El cálculo trata, principalmente, dos problemas geométricos:

Transcripción

1 1. INTRODUCCIÓN. El cálculo trt, priciplmete, dos prolems geométricos: 1) Ecotrr l rect tgete u curv. 2) Hllr el áre limitd por u curv. El primero lo hemos resuelto medite u pso l límite, coocido co el omre de dierecició. El segudo vmos ver que tmié lo resolveremos medite u pso l límite, y lo llmremos itegrció. Hst hor sólo se podí clculr áres ecerrds por polígoos que se uede ormr como composició de ls teriores. Si queremos hllr el áre ecerrd etre u curv y=(x), el eje OX y ls rects verticles x= y x=: lo que hremos será utilizr l ide teriormete expuest, es decir, vmos usr l órmul del áre de u rectágulo pr proximr y clculr el áre A. Si summos el áre ecerrd e los rectágulos R 1, R 2 y R 3 otedremos u proximció del áre A que e este cso será por deecto. L pregut es: Podemos coseguir clculr el áre A usdo el áre de rectágulos? L respuest es irmtiv, pero pr ello deemos ecotrr rectágulos de se iiitesiml, es decir, rectágulos de se putul. Así, l sumr ls áres de todos los rectágulos estmos sumdo ls logitudes de tods ls líes verticles que hy etre x= y x= (limitds por el eje OX y l propi curv) y esto ormrá el áre A. 1/21

2 Est ide o cocepto lo llmremos itegrl de Riem. Esto os proporcio u ide udmetl: l itegrció cosiste e relizr u sum. 2. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE RIEMANN PARTICIONES. DEF Se [,] R u itervlo cerrdo. El cojuto π={ x 0,x 1,...,x } que stisce tods ls desigulddes = x 0 <x 1 <...<x = recie el omre de prtició de [,]. DEF Desigmos por [,] l cojuto ormdo por tods ls prticioes del itervlo [,]. DEF Se π 1,π 2 [,]. Diremos que π 2 es más i que π 1 y se deotrá por π 1 <π 2, si todos los putos de π 1 perteece π 2 (π 1 π 2 ). PROP L relció "más i que" deie u relció de orde e el cojuto [,]. : Trivil. OBS Ddos π 1, π 2 [,] se veriic que π 1 π 2 es u prtició de [,] siedo más i que π 1 y que π SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR. Dd u prtició π 1 [,] co π 1 ={x 0, x 1,...,x } si pr cd itervlo [x i-1,x i ] co i: 1,..., llmmos: m i = I{(x) / x [x i-1,x i ]} M i = Sup{(x) / x [x i-1,x i ]} etoces podemos deiir: 1) Sum ierior de (x) e l prtició π 1 : s(, π 1 ) = m i (x i x i 1 ) 2) Sum superior de (x) e l prtició π 1 : 2/21

3 S(,π 1 ) = M i (x i x i 1 ) y se veriic que: s(, π 1 ) A S(, π 1 ) DEF Llmremos itegrl ierior de (x) e [,] y se represet por l úmero: =Sup {s(,π) / π [,] } DEF Llmremos itegrl superior de (x) e [,] y se represet por l úmero: = I {S(, π) / π [,]} PROP Se π 1, π 2 [,]. Se veriic: s(, π 1 ) S(, π 2 ) s(, π 1 ) (, π 1 π 2 ) S(, π 1 π 2 ) S(,π 2 ) 2.3. INTEGRAL DE RIEMANN. DEF Se :[,] R ució cotd. Diremos que es itegrle e setido Riem si: = y el úmero que result se expres como: PROP Se :[,] R cotd. So equivletes: 1) es itegrle Riem. 3/21

4 2) ε>0 π [,] / S(,π) - s(, π) < ε 1) 2). Llmremos A= = = y se ε>0. Como A=Sup{s(,π) / π [,]} ddo ε/2>0 π 2 [,] / A+ε/2 >S(, π 2 ). Teiedo e cuet que π 1 π 2 es más i que π 1 y π 2 : A-ε/2 < s(, π 1 ) s(, π 1 π 2 ) S(, π 1 π 2 ) < A+ε/2 y etoces A-ε/2 < s(, π 1 π 2 ) S(,π 1 π 2 )<A+ε/2 Llmdo π 1 π 2 =π llegmos que S(, π) - s(, π) < ε 2) 1) Se π [,] / S(, π) - s(, π) <ε. Por deiició S(, π) y s(, π). Etoces - <ε. Y como por hipótesis l desiguldd es ciert pr todo ε myor que cero, deducimos: = PROP Se :[,] R u ució cotd. 1) Si es cotíu es itegrle Riem. 2) Si es moótoo es itegrle Riem. 1) Pr ver que es itegrle Riem st ver que pr cd ε>0 π π[,] de modo que S(, π)-s(, π) <ε. Como es cotíu e u cerrdo etoces es uiormemete cotíu, luego ddo ε>0 tommos: ε = > 0 / x x < ( x) (x) < 4/21

5 Se π [,] u prtició pr l que dos ptos cosecutivos diste meos que δ: Etoces: π={x 0,x 1,...,x } / x i -x i-1 <δ i:1... S(, π)-s(, π) = M i (x i x i 1 ) - m i (x i x i 1 ) = = (M i m i )( x i x i 1 ) = ( ( i ) ( i ))( x i x i 1 ) dode (α i ) es el vlor máximo de l ució e [x i-1,x i ] y x=αi dode se lcz. (β i ) es el vlor míimo de l ucio e [x i-1,x i ] y x=βi dode se lcz. Como α i -β i < δ (α i )-(β i ) < ε (x i x i 1 ) = ( ) = Luego es itegrle e setido Reim. 2) Vemos el cso de ser creciete ( si es decreciete l demostrció es álog). Se π [,] u prtició, π={x 0,...,x } y x i - x i-1 <δ i: 1... S(, π)-s(, π) = (M i m i )( x i x i 1 ) = como es moóto creciete M i =(x i ) y m i =(x i-1 ) = ( ( x i ) ( x i 1 )) (x i x i 1 ) < ( ( x i ) ( x i 1 )) = =δ ( ( x i ) ( x i 1 )) = δ (()-()) = ε Tomdo δ = () () DEF Dd u prtició π π[,], llmmos sum de Riem culquier sum S(, π,τ) = (Τ i )( x i x i 1 ), dode π={x 0,...,x } y τ i [x i-1,x i ]. PROP Se :[,] R u ució cotd. So equivletes: 5/21

6 1) es itegrle Riem e [,]. 2) Α R / ε>0 π 0 [,], si π>π 0 y cosidermos u sum de Riem de π, se veriic que: A-S(, π,τ) < ε y demás A= 1) 2). Se A=. Vemos que A cumple 2). s(, π) + = + = + S(,ΤΧ) Se veriic que s(,π) S(, π,τ) S(, π) Etoces: A-S(, π,τ) S(, π)-s(, π) Como es itegrle Riem: Ddo ε>0 π 0 π[,] / S(, π)-s(, π)<ε ΤΧ [,] Si π>π 0 S(, π)-s(,π) S(, π 0 )-s(, π 0 ) < ε A-S(, π,τ) S(, π)-s(, π) < ε A-S(, π,τ) < ε 2) 1) Vemos que A= y A=. Pr ver que A= st compror que ddo ε>0 π π[,] / A-S(, π) <ε Por 2) ddo ε>0 π 0 [,] / A- (Τ i )( x i x i 1 ) < ε/2 y π>π 0 M i -(τ i )< 2( ) ( ) = / 2 Etoces: A-S(, π) A-S(, π,τ) + S(, π,τ)-s(, π) < ε/2 + ε/2 = ε. Luego A=. 6/21

7 De orm álog se demuestr que A= y por tto A= siedo itegrle Riem. 3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. PROP Se R[,] el cojuto de tods ls ucioes itegrles Riem e [,]. 1) Si,g R[,] +g R[,] y ( + g) = + g 2) Si λ R y R[,] λ R[,] y (Α ) = Α. 3) Si 0 0, y por tto si g g. 1) R[,] ε>0 S(, π 1 )-s(, π 2 ) < ε/2 co π 1 π[,]. g R[,] ε>0 S (, π 2 )-s(g, π 2 ) < ε/2 co π 2 π[,]. Se veriic S(, π 1 π 2 )-s(, π 1 π 2 ) < ε/2. S(g, π 1 π 2 )-s(g, π 1 π 2 )<ε/2, co π 1 π 2 = {x 0,...,x }. Llmemos m i = I{(x) / x [x i-1,x i ]}, M i = Sup{(x) / x [x i-1,x i ]}, m i = I{g(x) / x [x i-1,x i ]}, M i = Sup{g(x) / x [x i-1,x i ]}, m i = I{(x)+g(x) / x [x i-1,x i ]}, M i = Sup{(x)+g(x) / x [x i-1,x i ]} S(+g,π 1 π 2 )-s(+g,π 1 π 2 ) = (M i m i )(x i x i 1 ) teiedo e cuet que: M i M i +M i m i m i +m i M i -m i (M i - m i )+(M i -m i ) (M i m i )( x i x i 1 ) + (M i m i )( x i x i 1 ) = S(g,π 1 π 2 )-s(g,π 1 π 2 ) < <ε/2+ε/2 = ε. Etoces +g R[,]. 7/21

8 Vemos hor que Ddo ε>0 como,g,+g R[,] ( + g) = + g. π 0 [,] / Si π>π 0 A-S(, π,τ) <ε/3 π 0 [,] / Si π>π 0 B-S(g, π,τ) <ε/3 π 0 [,] / Si π>π 0 C-S(+g, π,τ) <ε/3 Cosideremos π={x 0,...,x }: S(+g, π,τ) = (Τ i )( x i x i 1 ) + g (Τ i )( x i x i 1 ) = S(,π,τ)+ S(g,π,τ). Etoces: ( + g )(Τ i )( x i x i 1 ) = i = 1 C-(A+B) = C-S(+g, π,τ)+ S(+g, π,τ)-a+ S(, π,τ)- S(, π,τ)-b+ S(g, π,τ)- S(g, π,τ) = plicdo lo terior = C- S(+g, π,τ) + -A S(, π,τ) + -B+ S(g, π,τ) < ε/3+ε/3+ε/3 = ε. Luego C=A+B ( + g) = + g. 2) Se: m i = I{(x) / x [x i-1,x i ]}, M i = Sup{(x) / x [x i-1,x i ]}, m i = I{λ(x) / x [x i-1,x i ]}, M i = Sup{λ(x) / x [x i-1,x i ]}, Se λ R-{0}. S(λ,π)-s(λ,π) = (M m )( x x 1 ) = como M i -m i = λ(m i - m i ) si λ>0 ó i i i i M i -m i = λ(m i -M i ) = Α(M i m i )( x i x i 1 ) = λ (S(,π)-s(,π)) Ddo ε>0 tommos ε =ε/ λ y π π[,] / S(,π)-s(, π) < ε S(λ, π)-s(λ, π) N(S(, π)-s(, π)) λ ε = λ ε/ λ = ε. Luego λ es itegrle Riem. Si λ=0 λ = 0 y 0 es itegrle Riem. 8/21

9 Llmemos A= y B= Α. Se A-S(, π,τ) < ε B-S(λ, π,τ) <ε 0 λa-b <2ε ε 0 λa = B y por tto Α = Α. 3) Se 0. como es itegrle Riem = y = Sup{ M i (x i x i 1 )} Cd sumdo es myor o igul cero (sum de Reim), luego el supremo tmié lo es. Y como l ució es itegrle Riem, su itegrl es myor o igul que cero. Si g -g 0 ( g ) 0 g 0 g PROP Se :[,] R u ució itegrle Riem y c [,]. Etoces: 1) [,c] : [,c] R es itegrl Reim. 2) [c,] : [c,] R es itegrle Reim. 3) c = + c 1) [,c] :[,c] R. Como es itegrle Reim e [,], ddo ε>0 π [,] / S(,π)-s(,π)<ε Se π = π {c} S(, π )-s(, π ) < ε. Por otro ldo: S( [,c], π [,c])-s( [,c],π [,c]) S(, π )-s(, π ). Uiedo ms desigulddes oteemos que [,c] es itegrle. 2) Aálog. 3) Imedit COROLARIO Si m (x) M x [,] etoces m(-) M ( ) Si m (x) M m M. 9/21

10 m = m 1 = m I (S(1,ΤΧ) / ΤΧ ΤΧ[,]) = m( ). Aálogmete M = M ( ) Sustituyedo, oteemos lo que se querí demostrr. PROP Si es itegrle Riem es itegrle Riem y se veriic: Semos que si es itegrle Riem ddo ε>0 π 0 π[,] / S(,π 0 )-s(,π 0 )<ε siedo S(,π 0 )-s(,π 0 )= (M i m i )( x i x i 1 ) = co m i = I{(x) / x [x i-1,x i ]} M i = Sup{(x) / x [x i-1,x i ]}, Se t,s [x i-1,x i ], y m i = I{ (x) / x [x i-1,x i ]}M i = Sup{ (x) / x [x i-1,x i ]} (t) - (s) (t)-(s) M i - m i y por tto i i M i m i x i x i de lo que deducimos que es itegrle Reim. Semos que -. Etoces y - y oteemos. PROP Se itegrle riem y se c [,]. Si ddo u esclr α, deiimos: ~ (x) x c ( x) = x = c ~ ~ etoces es itegrle Riem y =. 10/21

11 Como R[,] π 0 [,] / S(, π 0 )-s(, π 0 ) < ε/2. ~ ~ S(,π)-s(,π) = (M i m i )( x i x i 1 ) = (M i i j m i )( x i x i 1 ) + +(M j m j )( x j x j 1 ) siedo c [x j-1,x j ] pr lgú j {1,...,}. ε/2 + ε/2 = ε. y que (M j m j )(x j x j 1 ) < / 2 eligiedo x j-1 y x j suicietemete cerc. Vemos hor que ms itegrles so igules: c ~ c ~ ~ = + c y = + c c ~ c es igul l último rectágulo, y se podrá hcer t pequeño como se quier, por tto ms itegrles so igules. Aálogmete se demuestr que: c ~ = c llegdo sí compror que: ~ = Este resultdo os viee demostrr que dos ucioes que se dierecie e u puto y u de ells se itegrle, l otr tmié lo es y l itegrl coicide. El resultdo puede extederse que si es itegrle Riem y se modiic e u úmero iito de putos, l uev ució tmié es itegrle y ms itegrles so l mism. PROP Se,g R[,] g R[,] L demostrció l vmos relizr e vrios psos. 1) Cso =g 0 11/21

12 S( 2,π)-s( 2,π) < s( 2,π)<ε Se : [,] R cotd (por ser itegrle Riem) etoces (x) k. Como es itegrle Riem ddo ε>0 π [,] / S(, π) - s(, π) <ε/2k siedo S( 2, π) - s( 2, π) = 2 2 (M i m i )( x i x i 1 ) = (M i i =1 Como 0 M i +m i 2k m i )( x i x i 1 ) = (M i m i )(M i + m i )(x i x i 1 ) 2k (M i m i )(x i x i 1 ) = 2k (S(,ΤΧ) s(,τχ)) < 2k = 2k Luego 2 es itegrle Riem siempre que 0. O expresdo pr culquier : 2 es itegrle Riem (y que (x) 0). 2) Cso =g. 2 es itegrle Riem y que 2 = = 2 y 2 R[,] 3) Cso (+g) 2 Como,g R[,] +g R[,] y por el cso terior (+g) 2 R[,]. Pero si (+g) 2 R[,] podemos expresr g = 1 ((+g) 2-2 -g 2 ), y como 2 R[,], 2 g 2 R[,] y (+g) 2 R[,] oteemos que g R[,]. TEOREMA. Teorem de Leesgue. Se : [,] R cotd y D el cojuto de ls discotiuiddes de e [,]. Etoces so equivletes: 1) R[,]. 2) D tiee medid cero. 12/21

13 1) 2) Supogmos que D o tiee medid cero. Vmos demostrr que o es itegrle legdo u cotrdicció. Podemos escriir D como u reuió umerle de cojutos D= D r C =1 dode D r ={x [,] / w (x) 1/r} y w (x) = lim h 0+ (x+h)- lim h 0- (x+h) llmd oscilció de e x. Si x D w (x)>0 luego D es l uió de los cojutos D r co r=1,2,... Si D o tiee medid cero r 0 / D ro o tiee medid cero. Por tto existe u cierto ε>0 pr el que culquier colecció umerle de itervlos iertos que recur D ro tedrá u sum de logitudes ε. Dd π [,] teemos que: S(,π) - s(, π) = (M i m i )( x i x i 1 ) = S 1 + S 2 S 1 co S 1 que cotie los térmios que proviee de suitervlos que e su iterior cotiee putos D y S 2 cotiee los térmios resttes. Los itervlos iertos de S 1 recure D ro, excepto u sucojuto iito e D r, de medid cero, luego l sum de sus logitudes es por lo meos ε. Pero e estos itervlos teemos: M k () - m k () 1/r S 1 ε/r y eso sigiic que S(, π)-s(, π) ε/r pr cd π [,]. Por tto o es itegrle Riem. Como llegmos u cotrdicció, uestr suposició es ls y D tiee medid cero. 2) 1) Supogmos que D tiee medid cero. Se D = D r, siedo D r los mismos que tes. Como D r D r:1,..., D r tiee r =1 medid 0 r: 1,..., r: 1,..., D r se puede recurir por medio de itervlos 13/21

14 iertos cuys logitudes se <1/r. Como D r es compcto, se puede recurir medite u ctidd iit de dichos iertos. L uió de esos iertos l llmremos A r. Se B r = [,] - A r su complemetrio B r es l uió de u úmero iito de suitervlos cerrdos de [,]. Se I u suitervlo típico de B r. Si x I se veriic w (x) < 1/r etoces δ r >0 tl que I puede ser sudivido e u úmero iito de suitervlos T de logitud meor que δ r que veriic Ω (T) < 1/r siedo Ω (T) sup{w (x) / x T} Los extremos de todos esos suitervlos deie π r [,]. Se π>π r S(, π) - s(, π) = (M i m i )( x i x i 1 ) = S 1 + S 2 dode S 1 cotie los térmios que proviee de los suitervlos que cotie putos de D r y S 2 cotiee los térmios resttes. E el k-ésimo térmio de S 2 teemos: M k -m k < 1/r S 2 < (-)/r Como A r recure todos los itervlos que iterviee e S 1 teemos: S 1 M m r dode m= I {(x) / x [,]} y M=Sup {(x) / x [,]} por cosiguiete S(, π)-s(, π) < M m + r Como esto es cierto r 1 L codició de Riem se veriic y R[,] c.q.d. DEF Diremos que u propiedd se veriic "csi e todo" A R si se veriic e todo A slvo e u cojuto de medid cero. El teorem de Leesgue estlece que dd cotd e [,]. R[,] es cotíu csi e todo [,] Ejemplos: 0 si 1) 1 (x)= 1 si x Q x Q 1 :[0,1] R. 14/21

15 Semos que 1 (x) o es cotiu e igú puto. Etoces, el cojuto de discotiuiddes D=[0,1]. Como D o tiee medid cero 1 es itegrle. 0 si x Q 2) 2 (x)= 1/ q si x Q co x = p / q irreducil e 2 (x): [0,1] R. Semos que 2 (x) es cotíu e Q c [0,1]. Etoces, el cojuto de discotiuiddes D=Q [0,1] es umerle, y por tto, es de medid cero. 2 es itegrle. TEOREMA. Teorem del vlor medio. Se cotiu e [,] etoces ξ [,] / ( x)dx = ( )( ). Como es cotiu e [,] R[,]. Se M=mx {(x) / x [,]} y m=mi{(x)/x[,]}. Etoces: m (x) M m(-) = m M = M ( ) 1 y teemos m vlores etre M y m. M y como es cotiu e [,], lcz todos los 1 Por tto ξ [,] / (ξ) = 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y REGLA DE BARROW. TEOREMA. Primer teorem udmetl del cálculo. Se R[,]. Pr cd x [,] deiimos: x F(x) = etoces se veriic: 1) F es cotiu e [,]. 15/21

16 2) Si es cotiu e c [,] F es derivle e c y F (c)=(c). 1) Pr demostrr que F es cotíu e [,] lo hremos comprodo que es cotiu e u puto culquier c [,]. F(x)-F(c) = + = + c + c M = M ( x c) + x c + x x x ε>0 δ>0 / x-c <δ F(x)-F(c) <ε Luego F es cotiu e [,]. 2) Si es cotiu e c: (c) = lim h 0 F (c + h) F (c) lim h h 0 F(c + h) F(c) h (c) = 0 + c + h c + (c) = + c + h c + h c + h c + h + h (c) h (c) = h = + + c g (c) = c + h c ( (c)) h = c c + h (c) h c + h c c+ h (c) c M h h M h = M h Siedo M=Sup{ (x)-(c) / x [c,c+h]}. Como (x) es cotiu e x=c ε>0 δ>0 x-c < δ (x)- (c) < ε o lo que es lo mismo M ε. Luego ε>0 δ>0 / h <δ F(c + h) F (c) h < y por tto F (c)=(c). DEF U ució g se dice que es u primitiv de si g es derivle y su derivd g =. TEOREMA. Segudo teorem udmetl del cálculo. Si es itegrle e [,] y F es u primitiv de, etoces 16/21

17 x + (t)dt = F( x) F () x [, ] Se x [,] es itegrle e [,x] y se π [,x] co π={=x 0,...,x =x} Aplicdo el teorem del vlor medio F e [x i-1,x i ]. F(x i )-F(x i-1 ) = F (ξ i )(x i - x i-1 ) co ξ i (x i-1,x i ) o lo que es lo mismo F(x i )-F(x i-1 ) = (ξ i )(x i -x i-1 ), co ξ i (x i-1 -x i ) Etoces: m i (x i -x i-1 ) F(x i )-F(x i-1 ) M i (x i -x i-1 ) i: 1,..., por tto sumdo tods ls desigulddes pr i: 1,..., s(,π) F(x)-F() S(, π) π [,] y como R[,] se deduce que x = F( x) F () COROLARIO. Regl de Brrow. Se itegrle e [,] y F u primitiv de. Se cumple: + Imedit. = F() F() 5. DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA MEDIANTE UNA INTEGRAL. Puede ocurrir que os dei u ució medite u itegrl: g ( x ) F(x) = h( x ) (t)dt y que os pid que estudiemos ls propieddes de es ució, extremos, crecimieto, decrecimieto, putos de ilexió, etc. E este cso os verímos e l oligció de teer que derivr F(x) y por lo tto ecesitmos ser como hcerlo. 17/21

18 TEOREMA. Se : R R u ució rel de vrile rel, tl que su primitiv viee deiid por T(x), es decir, T (x)=(x). Etoces si deiimos: g ( x) h( x ) g ( x ) F(x) = h( x ) se veriic que: (t)dt F (x) = (g(x)) g (x)-(h(x))h (x). F(x) = (t )dt = [T (t )] g ( x ) = T ( g( x)) T (h(x)) etoces si queremos derivr F(x) se tiee que: h ( x ) F (x) = (T(g(x))-T(h(x))) = (T(g(x))) - (T(h(x))) = {plicdo l regl de l cde}= T (g(x)) g (x) - T (h(x))h (x) = {plicdo que T (x)=(x)} = = (g(x)) g (x) - (h(x))h (x). Por lo tto: F (x) = (g(x))g (x) - (h(x))h (x). Como hemos visto e el teorem terior, podemos derivr u ució deiid medite u itegrl, si ecesidd de teer que hcer l itegrl, si o que lo úico que deemos hcer es evlur l ució e los límites de itegrció y estos su vez derivrlos. Ejemplo: x 2 º F(x) = 0 setdt etoces teemos que: F (x) = sex 2 2x - se 0 0 F (x) = 2xsex 2 º Clculr los extremos reltivos de l ució deiid por: x 4 2 F(x) = e t dt, derivdo teemos que: 0 F (x) = e -x8 4x 3-0 = 4x 3 e -x8 F (x)=0 4x 3 e -x8 =0 x 3 =0 x=0 Puto crítico F (x) = 4x 3 e -x8 como 4e -x8 >0 x el sigo viee ddo por x 3 F (x)>0 x>0 y F (x)<0 x<0 temos u míimo e x=0. 6. SUMAS DE RIEMANN. 18/21

19 Como y hemos visto teriormete l itegrl deiid se deie como l sum de áres de rectágulos cudo ls ses de los rectágulos tiede cero, es decir, cudo l prtició tiede ser l más i posile. Etoces si teemos u límite cudo tiede iiito de u sumtorio e el que l sucesió se puede expresr como el producto de u sucesió que tiede cero ( ) y que represet l se de los rectágulos, por otr que represet ls lturs de los rectágulos ((j )) etoces podemos trsormr es expresió e u itegrl de l ució (x), es decir: lim + ( j ) = ( x)dx dode j j=1 Ejemplo: clculr: lim + j=1 2 + j 2 lim + j=1 = lim + rectágulos y como j/ está etre 0 y 1: j=1 2 + j 2 j=1 2 + j 1 2 = lim + 2 = lim j = j=1 2 j etoces tomdo como =1/ l se de los j 1 = l ltur de los rectágulos, teemos que como j 1 1 lim + j= j = x 1 dx = [rctg] 0 = rctg1 rctg0 = ΤΧ / 4. Por lo tto: lim + j=1 2 + = ΤΧ j INTEGRALES IMPROPIAS. No podemos termir el prolem del cálculo del áre si tes plteros l siguiete pregut: qué psrí si el cojuto que ecierr el áre que queremos clculr o es cotdo? L respuest est pregut viee dd por l deiició de u tipo especil de itegrles que so ls itegrles impropis, y de ls cules hy dos tipos que hor veremos. Co ests itegrles lo que pretedemos ver es si el áre ecerrd es iit o 19/21

20 iiit y e cso de que se iit l clculremos. Si el áre es iit se dirí que l itegrl es covergete y si es iiit que l itegrl es divergete. Tipos de itegrles impropis: 1) Itegrl impropi de primer especie: se produce u itegrl impropi de primer especie cudo queremos clculr l itegrl lo lrgo de u ryo,es decir, cudo lguo de los límites de itegrció es + ó -. Ejemplo: + 1 dx = lim t 1 dt = lim 1 t = lim 1 + = 1 t + x t + 1 t 1 1 x 2 t + 1 x 2 2) Itegrl impropi de segud especie: se produce cudo l ució preset u sítot verticl e lguo de los putos del itervlo de itegrció. Ejemplo: x dx = lim [2 x ] 1 = lim (2 2 t ) = 2. t 0 + t t o + Biliogrí Recomedd. Aálisis Mtemático I. Aut. J.A. Ferádez Viñ. Ed. Tecos Leccioes de Cálculo Iiitesiml I. Aut. R. Moli Legz, M. Frco. Ed. Uiversidd de Murci. Pricipios de Aálisis Mtemático. Aut. W. Rudi. Ed. McGrw-Hill Curso de Aálisis Mtemático I. Aut. E.L. Lu. Ed. Edus, Clculus. Aut. M. Spivk. Ed. Reverté. Aálisis Mtemático. Aut. M. de Guzmá, B. Ruio. Ed. Pirámide. Clculus. Aut. Apostol. Ed. Reverté 20/21