APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA:

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1 INSTRUCCIONES. Llene todos los datos en letra imprenta.. Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba. 3. Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.. Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros minutos del eamen, que tenga relación con la prueba que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo. 5. Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las y las horas. 6. Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 5 Numeral del Reglamento Disciplinario de la UNEFA. 7. Cuide su redacción y ortografía. APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA: DEPARTAMENTO: Ingeniería en Petróleo SEMESTRE: III PRUEBA Nº: Revisión - ASIGNATURA: Matemática II Reparación SECCIÓN: FECHA: F 9/7/ NOMBRE DEL DOCENTE: Lcdo. Eliezer Montoya. ) Encontrar la primitiva de: 3 a) a d b) 5.sin d (.5 cada uno) ) Encuentre el área de la región limitada arriba por y = e, abajo por y = y en los lados por las rectas = y =. (Bosqueje las graficas) (.5 ptos) 3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y. y =, y = y = (.5 ptos) ) Hallar la longitud de la curva (.5 ptos) 3 y = +, Desde = hasta =3 6 5) Determinar si la integral impropia converge o no: π / cos a) d b) sin. e d (.5 pto C/U) 6) Si las dos superficies f(,y,z) y g(,y,z) es decir y = y y = 6 z se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto (,6,) ( -.5 ptos)

2 Solución:.-Encontrar la primitiva de: a) 3 a d u = a u a = = a u 3 a d = Por sustitución du = d du = d 3/ 5/ a u u a 3/ 5/ = + + C = u + u + C devolvemos la sustitución o cambio de variable hecha = ( ) = ( ) = + / 3/ / 3/ a d a u udu a u u du a u du u du 3 a 3/ 5/ a d = ( a ) + ( a ) + C 3 5 a = ( ) + ( 3 5 ) + a = ( a ) a + ( a ) + C = 3 5 a a = + 5 a C a a a a C 5a + 3a a = ( a ) a + C = ( a ) a 5 5.b) 5.sin d

3 5 u = du = 5 d 5.sin d uv vdu = dv = sin d v = cos Usando el metodo tabular: 5 5 cos u = v = cos u. ( ) v + sin 5 sin u = 5 v = sin = u. v ( ) + 3 cos 3 cos u = v = cos = u. v ( + ) sin 6 sin u3 = 6 v3 = sin 3 = u3. v3( ) cos cos u = v = cos = u. v( + ) sin sin u5 = v5 = sin 3 = u5. v5 ( ) u6 = v6 5 cos 5 sin 3 cos 6 sin cos sin S + C = C cos 5 sin 5 cos 5 sin 5 cos 5sin S + C = C 8 La integral buscada usando varias veces la técnica de integración por partes cos 5 sin 5 cos 5 sin 5 cos 5sin.sin d = C 8 cos sin = ) Encuentre el área de la región limitada arriba por y = e, abajo por y = y a lados por las rectas = y =. (Bosqueje las graficas) C

4 ( ) ( ) A = e d = e d d = En el primer término, aplicando cambio de variables: b = 3() = 3 u = 3() 3 a = = u u e e e e d du 3d = = e du = e = = du = d 3 En el segundo término, tenemos : d = = De esta manera: 3 3 e e 5 A = ( e ) d = ( e ) d d = = 5.86 ua ) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y. y =, y = y = Solución: Tenemos que esta girando sobre el eje y, por tanto: y g( y) = = f ( y) = = las rectas y =, = y = [ ( )] π [ ( )] Volumen = V = π g y dy f y dy 5 5 y y y 6 V = π dy = π dy π π π π unidades cubicas = = = =

5 3 ) Hallar la longitud de la curva y = +, Desde = hasta =3 Sol:/3 6 º Calculamos la derivada de y, con respecto a dy 3 = = = d 6 º Calculamos la longitud de la curva s, a través de: 3 dy s = + d = d Elevando al cuadrado y sumando algebraicamente fracciones ( ) + ( + ) s = + d = d = d = Desarrollando el producto notable y simplificando s = ( ) d = + d = d = d + d = Calculando ahora la integral definida: s = d + d = + = = = s = + = uni dades 3 3 3

6 5) Determinar si la integral impropia converge o no: 5A) π / cos d sin Podemos ver que para π / no esta definida la función a integrar, por tanto a cos lim d a π / sin Usamos sustitución o cambio de variables; haciendo u= -sin y du = -cosd / cos du / u / d = = u du = + C = u + C sin u / cos / d = ( sin ) + C = sin + C sin De esta manera al evaluar el límite a a cos lim d lim sin lim sin a sin a / π = = + sin a π / a π / 5B) π = sin + sin = + =. e d Apliquemos integración por partes para encontrar la primitiva recuerde la regla nemotécnica ILATE

7 . e d = uv vdu u = du = d dv = e d v = e + C. e d =. e e d dv = e d v = e + C () nuevamente integrando por partes el segundo termino de () u = du = d e d = e e d = e + e + C () sustituimos la ecuación ( ) en la ecuación (), sacando factor común e ( ). e d =. e e + e + C = e + + C Calculamos la integral impropia: e d ( ). = lim. e d = lim e + a a a a a a ( e ( a a ) ) = e ( a a ) = lim.() + lim () lim + = a = ()( + + ) = + = a a 6) Si las dos superficies f(,y,z) y g(,y,z) es decir y = y y = 6 z se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto (,6,) (Problema 5 capitulo.7 de Lehithold pts Sean f (, y, z) = + y y g(, y, z) = y + z 6 Entonces f (, y, z) = i + j k y g(, y, z) = i + j+ zk Por tanto: N = f (,6, ) = 8i + j+ k N = g(,6, ) = i + j+ k

8 Calculemos el Producto Cruz o Eterno (Producto Vectorial) de los vectores Normales, para obtener asi un nuevo vector: i j k 8 8 N N = 8 = i j + k = i j + k 8 = i j 8k ( ) ( ) ( ) En consecuencia, un conjunto de números directores de la recta tangente es (,6,), Asi la ecuaciones de la rectas buscadas,en forma escalar paramétrica = at = t = y = y bt y = 6 t y = 6 z z z ( 8) t z 8t ct = = =