APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA: III- ASIGNATURA: Matemática II -

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS INSTRUCCIONES 1. Llene todos los datos en letra imprenta.. Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba. 3. Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar. 4. Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del eamen, que tenga relación con la prueba que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo. 5. Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las las horas. 6. Absténgase de consultar a sus compañeros, a que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45 Numeral 10 del Reglamento Disciplinario de la UNEFA. 7. Cuide su redacción ortografía. APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA: DEPARTAMENTO: Ingeniería de petróleo PRUEBA: Versión 01 (ponderación 15%) ASIGNATURA: Matemática II - SEMESTRE: III- Desarrollo. lim (ptos) 1) Evaluar (, ) (1, ) SECCIÓN: F NOMBRE DEL DOCENTE: Lcdo. Eliezer Montoa ) Sea f (, ) e + ln calcular la derivadas parciales f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) f (, ) f (, ), (5Ptos) e 3) Supongamos que z dz dz demostrar que. 0 (3 ptos) + d d 4) Calcule el valor de la derivada direccional en el punto P 0 (1,3,) para la función f (,, z) ln ( + + z ) en dirección del vector Unitariou i j k -Problema 0 capitulo 1.6 de Lehithold (3ptos) 5) Obtenga la ecuación de la recta normal el plano tangente a la superficie 1/ + 1/ + z 1/ 4 en el punto P 0 (4,1,1) --Problema 9 capitulo 1.7 de Lehithold (3 pts) 6) Si las dos superficies f(,,z) g(,,z) es decir + z 8 z la recta tangente a la curva de intersección en el punto (,-,0) (Problema 13 capitulo 1.7 de Lehithold (4 pts) + se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de FECHA 16/07/010

2 Solución: 1) Evaluar ( ) lim (1) + 3(1)( ) ( ptos) (, ) (1, ) ) Sea f (, ) e + ln calcular la derivadas parciales f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) f (, ) f (, ), (5Ptos) Tenemos: 1 f1(, ) f (, ) e + e + (, ) (, ) f ln f e + d f (, ) f (, ) e + 0 d 11 d 1 f1(, ) f (, ) e + e + d d 1 f1(, ) f (, ) ( e + ln ) e + f1 (, ) d (, ) (, ) d f f ( ln ) 0 e + e + e d 3) Supongamos que z e + + dz dz demostrar que. 0 (3 ptos) d d + e z aplicando la derivada de un cociente de funciones + ( ) dz e. +. e e + 1 d + +

3 Usando un cambio de variable dt d t + dt d t du t u e e dt dv v t 1 dt du dt dv dt t +. v u u e e dz z dt d dt d v t + d t Llegamos a la respuesta anterior; verifícalo. + e z aplicando la derivada de un cociente de funciones + sacando un factor común nos queda: ( ) dz e. +. e e + 1 d + + dz dz Queremos demostrar que. 0 d d Multiplicando fraciones algebraicas simplificando: + ( + ) + + e + 1 e e + 1 ( + ) + e + 1 0

4 4) Calcule el valor de la derivada direccional en el punto P 0 (1,3,) para la función f (,, z) ln ( + + z ) en dirección del vector Unitariou i j k (3 ptos) Solución: 1º.Calculemos el gradiente: f (,, z) f (,, z)i + f (,, z) j + f (,, z)k z las derivadas parciales de la función vienen dadas por: f (,, z) + + z Si f (,, z) ln ( + + z ) f (,, z) + + z z f z (,, z) + + z z f (,, z) i + j+ k + + z + + z + + z Al evaluar el gradiente en el punto P 0 1,3, obtenemos el vector: (1) (3) () f (1,3, ) i + j+ k (1) + (3) + () (1) + (3) + () (1) + (3) + () i + j+ k i + j+ k i + 3j+ k Ahora podemos calcular la derivada direccional del vector unitario u con respecto a el vector gradiente encontrado: Du. f (,, z) ( i j k ). ( i + 3j+ k) ( 1 3 ) ) Obtenga la ecuación de la recta normal el plano tangente a la superficie 1/ + 1/ + z 1/ 4 en el punto P 0 (4,1,1) (3pts) 1º.Calculemos el gradiente:

5 f (,, z) f (,, z)i + f (,, z)j + f (,, z)k z las derivadas parciales de la función vienen dadas por: 1 f (,, z) 1/ 1 f z + + z f z 1/ 1 f z (,, z) 1/ z f (,, z) i + j+ k i + j+ k 1/ 1/ 1/ z z 1/ 1/ 1/ Si (,, ) 4 (,, ) Al evaluar el gradiente en el punto P0 4,1,1 obtenemos el vector normal : N f (4,1,1) i + j + k i + j + k ( i + j + k) º.La ecuación del plano tangente viene dado por el producto interno o punto de: f (,, z ). ( )i + ( ) j + ( z z )k 0 [ ] ( f 0 0 z0 f 0 0 z0 f z 0 0 z0 ) [ 0 0 z z0 ] (,, )i + (,, )j + (,, )k. ( )i + ( ) j + ( )k 0 f (,, z )( ) + f (,, z )( ) + f (,, z )( z z ) z Nos quedaría así: f [ + + z ] [ z ] (4,1,1). ( 4)i ( 1) j ( 1)k 0 i + j+ k. ( 4)i + ( 1) j + ( 1)k 0 ( 4) + ( 1) + ( z 1) z z 8 [ ] f (4,1,1). ( 4)i + ( 1)j + ( z 1)k 0 1 ( i + j + k ). [ ( 4)i + ( 1)j + ( z 1)k ] ( 4) + ( 1) + ( z 1) z 1 0 mc.. m.(4,,1) z z z 8

6 3º -La ecuación de la recta Normal al plano en el punto P 0 (X 0, Y 0, Z 0 ) viene dada por : ( 0 ) ( 0) ( z z0) f (,, z ) f (,, z ) f (,, z ) z ( 4) ( 1) ( z 1) 1 6) Si las dos superficies f(,,z) g(,,z) es decir z + 8 z recta tangente a la curva de intersección en el punto (,-,0) (4pts) + se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la Vea el a ejemplo Número 3 de la pagina de Lehithold. Louis (1998) El calculo 7ed.Vamos a generalizar para este problema Sean f (,, z) + z 8 g(,, z) + z + Entonces f (,, z) i + j k g(,, z) i j + zk Por tanto: N1 f (,, 0) 4i 4 j k N g(,, 0) i + 4 j+ 0k Calculemos el Producto Cruz o Eterno (Producto Vectorial) de los vectores Normales, para obtener asi un nuevo vector:

7 i j k N N i j + k i j k i j+ 0k En consecuencia, un conjunto de números directores de la recta tangente es (4,-1,0), Asi las ecuaciones de las rectas tangentes son: ( ) ( + ) ( z 0) ( ) ( + ) z Visualicemos en el espacio R 3 (usando el graficador derive 6.0); tenemos: + z 8 z + 8

8 z z + Ambas superficies.vemos que se cortan

9 El plano Tangente seria 4-+0z 10 Con un nuevo acercamiento

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