UNIDAD N 1: TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD

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1 Mtemátic Uidd - UNIDD N : TEORÍ DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ÍNDICE GENERL DE L UNIDD Noció ituitiv de cojuto.... Forms de defiir u cojuto..... Cojutos otles... Cojutos uméricos.... Números Nturles: N.... Números eteros: Z.... Números rcioles: Q Números irrcioles: I Números reles: R Números Complejos: C ctividd Digrms de Ve.. 7 ctividd Represetció gráfic de úmeros reles... 8 ctividdes Iclusió sucojutos ctividdes..... Opercioes co úmeros reles..... Sum o rest de úmeros frcciorios.. Frccioes de igul deomidor.... Frccioes de distito deomidor Multiplicció de úmeros frcciorios Divisió de úmeros frcciorios Potecició de úmeros frcciorios De epoete turl De epoete etero egtivo Rdicció de úmeros frcciorios Propieddes de lgus opercioes Propiedd distriutiv del producto respecto l sum Propiedd distriutiv del cociete respecto l sum Propieddes de l potecició Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

2 Mtemátic Uidd - Propieddes de l rdicció ctividdes... Sucojutos de los úmeros reles: itervlos Tipos de itervlos Itervlo ierto Itervlo cerrdo Itervlo semiierto Itervlo Ifiito ctividdes... Opercioes co cojutos Uió Itersecció Complemeto Difereci Propieddes de ls opercioes etre cojutos Propiedd comuttiv Propiedd socitiv Propiedd distriutiv Propiedd de idempoteci Leyes de De Morg ctividdes... Opercioes co itervlos Uió Itersecció Difereci Complemeto ctividdes... 6 Ejercicios prácticos... 6 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

3 Mtemátic Uidd - CONSEJOS TENER EN CUENT NTES DE EMPEZR: LEER CON MUCH TENCIÓN LOS CONTENIDOS. PONER ÉNFSIS EN LOS EJEMPLOS. RESOLVER MINUCIOSMENTE LOS EJERCICIOS. CONSULTR LS DUDS QUE PUEDN SURGIR. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

4 Mtemátic Uidd - CONJUNTOS NOCIÓN INTUITIV DE CONJUNTO L plr CONJUNTO os remite, ituitivmete u grupció o colecció de ojetos que recie el omre de elemetos. Est ide os sirve pr itroduciros e el cocepto de cojutos que, e Mtemátic es u térmio primitivo. Es decir o lo defiimos, o cotestmos l pregut qué es? Los cojutos se desig co letrs myúsculs impret:,, C, y los elemetos co letrs miúsculs impret:,, c, d. Si es u elemeto del cojuto, dicho elemeto perteece l cojuto y escriimos. E cso cotrrio, si o es u elemeto de se simoliz. FORMS DE DEFINIR UN CONJUNTO Si queremos idicr el cojuto de ls vocles podemos escriir: = { / se u vocl} ó = {, e, i, o, u} U cojuto está defiido por etesió o eumerció, cudo etre llves figur todos sus elemetos. Ejemplos: ) =, e, i, o, u ) {lues, mrtes, miércoles, jueves, vieres, sádo, domigo} U cojuto está defiido por compresió, cudo se euci l propiedd que crcteriz sus elemetos. Ejemplos: ) = { / se u vocl} ) { / es dí de l sem} Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

5 Mtemátic Uidd - CONJUNTOS NOTLES Cojuto Vcío: se simoliz co y es quel cojuto que o posee elemetos. Ejemplo: = {úmeros impres etre y 7} = No eiste igú úmero impr etre los úmeros y 7. Cojuto Uiversl: se simoliz co U y es quel cojuto que cotiee todos los elemetos del tem e estudio; por lo tto o es fijo y se dee fijr de temo. Not: Si u cojuto tiee elemetos, se dice que es fiito, cso cotrrio el cojuto es ifiito. CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Nturles: Los úmeros turles fuero los primeros que utilizó el ser humo pr cotr ojetos. El cojuto de los úmeros turles tiee ifiitos elemetos y se simoliz = {,,,,,..} Los putos suspesivos idic que e o hy último elemeto, pero sí eiste primer elemeto que es el úmero y demás todo úmero turl, llmémosle, tiee su úmero turl cosecutivo o siguiete, +. l cojuto de los turles co el cero icluido, se simoliz: 0 = {0,,,,,,..} Los úmeros turles costituye u cojuto cerrdo pr ls opercioes de sum y multiplicció y que, l operr co culquier de sus elemetos, el resultdo siempre será u úmero turl: + 6 = ; 8. = 0. No ocurre lo mismo, e cmio, co l rest; por ejemplo 8 es u úmero turl, pero 8 o es u úmero turl; como cosecueci de ello surge los úmeros egtivos. Números eteros: Los úmeros eteros rc los úmeros turles, el cero y los úmeros egtivos. = {..,-,-,-,-,-,0,,,,,,..} Todo úmero turl es u úmero etero. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

6 Mtemátic Uidd - 6 Los úmeros eteros permite epresr ctiddes egtivs como u sldo deudor e u cuet cri, u ño de l er tes de Cristo, el úmero de u plt del sóto de u edificio, l represetció de profudiddes jo el ivel del mr, temperturs jo cero, etc. El cojuto de los úmeros eteros es cerrdo pr l sum, l rest y el producto; si emrgo, l divisió de dos úmeros / o siempre es u úmero etero. Es por ello que surge el cojuto de los úmeros frcciorios o rcioles. Números rcioles: Q Se llm úmeros rciol todo úmero que puede represetrse como el cociete de dos eteros co deomidor distito de cero. El térmio «rciol» lude «rció» o «prte de u todo». U úmero rciol es u deciml fiito o ifiito periódico; por ejemplo, el úmero deciml fiito 0,7 es l represetció deciml del úmero rciol y el úmero deciml ifiito periódico 0,... es l represetció deciml del úmero rciol. Luego, u úmero es rciol si verific lgu de ls siguietes codicioes: - es u úmero etero (positivo, egtivo o 0). - es u úmero frcciorio. - es u úmero deciml, co u úmero fiito de cifrs. - es u úmero deciml periódico. Números irrcioles: Los úmeros decimles que tiee ifiits cifrs o periódics, se deomi úmeros irrcioles:,, e,, etc. Números reles: R El cojuto formdo por los úmeros irrcioles y rcioles es el cojuto de los úmeros reles. Todo úmero turl es u úmero rel. Todo úmero etero es u úmero rel. Todo úmero rciol es u úmero rel. Todo úmero irrciol es u úmero rel. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

7 Mtemátic Uidd - 7 teer e cuet!!! Etre dos turles siempre hy u úmero fiito de turles etre ellos. Etre dos úmeros eteros hy u úmero fiito de eteros etre ellos. Etre dos úmeros rcioles hy ifiitos rcioles etre ellos. Etre dos úmeros reles hy ifiitos reles etre ellos. Números Complejos: C l trtr de resolver igulddes como + = 0, prece epresioes como que o es posile resolver e el cojuto de los úmeros reles, y que igú úmero rel elevdo l cudrdo es igul. Por ello surgiero los úmeros imgirios pr que se posile l rdicció de úmeros reles egtivos: =.( ) =. =.i Se deomi uidd imgiri i = y es tl que i = - l cojuto formdo por los úmeros reles y los úmeros imgirios se lo deomi úmeros Complejos. Todo úmero turl es u úmero complejo. Todo úmero etero es u úmero complejo. Todo úmero rciol es u úmero complejo. Todo úmero irrciol es u úmero complejo. Todo úmero rel es u úmero complejo. REPRESENTCIÓN GRÁFIC DE CONJUNTOS DIGRMS DE VENN Los cojutos puede represetrse gráficmete medite digrms de Ve, e hoor l mtemático Joh Ve. El cojuto uiversl se represet co u rectágulo, y el digrm pr u cojuto culquier es u curv cerrd e cuyo iterior se coloc putos que represet los elemetos del cojuto. U U Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

8 Mtemátic Uidd - 8 El digrm de Ve más geerl pr represetr dos cojutos culesquier es: U o simplemete Los digrms de Ve sólo se utiliz pr represetr gráficmete cojutos fiitos. REPRESENTCIÓN GRÁFIC DE LOS NÚMEROS RELES Los úmeros reles se represet geométricmete e l rect uméric, esto es, se idic sore u rect u puto fijo O que se llm orige y que correspode l úmero rel cero. Cosiderdo u segmeto uitrio como uidd de medid, l derech de O se idic los putos que correspode los úmeros reles positivos ( R + ) y l izquierd de O los putos que correspode los úmeros reles egtivos ( R - ). De est mer, cd úmero rel le correspode u úico puto de l rect, y cd puto de l rect, u úico úmero rel. Pr represetr gráficmete u úmero frcciorio e l rect uméric, se divide l uidd e tts prtes como lo idique el deomidor de l frcció y luego se tom tts prtes de l sudivisió como lo idique el umerdor. Ejemplo: Negtivos -½ 0 ¼ ½ Positivos Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

9 Mtemátic Uidd - 9 CTIVIDDES. Dr u ejemplo de u úmero: ) etero o turl ) imgirio puro c) rel o etero d) frcciorio etero e) rel o complejo. Idicr si los siguietes eucidos so verdderos o flsos. ) 0 es u úmero turl. ) 6 es u úmero etero. c) es u úmero rel. d) - es u úmero rciol. e) es u úmero rciol. f) - es u úmero rel. g) (-) es u úmero turl. h), es u úmero irrciol i) Co los elemetos de Q se puede medir culquier logitud. j) Todo úmero etero es positivo o egtivo. k) 0 es u úmero etero pr. l) está l derech de 7 e l rect uméric.. Ddos los siguietes cojutos: = {0,,, 6, 8}, = {,,,,, 6}, C = {/ es dígito myor que } Idicr verddero (V) o flso (F) e ls siguietes firmcioes: ) 7 e) 0 ) C f) 9 C c) 8 g) d) h) 8 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

10 Mtemátic Uidd - 0. Escriir u úmero rel que esté compredido etre cd pr de úmeros ddos. ) 0,6 y 0,8 ) 0 y c), y,6 d), y, e) 0,9 y. Represetr, e u mismo digrm de Ve, los siguietes cojutos: U = {/ es dígito}, = {0,,, 6, 8}, = {,,,,, 6}, C = {/ es dígito myor que } 6. Represetr e l rect rel los siguietes úmeros: -; ;,;,, INCLUSIÓN - SUCONJUNTOS Se dice que el cojuto está coteido e (o que es u sucojuto de ), y se simoliz, si todos los elemetos de so elemetos de. Gráficmete: E cso cotrrio, se dice que o está coteido e (o que o es sucojuto de ) y se simoliz. Ejemplos: ) Q RC ) {,, 6} {,, 6, 8} c) {,, 6, 7} {,, 6, 9} d) U = { / 0 y 7} C D U U U C U D U D C Oservció: Pr culquier cojuto se verific que: Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

11 Mtemátic Uidd - U L perteeci vicul elemetos co cojutos y l iclusió vicul cojutos co cojutos. CTIVIDDES. E se los cojutos ddos colocr o segú correspod: U = { / es úmero turl} = { / es úmero turl impr} = { / es úmero turl múltiplo de } C = { / =., co úmero turl} )...U e).c )... f) C.. c) C.. g)..c d).. h)..u. Ddos = {,, c} y = {, }, decir si es verddero o flso: ) {, }... ) {}... c)... d) {, }... Sum o rest de úmeros frcciorios ) Frccioes de igul deomidor OPERCIONES CON NÚMEROS RELES Pr sumr (o restr) dos úmeros frcciorios de igul deomidor se procede de l siguiete mer: Ejemplos: ) c 9 9 ) c Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

12 Mtemátic Uidd - ) Frccioes de distito deomidor Pr sumr (o restr) dos úmeros frcciorios de igul deomidor se procede de l siguiete mer: Ejemplos: ) c d (m : ). (m : d).c ; dode m = m.c.m(,d) m ) 0 Multiplicció de úmeros frcciorios Pr multiplicr dos úmeros frcciorios se procede de l siguiete mer: c d.c.d E l multiplicció de frccioes se simplific cruzdo. Ejemplos: ) ) = Si se simplific tes de multiplicr se otiee: Divisió de úmeros frcciorios Pr dividir dos úmeros frcciorios se procede de l siguiete mer: c : d.d.c E l divisió de frccioes se simplific horizotl. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

13 Mtemátic Uidd - Ejemplos: ) ) : : =.8 Si se simplific tes de multiplicr se otiee: 6 8 : :.. 0 Potecició de úmeros frcciorios ) De epoete turl:, co 0 ) De epoete etero egtivo: -, co 0, 0 E prticulr: Ejemplos: - co 0 ) 9 6 ) c) d) - (-) 9 Rdicció de úmeros frcciorios, co 0 Si es pr etoces dee ser myor o igul cero. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

14 Mtemátic Uidd - Ejemplos: ) 9 9 ) PROPIEDDES DE LGUNS OPERCIONES Propiedd distriutiv del producto respecto l sum: c c c co,,c R c c co,,c R Propiedd distriutiv del cociete respecto l sum: : c : c : c co,,c R c 0 Propieddes de l potecició: 0, co 0 p p Poteci de u producto: ; co p Q p Poteci de u cociete ; co p Q 0 p p p p p. q Potecis de potecis: ; co p y q Q Producto de potecis de igul se: q m p mp m mp Cociete de potecis de igul se: ; co 0 p Propieddes de l rdicció: Rdicció de u producto:. Rdicció de u cociete: : :, co 0 Rdicció como poteci de epoete frcciorio: m m Ejemplos: ). - (-) = = 9 6 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

15 Mtemátic Uidd - ) z.z -.z -.z = z c) = - = d) : = - = 6 y e) 7 = y 6-7 = y - = y y 8 f) 7 - = - = 0 =. 6 g) 6 h) 6 8 L rdicció y potecició NO distriuye respecto de l sum o rest: ; CTIVIDDES. Uir co u flech segú correspod: () () Colocr el símolo = o segú correspod, pr que los siguietes eucidos se verdderos. ) (0 7) 8. 0 (7 8) ) ( + ). + c) Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

16 Mtemátic Uidd d) e) f). g) -.+ h). (-) i).. 6. Idicr pr qué vlores de tiee sigificdo ls siguietes epresioes e el cojuto de los úmeros reles. ) 8 ) c) d) e) 0-6 f) h) 8 i) - j) k) l) 9 m) g) ) 6. Resolver ls siguietes opercioes e idicr l o los cojutos los que perteece el resultdo. : 7 ) ) 8 c) d) e) : = f). 6 6 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J = 6

17 Mtemátic Uidd - 7 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J - g) 7 0 h) i) j) : 0 k) l) :. m). 8 7 ) : ).() ( ) (. Resolver: ) y. y. y = ). c)... d) -. :. e) 8 7 = f) 0 y z y y.... = 6. Verificr ls siguietes igulddes. ). ) 6 6. c) -. -

18 Mtemátic Uidd - 8 SUCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS RELES: INTERVLOS U itervlo es u cojuto ifiito de úmeros reles compredidos etre dos vlores fijos que se deomi etremos del itervlo. TIPOS DE INTERVLOS Itervlo ierto (, ) es el cojuto de los úmeros reles myores que y meores que co <, dode y so los etremos que No perteece l itervlo. Se escrie: (, ) = { R / < < } Itervlo Cerrdo [, ] es el cojuto de los úmeros reles myores o igules que y meores o igules que co <, dode y so los etremos que Sí perteece l itervlo. Se escrie: [, ] = { R / } [ ( ] ) Se puede relizr ls comicioes co los etremos llmádolos: Itervlos semiiertos cudo so de l form: (, ] = { R / < } [, ) = { R / < } Itervlos Ifiitos: Se preset ls siguietes posiiliddes ) (, ) cojuto de los úmeros reles meores que. (, ) = { R / } ) (, ] cojuto de los úmeros reles meores o igules que. (, ] = { R / } c) (, ) cojuto de los úmeros reles myores que. (, ) = { R / > } ( [ ( ) ] ) ] Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

19 Mtemátic Uidd - 9 d) [, ) cojuto de los úmeros reles myores o igules que. [, ) = { R / } E resume se preset l siguiete tl: [ Deomició Notció de Itervlos Notció como sucojuto de los reles Form gráfic Itervlo ierto (, ) { R / < < } ( ) Itervlo cerrdo [, ] { R / } [ ] Itervlos semiiertos (, ] [, ) { R / < } { R / < } ( [ ] )) (, ) { R / < } ) Itervlos ifiitos (, ] (, ) { R / } { R / > } ( ] [, ) { R / } [ Oservcioes: Los símolos y se lee ifiito positivo e ifiito egtivo respectivmete. Los itervlos o se epres por etesió Los itervlos o se represet gráficmete medite digrms de Ve. Los itervlos se represet gráficmete e l rect rel. Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

20 Mtemátic Uidd - 0 CTIVIDDES. Defiir por etesió o itervlo segú correspod, los siguietes cojutos: ) = { / y } g) G = { / y ( - ).( + ) = 0} ) = { / R y } h) H = { / y ( - ).( + ) = 0} c) C = { / y - < < 6 } i) I = { / y ( + ).( -) = 0} d) D = { / y - < < 6 } j) J = { / y ( + ).( -) = 0} e) E = { / R y - < < 6 } k) K = { / R y ( + ).( -) = 0}. Represetr los siguietes itervlos e l rect uméric: ) (, ) d) [ -, 0] ) ( 6, 0] e) (, -] c) ( -, ) f) [-, ). Epresr los siguietes cojutos como itervlos y represetrlos e l rect uméric: ) = { / R y < } ) = { / R y < } c) C = { / R y } OPERCIONES CON INTERVLOS Los itervlos so sucojutos de úmeros reles y ls opercioes que se puede relizr etre ellos so ls opercioes propis etre cojutos: uió, itersecció, difereci y complemeto. Se oper etre ellos gráficmete y posteriormete se epres simólicmete el cojuto oteido. Pr poder operr co itervlos ecesitmos ser ls opercioes etre cojutos OPERCIONES CON CONJUNTOS UNIÓN Si y so dos cojutos, se defie l uió etre y, que se deot, l cojuto cuyos elemetos perteece o o mos. Simólicmete se epres: = { / o } El digrm de Ve es: Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

21 Mtemátic Uidd - INTERSECCIÓN Si y so dos cojutos, se defie l itersecció etre y, que se deot, l cojuto cuyos elemetos perteece y. Simólicmete se epres: = { / y } El digrm de Ve es: Oservció: Cojutos disjutos: Dos cojutos so disjutos cudo o tiee elemetos comues. Simólicmete: y so disjutos si y sólo si = El digrm de Ve es: COMPLEMENTO Si U es el cojuto uiversl que cotiee l cojuto, se llm complemeto de y se simoliz, l cojuto formdo por todos los elemetos del uiverso que o perteece l cojuto. Simólicmete: = { U / } El digrm de Ve es: U Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

22 Mtemátic Uidd - DIFERENCI Si y so dos cojutos, se defie l difereci de y, que se simoliz - l cojuto formdo por los elemetos que perteece l cojuto que o perteece l cojuto. Simólicmete: = { / y } El digrm de Ve es: - U Oservció: Se verific: = U = (l difereci o es comuttiv) PROPIEDDES DE LS OPERCIONES ENTRE CONJUNTOS Ls opercioes co cojutos verific ls siguietes propieddes: Propiedd comuttiv ) = ) = Propiedd socitiv ) ( C) = ( ) C ) ( C) = ( ) C Propiedd distriutiv ) ( C) = ( ) ( C) ) ( C) = ( ) ( C) Propiedd de idempoteci ) = ) = Leyes de De Morg ) ) Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

23 Mtemátic Uidd - CTIVIDDES ). Se U= { / 0: 0 9}, = {,,, }, = { / 0: 8}, D = {, }; C = {,,, 6}; clculr por etesió y hcer el digrm de Ve correspodiete ) e) C ) D f) c) g) D C d) C D h) ).Completr ls siguietes propieddes (los digrms de Ve so meudo útiles pr idetificr o justificr ls propieddes). ) U =... e) =... ) =... f) U =... c) U =... g) =... d) =... OPERCIONES CON INTERVLOS UNIÓN DE INTERVLOS: Se represet gráficmete mos cojutos e l rect uméric y l uió de itervlos es l secció de l rect uméric que se ecuetr ryd. Ejemplos: ) = (,] y = [-,) [ - ( - ) ] = [-,] ) = (,) y = [-,] [ - ) = (,] ] Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

24 Mtemátic Uidd - INTERSECCIÓN DE INTERVLOS: Se represet gráficmete mos cojutos e l rect uméric y l itersecció de itervlos es l secció de l rect uméric comú mos, que se ecuetr dolemete ryd. Ejemplos: ) = (,] y = [-,) [ - ( - ) ] = (-,) ) = (,) y = [-,] [ - ) ] = [,) DIFERENCI ENTRE INTERVLOS: Se represet gráficmete el cojuto e l rect uméric, luego se le quit lo rydo por el cojuto. Ejemplos: ) = (,] y = [-,) ) = (,) y = [-,] [ - ( - ) ] - = [,] [ - ) ] - = (,-) Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

25 Mtemátic Uidd - COMPLEMENTO DE UN INTERVLO Se represet gráficmete el cojuto e l rect uméric, luego el complemeto de es l secció de l rect uméric si somrer. Ejemplos: ) = (,) ) = [, +) ) = [-,) [ ) - = (,-) [,+ ) CTIVIDD Clculr,, y ) = [, ) ; = [, ] d) = (, 7) ; = [7, 9) ) = (, ) ; = (, ] e) = (, 6 ) ; = (, ) c) = (, ) ; = [, ] f) = (, ) ; = (, ] EJERCICIOS PRÁCTICOS Ejercicio : Defiir por etesió o por compresió los siguietes cojutos: ) El cojuto de los úmeros turles impres meores de. ) El cojuto de los úmeros turles pres myor que 0 y meor que 0. c) = { / y 0 } d) = { / y 0 } e) C = { / R y = 0 } f) D = { / y = 0 } g) E = { / y = 0 } Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

26 Mtemátic Uidd - 6 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J - Ejercicio : plicr propieddes decuds pr resolver ls siguietes opercioes. ) 9 ) c) :, 6 d).8 0 e).7 f) 0, 0,7 0,7 0,09 Ejercicio : Reducir ls siguietes epresioes: ) - = g) (-y)(-z) (-y) + (zy) + (-y)(-z) (-)(-y) = ) h) 0 7..z.. z c) (-) () = i) = y 7y y d) y y y y j) e) 6 y m. m k) 8 p h t t h p Ejercicio : Ddos los cojutos U =, = {,,, }, = { / ( - ).( + ) = 0}, C = { / } y D = { / es pr meor que 0}, se pide: ) Defiir por etesió los cojutos, C y D. ) Estlecer tods ls relcioes de iclusió etre los cojutos ddos. c) Determir los cojutos disjutos. d) Clculr: ; CD; C; ; C ; ; ; D; C ; C ( - D)

27 Mtemátic Uidd - 7 Ejercicio : Somrer el áre correspodiete l operció idicd. ) C c) C ) () C d) (C) C U Ejercicio 6: Determir el cojuto somredo. ) ) M S P M P S U U c) d) C C U U Ejercicio 7: Resolver lític y gráficmete: ) [,) (,] = e) (,] (,) = ) [6,8) [7,9) = f) (-,) (0,+) = c) [,9] (7,8) = g) (,] - (, ) = Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -

28 Mtemátic Uidd - 8 Fcultd de Ciecis Ects Físics y Nturles - U N S J -