P(A) > 0. Para cualquier otro suceso B (B A A ), se dfi define la probabilidad condicionada de B dado A o probabilidad de B condicionada a A como

Transcripción

1 Tema 4. Probabilidad Codicioada: Teoremas básicos. Idepedecia de Sucesos 4.. Probabilidad Codicioada. Defiició El objetivo de este tema es aalizar cómo afecta el coocimieto de la realizació de u determiado suceso a la probabilidad de que ocurra cualquier otro. Ejemplo. Supogamos que u cajó hay 0 bolas blacas y 8 bolas rojas umeradas dl del al 0 y dl del al 8 respectivamete. t E ttl8 total bl bolas. Claramete si se saca ua bola al azar del cajó se peude calcular la probabilidad de ser roja y la probabilidad de ser blaca: 0 8 PB ; PR 8 8 hora, supogamos que ua vez realizado el experimeto, se cooce el color de la bola y pretedemos calcular la probabilidad de que se haya sacado u úmero determiado, por ejemplo el 7. Esta probabilidad viee dada por S "sacar u 7" /8 PSB /8 PSR P S / B = = ; P S / R = = 0 0 /8 P B 8 8 /8 P R Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro Defiició. Probabilidad Codicioada Sea (,, P) u espacio probabilístico arbitrario y u suceso ( ) tal que P() > 0. Para cualquier otro suceso B (B ), se dfi defie la probabilidad bilid d codicioada de B dado o probabilidad de B codicioada a como P B/ P B P Nota. Desde la defiició se tiee que P B PB/ P Teorema. Sea (,, P) u espacio probabilístico bilí i arbitrario i y u suceso ( ) tal que P() > 0. Etoces (,, P( )), dode P( ) es la defiida ateriormete es u espacio probabilístico. Dem. Debemos probar que P( ) es ua probabilidad (axiomas de Kolmogorov). P B. P B / 0, B P 2. P P P P / P = = Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 2

2 3. Si B, B 2,, es ua sucesió (colecció umerable o fiita) de sucesos icompatibles de, P B P B PB P B P B / = P P P P P B Dado que P( ) es ua probabilidad, verifica todas las propiedades de ua probabilidad. sí por ejemplo: / / P B/ P B/, B P BC/ P B/ P C/ P BC/, B, C E realidad, se está realizado ua trasformació del espacio muestral ya que si ha ocurrido el suceso sobre el que codicioo, o puede haber ocurrido igú resultado elemetal de, todos deberá estar e. Esto lleva a la siguiete defiició. Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 3 Defiició. Espacio de Probabilidad Codicioado Sea (,, P) u espacio probabilístico arbitrario y u suceso ( ) tal que P() > 0. Cosideremos la clase de cojutos y la fució dada por P C Etoces PC P. es ua -álgebra coteida e B B P : P 2. es ua medida de probabilidad sobre l espacio de probabilidad (,, P )sededeomiaespacio de probabilidad codicioado Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 4

3 Demostració. coteida e imediato desde defiició i ) imediato ii C C * ) (complemetario e ) * C C C C siedo el complemetario de e Como C por ser ua -álgebra etoces C iii) Sea C, B C B * C B B B dado que 2. Veamos que P es ua medida de probabilidad ) PC i P 0, C C P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 5 P ii ) P P iii ) Dados C icompatibles P C P C PC P C P C P P P Nota. Las medidas de probabilidad defiidas está relacioadas como sigue, / P B P B P B P B PC PB C, C B co B, P C PB/ P P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 6

4 Ejemplo. Se laza dos dados y se observa que la suma de los dos úmeros es impar. Cuáto vale etoces la probabilidad de ser mayor que 8? Solució. El espacio muestral viee dado por : la suma es impar B: suma mayor que 8 ={(,), (,2),, (,6), (2,),, (2,6),, (6,),,, (6,6)} Cálculo mediate el espacio probabilístico:(,, P) P B / P P P (,2),(,4),(,6),...,(6,),(6,3),(6,5) P B (3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5) 6/36 8 / 36 3 Cálculo mediate el espacio probabilístico codicioado:(,, P ) 6 P B 8 3 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro Teoremas Básicos de Probabilidad Codicioada Desde la defiició de probabilidad codicioada se tiee que P B P B/ P si P 0 P B P / B P B si P B 0 Teorema de la probabilidad compuesta o regla de multiplicació Sea (,, P) u espacio probabilístico y, 2,,, tal que etoces se tiee que P i i 0, i i i i P P P P P P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 8

5 Demostració. Claramete se tiee que Iducció : P P P desde defiició de probabilidad codicioada 2 2 Supoemos cierto para - 2 i i i i P P P P P P Demostramos el caso Pi Pi i i i i i i P P 2 i i i i P P P P P P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 9 Ejemplo. 40 jugadores e fila va extrayedo cada uo, si devolució, ua carta de ua baraja española. Gaa aquel jugador que saque el as de espadas. Calculamos a cotiuació la probabilidad de gaar que tiee cada jugador. Solució. Llamamos i : gaar el jugador i P P P P i i i2 i i P P P P P P i i i Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 0

6 Teorema de la probabilidad total Sea (,, P) u espacio de probabilidad y sea ua partició de co P(( )>0, para cualquier atural.seabu suceso cualquiera de. Etoces Demostració. P B P B P B B B B icompatibles prob. cod. PB P P B P B P B Ejemplo. Se tiee dos uras, la primera co 0 bolas blacas y 5 egras y la seguda co 5 blacas y 0 egras. Si se saca ua bola al azar e algua de las dos uras elegidas equiprobablemete, cuál es la probabilidad de ser blaca? Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro Ejemplo. Se tiee dos uras, la primera co 0 bolas blacas y 5egras y la seguda co 5 blacas y 0 egras. Si se saca ua bola al azar e algua de las dos uras elegidas equiprobablemete, cuál es la probabilidad de ser blaca? Solució. Llamamos : elegir ura, B : sacar bola blaca =,2 (es ua partició del espacio muestral) P B P B P P B P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 2

7 Teorema de Bayes (763) Sea (,, P) u espacio de probabilidad y sea ua partició de co P( ) > 0, para cualquier atural. Sea B u suceso cualquiera de. etoces Demostració. P B P P B P P B P B prob. cod. P P B B teor. prob. comp. P PB P B teor. prob. total. P P B P B P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 3 Ejemplo. Se tiee dos uras, la primera co 0 bolas blacas y 5egras y la seguda co 5 blacas y 0 egras. Si se saca ua bola al azar y resulta ser blaca, cuál es la probabilidad de que se haya sacado de la ura? Solució. Llamamos : elegir ura, B : sacar bola blaca =,2 (es ua partició del espacio muestral) P B P B P PB PB P PB P P B P Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 4

8 4.3. Idepedecia de Sucesos Sea (,, P) u espacio de probabilidad y sea co P() > 0. La ocurrecia de puede alterar la probabilidad de ocurrecia de cualquier otro suceso B. Puede ocurrir los siguietes casos.. Si P (B )) P (B) El suceso B depede del suceso i. Si P (B )> P (B) El suceso favorece al suceso B ii. Si P (B )< P (B) El suceso desfavorece al suceso B 2. Si P (B )= P (B) El suceso B es idepediete del suceso Teorema de Caracterizació de Idepedecia Sea co P() > 0. U suceso B es idepediete de siipb P PB Bid P B ] PB PB PB PB P P hip. ] P B P P B P B P P B P B Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 5 Corolario. Si dos sucesos y B tiee probabilidades de ocurrecia distitas de cero, etoces, es idepediete de B sii B es idepediete de La relació de idepedecia es simétrica Proposició. Si y B so idepedietes, etoces. y B so idepedietes 2. y B so idepedietes 3. y B so idepedietes Demostració. Bid. P B P P B P P B P P B P P B Bid 2. P B P B P B P B P B P B P P B P Bid 3. P B P P B P P B P P B P P B Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 6

9 Defiició. Idepedecia dos a dos Dado u espacio probabilístico (,, P) y ua clase de sucesos U o vacía, diremos que sus sucesos so idepedietes di dos a dos si, BU, B, y B so idepedietes Defiició. Idepedecia mutua Dado u espacio probabilístico (,, P) y ua clase de sucesos U o vacía, diremos que sus sucesos so mutuamete (completamete o totalmete) idepedietes o simplemete idepedietes si para toda subcolecció fiita de sucesos distitos de U se verifica i i i 2 k k i i 2 ik ij P P Nota. Idepedecia mutua implica dos a dos pero o el recíproco j Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 7 Ejemplo. Se laza dos dados y se cosidera los sucesos: : salir impar el primero B: salir impar el segudo C: la suma de los resultados es impar Probar qelos que scesosso sucesos so dos a dos idepedietes pero o so mtamete mutuamete idepedietes. Solució. P PB PC 2 P B P(,),(,3),(,5),(3,),(3,3),(3,5),(5,),(5,3),(5,5) P PB 4 P C P (,2),(,4),(,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6) (3 (3 (3 (5 (54)(56) P P B 4 P B C P C B P B P P B Idepedietes dos a dos 22 PBC0 PPBPC No so mutuamete idepedietes 8 Dpto. Estadística e I.O. Prof. Jua Eloy Ruiz Castro 8