CLAVE DE EXAMEN Matemática Básica 2 código de curso: 103

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Juan Lozano Escobar
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1 universidad de san carlos Facultad de Ingeniería Escuela de Ciencias Departamento de Matemática clave v CLAVE DE EXAMEN Matemática Básica 2 código de curso: 103 Datos de la clave Elaborada por: Glenda Liliana Gómez Revisada por: Lic. Gustavo Santos Datos del examen EXAMEN FINAL Segundo semestre, 2013 Jornada vespertina 6 de febrero de 2014

2 TEMARIO DEL EXAMEN Para TEMA 1 f(x) = { x + 1 x 1 3x 1 x > 1 Determine si la función f(x) es continua en 1 y si es derivable en 1. TEMA 2 a) Usando leyes o propiedades de los límites, calcular: lím x 1 x 1 b) Obtener dy dx de: [sen(xy)] 3 = Ln(e x2 x) c) Evalúe: x 3 3 x dx TEMA 3 Dos ciudades A y B van a tener su abastecimiento de agua de una misma estación de bombeo que se ubicará en la ribera de un río recto que se encuentra a 15Km de la ciudad A y a 10Km de la ciudad B. Si los puntos del río más cercanos a A y B se hallan separados por 20Km, A y B están del mismo lado del río, Dónde debe instalarse la estación de bombeo para que se necesite la menor cantidad de tubería? TEMA 4 Calcular el volumen del sólido cuya base es la región delimitada por las curvas y = x 3 y y = x, con secciones transversales que son semicírculos perpendiculares al eje y. TEMA 5 Un tanque lleno de agua tiene 3m de longitud y su sección transversal tiene forma de semicírculo con diámetro 2m en la parte superior. Planteé la integral de trabajo que se requiere para bombear toda el agua descargándola 1m arriba de la parte superior del tanque (densidad del agua 1000 kg m 3 ).

3 SOLUCIONES TEMA 1 Continuidad Haremos una gráfica para saber como se comporta la función Podemos observar que la gráfica es continua ahora debemos proceder a comprobarlo analíticamente. Si lím x 1 entonces decimos que f(x) es continua. Vamos a calcular los límites laterales: f(x) = lím f(x) = lím f(x) = f(1) + x 1 x 1 lím 3x 1 = 2 x 1 + lím x + 1 = 2 x 1 Como los límites laterales existen y son iguales decimos que el límite existe y es: lím f(x) = 2 x 1 Como último paso para saber si es continua es valuar f(x) en 1. f(1) = 2 Como f(1) = 2 y esto es igual a límite decimos que f(x) es continua en 1.

4 Derivabilidad Para saber si f(x) es derivable en 1 vamos a usar la definición de derivada: f (x) = lím x 0 f(x + h) f(x) h Para que exista la deriva en 1 es necesario que la derivada por la izquierda y por la derecha sean la misma. f (x + h + 1) (x + 1) h (x) = lím = lím x 0 h x 0 h = 1 f (3(x + h) + 1) (3x + 1) 3h (x) = lím = lím x 0 + h x 0 h = 3 Como la derivada por la izquierda y la derecha son distintas f(x) no es derivable en 1. Esto lo podemos observar en la gráfica porque existe un pico en 1. TEMA 2 Solución a) Como en el límite existe un valor absoluto tenemos: f(x) = x 1, si x 1 x + 1, si x < 1 Ahora vamos a calcular los límites laterales lím x 1 + x 1 = lím (x 1)(x + 1) x 1 + x 1 = lím + 1) = 2 x 1 +(x lím x 1 1 x = lím (x 1)(x + 1) x 1 (x 1) = lím 1) = 2 x 1 ( x dado que: lím f(x) lím f(x) x 1 + x 1 decimos que: lím x 1 x 1 no existe

5 b) Procedemos a derivar implícitamente: ahora vamos a despejar: 3 [sen(xy)] 2 (cos(xy)) ( y + x dy ) = dx dy dx = ( y + x dy ) = dx 1 ( ) (2x)e x2 1 e x2 x ( ) (2x)e x2 1 3(e x2 x) [sen(xy)] 2 (cos(xy)) ( ) (2x)e x2 1 3x(e x2 x) [sen(xy)] 2 (cos(xy)) y x c) La integral se resuelve mediante el método de sustitución: u = x = u 4 = x 2 du = 2x = 1 du = xdx 2 Integrando obtenemos: Regresando a x: Por lo que: 1 u du = 1 [ ] u 2 3 4u 1 3 du u u 5 3 3u c1 = 3 10 u 2 3 (u 10) + c (x2 + 4) 2 3 (x ) + c = 3 10 (x2 + 4) 2 3 (x 2 + 6) + c x 3 3 x dx = 3 10 (x2 + 4) 2 3 (x 2 + 6) + c

6 TEMA 3 Solución Vamos a hacer un esquema de lo que nos fue descrito en el problema: El punto O es el que puede variar según su localización y lo que queremos es encontrar el punto O que haga la menor cantidad de tubería. Para esto vamos a calcular la distancia de OA que la denotaremos t 1. Es fácil darnos cuenta que viene dado por un triángulo rectángulo. Calculamos la hipotenusa: t 1 = x 2 Lo mismo hacemos con la distancia OB que denotaremos t 2 : t 2 = (20 x 2 ) La cantidad de tubería total resulta de la suma de t 1 y t 2, entonces obtenemos: Ahora procedemos a derivar respecto x: simplificando tenemos: t(x) = x (20 x 2 ) t (x) = 1 2x x + 1 (20 x)( 1) (20 x 2 ) t (x) = x x + (x 20) (20 x 2 ) Ahora hacemos t (x) = 0 para encontrar los puntos críticos: 0 = x x + (x 20) (20 x 2 ) x (20 x) 2 + (x 20) x (20 x 2 ) x 2 = 0

7 Vamos a resolver la ecuación, el denominador lo pasaremos del otro lado de la ecuación. Dejamos una raíz de cada lado de la ecuación: x (20 x) 2 + (x 20) x 2 = 0 x (20 x) 2 = (x 20) x 2 Elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación: Expandemos los binomios: Hacemos álgebra: Reuniendo los términos semajantes: x 2 (100 + (20 x) 2 ) = (x 20) 2 (225 + x 2 ) x 2 ( x + x 2 ) = (x 2 40x + 400)(225 + x 2 ) 500x 2 40x 3 + x 4 = 225x x x 4 40x x 2 Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos: 125x x = 0 x = 12, x = 60 Nos damos cuanta que 60 es una solución extraña porque al sustituir en la ecuación no se cumple la igualdad, por lo que no es solución a nuestro problema. Para establecer si es mínimo usamos el criterio de primera derivada. (También se puede usar el criterio de segunda derivada) Para saber si 12 es el mínimo global debemos obtener el dominio y nos damos cuenta que el dominio de t(x), t (x) es todos lo números reales. Ahora valuamos en la primera derivada un punto antes de 12 y uno después de 12. Si hay cambio de signo de menos a más es un mínimo. Vamos a calcular t (0) y t (13): t (13) = t (0) = 2 5 = 0, = 0, Nos damos cuenta que si existe el cambio de signo de a + entonces es mínimo. Respuesta: La estación de bombeo debe colocarse a 19,2094Km del pueblo A y del pueblo B a 12,8062Km. (Nota: esto se saca sustituyendo 12 en t 1 y t 2 ).

8 TEMA 4 Solución Para ayudarnos a visualizar haremos una gráfica: El área de la secciones semicírculares vienen dadas por: Donde el radio es: A = πr2 2 El diferencial de volumen queda: r = (y2 y 1 3 ) 2 8 dv = π (y2 y 1 3 ) 2 dy 8 Falta encontrar los límites de integración, esto se hace mediante a los puntos de intersección. Para encontrar los puntos de intersección: Hay que resolver la ecuación anterior: La solución de los puntos de intersección son: y 2 = y 1 3 = y 2 y 1 3 = 0 y 1 3 (y 5 3 1) = 0 y = 0, y = 1 Ahora conocemos nuestros límites de integración y la integral que describe el volumen queda: V = 1 0 π (y2 y 1 3 ) 2 dy = π (y 4 2y y 3 )dy

Integrando tenemos: V = π 8 Evaluando los límites de integración tenemos: El volumen queda como: V = π 8 [( 1 5 y5 3 )] 5 y 10 3 1 3 + 5 y 5 3 ( 1 5 3 5 + 3 ) 5 0 V = π 40 = 80,0785398 unidades

agua y dv es el diferencial de volumen. La gravedad en el sitema internacional es de 9,8 m s 3 y la densidad es ρ = 1000 kg m 3. s = 2 h, h es la altura de cada diferencial desde la base del tanque.

9 Integrando tenemos: V = π 8 Evaluando los límites de integración tenemos: El volumen queda como: V = π 8 [( 1 5 y5 3 )] 5 y y 5 3 ( ) 5 0 V = π 40 = 80, unidades cúbicas 0 TEMA 5 Solución Ver la figura que se muestra: El diferencial de trabajo viene dado por dw = (ρgs)dv, donde ρ es la densidad, g es la gravedad, s la distancia que recorre el diferencial de agua y dv es el diferencial de volumen. La gravedad en el sitema internacional es de 9,8 m s 3 y la densidad es ρ = 1000 kg m 3. s = 2 h, h es la altura de cada diferencial desde la base del tanque.también tenemos que saber que se relaciona con que se quiere bombear 1 metro hacia arriba y como el diámetro del semicírculo es 2, el radio es 1, entonces cada diferencial se mueve 1 h. Por lo que s = h.

10 dv = 2(3) 1 (1 h) 2 dh, recordemos que el diferencial de volumen viene por el espejo de agua. El espejo de agua en este caso es un rectángulo. El lado largo es 3. El lado más pequeño es la mitad del semicírculo (esto se puede obtener por Pitágoras o la ecuación del círculo) 1 (1 h) 2 y por simetría se multiplica por 2. Y el dh es el grosor de cada diferencial. Para los límites de integración debemos saber que en este tipo de problemas varia donde ponemos el nivel de referencia. En este caso se lo pondremos en la parte de abajo del taque. También debemos tener claro que solo podemos integrar donde existe agua. Entonces nuestros límites son de 0 a 1. (0 es por el origen de nuestro nivel de referencia y 1 por el diámetro del semicírculo y porque el tanque está lleno). W = (9,8)(1000) 1 0 2(3)(2 h) 1 (1 h) 2 dh = (2 h) 2h h 2 dh Nota: Está integral se resuelve por métodos de integración que se darán a conocer en el curso posterior.

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