UNIDAD 0.- Repaso (parte I)

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1 UNIDAD.- Repso prte I). NUMROS NATURALS Y NTROS Co los úmeros turles cotmos los elemetos de u cojuto úmero crdil). O ie epresmos l posició u orde que ocup u elemeto e u cojuto ordil). Se represet por N sus elemetos so N {,,,,.} l cojuto de los úmeros eteros so los turles sus correspodietes egtivos. Se represet por Ζ sus elemetos so Ζ {, -, -,,,,...} Gráficmete se represet e u rect horiotl, U º etero es meor que otro º etero cudo ) es positivo, o ie gráficmete cudo está l iquierd de. Se ot por < gráficmete es, U º etero es mor que otro º etero cudo ) es egtivo, o ie gráficmete cudo está l derech de. Se ot por > gráficmete es, U cocepto socido los úmeros eteros es el de vlor soluto, que de mer urd cosiste e covertir l º e positivo si fuer egtivo, si es positivo dejrlo tl cul. L defiició correct es l siguiete: si si < jemplos: - --). NÚMROS RACIONALS. POTNCIAS Se llm úmero rciol todo úmero que puede represetrse como el cociete de dos eteros, co deomidor distito de cero. Mtemáticmete se epres como sigue: l cocepto de poteci de u º rciol epoete turl es álogo l coocido pr los eteros, sí por ejemplo: UNIDAD : Repso prte I)

2 UNIDAD : Repso prte I) Así, se defie l poteci de se u º rciol,, epoete etero como: - Si el epoete es etero positivo: - Si el epoete es cero: - Si el epoete es etero egtivo: sts potecis tiee ls misms propieddes que ls potecis de se u º etero ) ) m m ) m m : ) m m ) d c d c ) d c d c : : NOTA: Jerrquí de opercioes: ) Los prétesis /o corchetes emper por los más iteros ) Potecis ) Productos divisioes ) Sums rects jercicios resueltos: ) ) ) ) ) ) ) 8)

3 . RLACIONS NTR LOS NÚMROS RACIONALS Y DCIMALS Culquier º rciol se puede epresr como u º deciml ecto, periódico puro l prte deciml es sólo periódic) o periódico mito l prte deciml tiee u prte o periódic) si más que dividir umerdor etre deomidor de l form hitul, 8,, 8 Aálogmete, culquier º deciml ecto, periódico puro o periódico mito se puede epresr como u º rciol. Vemos uos ejemplos,,, 8, Podemos cocluir etoces, que los úmeros rcioles equivle l cojuto formdo por los decimles ectos, los periódicos puros los periódicos mitos.. NÚMROS IRRACIONALS. NÚMROS RALS H úmeros decimles co ifiits cifrs decimles que o so periódicos como por ejemplo:,. -,.. A estos úmeros los llmmos irrcioles se ot por I, so quellos úmeros que o se puede represetr por u frcció. Los úmeros irrcioles más coocidos so: - l úmero π : π,.. - l úmero :,. - l úmero de oro φ úmero áureo): φ,88. - l úmero e: e,8888. l cojuto de los úmeros rcioles e uió co los úmeros irrcioles form el cojuto de los úmeros reles se deot por l letr R. Se tiee que R Q I Los úmeros reles lle por completo l rect, cd puto de l rect correspode u º rel vicevers. Por eso l llmmos rect rel Resumiedo e u esquem, los cojutos de úmeros que hemos visto so: o ie UNIDAD : Repso prte I)

4 . INTRVALOS N LA RCTA RAL Símolos mtemáticos Perteece No perteece Uió Itersecció Coteido e Coteido o igul iste Pr todo Sí sólo si Implic No Aproimdmete l itervlo ierto de etremos es el cojuto de úmeros reles compredidos etre pero si, R tles que < < icluirlos. Mtemáticmete se epres sí: ) { } Se represet gráficmete por ó por l itervlo cerrdo de etremos es el cojuto de úmeros reles compredidos etre icluidos, R tles que éstos. Mtemáticmete se epres sí: [ ] { } Se represet gráficmete por ó por l itervlo semiierto o semicerrdo de etremos es el cojuto de úmeros reles compredidos, R tles que < etre icluido uo sólo de ellos. Mtemáticmete se epres sí: [ ) { } semicerrdo l iquierd o semiierto l derech) ] { R tles que < }, semicerrdo l derech o semiierto l iquierd) Se represet gráficmete por Se relle el etremo que etr detro del itervlo si reller el que o está Semirrects Ls semirrects está determids por u úmero. u semirrect se ecuetr todos los úmeros mores o meores) que él. UNIDAD : Repso prte I)

5 . APROXIMACIONS DCIMALS. RDONDOS Y TRUNCAMINTOS U proimció deciml de orde por defecto es u estimció e l cul tods ls cifrs, icluid l que idic el orde, so ls misms que e el º origil ls demás so cero. U proimció deciml de orde por eceso es u estimció e l cul tods ls cifrs, ecluid l que idic el orde, so ls misms que e el º origil; l que idic el orde es u uidd más el resto de ells so cero. jemplo: Co el º π,.., teemos que l proimció deciml de orde l milésim) por defecto es π, Y l proimció deciml por eceso de orde l milésim) es π, l redodeo de orde de u º es l mejor proimció deciml de orde que se puede dr de ese úmero. Se oserv l cifr que ocup el lugr de orde ; si l cifr siguiete es iferior, el redodeo es l proimció deciml por defecto, si es mor o igul que, el redodeo es l proimció deciml por eceso. jemplo: Co el º π,.., teemos que redodeo de orde l milésim) es π, pues l ª cifr es u por tto l milésim se umet e u uidd. UNIDAD : Repso prte I)

6 Ahor, el redodeo de orde l ciemilésim) es π, pues l ª cifr deciml es u, por tto l cifr de l ciemilésim se qued igul. l trucmieto de orde de u º es su proimció deciml por defecto de orde. NOTACIÓN CIÉNTIFICA presr u º e otció cietífic es poerlo como u producto cu cifr de uiddes es u dígito del l seguido de u prte deciml, por u poteci de se epoete etero, Se suele usr pr úmeros mu grdes o mu pequeños. jemplos: ), ) -,8-8, 8. RADICALS, cd... Se llm rí eésim de u º, se deot por, otro úmero que cumple que L epresió se llm rdicl, dode se llm rdicdo se llm ídice U mismo º o rdicl puede ser escrito de forms diferetes, usdo rdicles equivletes, como por ejemplo Pr oteer rdicles equivletes st multiplicr o dividir por u mismo º el ídice del rdicl el epoete del rdicdo. jemplo: Simplificr los siguietes rdicles ) ) 8 jemplo: trer fctores de los siguietes rdicles: ) 8 ) c) jemplo: Itroducir fctores e los siguietes rdicles: ) ) ) jemplo: fectur ls siguietes opercioes: 8 ) UNIDAD : Repso prte I)

7 ) poete frcciorio: Todo rdicl se puede epresr como u poteci de epoete frcciorio de l siguiete form m m Ls propieddes de ls potecis se cumple igulmete pr ls potecis de epoete frcciorio. jemplo: fectú ls siguietes opercioes usdo epoete frcciorio: ) ) c) d) : : : :. RACIONALIZACIÓN D DNOMINADORS Al procedimieto por el cul elimimos los rdicles del deomidor de u frcció se llm rciolició H diferetes forms: ) Del tipo : Se multiplic umerdor deomidor por jemplos: Rciolir: ) ) ) ) ) Del tipo : Se multiplic umerdor deomidor por el cojugdo del deomidor ± c jemplos: Rciolir: ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) Del tipo ± jemplos: Rciolir: c : Aálogo l cso terior UNIDAD : Repso prte I)

8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). OPRACIONS CON POLINOMIOS U moomio e l idetermid es tod epresió de l form dode se llm coeficiete grdo del moomio. Dos moomios se dice semejtes si tiee el mismo grdo U poliomio e l idetermid es u epresió lgeric formd por l sum o difereci de moomios e l mism idetermid. Se suele otr por P ), Q ), R ) Se llm térmio de u poliomio cd uo de los moomios que lo form. Al moomio de grdo cero lo llmmos térmio idepediete. Se llm grdo de u poliomio l mor de los grdos de los moomios que lo form. jemplo: l poliomio P ) tiee grdo su térmio idepediete es Opercioes co poliomios ) Sum difereci de poliomios Pr sumr o restr poliomios se sum o rest los moomios semejtes. jemplo: Ddos los poliomios P ) Q ) R ) Vmos efectur P ) [ Q ) R ) ] ) - ) ) Producto de poliomios ) -[ ) ) ] Pr multiplicr dos poliomios se multiplic todos los moomios del primero por cd uo de los del segudo, vicevers, por último se reduce los térmios semejtes. jemplo: Ddos los poliomios P ) ) R, clculr P ) R ) ) ) jemplo: Ddo el poliomio ) P, clculr [ P )] 8 [ )] P ) ) 8 UNIDAD : Repso prte I)

9 . DIVISIÓN D POLINOMIOS Vemos co u ejemplo como se reli l divisió de dos poliomios. Se P ) Q ), vmos efectur l divisió P ) : Q ) ó P ) Q ) A P) se le llm poliomio dividedo Q) H que seguir estos psos pr dividir poliomios: se le llm poliomio divisor - Pr poder dividir poliomios el grdo del poliomio dividedoe este cso ) h de ser mor que el del poliomio divisore este cso ) - Se orde los poliomios dividedo divisor de mor meor grdo. Si el dividedo estuvier icompleto, dejmos huecos o espcios e lco correspodietes los térmios que flt. - Hcemos l divisió o cociete etre el primer térmio del dividedo el primer térmio del divisor. este ejemplo,. Éste será el primer térmio del cociete - l cociete oteido lo multiplicmos por el divisor los psmos co sigo opuesto o cmido dejo de los térmios del poliomio dividedo - Summos los poliomios de l prte del dividedo, vemos que siempre el de mor grdo se ccel - Co el poliomio resultte, volvemos relir el mismo proceso, es decir, dividimos el de mor grdo del uevo etre el de mor grdo del divisor,, que será el uevo térmio del poliomio cociete - Volvemos multiplicr, e este pso por el divisor lo psmos l otro ldo co sigo cmido summos UNIDAD : Repso prte I)

10 - Hcemos lo mismo, repetidmete hst que el grdo del poliomio dividedo resultte se meor que el grdo del poliomio divisor. Todví h que hcerlo u ve más, e este pso - Co esto teemos hech l divisió dode el poliomio cociete es C ) el poliomio resto es R ). Si os fijmos vemos que el poliomio resto siempre h de teer meor grdo que el poliomio divisor. - Por último, si queremos podemos relir l comproció efectudo dividedo divisor cociete resto jemplo: que e este ejemplo serí hcer ) ) ) ver que el resultdo es P ) fectur l divisió ) : ) Solució: Cociete: C ) Resto: R ). RGLA D RUFFINI st regl se plic cudo el divisor es u poliomio de l form ). Vemos co u ejemplo como se procede: Vmos dividir el poliomio ) etre el poliomio ) UNIDAD : Repso prte I)

11 - Poemos los coeficietes del poliomio dividedo e orde de mor meos grdo el térmio idepediete del divisor cmido de sigo de l siguiete form - - Bjmos el primer térmio del dividedo lo multiplicmos por el térmio idepediete. Lo poemos dejo del siguiete térmio del poliomio dividedo - - Summos - - Volvemos operr de mer similr - - Cotiumos hst el fil de igul mer - - l último úmero es el resto de l divisió - Los otros úmeros so los coeficietes del poliomio dividedo, que es de u grdo meos que el grdo del poliomio dividedo - UNIDAD : Repso prte I)

12 - Por tto teemos que Cociete: C ) Resto: R ) jemplo: Dividir por Ruffii ) : ) Por tto teemos que Cociete: C ) Resto: R ). DSCOMPOSICIÓN FACTORIAL D UN POLINOMIO Pr descompoer u poliomio e fctores, es decir, como producto de poliomios de meor grdo, se h de seguir diferetes métodos que os permitirá relirlo: - Scr fctor comú: jemplo: tremos fctores comues del poliomio P ) 8 ) jemplo: tremos fctores del poliomio P ) ) ) ) [ ) ] ) ) - Usr ls igulddes otles: Recordemos ls igulddes otles, que so: ) ) ) ) Teiedo e cuet lo terior, lo plicmos los siguietes ejemplos: jemplo: ) jemplo: ) jemplo: ) ) [ ] jemplo: ) ) ) ) ) ) jemplo: ) ) ) ) ) - Usr Ruffii: Llmmos rí de u poliomio P ) cd uo de los úmeros pr los cules el vlor umérico del poliomio es cero, es decir, es rí del poliomio P ) P ). estos csos, el poliomio ) es u fctor del poliomio P ) UNIDAD : Repso prte I)

13 Ls ríces eters de u poliomio so divisores del térmio idepediete siempre que este o se ulo. jemplo: Vmos descompoer por Ruffii el poliomio P ). Ls posiles ríces eters so los divisores del térmio idepediete, -. Por tto deemos pror co ±, ±, ± ±. mpemos vmos prodo, quí sólo poemos ls que os iteres, d de resto P ) ) ) Co lo cul os qued, ) jemplo: Vmos descompoer por Ruffii el poliomio P ). Ls posiles ríces eters so los divisores del térmio idepediete,. Por tto deemos pror co ±, ±, ± L rí rciol l hemos oteido dividiedo - etre cmiádole el sigo. st regl sirve siempre pr l últim de ls ríces. Por tto os qued que, ). MCD Y MCM D POLINOMIOS P ) l máimo comú divisor de vrios poliomios, MCD, se otiee co los fctores comues los poliomios co su meor epoete. Si o huier iguo, el MCD es, es decir so primos etre sí. UNIDAD : Repso prte I)

14 l míimo comú múltiplo de vrios poliomios, MCM, se otiee tomdo los fctores comues o comues co su mor epoete. jemplo: Vmos clculr el MCD MCM de los poliomios P ) Q ) Descompoemos por Ruffii cd uo de ellos Así, ) P ) ) Así, ) Q ) ) 8) Por tto, ) MCD P ), Q )) ) ) ) 8) MCM P ), Q )). FRACCIONS ALGBRAICAS. OPRACIONS U frcció lgeric es el cociete de dos poliomios P ), como por ejemplo Q ) ó UNIDAD : Repso prte I)

15 Aálogmete ls frccioes umérics, si multiplicmos o dividimos el umerdor el deomidor de u frcció lgeric por u mismo poliomio, oteemos u frcció equivlete l dd. sto os permite simplificr o complicr u frcció lgeric jemplos: ) simplificr ) descompoemos e fctores umerdor deomidor) ) sto es lo que se llm ) ) ) multiplicmos por el mismo poliomio e umerdor deomidor) ) - Sum de frccioes lgerics Se oper de form álog l sum de frccioes umérics. jemplo: fectur ) ) ) ) Clculmos el MCM de los deomidores, MCM ) ) que es el deomidor comú. Ahor hcemos igul que co ls frccioes, dividimos el deomidor comú MCM) por el deomidor tiguo el resultdo lo multiplicmos por el umerdor correspodiete. Así os qued, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) - Producto poteci de frccioes lgerics Se oper de form álog ls frccioes umérics jemplo: fectur ) simplificmos) ) ) ) ) hor fctorimos por si se pudier simplificr) ) ) ) ) ) ) comú) ) ) simplificmos) ) ) ) ) ) hor summos poiedo deomidor ) UNIDAD : Repso prte I)

16 UNIDAD : Repso prte I) - Cociete de frccioes lgerics Se oper de form álog ls frccioes umérics jemplo: fectur ) : multiplicmos e cru) ) ) fctorimos pr ver si se puede simplificr) ) ) ) ) ) : ) ) ) descompoemos e fctores) ) ) ) ) jemplos: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) descompoemos simplificmos) ) ) ) ) ) ) ) ) : ) ) ) ) ) c) Descompoemos e fctores los deomidores clculmos el comú deomidor: ) ) ) ) ) ) ) MCM Y sí teemos que: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). CUACIONS D º GRADO. RSOLUCIÓN U idetidd es u iguldd literl que se verific pr culquier vlor umérico que se dé ls letrs que etr e l iguldd. jemplo: ) es u idetidd U ecució es u iguldd literl que sólo se verific pr vlores específicos o determidos que se de ls letrs que etr e l iguldd.

17 jemplo: es u ecució. jemplos.- Decir si so idetiddes o ecucioes ls siguietes igulddes: Idetidd ) ) ) ) c) ) ) cució cució d) cució jemplo.- RPASO) Resolver ls siguietes ecucioes de primer grdo ) ) ) ) ) 8 c) d) Ls ecucioes de º grdo so ecucioes de l form c dode pues si fuer serí u ecució de primer grdo. Ls solucioes se otiee medite l fórmul: ± c Al º c) se le llm discrimite se represet por l letr grieg delt c. Se tiee que: - Si c >, v teer dos solucioes - Si c, v teer u sol solució que se llm dole - Si c <, o v teer solucioes pues ríces cudrds de úmeros egtivos o eiste. jemplo.- Resolver Aplicdo l fórmul de ls solucioes de u ecució de º grdo teemos que: ) ± ) ± ± ± De lo terior teemos dos solucioes segú tomemos el ó el U estudio prte merece ls llmds ecucioes de º grdo icomplets que so quells dode el coeficiete de primer grdo ) o el térmio idepediete c) vle. Vemos cómo se resuelve. - Si c c c c ±, c - Si c ), jemplo: Resolver UNIDAD : Repso prte I)

18 Aplicdo lo terior teemos que: ± jemplo: Resolver: Por lo terior teemos que, scdo fctor comú : ) jemplo: Resolver l ecució ± ± ± > 8 Propiedd: Si teemos u ecució de º grdo c cus solucioes so se cumple que: - L sum de ls solucioes es prtido por cmido de sigo - c l producto de ls solucioes es c prtido por sto es mu útil cudo queremos clculr u ecució que teg dos determids solucioes usdo como. Por ejemplo, supogmos que queremos teer u ecució cus solucioes se. toces ). Co esto l ecució de º grdo que v teer ess solucioes es: Propiedd: Ls solucioes de u ecució de º grdo os sirve pr fctorir el poliomio de º grdo socido. Así si ls solucioes de l ecució de º grdo c so. toces, como semos, podemos poer P ) c ) ) jemplo.- Descompoer e fctores el poliomio P ). Ls solucioes so qued fctorido como sigue P ) ) ). Por tto, os. CUACIONS D GRADO SUPRIOR - cucioes icudrds So ecucioes de l form c que se puede trsformr e ecucioes de º grdo. Vemos co ejemplos como se resuelve. jemplo: Resolver Nos dmos cuet de que l ecució se puede poer de l siguiete form [ ] [ ] eteder como u ecució de º grdo e [ ], plicdo l fórmul teemos que:, que se puede 8 UNIDAD : Repso prte I)

19 ) ) ± pr cd u de ells resolvemos: ± ± sts so ls solucioes de ± ± Por tto os sle cutro solucioes. jemplo: Resolver. Aálogmete teemos que dros cuet que se puede poer como [ ] [ ] resolvemos ) ) ± ) cso sólo h dos solucioes ± ± ± ± este No eiste - cucioes que puede fctorirse este tipo de ecucioes lo que hemos de hcer es descompoer e fctores después igulr cd fctor resolviedo ls ecucioes resulttes que será de meor grdo. Vemos cómo se reli co ejemplos. jemplo: Resolver l ecució Descompoemos e fctores plicdo Ruffii, Y el cociete es de grdo, teemos que ) ) implic que lguo de los fctores es, luego teemos que solucioes de l ecució, que so: jemplo: Resolver l ecució 8 Si el producto de fctores d, eso ± Aplicmos Ruffii pr descompoer hst que lleguemos u poliomio de º grdo como cociete Nos h slido UNIDAD : Repso prte I)

20 Así os qued, 8 ) ) ) Luego e est ecució sólo h dos solucioes ± No tiee solucioes 8. CUACIONS IRRACIONALS So quells ecucioes e ls cules l icógit prece jo el sigo de rdicl. Nos vmos limitr quells e ls que prece rdicles cudráticos ríces cudrds). l proceso pr resolverls es el siguiete: - Se dej u rdicl e u miemro de l ecució os llevmos todos los demás l otro miemro - Se elev l cudrdo los dos miemros de l ecució - Si eiste todví lgú rdicl, se repite el proceso terior - Se resuelve l ecució resultte es oligtorio compror que ls solucioes oteids so solucioes de l ecució iicil, pues l elevr l cudrdo u ecució puede geerrse otrs solucioes. jemplo: Resolver Aislmos el rdicl: levmos l cudrdo: ) ) Resolvemos l ecució de º grdo: ± Compromos ls solucioes sustituedo e l ecució iicil: s cierto o válido No es cierto o o válido este cso sólo h u solució jemplo: Resolver Aislmos el rdicl: levmos l cudrdo: ) ) ) Aislmos uevmete el rdicl: simplificmos) levmos l cudrdo de uevo: ) Compromos l solució: s u solució válid. SISTMAS D CUACIONS D º GRADO U sistem de ecucioes es de º grdo cudo lgu de ls icógits es de º grdo UNIDAD : Repso prte I)

21 Pr resolverlos teemos dos métodos - Método de sustitució: Se despej u icógit de u de ls ecucioes se sustitue e l otr l epresió oteid. Y l ecució resultte se resuelve por los métodos decudos. ste método es el más usdo. - Método de igulció: Se despej l mism icógit de ls dos ecucioes se igul ls epresioes oteids. Y resolvemos por los métodos decudos l ecució resultte. s meos usdo. jemplo: Resolver el sistem De l ª ecució despejmos por ejemplo l os result: Sustituimos e l ª ecució, ) desrrollmos) 8 grupmos teemos u ecució de º grdo e ) 8 simplificmos por ) resolvemos l ecució de º grdo) ) ± ) ) ± ± 8 stos vlores de os coduce ls solucioes del sistem clculdo sus correspodietes :, st es u solució del sistem, u pr de vlores ) st es l otr solució del sistem, u pr de vlores jemplo: Resolver el sistem Vmos hcerlo por igulció se puede hcer perfectmete por sustitució tmié). Despejmos l de ls dos ecucioes Igulmos hor ls dos epresioes de que teemos: Y resolvemos es ecució de º grdo: ± Pr cd vlor de clculmos su correspodiete usdo culquier de ls dos epresioes despejds:, ) 8,. SISTMAS D CUACIONS LINALS U sistem de m ecucioes lieles co icógits es tod epresió del tipo ls icógits tiee grdo ): m m... m m UNIDAD : Repso prte I)

22 UNIDAD : Repso prte I) Llmmos: - Coeficietes del sistem los úmeros reles ij - Térmios idepedietes los úmeros reles i - Icógits los j que dee ser clculdos L primer ecució se deot, l segud co sí sucesivmete. L solució de u sistem es cd uo de los cojutos de úmeros S, S,, S que, sustituidos e ls icógits correspodietes, verific tods cd u de ls igulddes. Resolver u sistem es ecotrr ls posiles solucioes del mismo, es decir, los vlores que puede tomr ls icógits de mer que se verific simultáemete ls m ecucioes. jemplos: ) es u sistem liel de dos ecucioes co dos icógits ) es u sistem liel de ecucioes co icógits c) es u sistem liel de ecucioes co icógits TIPOS D SISTMAS D CUACIONS N FUNCIÓN D SUS SOLUCIONS ) Icomptiles: So quellos que o tiee solució es u sistem icomptile. ) Comptiles: So quellos que tiee solució Comptiles determidos: Cudo l solució es úic. es comptile determido. Su úic solució es Comptiles idetermidos: Cudo tiee ifiits solucioes. es comptile idetermido. So solucioes,,, etc. Diremos que dos sistems de ecucioes so equivletes si tiee ls misms solucioes. Podemos hcer cmios e u sistem de ecucioes plicdo los siguietes criterios de equivleci: Criterios de equivleci.- Si mos miemros de u ecució de u sistem se les sum o se les rest u mism epresió, el sistem resultte es equivlete.

23 ,.- Si multiplicmos o dividimos mos miemros de ls ecucioes de u sistem por u úmero distito de cero, el sistem resultte es equivlete.,.- Si summos o restmos u ecució de u sistem otr ecució del mismo sistem, el sistem resultte es equivlete l ddo.,.- Si e u sistem se sustitue u ecució por otr que resulte de sumr ls dos ecucioes del sistem previmete multiplicds o dividids por úmeros o ulos, result otro sistem equivlete l primero..- Si e u sistem se cmi el orde de ls ecucioes o el orde de ls icógits, result otro sistem equivlete. Recordemos hor los métodos de resolució pr sistems lieles de dos ecucioes co dos icógits..- Método de sustitució jemplo teórico: Resolver por sustitució el sistem: ) Despejmos u icógit l que quermos) de u de ls ecucioes, e este cso de l ª ecució, l " ". hemos elegido l más fácil de despejr) ) Sustituimos el vlor de l icógit despejd e su lugr e l otr ecució ) c) Resolvemos l ecució oteid e ) UNIDAD : Repso prte I)

24 UNIDAD : Repso prte I) ) d) Volvemos l ecució de l icógit despejd l pricipio, pr clculr el vlor de es icógit e) Dr l solució jercicio.- Resolver por sustitució los siguietes sistems: ) 8 ).- Método de igulció jemplo teórico: Resolver por igulció el sistem ) Despejmos l mism icógit l que resulte más cómod) de ls dos ecucioes. este sistem vmos despejr l icógit " " ) Igulmos ls epresioes oteids. c) Resolvemos l ecució oteid. d) Clculmos l otr icógit sustituedo el vlor de l icógit oteid e culquier de ls dos epresioes oteids l pricipio, e ), se elige l más fácil. e) Se d l solució:, jercicio.- Resolver por igulció los siguietes sistems:

25 UNIDAD : Repso prte I) ) 8 ).- Método de reducció ste método lo vmos estudir por seprdo dd su poteci.. MÉTODO D GAUSS O D RDUCCIÓN l método de Guss es u geerlició del método de reducció cosiste e trsformr u sistem ddo e otro equivlete de mer que se trigulr mu fácil de resolver. ste método es el más usdo pr sistems de más de dos icógits vmos ver cómo fucio co u ejemplo práctico jemplo teórico: Vmos resolver por el método de Guss el sistem Oservmos que teemos ecucioes que ls idetificmos por, Cmimos o permutmos l l. Lo otremos por A l le restmos el dole de l ecució. Lo otremos por: ) ) Opermos oteemos u uev dode o prece l icógit A l le restmos l Y teemos l triguld. Ahor co l hcemos lo mismo pero sólo co l l Multiplicmos por l por l. Lo otmos como Ahor efectumos los siguiete Simplificmos l Y podemos clculr de l l sustituimos clculmos l sustituimos pr clculr

26 UNIDAD : Repso prte I) L solució del sistem es: jemplo teórico: Resolver por el método de Guss el sistem jemplo teórico: Resolver por el método de Guss el sistem. RSOLUCIÓN D PROBLMAS D CUACIONS Psos seguir e l resolució de prolems co ecucioes:. Compreder el prolem leerlo tts veces como se ecesrio). legir l icógit o icógits c. Plter ls ecucioes d. Resolver l ecució o sistem e. Compror ls solucioes oteids, desechdo quells que crece de setido e el coteto del prolem

27 jemplo: U hijo tiee ños meos que su pdre éste tiee cutro veces l edd del hijo. Qué edd tiee cd uo? Vmos plterlo co dos icógits: edd del hijo edd del pdre Pltemos ls relcioes etre ells: Y hor resolvemos, e este cso lo más fácil es sustitució: jemplo: Pedro tiee e illetes de de ; si e totl tiee illetes, cuátos tiee de cd clse? Vmos plterlo co u sol icógit se puede hcer co dos) Supogmos que: º de illetes de, por tto el º de illetes de es -) Así que: ) 8 Teemos por tto illetes de illetes de jemplo: L sum de ls eddes de dos persos es 8 ños el producto. Qué edd tiee cd u? Vmos plterlo co dos icógits: edd de ª perso edd de ª perso 8 Pltemos ls relcioes etre ells: Y hor resolvemos, e este cso lo más fácil es sustitució: 8 8 Resolvemos l ecució de º grdo: ) 8 UNIDAD : Repso prte I)