UNIDAD 3.- ECUACIONES Y SISTEMAS (tema 3 del libro)

Transcripción

1 UNIDAD.- CUACIONS Y SISTMAS (tem del libro). CUACIONS D º GRADO. RSOLUCIÓN U idetidd es u iguldd literl que se verific pr culquier vlor umérico que se dé ls letrs que etr e l iguldd. jemplo: ( ) es u idetidd U ecució es u iguldd literl que sólo se verific pr vlores específicos o determidos que se de ls letrs que etr e l iguldd. jemplo: es u ecució. jemplos.- Decir si so idetiddes o ecucioes ls siguietes igulddes: ) Idetidd b) cució c) cució d) cució jemplo.- (RPASO) Resolver ls siguietes ecucioes de primer grdo ) ( ) b) ( ) ( ) 8 c) d) Ls ecucioes de º grdo so ecucioes de l form b c dode pues si fuer serí u ecució de primer grdo. b b c Ls solucioes se obtiee medite l fórmul: Al º ( b c) se le llm discrimite se represet por l letr grieg delt b c. Se tiee que: - Si b c, v teer dos solucioes - Si b c, v teer u sol solució que se llm doble - Si b c, o v teer solucioes pues ríces cudrds de úmeros egtivos o eiste. jemplo.- Resolver Aplicdo l fórmul de ls solucioes de u ecució de º grdo teemos que: ( ) ( ) De lo terior teemos dos solucioes segú tomemos el + ó el UNIDAD.- cucioes sistems

2 U estudio prte merece ls llmds ecucioes de º grdo icomplets que so quells dode el coeficiete de primer grdo ( b ) o el térmio idepediete ( c ) vle. Vemos cómo se resuelve. c c c - Si b c, b - Si c b ( b), jemplo: Resolver Aplicdo lo terior teemos que: jemplo: Resolver: Por lo terior teemos que, scdo fctor comú : jemplo: Resolver l ecució 8 Propiedd: Si teemos u ecució de º grdo b c cus solucioes so se cumple que: - b L sum de ls solucioes es b prtido por cmbido de sigo - c l producto de ls solucioes es c prtido por sto es mu útil cudo queremos clculr u ecució que teg dos determids solucioes usdo como. Por ejemplo, supogmos que queremos teer u ecució cus solucioes se. toces ( ). Co esto l ecució de º grdo que v teer ess solucioes es: Propiedd: Ls solucioes de u ecució de º grdo os sirve pr fctorir el poliomio de º grdo socido. Así si ls solucioes de l ecució de º grdo b c so. toces, como sbemos, podemos poer P ) b c ( )( ) ( jemplo.- Descompoer e fctores el poliomio P ( ). Ls solucioes so. Por tto, os qued fctorido como sigue P ( ) ( )( ) c UNIDAD.- cucioes sistems

3 . CUACIONS D GRADO SUPRIOR - cucioes bicudrds So ecucioes de l form b c que se puede trsformr e ecucioes de º grdo. Vemos co ejemplos como se resuelve. jemplo: Resolver Nos dmos cuet de que l ecució se puede poer de l siguiete form eteder como u ecució de º grdo e [ ], plicdo l fórmul teemos que: ( ) pr cd u de ells resolvemos: jemplo: Resolver, que se puede sts so ls solucioes de Por tto os sle cutro solucioes. Aálogmete teemos que dros cuet que se puede poer como ( ( ) cso sólo h dos solucioes ) - cucioes que puede fctorirse resolvemos este No eiste este tipo de ecucioes lo que hemos de hcer es descompoer e fctores después igulr cd fctor resolviedo ls ecucioes resulttes que será de meor grdo. Vemos cómo se reli co ejemplos. jemplo: Resolver l ecució Descompoemos e fctores plicdo Ruffii, Y el cociete es de grdo, teemos que Si el producto de fctores d, eso implic que lguo de los fctores es, luego teemos que Nos h slido solucioes de l ecució, que so: jemplo: Resolver l ecució 8 Aplicmos Ruffii pr descompoer hst que lleguemos u poliomio de º grdo como cociete UNIDAD.- cucioes sistems

4 Así os qued, est ecució sólo h dos solucioes No tiee solucioes Luego e. CUACIONS IRRACIONALS So quells ecucioes e ls cules l icógit prece bjo el sigo de rdicl. Nos vmos limitr quells e ls que prece rdicles cudráticos (ríces cudrds). l proceso pr resolverls es el siguiete: - Se dej u rdicl e u miembro de l ecució os llevmos todos los demás l otro miembro - Se elev l cudrdo los dos miembros de l ecució - Si eiste todví lgú rdicl, se repite el proceso terior - Se resuelve l ecució resultte es obligtorio comprobr que ls solucioes obteids so solucioes de l ecució iicil, pues l elevr l cudrdo u ecució puede geerrse otrs solucioes. jemplo: Resolver Aislmos el rdicl: levmos l cudrdo: ( ) ( ) Resolvemos l ecució de º grdo: Comprobmos ls solucioes sustituedo e l ecució iicil: este cso sólo h u solució jemplo: Resolver Aislmos el rdicl: levmos l cudrdo: s cierto o válido No es cierto o o válido Aislmos uevmete el rdicl: (simplificmos) levmos l cudrdo de uevo: Comprobmos l solució: s u solució válid UNIDAD.- cucioes sistems

5 . SISTMAS D CUACIONS D º GRADO U sistem de ecucioes es de º grdo cudo lgu de ls icógits es de º grdo Pr resolverlos teemos dos métodos - Método de sustitució: Se despej u icógit de u de ls ecucioes se sustitue e l otr l epresió obteid. Y l ecució resultte se resuelve por los métodos decudos. ste método es el más usdo. - Método de igulció: Se despej l mism icógit de ls dos ecucioes se igul ls epresioes obteids. Y resolvemos por los métodos decudos l ecució resultte. s meos usdo. jemplo: Resolver el sistem De l ª ecució despejmos por ejemplo l os result: Sustituimos e l ª ecució, (desrrollmos) 8 (grupmos teemos u ecució de º grdo e ) 8 (simplificmos por ) ( ) ( ) (resolvemos l ecució de º grdo) 8 stos vlores de os coduce ls solucioes del sistem clculdo sus correspodietes :, st es u solució del sistem, u pr de vlores st es l otr solució del sistem, u pr de vlores jemplo: Resolver el sistem Vmos hcerlo por igulció (se puede hcer perfectmete por sustitució tmbié). Despejmos l de ls dos ecucioes Igulmos hor ls dos epresioes de que teemos: Y resolvemos es ecució de º grdo: Pr cd vlor de clculmos su correspodiete usdo culquier de ls dos epresioes despejds:, ( ) 8, UNIDAD.- cucioes sistems

6 UNIDAD.- cucioes sistems. SISTMAS D CUACIONS LINALS U sistem de m ecucioes lieles co icógits es tod epresió del tipo (ls icógits tiee grdo ): m m m m b b b Llmmos: - Coeficietes del sistem los úmeros reles ij - Térmios idepedietes los úmeros reles i b - Icógits los j que debe ser clculdos L primer ecució se deot, l segud co sí sucesivmete. L solució de u sistem es cd uo de los cojutos de úmeros S, S,, S que, sustituidos e ls icógits correspodietes, verific tods cd u de ls igulddes. Resolver u sistem es ecotrr ls posibles solucioes del mismo, es decir, los vlores que puede tomr ls icógits de mer que se verific simultáemete ls m ecucioes. jemplos: ) es u sistem liel de dos ecucioes co dos icógits b) es u sistem liel de ecucioes co icógits c) es u sistem liel de ecucioes co icógits TIPOS D SISTMAS D CUACIONS N FUNCIÓN D SUS SOLUCIONS ) Icomptibles: So quellos que o tiee solució es u sistem icomptible. b) Comptibles: So quellos que tiee solució Comptibles determidos: Cudo l solució es úic. es comptible determido. Su úic solució es Comptibles idetermidos: Cudo tiee ifiits solucioes. es comptible idetermido. So solucioes,,, etc.

7 Diremos que dos sistems de ecucioes so equivletes si tiee ls misms solucioes. Podemos hcer cmbios e u sistem de ecucioes plicdo los siguietes criterios de equivleci: Criterios de equivleci.- Si mbos miembros de u ecució de u sistem se les sum o se les rest u mism epresió, el sistem resultte es equivlete. =, =.- Si multiplicmos o dividimos mbos miembros de ls ecucioes de u sistem por u úmero distito de cero, el sistem resultte es equivlete. =, =.- Si summos o restmos u ecució de u sistem otr ecució del mismo sistem, el sistem resultte es equivlete l ddo. =, =.- Si e u sistem se sustitue u ecució por otr que resulte de sumr ls dos ecucioes del sistem previmete multiplicds o dividids por úmeros o ulos, result otro sistem equivlete l primero..- Si e u sistem se cmbi el orde de ls ecucioes o el orde de ls icógits, result otro sistem equivlete. Recordemos hor los métodos de resolució pr sistems lieles de dos ecucioes co dos icógits..- Método de sustitució jemplo teórico: Resolver por sustitució el sistem: () Despejmos u icógit (l que quermos) de u de ls ecucioes, e este cso de l ª ecució, l "". UNIDAD.- cucioes sistems

8 UNIDAD.- cucioes sistems 8 de despejr) fácil más l elegido (hemos (b) Sustituimos el vlor de l icógit despejd e su lugr e l otr ecució (c) Resolvemos l ecució obteid e (b) ) ( (d) Volvemos l ecució de l icógit despejd l pricipio, pr clculr el vlor de es icógit (e) Dr l solució jercicio.- Resolver por sustitució los siguietes sistems: ) 8 b).- Método de igulció jemplo teórico: Resolver por igulció el sistem () Despejmos l mism icógit (l que resulte más cómod) de ls dos ecucioes. este sistem vmos despejr l icógit " " (b) Igulmos ls epresioes obteids. (c) Resolvemos l ecució obteid.

9 UNIDAD.- cucioes sistems (d) Clculmos l otr icógit sustituedo el vlor de l icógit obteid e culquier de ls dos epresioes obteids l pricipio, e (), se elige l más fácil. (e) Se d l solució: jercicio.- Resolver por igulció los siguietes sistems: ) 8 b).- Método de reducció ste método lo vmos estudir por seprdo dd su poteci.. MÉTODO D GAUSS O D RDUCCIÓN l método de Guss es u geerlició del método de reducció cosiste e trsformr u sistem ddo e otro equivlete de mer que se trigulr mu fácil de resolver. ste método es el más usdo pr sistems de más de dos icógits vmos ver cómo fucio co u ejemplo práctico jemplo teórico: Vmos resolver por el método de Guss el sistem Observmos que teemos ecucioes que ls idetificmos por, Cmbimos o permutmos l l. Lo otremos por A l le restmos el doble de l ecució. Lo otremos por: ) ( ) ( Opermos obteemos u uev dode o prece l icógit A l le restmos l Y teemos l triguld. Ahor co l hcemos lo mismo pero sólo co l l Multiplicmos por l por l. Lo otmos como

10 Ahor efectumos los siguiete Simplificmos l Y podemos clculr de l l sustituimos clculmos l sustituimos pr clculr L solució del sistem es: jemplo teórico: Resolver por el método de Guss el sistem jemplo teórico: Resolver por el método de Guss el sistem UNIDAD.- cucioes sistems

11 . RSOLUCIÓN D PROBLMAS D CUACIONS Psos seguir e l resolució de problems co ecucioes:. Compreder el problem (leerlo tts veces como se ecesrio) b. legir l icógit o icógits c. Plter ls ecucioes d. Resolver l ecució o sistem e. Comprobr ls solucioes obteids, desechdo quells que crece de setido e el coteto del problem jemplo: U hijo tiee ños meos que su pdre éste tiee cutro veces l edd del hijo. Qué edd tiee cd uo? edd del hijo Vmos plterlo co dos icógits: edd del pdre Pltemos ls relcioes etre ells: Y hor resolvemos, e este cso lo más fácil es sustitució: jemplo: Pedro tiee e billetes de de ; si e totl tiee billetes, cuátos tiee de cd clse? Vmos plterlo co u sol icógit (se puede hcer co dos) Supogmos que: = º de billetes de, por tto el º de billetes de es (-) Así que: ( ) 8 Teemos por tto billetes de billetes de jemplo: L sum de ls eddes de dos persos es 8 ños el producto. Qué edd tiee cd u? edd de ª perso Vmos plterlo co dos icógits: edd de ª perso 8 Pltemos ls relcioes etre ells: Y hor resolvemos, e este cso lo más fácil es 8 8 sustitució: Resolvemos l ecució de º grdo: UNIDAD.- cucioes sistems