EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 206MATEMÁTICAS II. SEPTIEMBRE 2017

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1 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 06MATEMÁTICAS II. SEPTIEMBRE 07 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestionesde una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni querealicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en queestán enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellascuestiones que le resulten más sencillas. 4 CUESTIÓN A.: Considere las matrices A y B 0. a) [,5 puntos] Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calculesus correspondientes matrices inversas. b) [ punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB A B. CUESTIÓN A.: Considere la recta r que pasa por los puntosa = (,, ) y B = (,, 4) y la recta s v,, y pasa por el punto C = (4, 0, ). cuyo vector director es a) [ punto] Determine las ecuaciones continuas de las rectas r y s. b) [,5 puntos] Estudie la posición relativa de r y s. CUESTIÓN A.: Calcule los siguientes límites: a) [ punto] lim. b) [ punto] lim ln. CUESTIÓN A.4: cos sen a) [,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida d. sen b) [0 5 puntos] Obtenga una primitiva F de la función F. cos sen sen que cumpla la condición CUESTIÓN A.5:[ punto] En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 0% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 0% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar, Cuál es la probabilidad de que estudie robótica? de 7

2 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en queestán enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellascuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN B.: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: a y z ay z y az a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro ael sistema tiene soluciónúnica. No hay que resolverlo. b) [,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro ael sistema tiene infinitas solucionesy resuélvalo en ese caso. c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro ael sistema no tiene solución. CUESTIÓN B.: Considere los puntos A= (,,), B= (,,0) y C= (0,,). a) [,5 puntos] Calcule el área del triángulo ABC. b) [,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC. CUESTIÓN B.: Dada la función f ( ) e se pide: a) [0,5 puntos]calcular lim f( ) b) [,5 puntos] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los etremos relativos de la función. CUESTIÓN B.4: [ puntos]calcule la siguiente integral indefinida d. ln CUESTIÓN B.5:[ punto]sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P A, P A B. Calcule: P A B, P A B, PB / A 5 7 P B,. (Donde, si C y D son sucesos C denota el suceso complementario de C y P(C/D) denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D). de 7

3 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia SOLUCIONES Este documento es largo porque algunos ejercicios aparecen resueltos de distintas formas. Dando la posibilidad de comprobar qué método resulta más ventajoso en cada caso. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. 4 CUESTIÓN A.: Considere las matrices A y B. 0 a) [,5 puntos] Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas. b) [ punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB A B. a) A B por lo que la matriz A es invertible 0 0 por lo que la matriz B es invertible 0 Una forma de hallar las inversas: T Adj Adj A 4 4 / A A / B T Adj Adj B / B Otra forma de hallar las inversas es con el método de Gauss-Jordan: A Fila ª - Fila ª Fila ª Fila ª - Fila ª Fila ª Fila ª / / Fila ª A 0 0 / / 0 Fila ª - Fila ª Fila ª 0 Fila ª + Fila ª Fila ª B Fila ª / 0 / B - Fila ª 0 0 b) Una forma de resolverlo es: de 7

4 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia AXB A B X A A B B / 4 0 / / / X / 0 / 5 / 6 0 / / 0 / / 5 / / 5 / 5 / / / / / / 0 La matriz pedida es / 5 / X / 0 Otra forma de resolverlo es: AXB A B X A A B B X A A A B B Id A B B B A BB B A Asi el cálculo de la matriz X es tan sencillo como sumar las dos matrices inversas: / 0 / / 5 / X / / 0 La matriz pedida es / 5 / X / 0 CUESTIÓN A.: Considere la recta r que pasa por los puntos A = (,, ) y B = (,, 4) y la recta s v,, y pasa por el punto C = (4, 0, ). cuyo vector director es a) [ punto] Determine las ecuaciones continuas de las rectas r y s. b) [,5 puntos] Estudie la posición relativa de r y s. a) b) La ecuación de la recta r se obtiene: A,, A,, y z B,, 4 u AB,, La ecuación de la recta s se obtiene: C 4, 0, 4 y 0 z v,, Una forma de hacerlo Los vectores directores de las rectas no son proporcionales: Para ver si se cortan o se cruzan, consideremos los vectores directores de cada una de las rectas y el vector que va de un punto de r a otro de s. Estudiemos si son independientes o dependientes entre sí. u,, v,, w AC 4, 0,,,,, 4 de 7

5 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia Los vectores son dependientes entre si, y por tanto son coplanarios. Es decir las rectas se cortan. Solución Las rectas se cortan. Otra forma de hacerlo Las rectas no son paralelas, ya que los vectores directores de las rectas no son proporcionales: Luego solo pueden cortarse o cruzarse. Se cruzan o se cortan? Resolvamos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas y averigüemos si tienen o no punto de corte. y y z z 4 4 y 0 z 4 y z 5 5 Eiste punto de corte y es: y z 4 P,, 4 4 y z 4 Las rectas se cortan Una tercera forma de resolverlo es estudiando los rangos de las ecuaciones de las rectas como intersección de planos. 5 de 7

6 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia y y z y z y y 0 y z y z 4 y 0 z 4 y0 y y y z 9 y z 9 y0 z Con estas 4 ecuaciones formamos un sistema cuya matriz de coeficientes es: * 0 M y la ampliada M Estudiamos el rango de dichas matrices. Dado que: (0 0 ) 8 0 tenemos que rango (M)=. 0 * Para hallar el rango de M, ( 9 54) * Por tanto el rango(m ) rango(m). Las rectas son pues secantes (siendo su intersección un único punt o) Las rectas se cortan CUESTIÓN A.: Calcule los siguientes límites: a) [ punto] b) [ punto] lim. lim ln. a) 4 lim lim lim 4 lim lim e e e e e 4 6 de 7

7 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia b) Una forma de hacerlo ln 0 lim lim Aplico L'Hopital lim ln ln 0 ln ( ) 0 lim lim Aplico L'Hopital lim ln ln 0 ln lim ln Otra forma de hacerlo ln 0 lim lim Aplico L'Hopital lim ln ln 0 ln ( ) 0 Aplico L'Hopital lim 0 ( ) ( ) CUESTIÓN A.4: a) [,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida cos sen d. sen b) [0 5 puntos] Obtenga una primitiva F de la función condición F. cos sen sen que cumpla la a) Realicemos el cambio de variable: sen t cos d dt cos sen t t t d dt dt dt dt sen t t t t dt arctgt t arctgt sen arctg( sen) C 7 de 7

8 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia b) Siendo F( ) sen arctg( sen) C Como F sen arctg( sen ) C arctg() C C C 4 4 y por tanto F( ) sen arctg( sen) 4 CUESTIÓN A.5: [ punto] En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 0% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 0% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar, Cuál es la probabilidad de que estudie robótica? Una forma de hacerlo De 0 alumnos 65 estudian Inglés, 0 estudian Alemán y =5 estudian Francés. Robótica estudian el 0% de 65 alumnos (estudian inglés) '5 alumnos de los 0. 0 Robótica estudian el 50% de 0 alumnos (estudian alemán) 50 0 alumnos de los 0 0 Robótica estudian el 70% de 5 alumnos (estudian francés) 70 5 '5 alumnos de los 0 0 Por lo tanto, estudian robótica =40 alumnos de los 0 iniciales. 40 % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar. Otra forma de hacerlo Llamemos I, A y F a los sucesos estudiar inglés, alemán y francés, respectivamente. R será el suceso estudiar robótica. De los datos del enunciado obtenemos Y además P(I)=0 65 P(A)=0 P(F)=0 5 P(R/I)=0 P(R/A)=0 5 P(R/F)=0 7 Gracias al teorema de la probabilidad total, dado que los sucesos I, A y F son independientes, tenemos: P(R)=P(R/I) P(I)+P(R/A) P(A)+P(R/F) P(F) 8 de 7

9 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia P(R) = P(R) = P(R) = % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar. Otra forma de hacerlo Con diagrama de árbol: 0 0 Robótica Inglés No Robótica 0 0 Alemán 0 50 Robótica No Robótica 0 5 Francés 0 70 Robótica No Robótica La probabilidad pedida es la suma de las tres probabilidades que favorecen que se elija un alumno de robótica: = % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar. 9 de 7

10 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN B.: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: a y z ay z y az a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro ael sistema tiene solución única. No hay que resolverlo. b) [,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro ael sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro ael sistema no tiene solución. Vamos a discutir el sistema y luego indicamos la respuesta a cada apartado del ejercicio. a y z El sistema ay z tiene asociado la matriz de los coeficientes M: y az a M a con determinante a a M a a a a a a a Como es de tercer grado, lo resolvemos por Ruffini 0 6 a M a a Y el polinomio a a 4 0, se resuelve como ecuación de grado, 6 a 4 ( 4) 6 4 obteniendo la solución a = 4 6 a 4 A partir de esta información surgen los siguientes casos: Caso º a, a El sistema es compatible determinado (tiene solución única) ya que el rango de la matriz de los coeficientes es al igual que el rango de la matriz ampliada. Caso º a= de 7

11 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia La matriz de los coeficientes queda M que tiene rango, ya que las columnas son proporcionales. * Y el rango de la matriz ampliada M es ya que el determinante del menor de orden siguiente es no nulo, 0 Rango M Rango M * el sistema es incompatible (sin solución) Caso º a= La matriz de los coeficientes queda M 4 que tiene rango, ya que el determinante * Y la matriz ampliada M 4 tiene rango ya que el menor de orden * Por tanto rango(m) = = rango(m ) y el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) a) Para a, a el sistema tiene una única solución b) Para a = el sistema tiene infinitas soluciones. Resolvemos el sistema para este caso. Una forma de resolverlo Utilizamos el método de Gauss y z y z Ecuaciónª Ecuaciónª 4y z 4y z y z 6y z 5 y z y z Ecuaciónª Ecuaciónª Ecuaciónª Ecuaciónª 6y z 5 6y z 5 6y z Despejando: 5 6y De la ª ecuación z = 5 6y y 6y De la ª ecuación y 6 6y 5 6y 6 de 7

12 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia 6y La solución es y y 5 6y z = Otra forma de resolverlo Utilicemos el método de Cramer y z 4y z Como es SCI, le quitamos una ecuación que es redundante, la ª y z y z pasamos la incógnita y al º miembro de las ecuaciones 4y z z y z 4y y La matriz asociada al sistema es 4y Las soluciones del sistema son: y 4y y 4y 6y 6y y 4y 4 8y y 5 6y 5 6y z 6 6y La solución es y y 5 6y z = c) Para a = el sistema no tiene solución. Comprobado con anterioridad. CUESTIÓN B.: Considere los puntos A= (,, ), B = (,, 0) y C= (0,, ). a) [,5 puntos] Calcule el área del triángulo ABC. b) [,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC. a) El área del triángulo de vértices A= (,, ), B = (,, 0) y C= (0,, ) se obtiene con la fórmula: de 7

13 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia AB AC Área Calculemos el valor de los vectores y de su producto vectorial A (,, ) i j k AB 0,, B (,, 0) AB AC 0 AC,,0 C ( 0,, ) 0 j (k i) i j k,, AB AC Área u b) Una forma de hacerlo La recta pedida tiene una ecuación definida por dos planos: el plano π que contiene a los puntos A, B y C, y el plano πque pasa por A y tiene como vector normal al vector BC. Ecuación de π A (,, ) y z D 0 D 0 n ABAC= (,, -) Pasa por A (,, ) 4 D 0 D 4 : y z 4 0 Ecuación de π A (,, ) y z D 0 D 0 n BC= (0,, ) (,, 0),, Pasa por A (,, ) D 0 D : y z 0 La recta pedida es la intersección de los planos: y z 4 0 r : y z 0 Otra forma de hacerlo Como la recta pedida está contenida en el plano ABC, debe ser perpendicular a su vector normal y además es perpendicular al vector BC. El vector director de la recta se puede obtener haciendo el producto vectorial de ambos vectores ( BC y n ). El vector normal al plano ABC es el vector n AB AC,, y el vector BC ( 0,, ) (,, 0 ),, i j k vr n BC i j k k j i i 5 j 4k v, 5, 4 r La ecuación de la recta la obtenemos: de 7

14 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia A (,,) y z r : v, 5, r Otra forma de hacerlo Para hallar la ecuación de la recta pedida necesitamos el vector director de la misma (u ), que nos dicen está en el plano (es por tanto perpendicular al vector normal del plano) y es perpendicular al vector BC. Como el producto vectorial hallado antes es un vector normal al plano AB AC,, n Se debe cumplir: u n 0 a, b, c,, a b c 0 u BC 0 a, b, c,, a b c 0 Resolviendo queda c = a + b a b a b a b a b 0 a a 5a b 0 b 5a b 5 a u a, 5 a, 4a c a b a 5a 4a u, 5, 4 Asignemos el valor al parámetro y obtenemos el vector director Por lo tanto la recta pedida tiene como ecuación: A (,, ) y z r : u, 5, CUESTIÓN B.: Dada la función f ( ) e se pide: a) [0,5 puntos] Calcular lim f( ) b) [,5 puntos] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los etremos relativos de la función. lim ( ) lim 0 lim ' lim 0 e e a) f e L Hopital b) Calculemos la derivada de f() e igualemos a 0 f ( ) e f '( ) e e e e e e 0, No tiene solución f '( ) 0 e 0 0 Veamos que ocurre en cada intervalo de la recta real que surge antes, entre y después de los dos puntos obtenidos. 4 Si < entonces sustituyendo por ejemplo = se obtiene f '( ) e 8 0 Si < < entonces sustituyendo por ejemplo = 0 se obtiene 0 f '(0) e de 7

15 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia Si 4 < entonces sustituyendo por ejemplo = se obtiene f e Por lo tanto, f() es decreciente en,. De aquí se deduce que f() presenta un mínimo relativo en CUESTIÓN B.4: [ puntos] Calcule la siguiente integral indefinida Calcularemos la primitiva usando integración por partes. u ln( ) du d dv d v d Aplicando la fórmula ln d ln( ) d ln( ) ln( ) '() 8 0,, y es creciente en el intervalo d arctg C y un máimo relativo en ln d. CUESTIÓN B.5: [ punto] Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P A, P A B. Calcule: P A B, P A B, PB / A 5 7 P B,. (Donde, si C y D son sucesos C denota el suceso complementario de C y P(C/D) denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D). Una forma de hacerlo Como A B A B Entonces P( A B) P( A B) 5 de 7

16 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia Por tanto 9 P A B P( AB) Como P P P Despejando A B P( A) P( B) A B A B 4 P AB 5 P( A B) PB / A PB/ A 5 PA ( ) 5 Otra forma de hacerlo 6 5 Construyamos la tabla con los datos proporcionados P A, B B Completamos la tabla, primero lo de color magenta y luego el resto: A 6 A 7 7 P B, P A B Mirando en la tabla: P AB Como 4 5 B B A 4 6 A P A B P( A) P( B) P A B P A B / PB/ A 6 / 6 Otra forma de hacerlo 6 4 Como P A P A Es decir, que si el TODO tiene elementos 4 pertenecen al 5 conjunto A 6 de 7

17 EBAU Septiembre 07 Matemáticas II en Murcia 7 Como PB PB Es decir, que si el TODO tiene elementos pertenecen al conjunto B. Entonces la parte común a A y B es elemento. Entonces hay elemento que no está ni en A ni en B. Como P A B Entonces quedan elementos en A que no están en B y que por tanto están en B. Es decir hay elementos que están en B y no en A. elementos de B que no están en A y que por tanto están en A. Es decir hay elementos que están en A y no en B. Como el TODO es, deben de haber 4 elementos en la intersección de A y B (la parte sombreada). Por tanto P y P AB AB 9 4 Para calcular la probabilidad condicionada, reducimos nuestro TODO a solamente A (damos por realizado el suceso A), es decir solo contamos con 4 + = 6 elementos, de los cuales son favorables a que ocurra el contrario de B solamente los que están en la parte de A que no está sombreado (). Por lo tanto: P B/ A 6 7 de 7