JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS. cos (x) 1, si x < 0 x 2, si x 0. arcsen( x) + 1 x x 2

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1 Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Matemáticas I (MA1111) er Eamen Parcial (5 %) Abr-Jul 016 Turno: 7-8 Duración: 1 ora 50 minutos JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS 1. (6 pts.) Dada la función f() = { cos () 1, si < 0, si 0 alle f (0) y f (0).. (5 pts.) Calcule la derivada de la función f() = ( 1 ) arcsen( ) + 1. (4 pts.) Si y está definida implícitamente en terminos de mediante la ecuación y + cos (y ) + = 4, alle dy d. 4. (10 pts.) Dada la función f() = + + 4, alle: (a) Asíntotas (verticales, orizontales y oblicuas); (b) Puntos críticos; (c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; (d) Intervalos de concavidad; (e) Puntos de infleión; 5. (4 pts.) Haga el bosquejo de una función, continua y derivable en todo su dominio, que cumpla con las siguientes condiciones: Posee asíntota orizontal y = cuando tiende a ; 0 0 f() = y f() = ; + Posee asíntota oblicua y = + cuando tiene a ; Es creciente en ( 4, ) y en (0, ); Es decreciente en (, 4) y en (, 0); Posee un máimo local en el punto A(, 4) y un mínimo local en el punto B( 4, 0); Es cóncava acia arriba en ( 5, ); Es cóncava acia abaja en (, 5), en (, 0) y en (0, ); Posee puntos de infleión en los puntos C( 5, 1) y D(, ); 6. (6 pts.) Determine las dimensiones del rectángulo (cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados) de mayor área inscrito en el circulo de radio 1 (centrado en el origen).

2 Solución: 1. Dada la función cos () 1, si < 0 f() =, si 0 alle f (0) y f (0). Como tenemos una función a trozos que se separa en = 0, debemos derivar usando la definición. Por la izquierda: f( + ) f() cos( + ) 1 (cos() 1) = = 0 cos() cos() sin() sin() cos() = 0 cos()(cos() 1) sin() sin() cos()(cos() 1) sin() sin() = cos() 1 sin() = cos() sin() 0 } {{ } Límite notable = cos()(0) sin()(1) = sin() }{{} Límite notable Por la dereca: f( + ) f() 0 + = 0 + ( + ) + + = 0 + ( + ) = 0 + = = + 0 = Evaluamos ambas derivadas en = 0: f (0) = sin(0) = 0 f (0) + = (0) = 0 Como ambas derivadas son iguales, tenemos que f (0) eiste y es igual a 0. Para allar f (0) usamos el mismo procedimiento: Por la izquierda: f ( + ) f () sin( + ) ( sin()) = sin() cos() cos() sin() + sin() = = 0 sin()(1 cos()) cos() sin() sin()(1 cos()) cos() sin() = (1 cos()) sin() = sin() cos() 0 } {{ } Límite notable = sin()(0) cos()(1) = cos() }{{} Límite notable Por la dereca: f ( + ) f () 0 + = 0 + ( + ) = = = 0 + = 0 +

3 Evaluamos ambas derivadas en = 0: f (0) = cos(0) = 1 f (0) + = Como ambas derivadas son distintas, f (0) no está definido.. Calcule la derivada de la función f() = ( 1 ) arcsen( ) + 1 ( ( f () = 1 ) arcsen( ) ) + 1 ( ( = 1 ) arcsen( ( 1 )) + ) ( = 1 ) arcsen( ( ) + 1 ) (arcsen( )) + 1 ( = arcsen( ( ) + 1 )( )( ( ) = arcsen( ( )( ) 1 1 ) = arcsen( ( ) + 1 ) = arcsen( ) 1 )( ) ) 1. Si y está definida implícitamente en terminos de mediante la ecuación y + cos (y ) + = 4, alle dy d. (y + cos (y ) + ) = (4) y sin(y )(y + yy ) + 6 = 0 y y sin(y ) yy sin(y ) = 6 y (1 y sin(y )) = y sin(y ) 6 y = y sin(y ) 6 1 y sin(y ) 4. Dada la función f() = + + 4, alle: Asíntotas (verticales, orizontales y oblicuas); Para allar las asíntotas verticales, analizamos el ite de la función cuando ésta se acerca a un que anula el denominador. En este caso, = 0 asi que si los ites laterales tienden a o en dica, ay una asíntota vertical en dico punto:

4 Entonces ay una asíntota vertical = = (0) = = = (0) = 4 0 = Para allar las asíntotas orizontales, comprabamos si el ite de la función cuando y tienden a un valor = = = = = = = = = 1 0 = 4 0 Como ambos tienden a infinito, tenemos que la función no tiene asíntotas orizontales. (Nota: Podíamos determinar que la función no tenía asíntotas orizontales al notar que el grado del numerador es uno más que el del denominador). Para allar las asíntotas oblícuas, tenemos que la pendiente de la asíntota viene dada por: f() m = = = = = = = 1 Para allar el punto de corte con el eje y: b = (f() m) = 1 = = = 0 = = 1 Si evaluamos cuando, tendremos el mismo resultado (pues el resultado tanto de la pendiente como de la intersección con el eje y no dependen del signo de los ceros), por lo tanto la función tiene una asíntota oblícua de la forma y = Puntos críticos; La función no tiene puntos fronterizos, pues está definido R {0}, y no en un intérvalo. Derivamos la función una vez para conseguir puntos estacionarios y singulares.

5 ( f () = ) = ( + + 4) ( ) ( + + 4)( ) ( ) = ( + )( ) ( + + 4)(4) 4 4 = = = ( 8) 4 4 = 8 Para allar puntos estacionarios, igualamos el denominador a 0: 8 = 0 = Entonces ay un punto estacionario cuando =. Notamos que la f () no está definida en = 0, entonces tiene un punto singular cuando = 0. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; Sabemos, por el requisito anterior que el punto de corte de la derivada de la función es cuando =, = 0, entonces acemos cementerio de casos: (, 0) (0, ] [, ) Entonces la función es decreciente (0, ] y creciente (, 0) [, ). Intervalos de concavidad; Para allar la concavidad debemos allar f ():

6 ( f 8 () = ) = ( 8) ( ) ( 8)( ) ( ) = ( )( ) ( 8)(6 ) 4 6 = = 1 4 Notamos que la derivada segunda SIEMPRE es positiva. Entonces la función es concava acia arriba en todo su dominio. Puntos de infleión; Como la derivada segunda jamás se ace 0, entonces la función no tiene puntos de infleión. 5. Haga el bosquejo de una función, continua y derivable en todo su dominio, que cumpla con las siguientes condiciones: Posee asíntota orizontal y = cuando tiende a ; 0 0 f() = y f() = ; + Posee asíntota oblicua y = + cuando tiene a ; Es creciente en ( 4, ) y en (0, ); Es decreciente en (, 4) y en (, 0); Posee un máimo local en el punto A(, 4) y un mínimo local en el punto B( 4, 0); Es cóncava acia arriba en ( 5, ); Es cóncava acia abaja en (, 5), en (, 0) y en (0, ); Posee puntos de infleión en los puntos C( 5, 1) y D(, ); Una posible gráfica sería:

7 6. Determine las dimensiones del rectángulo (cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados) de mayor área inscrito en el circulo de radio 1 (centrado en el origen). Dibujamos el problema para visualizarlo mejor: Sea a, b, la longitud de los lados de un rectángulo. El área de un rectángulo viene dada por: A = ab Dado que el rectángulo está centrado en un circulo, su diagonal será el diametro del círculo. Sabemos que la diagonal de un rectángulo viene dada por el teorema de Pitágoras: d = a + b Como la diagonal viene dada por el diametro (diametro = r = ), sustituimos: = a + b

8 Despejando, tenemos que: a = 4 b Sustituyendo en la fórmula de area: A = ( 4 b )b Aora derivamos con respecto a b para allar el área máima: A = (b ( 4 ( 4 ) ( ) 4 b ) = b ) b + b b = b b + 4 b 4 b = b + 4 b = 4 b = ( b ) 4 b 4 b 4 b 4 b Notamos que la derivada se anula cuando b = ±. Como los lados deben ser positivos (pues un rectángulo con lados negativos no tiene sentido), tenemos que el área es máima cuando b =. Para allar el valor del lado a, sustituimos en la ecuación de la diagonal: = a + 4 = a + a = Entonces el rectángulo con mayor área inscrito en un circulo de radio 1 es un cuadrado con lados de longitud. Este material fue digitalizado por Jean Franco Gómez para GUIAS USB. Jean Franco Gómez Ingeniería de la Computación gecousb.com.ve Instagram: gecousb Se agradece notificar cualquier error de tipeo o en las respuestas y qué debería decir a la dirección gecousb@gmail.com