolo aledaños de manera que inerfieren en el proceso de deección; al inerferencia es conocida como Inerferencia Enre Símbolos (ISI). Aún en la ausencia de ruido, las resricciones en el ancho de banda del sisema y el filrado dan origen a la ISI. En la prácica, H c (f) es usualmene especifica, y el problema consise en deerminar H (f) y H r (f) ales que la ISI sea minimizada a la salida de H r (f). Nyquis invesigó en 98 el problema de especificar la forma de un pulso recibido de manera que no se produzca ISI en el deecor. Él mosró que el mínimo ancho de banda eórico del sisema requerido para deecar R s símbolos/s sin ISI, es R s / Hz. Eso ocurre cuando la función de ransferencia global del sisema, H(f), es recangular, como se muesra en la figura 3.34a. Cuando H(f) es al filro recangular ideal con ancho de banda /T, su respuesa al impulso, la ransformada de Fourier inversa de H(f) es h()=sinc(/t), mosrada en la figura 3.34b. Enonces h() es la forma del pulso resulane de aplicar un impulso a la enrada del filro recangular. Nyquis esableció que si cada pulso de una secuencia recibida iene la forma de h(), los pulsos pueden deecarse sin ISI. El ancho de banda requerido para deecar /T pulsos o símbolos es igual a /T; en oras palabras, 4 de 54

42 un sisema con ancho de banda W=/T=R s / Hz puede soporar una asa de ransmisión máxima de W=/T=R s símbolos/s sin ISI (resricción en el ancho de banda de Nyquis). La figura 3.34b muesra como se evia la ISI. La figura muesra dos pulsos sucesivos recibidos, h() y h(-t). Aunque h() enga una cola larga, ésa pasa por cero en el insane en que h(-t) es muesreada en =T y por lo ano no ocasiona degradación en el proceso de deección. Con al forma de onda ideal recibida, la máxima asa posible de símbolos ransmiidos en segundos por herz, conocida como la asa de empaqueamieno de símbolos, es símbolos/s/hz, sin ISI. T H(f) h() h(-t) -/T /T f -T T (a) (b) Figura Caracerísica de Nyquis para cero ISI. (a) Función de ransferencia recangular ideal. (b) Respuesa al impulso. Que dice la resricción en el ancho de banda de Nyquis acerca del máximo número de bis/hz que pueden ser recibidos sin ISI? Ese no dice nada acerca de bis, direcamene. La resricción raa sólo con pulsos o símbolos y la habilidad de deecar sus valores de ampliud sin disorsión de oros pulsos. La asignación de cuanos bis puede represenar cada símbolo es un ema que se aborda por separado. En eoría, cada símbolo puede represenar M niveles o k bis (M= k ); conforme M o k crece en valor, ambién crece la complejidad del sisema. Por ejemplo, cuando k=6 bis/símbolo, cada símbolo represena uno de M=64 niveles. El número de bis/s/hz que un sisema puede soporar es denominado como la eficiencia del ancho de banda del sisema. Para la mayoría de los sisemas de comunicaciones (excepo para especro disperso), nuesro objeivo es reducir el ancho de banda requerido por el sisema ano como sea posible; Nyquis nos ha proveído con las limiaciones básicas para al reducción en el ancho de banda Qué ocurriría si inenáramos forzar al sisema a operar por debajo del ancho de banda que dica la resricción de Nyquis? Enconraríamos que al resringir el ancho de banda los pulsos se dispersarían en el iempo; eso degradaría el desempeño de la probabilidad de bi erróneo, debido al incremeno en la ISI Forma realizable de H(f) para reducir la ISI El requerimieno de Nyquis para la forma del pulso sinc(/t) no es físicamene realizable ya que ése impone un ancho de banda con banda de paso cero (bordes vericales) y un iempo de reardo infinio (la respuesa al impulso comienza en - ), También, con ales caracerísicas, el proceso de deección sería muy sensible a pequeños errores en los iempos de duración de los pulsos. En la figura 3.34b el pulso h() iene valor cero en los pulsos adyacenes sólo cuando el muesreo es realizado exacamene en el correspondiene iempo de muesreo; los errores en al iempo producen ISI. Por lo ano, no podemos implemenar sisemas uilizando el ancho de banda de Nyquis; necesiamos proveer algún exceso de ancho de banda más allá del mínimo eórico. Una función de ransferencia frecuenemene uilizada, H(f), es denominada como el filro de pendiene coseno. Ese puede expresarse como 4 de 54

43 H ( f ) = cos 4 π f + W W o W Wo para f f < W > W W para W o w < f para o < W (3.74) en donde W es el ancho de banda absoluo, y W o =/T represena el mínimo ancho de banda de Nyquis para el especro recangular y 6dB de ancho de banda (o puno de media ampliud) para el especro de pendiene coseno. La diferencia (W-W o ) es conocida como el exceso de ancho de banda; noe que W=W o para el especro recangular. El facor de roll-off esa definido como r=(w- W o )/W o. Ese represena el exceso de ancho de banda dividido por el ancho de banda del filro de 6dB (la fracción del exceso de ancho de banda). Para un W o deerminado, r especifica el exceso del ancho de banda requerido (como una fracción de W o ) y caraceriza el paso del roll-off del filro. La caracerísica para el filro de pendiene coseno se muesra en la figura 3.35a para valores de r de,.5 y. El facor roll-off r= es el caso para el mínimo ancho de banda de Nyquis. Noe que cuando r=, el exceso de ancho de banda requerido es %; un sisema con al caracerísica especral puede proporcionar una asa de símbolos R s uilizando un ancho de banda de R s Hz (dos veces el ancho de banda de Nyquis), proporcionando enonces un empaqueamieno de símbolo/s/hz. La respuesa al impulso correspondiene a H(f) de la ecuación 3.74 es cos[π ( w Wo) ] h( ) = W o[ sinc(w o)] (3.75) 4( W Wo) Tal respuesa al impulso es mosrada en la figura 3.35b para valores de r iguales a,.5, y. H(f) r= r=.5 r= T= f (a) 43 de 54

44 h().8 T=.6.4 r=. -. r= (b) Figura Filro de pendiene coseno. (a) Función de ransferencia. (b) Respuesa al impulso. Recuerde que para cero ISI, se debe elegir la forma del pulso recibido que sea igual a h(); sólo se puede hacer eso en forma aproximada, ya que hablando esricamene, el especro del filro de pendiene coseno no es realizable físicamene. Una caracerísica de frecuencia realizable debe ener respuesa en el iempo que sea cero anes de la aplicación del pulso, que no es el caso para la familia de filros de pendiene coseno. Esos filros no realizables son no-causales (la respuesa al impulso comienza en el iempo =- ). Sin embargo, una versión reardada de h(), digamos h(- o ), puede generarse aproximadamene por filros reales si el iempo de reardo o es elegido de al manera que h(- o ), para <. Noe que en la figura 3.35b los errores de emporización aún resulan en algo de degradación por ISI cuando r=. Sin embargo el problema no es an serio como cuando r=, ya que las colas de la forma de onda h() son de mucho menor ampliud comparadas conra r=. La resricción en el ancho de banda de Nyquis enuncia que el mínimo ancho de banda requerido por el sisema, W, para una asa de símbolos R s símbolos/s sin ISI, es R s / Hz. Una expresión más general enre el ancho de banda requerido y la asa de ransmisión de símbolos conemplando el facor de roll-off, r, puede enunciarse como W ) = ( + r Rs (3.76) Enonces con r=, la ecuación 3.76 describe el ancho de banda ideal requerido por un filro recangular ideal, ambién conocido como filrado de Nyquis. Las señales paso banda moduladas (señales banda base que han sido desplazadas en frecuencia), ales como las moduladas en ampliud (ASK) y fase (PSK), requieren dos veces el ancho de banda de ransmisión que el equivalene para señales banda base. Tales seles rasladadas en frecuencia, que ocupan el doble de su correspondiene ancho de banda en banda base, son conocidos como señales doble banda laeral (DSB). Por lo ano, para señales moduladas en ASK y PSK la relación enre el ancho de banda DSB requerido, W DSB, y la asa de ransmisión de símbolos, R s, es 44 de 54

45 W DSB =(+r)r s (3.77) Ejemplo. Requerimienos de ancho de banda (a). Encuenre el mínimo ancho de banda requerido para la ransmisión banda base PCM de 4 niveles con una asa de ransmisión de 4bis/s si la caracerísica de ransferencia del sisema consise de un especro con pendiene coseno y % de exceso de ancho de banda (r=). (b). La misma secuencia PCM se modula con poradora senoidal, de manera que el especro banda base se desplaza a la frecuencia poradora f o. Encuenre el mínimo ancho de banda DSB para ransmiir la secuencia PCM mulinivel modulada. Asuma que la caracerísica de ransferencia es la misma que la del inciso (a). Solución (a). M= k ; enonces M=4 niveles y k= bis. R 4 Tasa de símbolos o pulsos Rs = = = símbolos/s k Mínimo ancho de banda W=½(+r)R s =½(+)=Hz La figura 3.36a ilusra el pulso PCM recibido en el dominio del iempo, una aproximación a h() de la ecuación La figura 3.36b muesra la ransformada de Fourier de h(), el especro de pendiene coseno. Noe que el ancho de banda requerido, W, empieza en una frecuencia cero y se exiende hasa f=/t; ese es el doble de amaño del mínimo ancho de banda eórico de Nyquis. h(- o ) H(f) o -T o +T f o -/T /T (a) (b) Figura (a) Forma del pulso. (b) Especro de pendiene coseno. (b). Como en la pare (a), R s = símbolos/s W DSB =(+r)r s =(+)=4Hz La figura 3.37a muesra la forma del pulso PCM mulinivel modulado. Esa forma de onda puede ser visa como el produco de una poradora senoidal de ala frecuencia conra una forma de onda con la forma del pulso de la figura 3.36a. El especro de la figura.36b muesra que el ancho de banda modulado, W DSB, es 45 de 54

46 WDSB = fo + T fo T = T Cuando el especro de la figura 3.36b es desplazado a una frecuencia superior, las pares negaiva y posiiva del especro en banda base son desplazados a la frecuencia superior, duplicando el ancho de banda de ransmisión requerido. Como el nombre lo implica, la señal DSB iene dos bandas laerales: la banda laeral superior (USB), derivada de la pare negaiva del especro en banda base, y la banda laeral inferior (LSB) derivada de la pare negaiva del especro en banda base. h(- o ) H(f) o -T o +T LSB USB f f o -/T f o f o+ /T o W DSB (a) (b) Figura (a) Forma del pulso modulado. (b) Especro DSB de pendiene coseno. Ejemplo. Circuios de elefonía digial Comprare los requerimienos de ancho de banda del sisema para un circuio de voz de elefonía analógica conra un circuio de voz digial PCM para señales analógicas de 3kHz. Asuma que la asa de muesreo de la conversión analógica a digial (A/D) es 8 muesras/s. También asuma que cada muesra de voz es cuanizada usando uno de 56 niveles (cuanización de 8 bis). Solución El resulado del proceso de muesreo y cuanización da origen a una señal PAM cuanizada con 56 niveles diferenes. De la ecuación 3.76 podemos escribir el ancho de banda requerido del sisema (sin ISI) para R s símbolos/s es W Rs Hz En donde el signo de igualdad se cumple únicamene para el filrado de Nyquis. Para la ransmisión PCM mulinivel con L=56 niveles, cada muesra es converida en l=log L=8 bis. Por lo ano el requerimieno de ancho de banda para ransmiir voz PCM con palabras de 8 bis es 46 de 54

47 Rs WPCM (log L) Hz W PCM ½(8bis/símbolo)(8símbolos/s)=3kHz El circuio analógico de voz de 3kHz generalmene requerirá de 4kHz de ancho de banda (incluyendo un ancho de banda de separación enre canales, conocido como bandas de guarda). Por lo ano, el formao PCM uilizando 8bis para la cuanización requiere al menos ocho veces el ancho de banda del formao analógico Ecualización En sisemas prácicos, la respuesa en frecuencia del canal no es conocida con suficiene precisión para permiir el diseño de un recepor que compense por ISI en odo momeno. En la prácica, el filro para manejar la ISI en el recepor coniene varios parámeros que son ajusados sobre la base de mediciones de las caracerísicas del canal. El proceso de corregir la disorsión inducida por el canal es conocida como ecualización. Un filro ransversal (una línea de reardo con eapas de reardo de T segundos, en donde T es la duración del símbolo) es una elección común para el filro de igualación. Las salidas de las eapas de reardo son amplificadas, sumadas, y alimenadas a un disposiivo de decisión. Los coeficienes de las eapas de reardo, cn, son especificados para resar los efecos de la inerferencia de símbolos adyacenes al símbolo en el iempo deseado. Considere que exisen (N+) eapas con coeficienes c -N, c -N+,..., c N como se muesra en la figura Las muesras de salida, {y k }, del ecualizador son enonces expresadas en érminos de las muesras de enrada, {x k }, y de los coeficienes de las eapas como N yk = c x k=-n,..., N (3.78) n n= N Al definir las marices y, c, y x como k n y... y = yo... y N N c N... c = co (3.79)... c N x N... x N + x N x = xn xn xn... x N + x N (3.8) xn xn... xn podemos simplificar el cálculo para {y k } como sigue y=xc (3.8) 47 de 54

48 x k T T... T T c -N c -N+ c N- c N... Suma y k Algorimo para el ajuse de coeficienes Figura Filro ransversal. El crierio para seleccionar los coeficienes c n esa ípicamene basado en la minimización ya sea de la disorsión de pico o de la disorsión cuadráica media. La minimización de la disorsión de pico pude ser conseguida al seleccionar los coeficienes cn de manera que la salida del ecualizador sea forzada a cero en N punos de muesra en cualquier lado del pulso deseado. Eso es yk = para k = para k = ±, ±,..., ± N (3.8) Resolviendo para cn al combinar las ecuaciones 3.79 y 3.8 y resolviendo N+ ecuaciones simulaneas. La minimización de la disorsión cuadráica media resula en N+ ecuaciones simulaneas. Exisen dos ipos generales de eculización auomáica. La primera, ecualización prese, ransmie una secuencia de enrenamieno que es comparada en el recepor con una secuencia generada localmene. Las diferencias enre las dos secuencias son usadas para especificar los coeficienes c n. Con el segundo méodo, ecualización adapiva, los coeficienes son coninua y auomáicamene ajusados direcamene de los daos ransmiidos. Una desvenaja de la ecualización prese es que esa requiere una sesión inicial de enrenamieno, la cual debe ser repeida después de cualquier core en la ransmisión. También, un canal variane en el iempo puede degradar en ISI ya que los coeficienes esan fijos. La ecualizacion adapiva puede desempeñarse bien si el desempeño en error del canal es saisfacorio. Sin embargo, si el desempeño en error del canal es pobre, los errores recibidos del canal pueden impedir que el algorimo converja. Una solución común emplea ecualización prese inicialmene para proporcionar un buen desempeño en error de canal; una vez que la ransmisión comienza, el sisema conmua a un algorimo adapivo. Una canidad significaiva de invesigación y desarrollo ha omado pare en el área de la ecualización durane las res pasadas décadas CODIFICACIÓN POR RESPUESTA PARCIAL En 963, Adam Lander mosró que es posible ransmiir W símbolos/s con cero ISI, uilizando el ancho de banda mínimo eórico de W Hz, sin uilizar filros con pendiene infiniamene verical. Lender uilizó una écnica conocida como señalización duobinaria, ambién designada con los nombres de señalización por respuesa parcial y codificación correlaiva. La idea básica arás de la écnica duobinaria es inroducir una canidad conrolada de ISI en el flujo de daos en lugar de inenar eliminarla compleamene. Al inroducir inerferencia conrolada enre pulsos, y al cambiar el procedimieno de deección, Lender cancela la inerferencia en el deecor y consigue el empaqueamieno de símbolos/s/hz, una canidad que había sido considerada irrealizable. 48 de 54

49 3.8.. Codificación duo-binaria Para enender como se inroduce ISI conrolada en la señalización duobinaria, miremos al, modelo del proceso. Podemos pensar el proceso de codificación duobinaria como el proceso implemenado en la figura Filro digial Muesreo x k T T T Filro recangular ideal Canal =kt { ŷk} Decodificador { xˆk } Reardo de T segundos x k- y k =x k + x k- ruido Figura Señalización duobinaria. Asuma que una secuencia de símbolos binarios {x k } será ransmiida a una asa de R símbolos/s sobre un sisema que iene un especro recangular ideal con ancho de banda W=R/=/T Hz. Uno se podría pregunar: Cómo difiere el especro recangular de la figura 3.39 de la caracerísica irrealizable de Nyquis? Ese iene la misma caracerísica ideal, pero no esamos raando de implemenar al filro recangular ideal. Es sólo una pare del modelo equivalene que es usada para el desarrollo de un filro que es más sencillo de aproximar. Anes de ser formados por el filro ideal, los pulsos pasan a ravés de un filro digial simple, como se muesra en la figura El filro digial incorpora un reardo de un dígio; a cada pulso que llega, el filro le suma el valor del pulso previo. En oras palabras, para cada pulso en el filro digial, se obiene como salida la suma de dos pulsos. Cada pulso de la secuencia {y k } a la salida del filro se puede expresar como y k =x k +x k - (3.83) Ya que la ampliudes de {y k } no son independienes, cada dígio y k pora con la memoria de un dígio anerior. La ISI inroducida a cada dígio y k viene sólo del dígio precedene x k-. Esa correlación enre las ampliudes de los pulsos {y k } puede ser pensada como una forma conrolada de ISI inroducida por el codificador duobinario. La inerferencia conrolada es la esencia de esa écnica, ya que en el deecor al inerferencia conrolada puede ser removida an fácilmene como fue añadida. La generación de la secuencia {y k } es seguida por la aplicación del filro ideal de Nyquis que no inroduce ISI. En el muesreador del recepor, de la figura 3.39, se esperaría recuperar exacamene la secuencia {y k } en la ausencia de ruido. Debido a que odos los sisemas experimenan conaminación por ruido, nos deberíamos referir a la secuencia recibida {y k } como una esimación de la secuencia {y k } y disinguirla de la original como { ŷ k }. Al remover la inerferencia conrolada mediane el decodificador duobinario, se obiene una secuencia esimada, { xˆ k } de la secuencia original {x k } Decodificación duo-binaria Si el dígio binario x k es igual a ±, enonces al usar la ecuación 3.83, y k iene uno de res valores posibles: +,, o. El código duobinario resula en una salida de res niveles: en general para una ransmisión de M niveles, la señalización por respuesa parcial resula en M- niveles de salida. El proceso de decodificación involucra el procedimieno inverso a la codificación, es decir, subsraer la decisión x k- del dígio y k. Considere el siguiene ejemplo. 49 de 54

50 Ejemplo. Codificación y decodificación duobinaria. Use la ecuación 3.83 para demosrar la codificación y decodificación duobinaria para la siguiene secuencia: {x k }=. Considere al primer bi de la secuencia como el bi de inicio y no como pare de los daos. Solución Secuencia binaria {x k } Ampliudes bipolares {x k } Regla de codificación y k =x k +x k- - Regla de decodificación Si ŷ k=, Si Si ŷ k=-, ŷ k =, decida que xˆ k =+ (o uno binario) decida que xˆ k =- (o cero binario) decida el opueso a la decisión previa Secuencia bipolar decodificada { xˆ k } Secuencia binaria decodificada{ xˆ k } La regla de decisión implemena simplemene la resa de cada decisión x ˆk de cada ŷ k. Una desvenaja de esa écnica de deección es que una vez que se comee un error, ése iende a propagarse, ocasionando errores fuuros, ya que la decisión acual depende de decisiones previas. Un medio para eviar al propagación de errores es la precodificación Pre-codificación La precodificación se consigue al codificar diferencialmene primero la secuencia binaria {x k } en una nueva secuencia binaria {w k } como sigue w k = xk wk (3.84) en donde el símbolo represena la suma módulo (equivalene a la operación lógica or exclusiva) de los dígios binarios. La regla de adición módulo es La secuencia binaria {w k } es converida enonces en una secuencia de pulsos bipolares, y la operación de codificación precedene es la misma que en el ejemplo anerior. Sin embargo, con precodificación, el proceso de deección es muy diferene a la deección duobinaria ordinaria, como se muesra en el siguiene ejemplo. El modelo de precodificación es mosrado en la figura 3.4; en esa figura es implício que la suma módulo que produce la secuencia precodificada {w k } es aplicada sobre dígios binarios, mienras que el filrado digial que produce la secuencia {y k } es aplicada sobre pulsos bipolares. = = = = 5 de 54

51 x k Sumador módulo w k Filro digial Filro recangular ideal Canal Muesreo =kt { ŷk} Decodificador { xˆk } w k- Reardo de T segundos w k- ruido Figura 3.4. Señalización duobinaria con precodificación. Ejemplo Precodificación duobinaria Ilusre las reglas de codificación y decodificación duobinaria usando la precodificación diferencial de la ecuación Asuma la misma secuencia del ejemplo anerior. Solución. Secuencia binaria {x k } Secuencia precodificada w k =x k w k- Ampliudes bipolares {w k } Regla de codificación y k =w k +wk- - Regla de decodificación Si ŷ k=±, Si ŷ k=, decida que xˆ k =uno binario decida que xˆ k =cero binario Secuencia binaria decodificada{ xˆ k } La precodificación diferencial habilia la decodificación de la secuencia { ŷ k } al hacer una decisión sobre cada muesra recibida, sin depender de decisiones previas que causarían la propagación de los errores. La principal venaja es que en el evenual caso del error por ruido, al error no se propaga sobre oros dígios. Noe que el primer bi en la secuencia binaria precodificada diferencialmene {w k } es una elección arbiraria. Si en el bi de inicio en {w k } se elige un binario uno en lugar del binario cero, el resulado decodificado será el mismo Función de ransferencia duo-binaria equivalene En la sección 3.8. se describió la función de ransferencia como un filro digial al incorporar un reardo de un dígio, seguido de una función de ransferencia recangular ideal. Examinemos ahora el modelo equivalene de la figura 3.39 mosrado en la figura 3.4 Filro digial Filro recangular x k h () h () Al canal y k =x k +x k+ Figura 3.4. Función de ransferencia duobinaria equivalene. Para el caso del filro digial, su función de ransferencia, H (f), es como se muesra en la figura de 54

52 δ() δ()+ δ(-t) F x k h () x k +x k+ H (f) +e -jπft Figura 3.4. Función de ransferencia del filro digial. H (f)=+e -jπft (3.85) La ecuación 3.85 se obiene recordando la siguiene propiedad de desplazamieno en el iempo del análisis de Fourier Si x() X(f) Enonces Y ambién recordando que para el impulso uniario x(- o ) X(f)e -jπfo δ() Por ora pare, la función de ransferencia del filro recangular ideal, H (f) es por definición T para f < H ( f ) = T (3.86) oro caso La función de ransferencia global equivalene, H e (f), del filro digial en cascada con el filro recangular ideal esa dada por H e (f)=h (f)h (f) para f <(/T) He H e (f)=(+e -jπft )T (3.87) H e (f)=t(e jπft +e -jπft )e -jπft T cos( πft) para f < ( f ) = T oro caso (3.88) Enonces H e (f) iene un roll-off gradual para la pendiene de la banda de paso, como se muesra en la figura.43a. La función de ransferencia puede aproximarse uilizando filros analógicos realizables; no se necesia un filro digial separado. La función duobinaria equivalene es conocida como filro coseno (no confundir con el filro de pendiene coseno de la sección 3.7.). La respuesa al impulso, h e (), se puede enconrar al calcular la ransformada de Fourier inversa de H e (f), a parir de la ecuación 3.87 T he ( ) = sinc + sinc (3.89) T T Esa función es graficada en la figura.43b. Para cada impulso, δ(), a la enrada de la figura 3.39, la salida es h e () con polaridad apropiada. Noe que sólo exisen dos muesras diferenes de cero, en inervalos de T segundos, dando origen a una ISI conrolada en bis adyacenes. La ISI inroducida es eliminada al usar el procedimieno de deección descrio en la sección No obsane que el 5 de 54

53 filro coseno es no causal y por lo ano no realizable, ese puede aproximarse fácilmene. La implemenación de la écnica de precodificación descria en la sección puede conseguirse primero al codificar diferencialmene la secuencia binaria {x k } para producir la secuencia {w k } (vea los ejemplos aneriores). Después, la secuencia de pulsos {w k } se filra mediane el filro coseno de la figura 3.43 con ecuación T H e (f) sinc(/t) h e (- o ) sinc(-t/t) f -/T /T -T T Figura Filro coseno. (a) Función de ransferencia. (b) Respuesa al impulso Comparación enre las codificaciones binaria y duo-binaria La écnica duobinaria inroduce correlación enre las ampliudes de los pulsos, mienras el más resricivo crierio de Nyquis asume que las ampliudes de los pulsos ransmiidos son independienes unas de oras. Hemos demosrado que la codificación duobinaria puede exploar esa correlación conrolada para conseguir cero ISI en la ransmisión de señales, uilizando un ancho de banda más esrecho Conseguimos ese mejoramieno del desempeño sin pagar precio alguno? Casi siempre exise un compromiso involucrado. Se analizó que la codificación duobinaria requiere res niveles de ampliud, comparado con el uso de dos niveles de la codificación binaria. Recuerde la discusión de la sección 3.6, en donde comparamos el desempeño y los requerimienos de poencia de la señal para hacer decisiones PCM de ocho niveles conra las decisiones PCM de dos niveles. Para una canidad fija en la poencia de la señal, la facilidad de hacer decisiones adecuadas esa inversamene relacionada con el número de niveles que se deben disinguir en cada forma de onda. Por lo ano, no debe ser sorprendene que a pesar de que la codificación duobinaria consigue cero ISI requiriendo un ancho de banda mínimo, la codificación duobinaria ambién requiere más poencia que la codificación binaria, para un desempeño equivalene conra el ruido. Para una probabilidad de bi erróneo dada, P B, la codificación duobinaria requiere aproximadamene.5db adicionales de SNR que la codificación binaria, mienras sólo uiliza el /(+r) del ancho de banda que la codificación binaria requiere, en donde r es el facor de roll-off Codificación poli-binaria La codificación duobinaria puede exenderse a más de res dígios o niveles de ampliud, resulando en una mayor eficiencia del ancho de banda; al sisema es llamado poli-binario. Considere que un mensaje binario con dos niveles de codificación se ransforma a una señal con j niveles de codificación desde cero hasa j-. La ransformación de una señal binaria a una poli-binaria se lleva a cabo en dos eapas. Primero, la secuencia binaria original {x k }, que consise de unos y ceros binarios, se conviere en ora secuencia binaria {y k } como sigue: El dígio binario acual de {y k } se forma de la suma módulo de los (j-) dígios inmediaamene precedenes de {y k } y el dígio acual x k. Por ejemplo, sea 53 de 54

54 y k = xk yk yk yk 3 (3.9) En donde x k represena el dígio binario de enrada y y k represena el k-esimo dígio de salida codificado. Ya que la expresión involucra (j-)= 3 bis precedenes y k, exisen j=5 niveles de ampliud. A coninuación, la secuencia binaria {y k } es ransformada en un ren de pulsos polibinario {z k } al sumar algebraicamene el bi acual de la secuencia {y k } a los (j-) bis precedenes de {y k }. Por lo ano, z k modulo =x k, y los elemenos binarios uno y cero son mapeados a valores de pulsos pares e impares en la secuencia {z k }. Noe que cada dígio en {z k } puede ser deecado independienemene a pesar de la fuere correlación de bis. La venaja principal de al esquema de codificación es la redisribución de la densidad especral de la secuencia original {x k }, de manera de favorecer las frecuencias bajas, y conribuir al mejoramieno de la eficiencia del ancho de banda CONCLUSIÓN En ese capiulo hemos considerado el primer paso imporane en un sisema de comunicaciones digial: ransformar la fuene de información (exual o analógica) en una forma compaible con los sisemas digiales. Traamos con varios aspecos de muesreo, cuanización, y modulación por codificación del pulso (PCM). También consideramos la selección de formas de onda PCM para la ransmisión de señales a ravés del canal de comunicaciones. Describimos la deección de señales binarias inmersas en ruido Gausiano en érminos de dos eapas básicas. En la primera eapa, la forma de onda recibida se reduce a un número real, z(t), y en la segunda eapa se realiza la decisión acerca de su forma de onda original, al comparar z(t) con un umbral. Discuimos la mejor manera de seleccionar al umbral. Se demosró que un filro lineal conocido como filro acoplado o correlador es la mejor opción para maximizar la SNR,y por lo ano minimizar la probabilidad de error. Definimos la inerferencia enre símbolos (ISI) y explicamos la imporancia del rabajo de Nyquis que esableció el ancho de banda mínimo eórico para la deección de símbolos sin ISI. También inroducimos el concepo de codificación duo-binaria que añade una canidad conrolada de ISI para conseguir el mejoramieno de la eficiencia del ancho de banda a expensas de incremenar la poencia de la señal. 54 de 54