Unidad 1 NÚMEROS REALES Y NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Uidd NÚMEROS REALES Y NÚMEROS COMPLEJOS Competecis desrrollr: Idetificr los diferetes cojutos uméricos que coform los úmeros reles. Recoocer y plicr ls propieddes de los úmeros reles pr hcer opercioes etre ellos. Efectur e form correct opercioes etre úmeros complejos

2 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Uidd Números Reles y Números Complejos Números Nturles: so los úmeros que os sirve pr cotr, se represet co l letr N, este cojuto expresdo por extesió, serí:,,,,.... N { } Si icluimos l cero, se deomi úmeros crdiles, este cojuto se puede represetr e u rect uméric. Diujmos u rect uméric, mrcmos culquier puto sore l líe y llmémosle 0. Mrcmos u puto l derech del cero y llmémosle. L distci etre 0 y d u uidd de medició que se emple pr loclizr otros putos. Los putos mrcdos e l figur siguiete y los que cotiú co el mismo ptró hci l derech correspode l cojuto de los úmeros crdiles. Números Eteros: Podrímos colocr tmié úmeros l izquierd del cero, se escrie -,-,-, el sigo egtivo sirve pr idicr que está l izquierd del cero. Los úmeros l izquierd del 0 so egtivos. Los que se hll l derech del 0 so positivos. Los úmeros mrcdos sore l rect terior (icluidos los positivos, los egtivos y el cero) se les cooce como el cojuto de los Números eteros y se les represet por l letr Z. O se Z {...,,,0,,,... }, como puede verse N Z Hy muchs pliccioes práctics de los úmeros egtivos. E lgus regioes del plet, por ejemplo, ls temperturs del miete desciede por dejo del cero. Por otr prte, u egocio que gst más de lo que recie tiee u gci egtiv. Ls ltitudes por dejo del ivel del mr puede represetrse por medio de úmeros egtivos; por ejemplo, l cost que rode l Mr Muerto está, pies por dejo del ivel del mr, lo cul puede represetrse como -, pies. 6

3 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 No todos los úmeros so eteros. Por ejemplo, / o lo es, se trt de u úmero que está l mitd del cmio etre los eteros 0 y, tmpoco es u etero. E l figur siguiete se grfic vrios úmeros que o so eteros. L gráfic de u úmero es u puto sore l rect uméric. Todos los úmeros de l figur siguiete puede escriirse como cociete de eteros. Estos úmeros so ejemplo de úmeros rcioles. Números Rcioles: Es el cojuto de todos los úmeros que puede escriirse como el cociete de dos úmeros eteros (co el divisor diferete de cero); Los úmeros rcioles se represet por l letr Q. Q / Z, Z, 0, esto se lee es el cojuto de todos los úmeros de l form, tl que y so eteros, pero es diferete de cero Ahor, como culquier etero puede escriirse como el cociete de él mismo y el, etoces todos los eteros tmié so úmeros rcioles, o se Z Q. x, porque el resultdo de dividir dos eteros result u deciml ifiito periódico o u divisió exct (que podemos cosiderr de período cero). Otr form de defiir los Rcioles es Q { / x es u decimlifiito periódico} Ejemplo : es u deciml ifiito periódico cuyo período es es u deciml ifiito periódico cuyo período es es u deciml excto o deciml ifiito de período 0. 8 El periodo es l, o ls, cifrs decimles que se repite l efectur l divisió. Números Irrcioles: Existe otros úmeros que so decimles ifiitos o periódicos, como el cso de ls ríces o excts. Ejemplos, 7, 0. A estos úmeros de les cooce como úmeros irrcioles y se represet por l letr I. 7

4 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 O se I { x/x esudeciml ifiitoo periódico} ; tmié perteece este cojuto los úmeros π (pi) y e (úmero de euler). Números Reles: A l uió de los rcioles y los irrcioles, se les cooce como el cojuto de los úmeros reles, que se represet por l letr R. O se R Q U I. Otr form de defiir los reles es: R { x / x esu deciml}, o se u úmero es rel, si es deciml excto o deciml ifiito, periódico o o periódico. Por l defiició de estos cojutos uméricos podemos firmr que: N Z Q R y demás I R. Gráficmete podrímos represetrlo sí: Ejemplo : Ddo el cojuto.,,,,0,.,,, determie cuáles 9 cojutos uméricos (turles, eteros, rcioles, irrcioles o reles) perteece cd uo de sus elemetos. Solució: Nturles: El úico úmero turl es el. Eteros: So eteros los úmeros,0 y. Rcioles:.,,, 0,., 9 Irrcioles: y Reles: Todos so úmeros reles. L solució terior podemos resumirl e u tl de dole etrd, de l siguiete form: 8

5 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Relció de orde e R: N Z Q I R El cojuto de los reles es u cojuto ordedo, esto quiere decir que ddos dos úmeros reles siempre podremos determir si uo de ellos es myor o meor que el otro. Defiimos que < ( es meor que ), si está uicd l izquierd de, e l rect uméric. Y > ( es myor que ), si está uicd l derech de, e l rect uméric. Iverso ditivo u opuesto ditivo: Dos úmeros reles so opuestos ditivos si está l mism distci prtir del 0, pero e ldos opuestos del cero. Por ejemplo los úmeros 6 y -6 so opuestos ditivos. Defiició de vlor soluto: El vlor soluto de u úmero rel, deotdo por, se defie: () () Si > 0 etoces Si < 0 etoces ( ) E otrs plrs, podrímos decir, el vlor soluto de u úmero, es el mismo úmero si teer e cuet su sigo. 9

6 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Opercioes co los úmeros reles: Sum de úmeros reles: Sigos igules: pr sumr dos úmeros co el mismo sigo, dee sumrse sus vlores solutos. El sigo de l sum (+ 0 -) es el mismo que el sigo de los dos úmeros. Sigos diferetes: pr sumr dos úmeros co sigos diferetes dee restrse el vlor soluto más pequeño del más grde. L sum es positiv si el úmero positivo tiee el vlor soluto más grde. L sum es egtiv si el úmero egtivo posee el vlor soluto más grde. Ejemplo Determie cd u de ls sums siguietes. () ( 6) + ( ) ( 6 + ) () ( ) + ( ) ( + ) (c) + ( ) (d) (e) Sustrcció de úmeros reles: Defiició: Pr todos los úmeros reles y, + ( ). (Cmie el sigo del segudo úmero y sume.) Ejemplo Relice ls opercioes idicds. () ( 8) () + ( ) 6 (c) ( ) ( ) ( + ) 8 Multiplicció de úmeros reles: Sigos igules: pr multiplicr dos úmeros co el mismo sigo, multiplique sus vlores solutos. El producto es positivo. Sigos diferetes: pr multiplicr dos úmeros co sigos diferetes, multiplique sus vlores solutos. El producto es egtivo. Ejemplo 6 Determie cd uo de los productos siguietes. () ( ) 70 (c) 8 ( ) ()

7 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Divisió de úmeros reles Sigos igules: pr dividir dos úmeros co el mismo sigo, dee dividirse sus vlores solutos. El cociete es positivo. Sigos diferetes: pr dividir dos úmeros co sigos diferetes, hy que dividir sus vlores solutos. El cociete es egtivo. Ejemplo 7 Determie cd uo de los cocietes siguietes. () 00 () 60 (c) 0 Pr teer e cuet: Si cero se divide etre u úmero diferete de cero, el cociete es 0, esto es: pr 0 Ejemplo: 0 Y demás, l divisió etre cero o está defiid? 0 Propieddes de l sum y de l multiplicció de úmeros reles: Pr los úmeros reles, y c, se cumple ls siguietes propieddes. Propieddes de cierre o propiedd Si y so úmeros reles, clusurtiv etoces + y, so úmeros reles. Propieddes comuttivs + + y Propieddes socitivs ( + ) + c + ( + c) y ( ) c ( c) Propieddes de l idetidd Existe u úmero rel 0 tl que + 0 y 0 +. Existe u úmero rel, tl que y. Propieddes de los iversos Pr cd úmero rel, existe u solo úmero rel tl que + y ( ) + 0 ( ) 0 Pr cd úmero rel distito de cero,, Existe u solo úmero rel Propiedd distriutiv de l multiplicció co respecto l sum tl que y. ( + c) + c y + c + ( ) c

8 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Otrs propieddes de los úmeros reles: Propieddes de los cocietes: Propiedd: Ejemplo: c si. d. c porque.0. d 0 d. d. c + c c d + c d d c c 7 d d c d d d c c E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Decid si cd proposició es verdder o fls. ) L sum de dos úmeros egtivos dee ser egtiv. ( ) ) L difereci etre dos úmeros egtivos dee ser egtiv. ( ) ) El producto de dos úmeros egtivos dee ser egtivo. ( ) ) El cociete de dos úmeros egtivos dee ser egtivo. ( ) ) Si > 0 y < 0, etoces < 0 ( ) 6) El producto de 68 y -97 es u úmero rel. ( ) 7) Cuáles de ls siguietes expresioes o está defiids? Suráyl () () (c) (d) 0 E el prétesis que sepr cd u de ls siguietes expresioes coloc ó (igul o diferete de) fi de que l expresió resultte se verdder, pr todo rel 8) + c ( ) + c 9). + c ( ) + c 0) + c + d ( ) + c d

9 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 E los ejercicios -8, evlúe ls expresioes umérics (No utilice clculdor) ) + ( 6) ( + ) ( 8) ) 6 + ( ) ( 9) ( ) ) ( 6)( )( ) ) ( )( 8)( 6) ). 6) ) ) ) [ ( )] 0) [ ( )] ) ( ) ) ( ) 6 ( 8) ) 9 { [ 6 (9 ) ] } ) [ ] ) 6 6 6) 7) 9) ) 9 9 8) ) ) ) 6 + ) 6 + ) + 6) + 8 7) ) ) 7 0) 6 6 ) + ) 7 7 ) + ) ) + 6) + 8

10 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 7) ) E los ejercicios 9-8, escri cd expresió como u frcció simple reducid su míim expresió ) ) ) ) 7) ) 6 ) ) ) 6)

11 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Expoetes: Expoete cero y egtivo: Defiició Ejemplo: 0 0, ( ) 0 ( ), ( ) Ley de los expoetes: Pr los úmeros reles y y los eteros m y. Se cumple ls siguietes leyes: Ley: m m. m + Ejemplo: 7 6., x 0. x x 9 m ( ) m m ( ) ( ) (. ). (.8).8 m m m m E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S E los ejercicios siguietes, simplificr ls expresioes plicdo ls propieddes de los reles: ) ) x ( 6x ) ( x )( x ) ( )( x x ) ) ( x ) ( 6x ) ) ) ( ( x ) ) ( 9 ) 6 6) ( ) 7 x xy 8y

12 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 7 7) ( u v )( u v ) 8) ( x yz )( xz )( x y ) 0) 7 x y ) ( )( ) 6 8x y x y 9) ( ) α ) ( y ) ( y ) x y 6x y x y ) ( r s ) ) ( )( ) x y 6) 0 x y ( x ) 9) x ) ( x y )( x y ) 7) ( ) ( )( y y ) 8) ( y ) 0) ) ( ) ) ( r s) ( r s ) Defiició de ríz -ésim de u úmero rel: : Se u etero positivo, u úmero rel. () Si 0, etoces () Si > 0, etoces () ( ) Si < 0 y es impr, ( ) Si < 0 0 y es pr, es el úmero rel o es u úmero rel. positivo, tl que es el úmero rel egtivo, tl que Leyes de los Rdicles: Ls tres siguietes leyes se cumple siempre que ls ríces exist: Ley: Ejemplo: 0.. m m () 7 Simplificció de ríces o Supresió de eésims potecis de : Ejemplos: 7 x x. x x x 6

13 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 6 x x x. x x. x. x x 7 6 x x x x y x y x. x Defiició de expoetes rcioles: Se m úmero rciol, dode es u etero positivo myor que. Si es u úmero rel tl que exist, etoces: () () m m m ( ) m m m () ( ) ( ) EJERCICIOS E los ejercicios siguietes, cámiese l form rdicl. No se simplifique. ) ) m ) ) 6x 7 y ) ( ) x + y 8) x + y 7) ( ) xy 6) ( 7x y) 7 Cámiese l form expoecil rciol. No se simplifique. 9) 0) c ) ) ( x y) ) ( ) ) 9 x + y 6) x + y m ) x 7m Simplifíquese y escríse e l form rdicl más simple. 7) 0) 8 8) 8 6m y ) 6 7 ) x x y ) 7 9) 8 6m ) y 6 x ) 8 9x y

14 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Expres los siguietes rdicles e su form más simple: 6) + 7 7) 8 9) ( )( + ) x + x y ) ( x ) ( x ) ) ( )( + ) 8) ) ) E los ejercicios e delte, relice ls opercioes y exprese su respuest e l form rdicl más simple; dode se posile, rciolice los deomidores. ) 7) 0) x x y ) ( x y )( x 8xy ) ) 8) xy ) x 6) x y 9) ( ) ) x x ) x x 7 8

15 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Los Números Complejos Existe situcioes y prolems que o tiee solució e el cojuto de los úmeros reles, como por ejemplo oteer l ríz cudrd de u úmero egtivo. Por ejemplo, l ecució x o tiee como solució u úmero rel, porque igú úmero rel elevdo l cudrdo os d como resultdo u úmero egtivo. Pr oteer ls solucioes de ests ecucioes, defiimos u sistem que v más llá de los úmeros reles. Comezmos por defiir i. L uidd imgiri de i, está defiid por i, por lo tto, i. Ahor l ecució x, tedrí solució e térmios de i, sí: Si x, etoces x i, L defiició de i, os permitir hllr ls ríz cudrd de culquier úmero egtivo: Ejemplos: 9 9 i. i o directmete 9 i 9 i 0 i 0 6 6i Defiició: U úmero complejo es u úmero que puede escriirse e l form + i, dode y so úmeros reles e i es l uidd imgiri, es l prte rel de + i y es l prte imgiri de + i Por ejemplo, e el úmero complejo + i, es l prte rel y es l prte imgiri. Si es u úmero rel, etoces podemos reescriirlo como el úmero complejo + 0i. Puesto que podemos escriir culquier úmero rel e l form complej (co l prte imgiri igul cero), cocluimos que todos los úmeros reles so úmeros complejos. E otr plr, el cojuto de úmeros reles es u sucojuto de los úmeros complejos. Si u úmero complejo distito de cero o tiee prte rel (o se l prte rel es cero), etoces decimos que el úmero es imgirio puro. Por ejemplo: i, i y i so úmeros imgirios puros. 9

16 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 Sum y rest de úmeros complejos: Pr sumr o restr dos complejos, simplemete se sum o rest ls prtes reles y ls prtes imgiris por seprdo (recuerd el cocepto de térmios semejtes), ejemplos: ) ( + i) + ( 6 + i) 9 + 7i ) ( + 6i) ( + i) ( ) + ( 6i i) + i c) ( i ) ( 6i) + (6 + 0i) i + + 6i i Destruyedo los prétesis + i reduciedo térmios semejtes Multiplicció de úmeros complejos: Se multiplic como dos iomios comues, se reduce térmios semejtes y se plic i Ejemplo: ) ( + i)( 6 + i) 8 + i + i + 0i 8 + 7i + 0( ) 8 + 7i ) ( i)( + i) 0 + 8i i i 0 7i ( ) 7i Not: Se llm cojugdo del complejo + i, l complejo i, y l multiplicr u complejo multiplicdo por su cojugdo, oteemos u úmero rel, ejemplo: ( i )( + i) 9 + 6i 6i i 9 +, e térmios geerles ( + i)( i) + c) ( + i )( i) Divisió de úmeros complejos: Pr determir el cociete de dos úmeros complejos, se multiplic umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor, como se ilustr cotiució ( + i)( i) ( + i)( i) + i 6 8i + 9i i 8 + i 8 + i + i ( ) ( i) + 6i + 6i 6 + i + i ( + i) ( i) + i i ( i) i 6i + i ( + i) ( i) + i i 0

17 Mtemátic I. Ciclo técico profesiol. ITSA Atlático Profesor: Bls Torres Suárez. Versió.0 El efecto de est multiplicció es remplzr el deomidor complejo por uo rel. Osérvese que el resultdo de l divisió es u úmero de l form + i Potecis de i: De cuerdo l defiició de i : i i i i i i ( ). i i i i ( )( ) i 6 Si cotiumos: i i i ( ) i i, i i i ( )( ), etcéter. Ecotrmos que el ciclo se repite después de i, sí que culquier poteci de i puede escriirse como i, -, -i ó, que so los cutro posiles vlores pr ls potecis de i E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Relícese ls opercioes idicds y escríse l respuest e l form + i. ( + i) + ( + i). ( i) ( 6i). ( i + ) + 8i. i ( + 6i). i( i ) 6. ( + i)i 7. ( i + )( i + ) 8. ( i + )( i 7) 9. ( + 6i)( 6i) 0. ( i )( i ). i i ( + ) +. ( ) + 9i + i + i + i + i ( )( ) i. i + 7i i + i. i + i 8. i i ( i)( i). + i