a0 a salvo a lo sumo en un número finito de puntos de discontinuidad de salto finito. Y consideramos el sistema ortogonal:

Transcripción

1 PRÁCIÁ ICA : APROXIMACIONES DE FOURI IER IIII. Iformció básic I.. Fuciió periiódiic de perííodo E est secció mejmos sólo fucioes del espcio euclídeo PC ( ) fucioes de período, cotius e (, ), espcio de tods ls slvo lo sumo e u úmero fiito de putos de discotiuidd de slto fiito. Y cosidermos el sistem ortogol: S =,cos t,si t,cos t,si t,,cos t,si t. { ( ) ( ) ( ) ( )} Poliomio de Fourier e form trigoométric L fució f es u fució periódic del espcio PC ( ). El poliomio trigoométrico de orde que más se proxim f es l sum de ls proyeccioes de f sobre cd u de ls fucioes de ese sistem ortogol. Este poliomio F (t) se llm l proximció de Fourier de f de orde. F (t) es el poliomio trigoométrico de orde, sum de rmóicos de frecuecis,,, : F ( t) = + cos si cos si... cos si cos si t+ b t+ t+ b t+ + t+ b t = + k kt+ bk kt = rmóico de frecueci rmóico de frecueci rmóico de frecueci k = rmóico de frecueci k = + Ak si ( kt ϕk) k = rmóico de frecueci k cuyos coeficietes se clcul plicdo l fórmul de los coeficietes de l proyecció ortogol f g. Result ls siguietes fórmuls: g g y e geerl, = f() t dt; = f()cos t tdt, b = f()si t tdt, = f()cos t tdt, b = f()si t tdt, = f()cos t tdt, b = f()si t tdt. M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ

2 U observció tes de bordr lgú ejemplo. Puesto que l obteció de los coeficietes de ls proximcioes de Fourier exige el cálculo de itegrles, recordmos lgus propieddes del cálculo itegrl de gr utilidd e este cotexto: ) Si f es u fució periódic de período, etoces el vlor de su itegrl es el mismo e culquier itervlo de mplitud : b) Si f es u fució pr, etoces: + f () t dt = f() t dt. f () t dt = f() t dt. c) Si f es u fució impr, etoces: f() t dt =.. Ejercicios Ejercicio : Aproximcioes de Fourier de u od rectgulr Cosider l od rectgulr resultdo de exteder periódicmete f() t =, si t < {, si t <. Estudi co deteimieto los siguietes prtdos.. Dibuj l gráfic de tres ods.. Clcul los coeficietes de Fourier. Como l od rectgulr es ul e el itervlo [,] = f() t dt = dt vle., etoces l costte Por l mism rzó, ls fórmuls de los coeficietes y b se reduce = Cos@ td t b@_d =, Si@ td Si@ D Cos@ D que result:,. si, cudo es pr Observ que = = y que b =., cudo es impr Dibuj e el ppel u gráfico de brrs de los coeficietes obteidos. 3. Obtegmos lguos poliomios trigoométricos y dibujémoslos juto l od rectgulr: El poliomio trigoométrico o proximció de Fourier de orde uo es F@t_D = Cos@tD + b@d Si@tD esto es, + Si@tD L gráfic cojut de este poliomio trigoométrico juto l od rectgulr está cotiució: 3 t M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ

3 Averigu cuál es el poliomio trigoométrico de orde tres y el de orde veite. E l siguietes figurs está dibujdos cd uo de esos poliomios juto l od rectgulr e el t,. itervlo de tiempos ( ] 3 t 3 Decide cuál es l gráfic de cd u de ls proximcioes de Fourier. V mejordo l proximció l od rectgulr? Ejercicio : Cosider l extesió periódic de I( t) = t, t (, ]. El resultdo so ods e diete de sierr. ) Dibuj tres ods complets empezdo e t = 3 b) Clcul, co yud del progrm Mthemtic, sus coeficietes de Fourier:. = I() t dt; [ _] = I( t)cost dt ; b [ _] = I( t)sitdt b. Por qué todos los coeficietes [ ] so ulos? c. Dibuj e el ppel los gráficos de brrs de los coeficietes ( sólo hst =!). c) Averigu cuál es l proximció de Fourier de orde cico, F 5 () t, y dibuj cojutmete I () t y () 5 F t e el domiio t (, ]. d) Clcul l proximció de Fourier de orde quice: F () 5 t. Dibújl e el mismo gráfico que I () t pr t (, ] e) F () 5 t es l proyecció de I () t sobre cierto subespcio, cuál es ese subespcio?, qué dimesió tiee? f) Cuáto vle F () t y 5 F () 5 t e el puto de discotiuidd t =? Averigu el vlor de F ( ) pr culquier. Ejercicio 3: Pr l od siusoidl positiv f () t 4sit 4Abs Si[ t] = =, se pide: Mthemtic ) Clcul sus coeficietes de Fourier. Por qué todos los coeficietes b [ ] so ulos? Dibuj e el ppel los gráficos de brrs de los coeficietes (hst =) b) Clcul ls proximcioes de Fourier de órdees seis y diez: F () t y F () 6 t, y dibuj ls tres fucioes cojutmete e el itervlo [ 3,3 ]. t M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ

4 Ejercicio 4: Cosider l od siusoidl rectificd: It () = mx{ si, t } = { ) Dibuj, mo, dos ods complets de I ( t ) empezdo e t =., si t si t, si t. Dibuj, usdo el progrm Mthemtic, I () t e el período de tiempo de.56 segudos. Recuerd que e Mthemtic, l expresió de est od es It Mx Sit [ ] () =,. b) Clcul l prte costte y los rmóicos de frecuecis hst 6. Cuáles so l mplitud y el desfse de cd uo de esos rmóicos? c) Determi el poliomio de Fourier de orde 6 de I () t y escríbelo e l form: F6( t) = + Asi ( t ϕ) + Asi ( t ϕ) + A3si ( 3t ϕ 3 ) + + A si 4t + A si 5t + A si 6 t ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) d) Dibuj e l mismo gráfico I ( t ) y su proximció de Fourier de orde 6, F () 6 t, e el periodo de tiempo de.56 segudos.. Iformció básic II.. Fuciió periiódiic de perííodo El trbjo que relizmos e est secció es álogo l relizdo e ls dos seccioes teriores sobre fucioes periódics de período : primero, defiir u producto esclr pr ls fucioes periódics de período y, después, costruir ls proyeccioes o poliomios trigoométricos decudos este cso. Producto esclr de fucioes periódics de período Ahor os iteres el espcio vectoril PC ( ) de tods ls fucioes de período, cotius e u itervlo de mplitud el período, (, + ), slvo lo sumo e u úmero fiito de putos de discotiuidd de slto fiito. So vectores de este espcio vectoril ls fucioes cos( ω t), si ( ω t), y tods ls de l form cos( ω t) y si ( ω t) co =,,,3,, siempre que l frecueci gulr se ω =. De l mism mer que e el cso de ls fucioes periódics de período, se defie u producto esclr y los coceptos relciodos como sigue: El producto esclr de dos fucioes f y f g + = f () t g () t dt. g de PC ( ) es f f f + = = f t dt. L logitud o orm de f es [ ()] L proyecció ortogol de f sobre g es l fució + f() t g() t dt f g gt () = () gt. + g g [ gt ()] dt M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ

5 El sistem de fucioes {, cos ( ωt), si ( ωt), cos( ωt), si ( ωt),, cos ( ωt), si ( ωt) } es ortogol. Además, tods tiee orm o logitud uo, slvo l primer cuál es es logitud distit? Aproximció de Fourier e form trigoométric Supogmos que f está e el espcio euclídeo PC ( ) de tods ls fucioes de período,, + ) cotius e ( slvo lo sumo e u úmero fiito de putos de discotiuidd de slto fiito y cosideremos el sistem ortogol: {, cos ( ωt), si ( ωt), cos( ωt), si ( ωt),, cos ( ωt), si ( ωt) }. L proximció de Fourier de f de orde es el siguiete poliomio trigoométrico de orde : F ( t) = + cos ( ωt) + bsi ( ωt) + cos ( ωt) + bsi ( ωt) cos( ωt) + bsi ( ωt) = rmóico de frecueci ω rmóico de frecueci ω rmóico de frecueci ω = + cos( ) si ( ) k kωt + bk kωt = + Ak si ( kωt ϕk) k= k= rmóico de frecueci kω rmóico de frecueci kω Se trt del poliomio trigoométrico o de l combició liel de rmóicos que más se proxim l od f. Sus coeficietes se clcul plicdo fórmuls álogs l cso de ls periódics de período : y e geerl,. Ejercicios + = f() t dt ; + = f ()cos( t ω t ) dt, b + = f ( t)si( ωt) dt, + = f ()cos( t ω t) dt, b + = f ()si( t ω t ) dt, + = f ()cos( t ω t) dt, b + = f ()si( t ω t) dt. 5 V Ejercicio 5: Aproximció de Fourier de u od e diete de sierr de período =. Cosidermos e este ejemplo l od resultdo de exteder periódicmete Vt () 5tpr t, ; l ldo está l gráfic de cutro = [ ) ods. El período de est od es = segudo y, por tto, su frecueci gulr es ω = = rdies/segudo. - 3 t M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ

6 . Averigumos los coeficietes de Fourier de est od: Ejecut ls siguietes = ê 5 t = ê 5 t Cos@ td t b@_d = 5t Si@ td t ê b. Clcul ls proximcioes de Fourier de órdees, 3 y. Ayud: Pr coseguir l proximció de orde dos escribe l orde F@t_D + H@D Cos@ td + b@d Si@ tdl = c. Dibuj cojutmete l od e diete de sierr y su proximció de Fourier de orde tres e el itervlo [, ]. d. Dibuj e el ppel los gráficos de brrs de los coeficietes hst el orde. Clcul ls mplitudes del primer y del segudo rmóico. Ejercicio 6: Cosider l extesió periódic de ht () = mx { t, } = Mxt [, ] e el itervlo [,] { decir, ht () =, si < t t, si < t. Se pide: ) Dibuj mo l od básic ht () =, si < t { t, si < t. Mthemtic b) Clcul los coeficietes y el poliomio de Fourier de orde ocho F () t. 8 c) Clcul l mplitud y el desfse de cd rmóico. Dibuj e el ppel u gráfico de brrs de ls mplitudes. d) Dibuj cojutmete l fució periódic y su proximció F () 8 t e u itervlo de logitud dos veces el período. Ejercicio 7: Cosider l fució I ( t ) resultdo de exteder periódicmete el trozo de I() t = t defiido e [, ]. ) Dibuj mo l od básic y extiédel hst dibujr tres períodos completos. b) Averigu cuál es su proximció de Fourier de orde ocho F () 8 t y dibújl juto l fució periódic ( ) I t e el itervlo [ ],., es M.Dolores Lerís Zeid Uriz Uiversidd de Zrgoz, Espñ