FUNCIONES DE. 1.- Determinar y representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones: a) f (x) = x 2 16 b) f (x) = x 2 1.

Transcripción

1 FUNCIONES DE n EN m Nota: se entenderá log log0 = y ln = log e - Determinar y representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones: a) f () = 6 b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = e + g) f () = + + h) f( ) = ln( 4) i) f( ) = ln + + j) f( ) = ln( + ) + ln( ) k) f (,y) = + y l) f (,y) = + y + y m) f (,y) = y n) f (,y) = y o) f(, y) = ln( y + ) p) f (,y) = + y q) f (,y) = + y r) f (,y) = y s) f (,y) = + y t) f(, y ) = ln( + y + 4) u) f (,y, z) = y z v) f(, y) = ln( + y), 4 y - Representar gráficamente las curvas de nivel de las siguientes funciones: a) f (,y) = + y b) f (,y) = ( + y) c) f (,y) = + y d) f (,y) = y e) f (,y) = y f) f (,y) = y, > 0 g) f (,y) = y h) f(, y) = ln( y + ) i) f(, y) = + y

2 - Calcular los siguientes límites: a) Lim b) Lim + + c) Lim 0 d) Lim 0 + g) Lim + e) Lim h) Lim f) Lim i) Lim + 5 e j) Lim + + k) Lim l) y Lim ( y, ) (,) 4 y + m) Lim ( y, ) (0,0) 5 + y n) y Lim + 5y 8, e, ln( + y) ( y, ) (0,) 4- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) e si 0 f( ) = + si > 0 b) y si (, y) (0,0) f(, y) = 7 + y 0 si (, y) = (0,0) 5- Calcular la primera derivada de las siguientes funciones: a) f( ) 5 = e b) f () = e c) f () = d) f () = e e) f () = + f) f () = g) f( ) = ln + + h) f( ) = + ln π i) f () = j) f () = + k) f( ) = ln log ln a log a l) f () = 56( ) 7 4( ) 6 40( ) 5 m) 5 = + + n) f () = 0 f( ) e ln

3 o) f( ) = ln ln(ln ) p) a f( ) = a ln( + a ) q) f () = 4 (a ) r) f () = ( + a)( + b)( + c) s) f () = + t) f () = ( + )( + ) + u) f () = 4 + v) f ( ) = ln( sen ) w) f () = sen 4 ) f () = cos 4 y) f () = sen cos 6 6- Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones: z a) f (,y, z) = e y y + e b) f (,y) = ln + y + y + c) y z f(, y, z) = e + + d) f (,y) = y + y e) f (,y) = + y ay f) f (,y) = y + y g) f (,y) = ln( + + y ) h) f (,y) = y i) f (,y, z) = z y j) f (,y) = + y + y k) f(, y) sen y = l) f(, y) = a e ( sen + acos y) a + b 7- Comprobar que y = e verifica la ecuación dy d = ( )y 8- Calcular y en las siguientes epresiones: a) + 5y + y = 9 b) + y = 5 c) y = + e y y d) lny e + = 8 e) lny + = 7 f) y = y y 9- Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f () = en = Hallar un valor aproimado de f( )

4 0- Calcular los siguientes límites: sen a) Lim 0 ( cos) e b) Lim c) Lim 0 0 sen cos d) Lim e) Lim 0 0 cos(sen) f) Lim 0 g) 0 ln( + ) Lim e h) Lim i) 0 ln( sen) sen + Lim 0 e sen tg j) Lim k) Lim 0 0 cos cos4 l) Lim 0 5 m) ln( + ) Lim 0 e sen n) Lim 0 cos o) Lim 4( ln( + )) 0 ln( + ) p) Lim + 0 q) Lim (cos) r) Lim ln( + ) ln s) Lim ln + t) ln Lim + u) 6 ln( + ) Lim + v) Lim (ln ) e + - Calcular f (,y) cuando f (,y) = y + y - Hallar la matriz jacobiana de las siguientes funciones: a) f( ) = ln b) f (, ) = ( ) c) f (, ) = ( +, ) d) ( ) (, t t f t = t e, e ) - Calcular dz dt en las funciones: a) z = + y, con = t + ; y = e t b) z = y + yu + u, con = t ; y = e t ; u = log( t) c) z = e y, con = t cost ; y = t sen t dz 4- Calcular () du en la función z = + y y, con = u + u ; y = u u 4

5 5- Calcular u r y u s en la función u = zsen y, con = r + s ; y = 4r s, z = r s 6- Calcular z, z y y evaluarlas en el punto (, y) = (0, ), en los siguientes casos: a) z = u + v, con u = + e y ; v = log( y) + e b) z = sen u v, con u = s t ; v = s + ; s = y ; t = e y 7- Demostrar que z + y z y =, si z = ln( + y + y ) 8- Demostrar que z + y z y = y + z, si z = y + ey 9- Demostrar que se verifica ( y ) z z (,y) + y (,y) = yz, y siendo z = e y y F y e y F una función real de variable real derivable 0- Sea f (,y) = g( + y ), siendo g : una función derivable en cualquier punto de la recta real Si g (5) =, calcular f (,) - Determinar la diferencial de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) y = ln, en b) y = e, en 0 c) z = + y, en (,) d) u = y + z, en (,,) y e) = ln y z, en (, e ) j) f (,y) = e, en (, y) con 0 y k) + y z = ( e + y, y ), en (0,0) 5

6 - Sea f () =, utilizando el concepto de diferencial, estudiar la variación que eperimenta la función al pasar de =7 a =6 9 - Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones en la dirección y en el punto indicados: a) f (,y) = + y, en la dirección de v =, y en el punto P=(,) b) f (,y) = + y +, en la dirección, y en el punto (0,0) c) f(, y) = log( + y ), en la dirección de v =, y en el punto P = (,) d) f (,y, z) = sen(yz), en la dirección,, y en el punto (,,0) e) f (,y, z) = seny + y cos z + zsen, en la dirección,0, y en el punto (0,0,0) f) f(, y, z) = ( + yz, sen( + y )), en la dirección,, y en el punto ( π, π,) 4- Sea f (,y) una función diferenciable en el punto (,) Sabiendo que f v (, ) = 5 y f w (,) = 6 con v =, y w =,, calcular f (,) Dado el campo vectorial f(, y) = ( y,, y ), se pide: a) Estudiar su diferenciabilidad en el punto (,) b) En el caso de ser diferenciable, calcular su diferencial en dicho punto c) Hallar f v ' en el punto (,) siendo v =, 6- Calcular y en y = ln( ) 7- Dada f (,y) = e y, calcular f, f y, f, f, f y y y f y 6

7 8- Calcular la matriz hessiana de las siguientes funciones: a) f (,y) = 4 + y 4 + 4y y b) f(, y) = + y + y 4ln 0ln y,, y > 0 c) f (,y) = 9 + y + 6y + + 4y d) f (,y) = + y 9y + 7 e) f (,y, z) = + y + z y + z f) f (,y, z) = yz 9- Si F y G son funciones reales de una variable real con derivadas de segundo orden continuas, demostrar que la función z = F y + G y, satisface la siguiente ecuación: z z (,y) + y y (,y) + z y (,y) = 0 y 0- Sabiendo que f y g son funciones reales de una variable real con derivadas de segundo orden y z = f ( + y ) + g( + y ), calcular: z z (,y) (,y) z y y (,y) + z y y (,y) - Comprobar que z = log( + y ) satisface la ecuación z z + = 0 y - Si f es una función real de variable real con derivada segunda, comprobar que la función z = f ( + y) + yf( + y) satisface la ecuación: z z y + z = 0 y - Sean f, g : funciones reales de variable real y h(,y) = f (y g()) Suponiendo que eisten f y g en todo, calcular h (,y), h (,y) y 4- Calcular el desarrollo de Taylor hasta el orden de las siguientes funciones en un entorno del punto que se indica: a) f( ) = ln( + ), = 0 b) f( ) = e, = 0 7

8 c) f( ) =, = 0 + d) f( ) =, = 0 ( ) + e) f( ) = +, = 0 f) f( ) = sen, = 0 g) f ( ) = cos, = 0 h) f () =, = 0 ( ) i) f( ) ln( ), = = j) + f( ) = ln, = 0 k) f( ) = ln + +, = l) f () = 6 +, = m) f () = ( + )e, = 0 n) f () = ( + e ), = o) f () = sen, = 0 p) q) f( ) = e ln( ), = 0 r) f( ) = ln( ), = f( ) ln(9 ), 0 = = s) = (, ) y y f y e, (, y ) = (0,0) t) f(, y) =, (, y) = (,) + y u) f (,y, z) = + yz + e y, (, y, z ) = (,0,) 5- Dada la función f(, y) = + y lny, se considera la ecuación f (,y) = e Se pide: a) Demostrar que la anterior ecuación define a y como función implícita de en un entorno del punto (0, e ) b) Calcular y '(0) 6- Dada la ecuación e z sen( + y) + e y sen( + z) + e sen(y + z) = 0, se pide: a) Comprobar que define a z como función implícita de y de y en un entorno del punto (π,0,π) b) Calcular z z (π,0) y y (π,0) 7- Probar que la ecuación y + y = 6 define a y como función implícita de en un entorno del punto (,) Qué podemos decir del crecimiento de la función y() en un entorno de =? 8

9 8- Considerar la ecuación α α ln( yz) = 0 Para qué valores del parámetro α yz podemos asegurar que la ecuación anterior define implícitamente la función = (y, z) en un entorno del punto (,,)? 9- Dada la ecuación zsen ysenz= 0, se pide: a) Demostrar que define a z como función implícita de (,y) en un entorno de π, π, π b) Hallar el polinomio de Taylor de grado en un entorno del punto π, π de la función definida en el apartado a) 40- Sea h : dada por h(,y) = sen( + y) + y+ a y a) Para qué valores de a la ecuación h(, y) = 0 define a y como función implícita de, y = ϕ(), en un entorno del punto (0, 0)? b) Calcular ϕ (0) c) Define la misma ecuación en un entorno del (0,0) a como función implícita de y para algún valor de a? d) Sea F (, t) = (e +t +, e ϕ() + t cos ), con ϕ() la función implícita anterior Probar que JF(0,0) es una matriz regular 4- Dada la ecuación y + α( + ) = + α, se pide: e y a) Para qué valores de α la ecuación y e + α( + y ) = + α define una función implícita y = y() en un entorno del punto,? b) Para los valores de α, hallados en el apartado anterior, calcular dy d 4- Sea f : dada por α ( ) f(, y, z) = y z yln + z + zcos( + y) +, α a) Probar que f(, y, z) = 0 define a z como función implícita de e y en un entorno de ( π,0,) para cualquier valor de α b) Calcular α para que z (π,0) = 0 = z y (π,0) 9

10 4- Dada la ecuación y y + z cos(z) = : a) Probar que define a z(,y) como función implícita en un entorno del punto (0,,) b) Hallar el plano tangente a z(,y) en el punto (0, ) c) Hallar la derivada direccional de z(,y) en (0, ) respecto de la dirección v =, 44- Sea F : 4 dada por F(, y, z, t) = z + y t : a) Probar que la ecuación F(, y, z, t) = 0 define a la variable t como función de las variables (, y, z) en un entorno del punto (0,, 0, ) b) Si t = ϕ(, y, z) es la función del apartado anterior, calcular ϕ(0,, 0) 45- Estudiar si son homogéneas las siguientes funciones indicando el grado de homogeneidad: a) f (,y) = 4 + y 4 b) f (,y) = y + 5y 4 c) f (,y) = y + y d) f (,y) = y + y e) f (,y) = ( + y ) f) f (,y) = + y 5 y g) f (,y) = 90 y h) f (,y) = a y b i) f (,y, z) = y + yz 4z y 5 j) f (,y, z) = ln y z k) f (,y, z) = y + + z l) f (,y, z) = y 4 + yz 5 z m) y f(, y, z) = ln y + z n) f (,y, z) = e +y + z o) f (,y, z) = e yz p) f(, y, z) = ln y + yz + 7 z 46- Para las funciones del ejercicio anterior, calcular las derivadas parciales Comprobar el resultado del teorema de Euler 0

11 47- Dada f (,y) = 4 y e y, comprobar que f + y f y = 6f Qué se deduce de la anterior igualdad? 48- Sea f una función homogénea de grado m, tal que f (,) = y f (,) = Calcular m 49- Sea f una función diferenciable y homogénea de grado con f (,) = y f (,) = 4 Calcular f (,) y 50- De la función f (,y, z) se sabe que es diferenciable, homogénea de grado y que las componentes de su vector gradiente en el punto (,,) son (5,,) Cuál es el valor de la función en el punto (,,)? 5- Sea z = z(,y) que verifica la ecuación F y, z = 0, siendo F una función con derivadas de primer orden, la segunda de ellas no nula Se pide: a) Demostrar que z = z(,y) es homogénea de grado b) Es homogénea z? En caso afirmativo, de qué grado? Razona la respuesta 5- Sea f (,y) homogénea de grado con derivadas de segundo orden Probar que: f = y y f y = f y 5- Sea f (,y) = y Demostrar que: + y f + f y = y y y + y f y tg +y +z y 54- Dada la función f (,y, z) = e : a) Comprobar que es homogénea de grado 0 b) Calcular f f f (,y, z) + y (,y, z) + z (,y, z) y z

12 55- Sean f, g : funciones diferenciables y homogéneas de grados 4 y, respectivamente Probar que si h(,y,z)=f(,y,z)g(,y,z), se verifica: h (,y, z) + y h y h (,y, z) + z (,y, z) = 5 h(,y, z) z 56- Sea f (,y) diferenciable tal que f f f (,) =, (,) =, f (,) =, (,) =, y f (,) =, f (,) = 5 Decir si f es homogénea y en caso afirmativo de qué grado y 57- Sea f (,y) = e +y Se pide: a) Calcular las curvas de nivel de f(, y) y representarlas gráficamente b) Calcular f (,) c) Calcular la derivada direccional de f en el punto (,) según la dirección, d) Teniendo en cuenta = + lnt t y = e, calcular df dt () 58- Sea la función f (,y) = ln( + + y ) Se pide: a) Calcular el dominio de f b) Calcular el vector gradiente de f en (,y) c) Es la función f diferenciable? d) Calcular la derivada direccional de la función f respecto de la dirección, en el punto (,) e) Verifica la función f las condiciones del Teorema de Schwarz? f) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcular la matriz Hessiana de f en (, y)

13 y 59- Sea la función f(, y) = ln + a) Determinar las curvas de nivel de la función y representarlas gráficamente b) Calcular f (, e) c) Dado el vector v =,, calcular la derivada direccional f v (,e) d) Probar que la curva de nivel 0 de f define implícitamente a la variable y como función de la variable Derivando implícitamente calcular y '() 60- Considerar la función de dos variables f (,y) = y + y a) Determinar su dominio y representarlo gráficamente b) Determinar y representar las curvas de nivel de f c) Probar que no eiste el límite lim f (,y) (,y) (0,0) d) Determinar los pares (a,b) b tales que la ecuación f (,y) = define a la a + b variable y como función de la variable en un entorno del punto (a,b) Para cada uno de los pares anteriores, calcular y '(a) por derivación implícita 6- Sea F(,y, z) = zy+ e z z y + 4 y : a) Sin calcular las derivadas parciales, razona si la siguiente igualdad es cierta: b) Calcular F(0,,) F F F (,y, z) + y (,y, z) + z (,y, z) = 4 F(,y, z) y z c) Calcular la derivada direccional de F(,y, z) respecto de la dirección,, en el punto (0,,) d) Demuestra que la ecuación F(,y, z) = 7 define a como función implícita de y, z ( = f(y, z)) en un entorno del punto (0,,) e) Calcular f (,) f) Calcular la derivada direccional de f(y,z) respecto de la dirección, en el punto (,)

14 6- Sabiendo que la oferta de un bien en función de su precio p es: S(p) = p 0 si 0 p < 0 p 5 si 0 p 0 a) Determine el dominio de la función de oferta b) Cuál es la oferta si el precio es de 5 unidades monetarias? 6- La demanda de un bien en función de su precio viene dada por una función de la forma D(p) = ap b Determinar los valores de a y de b sabiendo que D(8) = y que lim D(p) = 5 p El coste total de producir q unidades de un artículo es C(q) = 4q 6q + 8q + a) Calcule el coste de producir unidad b) Si se producen 0 unidades, Cuál es el coste medio de producir cada una de ellas? c) Escriba la función de coste medio d) Escriba la función de coste marginal 65- El beneficio, B(p), que obtiene una empresa conocido el precio de venta del producto, p,6, viene dado por dos segmentos rectilíneos cuyas pendientes son en ambos casos 0 Además se sabe que B() = 50 y que al ir aumentando el precio y pasar de 4 unidades monetarias se pierde una subvención que hace bajar el beneficio en 0 unidades Escriba y represente esta función de beneficio 66- La función de costes según el número de horas trabajadas,, es de la forma a + b si 0,00 C( ) = Determine a, b, c sabiendo que C() es continua, c si ( 00,00 que la pendiente de la recta tangente en = 50 es 8 y que horas trabajadas suponen un coste igual a La función de producción de un bien es Q(K,L) = 8 K L producción, K y L la cantidad de inputs capital y trabajo respectivamente, donde Q es la cantidad de Demostrar que la productividad del trabajo es una función de la ratio capital-trabajo (sólo depende de la proporción entre el capital y el trabajo) 4

15 68- Sea la función de producción de una empresa Q(K,L) = K L 5, donde K es el capital, L el trabajo y Q la producción obtenida a) Suponiendo que se están utilizando 9 unidades de capital y de trabajo, qué input se deberá aumentar para generar un mayor incremento de la producción, suponiendo que el otro se mantiene constante? b) Suponiendo que se están utilizando 9 unidades de capital y de trabajo, cuál sería aproimadamente la variación de la producción si se incrementa en unidades el capital y en el trabajo? c) Sin realizar las derivadas, calcular la epresión K Q K (K,L) + L Q L (K,L) 69- Una empresa produce dos productos en cantidades q y q respectivamente, siendo sus ingresos I(q,q ) = q q Cada uno de los productos tiene una función de producción que depende del capital K y del trabajo L que vienen dadas por: q (K,L) = K + L, q (K,L) = 6 K L a) Calcular trabajo I K I (K,L), (K,L) cuando se utilizan 4 unidades de capital y 9 de L b) Son homogéneas las funciones de producción?, de qué grado? c) Sin hacer las derivadas, calcular K I K (K,L) + L I L (K,L) 5

16 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE - Calcular las siguientes integrales indefinidas: ) dy ) + y 6z dz ) (z 5) 5 + t dt t 4 4) ( e ) d 5) t dt 6) + t e y y dy 7) d 8) d 9) lnt t dt 0) 5 t t dt ) 7 t ( ) d ) 4 + d ) ( + )( ) d 4) tg() d 5) cos sen d 6) d 7) + d 8) ( + ) e d e 9) + d 0) d 4 + ) d 6 + ) d ) d 4) ( ) d e - Calcular las siguientes integrales definidas: ) d + ) t + e dt ) 0 + d 4) 4 d 5) d 6) e e d ln - Resolver los siguientes problemas de aplicación del cálculo integral al cálculo de áreas: ) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y = e y = + 4 ) Calcular el área de la figura plana limitada por las parábolas y =, y = + 4 6

17 ) Calcular el área de la figura plana limitada por las curvas y =, y =, y = 4) Calcular el área de la figura limitada por las curvas = 0, =, y =, y = 5) Calcular el área limitada por la curva y = y la recta y = 6) Calcular el área limitada por la parábola y = 4 y la recta y = 7) Calcular el área limitada por la parábola y = 4 y la recta y = 4 8) Calcular el área limitada por las parábolas = y, = y 4- Resolver los siguientes problemas de aplicación del cálculo integral: ) Para un cierto país, la propensión marginal al consumo está dada por dc di = 4 I donde el consumo C es una función del ingreso nacional I (en millones de euros) Determinar la función de consumo para el país si se sabe que el consumo es de millón de euros cuando I= ) La función de coste marginal para el producto de un fabricante está dada por: dc dq = 0 00 q + 0 donde c es el coste total en euros cuando se producen q unidades Cuando se producen 00 unidades el coste promedio es de 50 euros la unidad Con aproimación a la unidad de euro más cercana, determinar el coste fijo del fabricante ) El coste marginal de la fabricación de un determinado producto viene dado por la función CMg() = 6 Sabiendo que el coste de funcionamiento es de euros, hallar la función de coste total de fabricación de dicho producto 4) Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a razón de 4 + 5t personas por mes Si la población actual es de 0000 personas, cuál es la población dentro de 8 meses? 5) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiará a razón de 06t + 0t + 05 miles de personas al año Los 7

18 ambientalistas han encontrado que el nivel de contaminación del lago aumenta a razón de, aproimadamente, 5 unidades por 000 personas En cuánto aumentará la contaminación del lago durante los próimos años? 6) Un fabricante manifestó que el coste marginal es 6 q + euros por unidad cuando se producen q unidades El coste total (incluidos los gastos indirectos) de producir la primera unidad es de 0 euros Cuál es el coste total de producir las primeras 0 unidades? 8